[r]
(1)V n
2: Gi i h n c a hàm s
D ng 1: Tính gi i h n hàm s b ng nh ngh a nguyên lý k p
Ph ng pháp: 1) lim ( )
(
( ),n n , lim n lim ( )n)
x af x L x x a x f x L
→
= ⇔ ∀ ≠ = =
2) lim ( ) lim ( )( ) ( ) ( ), lim ( )
x a
x a x a
h x f x g x x D
f x L
h x g x L →
→ →
≤ ≤ ∀ ∈
=
= =
TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
1
lim(2 9)
x→ x − x+ ; 2)
5
0
2
lim
2
x
x x
x →
+ +
+ ;
3)
(
)
2
lim
x
x x x
→− + + − ; 4)
3 3
2
2
lim
1
x
x x x
x →
− −
−
TÍNH CÁC GI I H N SAU 1)
0
1 lim cos
x→ x x; 2)
5
1 lim sin
x→+∞x x;
3) lim sin cos
x
x x
x →−∞
+
; 4)
2 100
2 100
sin sin sin
lim
x
x x x
x x x
→+∞ + + +
D ng 2: Các d ng vô nh
Bài tốn 1: Tính lim ( )
( )
x a f x g x
→ mà f a( )=g a( ) 0= (D ng vô nh
0 0)
Ph ng pháp: Phân tích 1
1
( ) ( ) ( )
( )
lim lim lim
( ) ( ) ( ) ( )
x a x a x a
x a f x f x
f x
g x x a g x g x
→ → →
−
= =
−
Chú ý: 1) f x( )=ax2+bx+ =c có hai nghi m x= α,x= β thi f x( )=a x( − α)(x− β) 2) S Horner
3)
(
a−b)(
a+b)
= −a b2;(
a− b)(
a+ b)
= −a b(
)
(
)
3 2 3
3 3 3
( a±b)( a b a+b ); a± b a ab+ b
TÍNH CÁC GI I H N SAU 1)
2
3
4
lim
3
x
x x
x →−
+ +
+ ; 2)
3
1 lim
7
x x
x x
→
−
− + ; 3)
3
3
3
lim
6
x
x x x
x x x
→
+ − +
− − + ;
4)
6
2
4
lim
(1 )
x
x x x
x →
− +
− ; 5)
1 lim
1
m n x
x x →
−
− ; 6) lim
m m
x a
x a
x a →
− − ;
7)
2
1
lim
1
n x
x x x n
x →
+ + + −
− ; 8)
( 1)
lim
( 1)
n x
x nx n
x →
− + +
− ; 9)
1
( ) ( )
lim
( )
n n n
x a
x a na x a
x a −
→
− − −
−
10)
4
6 lim
5
x
x x
x x
→
+ −
− + ; 11)
1 lim
2
x
x x
x x x
→
−
− + ; 12) limx a
x a x a a x →
(2)TÍNH CÁC GI I H N SAU 1)
2
3
lim x x x → − −
− ; 2)
2 1 lim x x x x → + + −
; 3) 2
1 lim x x x x → + − + −
4) 3 2
1
2
lim x x x x x → + + −
− + ; 5)
13
lim x x x x → + − +
− ; 6)
2
1
3
lim
3
x x x x x →− + + + − + 7) 2 lim x x x x →− + + −
; 8) 2
2
2 5
lim x x x x → + + + −
− ; 9)
2
2
5
lim x x x x x →− + − − − − − 10)
2 (1 )
lim x x x x → + − −
− ; 11)
1 lim
3
x x
x →
+ −
− + ; 12)
4
lim x x x x → + − + + − 13)
1
lim
2
x
x x
x x
→
+ − −
+ − + ; 14)
1 lim x x x x → + − − −
; 15)
1 lim x x x x → − − − 16)
4
2
1 3
lim
2
x
x x x x
x →
− + − + +
− ; 17)
1 lim
3
x
x
x x x
→
−
+ + − ; 18) limx a 2
x a x a
x a
→
− + −
−
TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
2 lim x x x → −
− ; 2)
2
3
lim x x x x → + −
− + ; 3)
3
2 10
lim x x x x x →− + + − + +
4)
2 lim x x x →− − +
+ ; 5)
3
4 2
lim x x x x →− + + +
+ ; 5)
1 lim x x x x →− + − − 6) 3 lim x x x → − − −
; 7)
3 lim 1 x x x
→ − + ; 8)
3 1 lim x x x → − − +
9) 3
1
4
lim x x x → + −
− ; 10)
3 lim x x x x → − −
− ; 11)
3
0
1
lim
2 1
x x x x x → − + + + − +
12)
1
1 lim
1
x
x x x
x →−
+ + +
+ ; 13)
2
1
2
lim
2
x
x x x
x x x
→ − + − + − + − + 14) 10 lim x
x x x
x →
+ − −
− ; 15)
2 2 lim x
x x x
x x x
→−
+ + + + + − −
TÍNH CÁC GI I H N SAU
1)
0
2
lim x x x x → + − −
; 2) 23
0
2
lim x x x x → + − +
; 3)
3 2 lim x x x x → − − + − 4)
2 1
lim sin x x x x → + − +
; 5)
(
)
2
0
2004 2004
lim x x x x → + − − ; 6) 2
3 24
lim
4
x
x x x
x →
− + + − −
− ;
2
1
5
lim
1
x
x x x x
x →
− + + + − −
(3)Bài toán 2: Tính lim ( )
( )
x
f x g x
→±∞ mà xlim ( )→±∞ f x =xlim ( )→±∞g x = ±∞(D ng vô nh ∞ ∞) Ph ng pháp: t x v i s m cao nh t t m u làm th a s chung
Chú ý: 1) lim n 0( 0, *) x
a
a n
x
→∞ = ≠ ∈ ; 2) xlim→±∞x= ±∞
3) x→ +∞ x > 0; x→ −∞ x < 0; 4) A2 = A
TÍNH CÁC GI I H N SAU 1)
3
7
2
lim
3 2
x
x x x
x x
→+∞
+ + −
+ − ; 2)
4
2
7
lim
3
x
x x
x x x
→−∞
− +
− − ; 3)
5
2
7
lim
3
x
x x
x x x
→−∞
− +
− −
4)
5
2
7
lim
3
x
x x
x x x
→+∞
− +
− − ; 5)
2
2
(1 )(3 1) (2 )
lim
(1 )(2 1) (2 )
x
x x x
x x x
→±∞
− − −
+ − −
6)
2
3
(1 )(3 1)(2 )
lim
(2 1) (2 )
x
x x x
x x x
→±∞
− − −
− − ; 7)
2
3
2
lim
3
x
x x
x x
→−∞
+ +
+ − ; 8)
2
3
2
lim
3
x
x x
x x
→+∞
+ + + −
9)
2
3
lim
4
x
x
x x x
→−∞
+
− + − ; 10)
2 cos
lim
3 sin3
x
x x
x x
→±∞ −
+ ; 11)
3
2
sin lim
cos
x
x x
x x
→−∞
+ π
−
Bài toán 3: Tính lim
[
( ) ( )]
x→a f x −g x mà xlim ( )→±∞ f x =xlim ( )→±∞g x = ±∞(D ng vô nh ∞ − ∞) Ph ng pháp: Chuy n v d ng ∞
∞ ho c
0
Chú ý:
(
a−b)(
a+b)
= −a b2;(
a− b)(
a+ b)
= −a b(
)
(
)
3 2 3
3 3 3
( a±b)( a b a+b ); a± b a ab+ b
Bài 1: Cho hàm s ( ) 1
f x = x + + −x x Tính gi i h n lim ( )
x→+∞ f x lim ( )x→−∞ f x
Bài 2: Tính gi i h n sau:
1) lim
(
2 4 2 4)
x→+∞ x + x+ − x − x+ ; 2)
(
)
2
lim 4
x→−∞ x + x+ − x − x+
3)
2
2
9
lim
2
x
x x x x
x x
→±∞
− + − + +
+ + + ; 4)
(
)
2
lim
x→±∞x x + x− x + x
5) lim 4
(
3 33 7 3)
x→+∞ x − x+ x − −x x + ; 6)
(
)
3
lim
x→±∞ x+ x −x ;
7) lim
x→+∞ x+ x+ x − x ; 8)
1
lim
1
x→ −x− −x ; 9) 2
1
lim
3
x→ x − x+ + x − x+
Bài 3: Tìm a, b cho lim
(
4)
x→+∞ x + x+ −ax b− =
Bài 4: Tính gi i h n sau
1) lim 2 2
x→+∞x x + x− x + +x x ; 2)
(
)
3 2
lim
x→+∞ x + x − x − x ;
3) lim
(
1 3 1)
x→±∞ x + − x − ; 4) lim
(
( 1)( 2) ( ))
n
(4)Bài toán 4: Gi i h n hàm l ng giác (d ng vô nh) Ph ng pháp: S d ng công th c
0
sin
lim
x
x x
→ = ,
sin
lim
x
kx kx
→ =
sin
lim
u u u
→ =
Bài 1: Tính gi i h n sau 1)
0
sin3 lim
2
x
x x
→ ; 2)
tan3 lim
2
x
x x
→ ; 3)
sin3 t an2
lim
x
x x
x →
+
4)
0
sin2 lim
t an3
x
x x
→ ; 5)
2
0
1 cos lim
sin
x
x
x x
→ −
; 6)
0 2
cos cos
2 lim
sin
x
x x →
π
Bài 2: Tính gi i h n sau
1) 2
0
1 cos lim
x
x x →
−
; 2) 3
0
tan sin
lim
x
x x
x →
−
; 3)
0
1 cos lim
1 cos3
x
x x →
− −
4)
0
sin3 lim
1 cos
x
x x
→ − ; 5)
1
lim
sin sin3
x→ x− x x; 6)
1 cos
lim tan
x
x x →
−
7)
0
1 cos
lim cos
x
x x →
−
− ; 8)
1 tan sin
lim
x
x x
x →
+ − +
Bài 3: Tính gi i h n sau 1)
3
1
2 lim
sin( 1)
x
x x
x →
+ −
− ; 2)
3 lim
tan( 1)
x
x x
x →
+ −
− ; 3)
2
cos lim
2
x
x x π → −π
;
4)
2
lim(1 cos ) tan
x
x x
π →
+ ; 5)
4
1 tan lim
1 cos
x
x x π
→ −
− ; 6)
4
sin cos
lim
1 tan
x
x x
x π
→
−
− ;
7)
3
3
tan 3tan
lim cos
6
x
x x
x π
→
− π +
; 8) lim1 sin2
x
x x →π
−
π − ; 9)
sin2 lim
1 cos
x
x x →π +
Bài 4: Tính gi i h n sau
1) 2
0
2 cos
lim
tan
x
x x →
− +
; 2)
0
1 sin2 sin2
lim
x
x x
x →
+ − −
3) 2
0
tan( ) tan( ) tan
lim
x
a x a x a
x →
+ − −
; 4) 2
0
sin( ) 2sin( ) sin
lim
x
a x a x a
x →
+ − + +
Bài 5: Tính gi i h n sau
1) lim sin
(
sin)
x→+∞ x+ − x ; 2) xlim cos→+∞
(
x+ −1 cos x)
D ng 3: Gi i h n m t bên
Chú ý: 1) x→a+ x>a x; →a− x<a
2)
2
2
,
,
A A
A
A A
≥ =
− <
3) lim ( )
x→a f x t n t i
lim ( ), lim ( )
lim ( ) lim ( )
x a x a
x a x a
f x f x
f x f x
− +
−
→ →
→ + →
∃ ∃
⇔
(5)Bài 1: Tính gi i h n sau 1)
2 2
( 2) (4 )
lim
4
x
x x
x − →
− −
− ; 2)
2
3
4
lim
x
x x
x +
→
− +
− ; 3)
2
2
(16 )( 4)
lim
8
x
x x x
x x
→
− − + −
− −
4)
1
1 lim
2 1
x
x x
x x
− →
−
− + − ; 5)
2
3
2 22
lim
x
x x
x →
+ −
− ; 6)
2
lim
( 1)
x
x x →
− −
−
Bài 2: Tính gi i h n trái, ph i, gi i h n (n u có) c a hàm ( )f x x d n x0
1)
2
0
3 2, 1
1
( ) ,
,
2
x x
x x
f x x
x x − +
> −
= =
≤
; 2) 0
3
3, 0
2
( ) ,
1 1, 0
1
x
f x x
x
x x
≤
= =
+ − > + −
3) 2 3
2
( ) ,
4
f x x
x x
= =
+ ; 4)
2
0
3
( ) ,
5
x x
f x x
x x
− +
= =
− +
Bài 3: Cho hàm
1
,
( ) 1
2,
x
f x x x
mx x
− >
= − −
+ ≤
Tìm m hàm f x( ) có gi i h n x d n
Bài 4: Cho hàm
2
2
2 1, 0
( )
3
,
2
x x
x x
f x
x x
m x
x
+ − + −
< =
− +
+ ≥
+
Tìm m hàm f x( ) có gi i h n x→0
Bài 5: Cho ( ) 2 2
3
ax b
f x
x x x
+
= +
(6)V n
3: Hàm s liên t c
D ng 1: Xét tính liên t c c a hàm s t i m t i m
Bài tốn 1: Xét tính liên t c c a hàm 0
( ), ( )
,
f x x x f x
a x x ≠ =
= t i i m x=x0 Ph ng pháp: 1) Tìm t p xác nh
2) Tính f x( )0
0
lim ( )
x→x f x
3) So sánh k t lu n Bài 1: Xét tính liên t c t i x0 c a hàm f bi t:
1)
2
0
3 2, 1
1
( ) ,
1
,
2
x x
x x
f x x
x − +
≠ −
= =
− =
; 2)
1 3, 2
( ) 2
1,
x x
f x x
x
− −
≠
= −
=
, x0=2
3)
sin
,
( ) ,
,
x x
f x x x
x π
≠
= − =
π =
; 4)
1 cos
,
sin
( ) ,
1, 0
4
x x x
f x x
x −
≠
= =
=
Bài 2: Tìm a hàm s sau liên t c t i x0
1)
2
0
1
,
( ) ,
2 1,
x x x
x
f x x x
a x
+ + + − ≠
= =
− =
; 2)
0
cos cos
,
( ) ,
2 1,
x x
x
f x x x
x x
−
≠
= =
− =
3)
3
0
2 9
,
( ) 2 6 ,
2 1,
x x
x
f x x x
a x
+ + − ≠
= − =
+ =
; 4)
3
0
2
,
( ) ,
3 ,
x x x
x
f x x x
x a x
− + −
≠
= − =
+ =
Bài 3: Tìm a, b hàm
2
2
,
6
( ) ,
3
,
a x
x x
f x x x
x x
b x = − −
= − ≠
− =
liên t c t i x = x =
Bài tốn 2: Xét tính liên t c c a hàm
2
( ), ( )
( ),
f x x x f x
f x x x > =
≤ t i i m x=x0 Ph ng pháp: 1) Tìm t p xác nh
2) Tính f x( )0 ,
0
lim ( )
x x f x +
→ xlim ( )x0 f x − →
3) So sánh k t lu n Bài 1: Xét tính liên t c t i x0 c a hàm f bi t:
1)
2
0
6, 3
( ) ,
2 ,
x x
x
f x x x
x x − −
>
= − =
≤
; 2)
0
1 , 1
( ) ,
2 1,
x
f x x x x x
x x
− >
= + − − =
(7)3)
2
0
3 2, 1
1
( ) ,
2,
x x
x x
f x x
x − +
≠ −
= =
=
; 4)
2
0
5
,
4
( ) 3, ,
2
,
1
x x
x x
f x x x
x x x
− + > −
= = =
− < −
Bài 2: Tìm giá tr c a tham s hàm sau liên t c t i x0
1) 0
1
,
( ) ,
4
2 ,
2
x x
x x
f x x
x
a x
x − − +
<
= =
− + >
+
; 2) 0
1 cos
,
sin2
( ) ,
,
1
x x
x x
f x x
x a x x
−
<
= =
+ ≥ +
3) 0
,
3
( ) ,3 5,
7 , 5
5
x x
f x ax b x x
x x
≤
= = < < = >
x0 =5
D ng 2: Xét tính liên t c c a hàm s m t kho ng
Ph ng pháp: 1) Tìm t p xác nh
2) Xét tính liên t c nh ng kho ng n 3) Xét tính liên t c t i biên
4) K t lu n Bài 1: Xét tính liên t c c a hàm sau
1)
3
2 3, 3
( ) 3
15,
x x x
x
f x x
x
+ + +
≠ −
= +
= −
; 2)
sin , 0
( )
1,
x x
f x x
x ≠ =
=
3)
sin , 0
( )
1,
x x x f x
x ≠ =
=
; 4)
1
sin ,
( )
0,
x x
f x x
x
≠ =
=
Bài 2: Tìm giá tr tham s hàm f liên t c D
1)
33 2 2
,
2
( ) ,
1
,
3
x
x x
f x D
ax x
+ − > −
= =
+ ≤
; 2)
2 ,
( ) 1, ,
2 , 1
2
b
ax x
x
f x x x x D
x
a bx x
x
+ >
= + + = =
−
− < −
3)
3
3
,
( ) 1 , [ 3; )
3,
x x
x
f x x D
ax x
+ − +
≠
= − = − +∞
+ =
; 4)
sin
3 ,
( ) 1 2cos 3,
tan ,
6
x
x
f x x D
a x π −
π ≠
= − =
π π
(8)D ng 3: Ch ng minh ph
ng trình f(x) = có nghi m
Ph ng pháp: 1) Tìm hai s a, b cho ( ) ( ) 0f a f b <
2) Ch ng minh f liên t c [a; b]
3) K t lu n: f(x) = có nghi m kho ng (a; b)
Bài 1: Ch ng minh r ng
1) 7 3 2 0
x + x − x + + =x có nghi m
2) 2 6 1 0
x − x+ = có ba nghi m phân bi t (- 2; 2)
3) x3−3x+ =1 0 có ba nghi m phân bi t
4) 10 100 0
x − x + = có nghi m phân bi t
Bài 2: Ch ng minh ph ng trình sau có nghi m v i m i m
1) sinx+ms in2x=0; 2) x4+mx2−2mx− =2 0; 3) (m2+m+1)x8+2x− =2
3) p x( −a x c)( − )+q x b x( − )( −d) 0= v i a≤ ≤ ≤b c d p q; , ∈
Bài 3: Cho hàm f liên t c [a; b] có mi n giá tr c ng [a; b] Ch ng minh r ng ph ng
trình f x( )=x có nghi m (a; b)
Bài 4: Cho hàm f liên t c [a; b] α β, hai s d ng b t k Ch ng minh r ng ph ng trình
( ) ( )
( ) f f
f x =α α + β β
α + β có nghi m [a; b]
Bài 5: Gi s hai hàm s f x( ) ( 1)
f x+ u liên t c [0; 1] f(0) = f(1) Ch ng minh r ng
ph ng trình ( )f x = ( 1)
2
f x+ có nghi m 0;1