Đang tải... (xem toàn văn)
TÝnh sè giao ®iÓm cña chóng...[r]
(1)Trờng thcs định liên
đề THI HSG toỏn 6 thi gian:120
Đề bài: Câu 1 : (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc
1 2
1
2
2
a a a
a a A
a Rót gän biĨu thøc
b Chứng minh a số nguyên giá trị biểu thức tìm đợc câu a) phân số tối giản
C©u 2: (1 điểm) Tìm tất số tự nhiên cã ch÷ sè abc cho n
abc
vµ ( 2)2
n
cba
Câu 3:a (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 số phơng
b (1 điểm) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố
hay hợp số
Câu 4: (2 điểm) a Cho a, b, n N* H·y so s¸nh
n b
n a
vµ
b a
b Cho A =
1 10
1 10
12 11
; B =
1 10
1 10
11 10
So sánh A B.
Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, , a10 Chøng minh r»ng
thế có số tổng số số liên tiếp dÃy chia hết cho 10
(2)đáp án đề THI HSG tốn 6 thời gian:120’
C©u 1: Ta cã: 2 2 3 a a a a a
A =
1 ) )( ( ) )( ( 2 2 a a a a a a a a a a
Điều kiện a ≠ -1 ( 0,25 điểm) Rút gọn cho 0,75 điểm
b.Gäi d lµ íc chung lín nhÊt cđa a2 + a a2+a +1 ( 0,25 điểm).
Vì a2 + a – = a(a+1) – lµ số lẻ nên d số lẻ
Mặt khác, = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ] d
Nªn d = tøc lµ a2 + a + vµ a2 + a nguyên tố ( 0, điểm)
Vậy biểu thức A phân số tối giản ( 0,25 điểm) Câu 2:
abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1)
cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + (2) (0,25 ®iĨm)
Tõ (1) vµ (2) 99(a-c) = n – 4n 99 (3) (0,25 điểm)
Mặt kh¸c: 100 n2-1 999 101 n2 1000 11 n31 39 4n –
119 (4) ( 0, 25 điẻm)
Tõ (3) vµ (4) 4n – = 99 n = 26 VËy: abc = 675 ( , 25 điểm)
Câu 3: (2 điểm)
a) Giả sử n2 + 2006 số phơng ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z)
a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 ®iĨm).
+ ThÊy : NÕu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mÃn (*) ( 0,25 điểm)
+ Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n)2 (a+n) nên vế trái chia
hết cho vế phải không chia hết không thỏa mÃn (*) (0,25 điểm)
Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phơng (0,25 điểm).
b) n lµ sè nguyên tố > nên không chia hết cho VËy n2 chia hÕt cho d 1
do n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.
VËy n2 + 2006 hợp số ( điểm).
Bài 4: Mỗi câu cho điểm
Ta xÐt trêng hỵp ba 1 ba 1 ba 1 (0,5 điểm) TH1: ba a=b bann th×
n b n a = b
a =1 (0 , v× ,5 ®iÓm). TH1: ba 1 a>b a+m > b+n
Mà bann có phần thừa so với lµ
n b b a b
a có phần thừa so với b
b
a , v×
n bab
<
b b
a nªn
n b
n a
<
b
a (0,25 ®iĨm)
TH3: ba <1 a<b a+n < b+n Khi ba nn
có phần bù tới
b b a , v×
b b a <
n bb
a b
nªn
n b n a
>
b
a (0,25 ®iĨm)
b) Cho A =
(3)rõ ràng A< nên theo a, nÕu ba <1 th× bann >
b
a A< 10
10 10 10 11 ) 10 (
11 ) 10 (
12 11 12
11
(0,5 điểm) Do A<
10 10
10 10
12 11
=
) 10 ( 10
) 10 ( 10
11 10
1 10
1 10
11 10
(0,5 điểm).
Vây A<B
Bài 5: Lập dÃy số Đặt B1 = a1
B2 = a1 + a2
B3 = a1 + a2 + a3
B10 = a1 + a2 + + a10
Nếu tồn Bi ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn đợc
chøng minh ( 0,25 ®iĨm)
Nếu không tồn Bi chia hết cho 10 ta lµm nh sau:
Ta đen Bi chia cho 10 đợc 10 số d ( số d { 1,2.3 9}) Theo nguyên tắc Di-ric- lê, phải có số d Các số Bm -Bn, chia hết cho 10 (
m>n) §PCM
Câu 6: Mỗi đờng thẳng cắt 2005 đờng thẳng lại tạo nên 2005 giao điểm
Mà có 2006 đờng thẳng có : 2005x 2006 giao điểm Nhng giao điểm đ-ợc tính lần số giao điểm thực tế là: