D¹ng bµi chøng minh chia hÕt sö dông ph ¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung... Gäi E lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo..[r]
(1)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Chuyên đề 1: số nguyên tố, hợp số
I Dạng tìm số nguyên tố
Bài tập.Tìm số nguyªn tè P cho: 1) P + 10; P + 14 số nguyên tố 2) P + 2; P + 6; P + cịng lµ sè nguyªn tè
3) P + 6; P + 8; P + 12 ; P + 14 cịng lµ sè nguyªn tè
4) P + 1; P + 3; P + ; P + ; P + 13; P + 15 số nguyên tố ( P không số nguyên tố ) 5) P ; P + 2; P + số nguyên tè
6) P ; P + 10; P + 20 số nguyên tố 7) P; P + 2; P + số nguyên tố 8) P ; P + 4; P + 12 còng số nguyên tố
9) P; P + 2; P + 6; P + 8; P + 12 ; P + 14 số nguyên tố 10) P; P + 2; P + 10 số nguyên tố
II Dạng ch ng minh số nguyên tè
Bµi tËp Cho P vµ P + số nguyên tố ( P > ) Chứng minh P + hợp số Bài tập Cho P 8P - số nguyên tố Chứng minh 8P + hợp số
Bµi tËp Cho P vµ 2P + số nguyên tố, 4P + số nguyên tố hay hợp số
Bài tËp NÕu P vµ 8P 2 + lµ số nguyên tố 8P 2- 1và 8P 2 + 2P + 1là số nguyên tố hay hợp sè
Bµi tËp Chøng minh r»ng nÕu 2n 1 số nguyên tố (n2)thì 2n hợp số
Bài tập Cho P số nguyên tố lớn biết P + số nguyên tố Chứng minh P + 16
Bài tập Chứng minh P số nguyên tố lớn P + số nguyên tố P ( P + ) 12 Bài tập Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4k 1
Bài tập Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 6k 1
III Dạng chứng minh số nguyên tố
Bµi tËp: Chøng minh r»ng víi mäi n N*
cặp số sau nguyên tố
1) n vµ n + 5) 2n +2 vµ 5n +
2) 2n + vµ 2n + 6) 2n + vµ 6n +
3) n vµ 2n + 7) 2n + vµ 4n +
4) 2n + vµ 3n + 8) 2n + vµ 2n +
HD
1) Gäi ( n ; n + ) = d, ta cã nd;n1d n1 nd 1d d 1 (n;n1)1 2) Gäi ( 2n + ; 2n + ) = d, ta cã 2n2d;2n3d 1d 2n3 (2n2)d
1 ) ; 2 (
1
d d n n
3) Gäi ( n ; 2n + ) = d, ta cã nd 2nd;2n1d 2n1 2nd 1d d1 (n;2n1)1 4) Gäi ( 2n +1 ;3n + ) = d, ta cã 2n1d 6n3d;3n1d 6n2d
1 ) ; ( 1
) (
6
n n d d d n n
Chuyên đề : chứng minh chia hết
I Dạng chứng minh chia hết
1) dcba4 (a2b)4 11) (3a2b)17 (10ab)17 2) N dcba8 (a2b4c)8 12) abb7 (a2b)7
3) N dcba16 (a2b4c8d)16, b ch½n. 13) abcd101 abcd
4) ab13 (a4b)13 14) (a 5b)17,CMR,(10ab)17 5) ab17 (3a2b)17 15) Chøng minh r»ng (3x5y)17th×
17 )
(x y điều ngợc lại có khơng x, y N
6) abcd29 (a3b9c27d)29 7) (2x3y)17 (9x5y)17 8) (11a2b)19 (18a5b)19 9) (a4b)13 (10ab)13
10) (abc37,CMR,bca,cab37
II Dạng Tìm số sử dụng dấu hiệu chia hết
Bài tập: Tìm x, y cho:
1) 135x4y45 9) 7xy963
(2)2) 1234xy72 10) 6x5y2;9
3) 34x5y36 11) 75xy45
4) 64x5y36 12) 31x4y2;5;4
5) 71x1y45 13) 17xy2;3chia cho d
6) 56x3y36
7) 135xy45
8) 47x5y28
III Dạng chứng minh chia hết sử dụng ph ơng pháp đặt nhân tử chung 1) 120a36b12 16) (76 75 74)11
2) 57 56 55 21
17) (817 279 913)45 3) 439 446 441 28
18) 109 108 107555
4) 52003 52002 52001 31
19) 333 35 3199113;31
5) 76 75 74 77
20) 119 118 117 1115
6) 1019 1018 1017 555
21) abba11
7) 2 22 23 260 3;7;15
22) (abc cba)99
8) 1 5 52 53 596 597 598 31
23) 5n74n62 n 9) 2 22 23 28 3
24) 8n16n5kh«ng chia hÕt cho víi mäi n 10) 5 52 53 58 6
11) 33233 3913
12) (1 7 72 73 7101)13
13) 52005 52004 5200331
14) 199293 9910
15) (810 89 88) 55
IV Dạng tìm số sử dông tÝnh chÊt chia hÕt
Bài tập 1.Một số chia cho d 6, chia cho d Hỏi số chia cho 56 d
Bài tập 2.Tìm dạng chung số tự nhiên n cho n chia cho 30 d 7, n chia cho 40 d 17 Bài tập Tìm số tự nhiªn nhá nhÊt cho chia cho 29 d 5, chia cho 31 d 28
Bài tập 4.Tìm số tự nhiên có bốn chữ số cho chia cho d 7, chia cho 125 d Bµi tËp 5.Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho d 1, chia cho d
Bµi tËp 6.Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 17 d 5, chia cho 19 d 12
Bµi tËp Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai ch÷ sè biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho vµ sè chia hÕt cho 25
Chuyên đề : chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp
Bµi tËp 1: Cho a + b + c = Chøng minh r»ng M = N = P víi:
.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ) Bài tập Chứng minh đẳng thức sau:
a) ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab;
b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x2 + (ab + bc + ca) x + abc.
Bµi tËp 3: Cho a + b + c = 2p
Chứng minh đẳng thức: 2bc + b2 + c2– a2 = 4p ( p – q )
Bµi tËp 4:
Cho biĨu thøc: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x2
TÝnh M theo a,b,c biÕt r»ng x =
a +
b +
c
Bµi tËp Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chøng minh r»ng: x =y = z
Bµi tËp Cho x + y = a + b, x2 + y2 = a2 + b2 Chøng minh r»ng: x3 + y3 = a3 + b3.
Bµi tËp Cho a + b = m, a – b = n ; TÝnh ab vµ a3 - b3 theo m vµ n.
Bµi tËp Cho x+ y = Tính giá trị biểu thức: A = x2 + 2xy + y2 -4x - 4y + 1.
Bµi tËp Cho a2 + b2 + c2 = m Tính giá trị biểu thức sau theo m:
A = ( 2a + 2b - c )2 + ( 2b + 2c - a )2 + ( 2c + 2a - b )2.
Bài tập10 Chứng minh đẳng thức sau:
a) ( a + b + c )2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 + ( c + a)2;
b) x4 + y4 + ( x + y )4 = ( x2 +_xy + y2 )2
(3)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Bài tập 11 Cho a2 - b2 = 4c Chứng minh đẳng thức ( 5a – 3b + 8c ) ( 5a – 3b – 8c ) = ( 3a – 5b )2
Bµi tËp 12 Chøng minh r»ng nÕu: ( a2 + b2) ( x2 + y2) = ( a x + by )2 Với x,y khác
x a
=
y b
Bµi tËp 13 Chøng minh r»ng nÕu: ( a2 + b2 + c2) ( x2 + y2 + z2) = ( a x + by + cz )2
Với x,y,z khác
x a
=
y b
=
z c
Bµi tËp 14 Cho ( a + b )2 = 2( a2 + b2 ) Chøng minh r»ng: a = b.
Bµi tËp 15 Chøng minh r»ng a = b = c nÕu cã điều kiện sau:
a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca; b) ( a + b + c )2 = ( a2 + b2 + c2 ); c) ( a + b + c )2 = (ab + bc + ca ).
Bài tập 16 Tính giá trÞ biĨu thøc: a4 + b4+ c4, biÕt r»ng a + b + c = vµ:
a) a2 + b2 + c2 = ; b) a2 + b2 + c2 =1.
Bµi tËp 17 Cho a + b + c = Chøng minh a4 + b4+ c4 biểu thức:
a)2 ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ); b) 2(ab + bc + ca )2; c)
2 ) (a2b2 c2
Bài tập 18.Chứng minh đẳng thức:
a)abc3 a3 b3 c3 3abbcca;
b) a3b3c3 3abcabca2 b2 c2 ab bc ca;
Bµi tËp 19 Cho a + b + c = chøng minh r»ng a3 b3 c3 3abc
Bµi tËp 20 Cho x + y = 0, x y = b tÝnh giá trị biểu thức sau theo a, b
a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 d) x5 + y5
Bµi tËp 21
a)Cho x + y = TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: x3 + y3 +3xy;
b)Cho x - y = Tính giá trị biểu thøc: x3 - y3 -3xy;
c)Cho x + y = vµ x2 + y2 = 10 TÝnh giá trị biểu thức: x3 + y3 ;
d) Cho x + y = a vµ x2 + y2 = b Tính giá trị biểu thức: x3 + y3 theo a, b.
Bµi tËp 22 Cho a + b = Tính giá trị cđa biĨu thøc: A = a3 + b3 +3ab(a2 + b2) + a2b2 (a + b)
Bµi tËp 23 Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: B= a3 + b3 + c(a2 + b2) - abc
Bµi tËp 24 Chøng minh r»ng ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nÕu:
) ( ) ( )
( 2
2 b c b c a c a b
a
Bµi tËp 25 Chøng minh r»ng nÕu a2 + b2 = 2ab th× a = b.
Bµi tËp 25 Chøng minh r»ng nÕu a2 + b2 = 2ab th× a = b.
Bµi tËp 26 Chøng minh r»ng nÕu a3 + b3 + c3 = 3abc vµ a, b, c lµ số dơng a = b = c.
Bµi tËp 27 Chøng minh r»ng nÕu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd vµ a, b, c, d số dơng a = b = c = d.
Bµi tËp 28 Chøng minh r»ng mabcthì (ambc)(bmac)(cmab)(ab)2(bc)2(ca)2 Bài tập 29 Cho 2 1
b
a , 2 1
d
c ,acbd 0, chøng minh r»ng: abcd 0 Bµi tËp 30 Cho biÕt x, y, z # 0, vµ 2 2 2 2
2
c b a z y x
cz by ax
.Chøng minh r»ng:
z c y b x a
Bµi tËp 31 Cho biÕt axbycz0 tÝnh 2 2 2
2
2 ( ) ( )
) (
cz by ax
y x ab x
z ca z y bc A
Bµi tËp 32 Cho biÕt abc0, a, b, c # TÝnh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a c
ca a
c b
bc c
b a
ab B
Bµi tËp 33 Cho biÕt 1112; 12 12 12 2 c b a c b
a Chøng minh r»ng: abcabc
Bµi tËp 34 Cho biÕt 0
c z b
y a x
vµ 2
z c y b x a
Tính giá trị biểu thøc: 2
2 2 2
z c y b x a
Bµi tËp 35 Cho (a b c)2 a2 b2 c2
vµ a, b, c # Chøng minh r»ng:
abc c
b a
3 1
3
3
Bµi tËp 36 Cho
b c c a a b a c c b b a
chứng minh ba số a, b, c tồn hai số Bài tập 37 Cho a, b, c khác đôi 1110
c b
a Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a)
ab c
ac b bc a M
2
1
1
2
2
;
(4)b) ab c ab ac b ca bc a bc M 2
2 2
2 ; c) ab c c ac b b bc a a M 2
2 2
2 2
Bài tập 38 Cho a, b, c số đôi khác
b a c a c b c b a
TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc: M = a c c b b a
Bµi tËp 39.Cho a.b c = 1, vµ
c b a c b
a 1 11.Chøng minh r»ng ba sè a,b,c tån t¹i mét sè b»ng Bµi tËp 40 Chøng minh r»ng nÕu xyzavµ
a z y x 1 1
tồn ba số x, y, z a
Bài tập 41 Các biểu thức xyzvµ
z y x 1
giá trị đợc hay khụng
Bài tập 42 Tính giá trị biểu thøc
2 2 z y x M
BiÕt r»ng: 2abycz,2baxcz,2caxby vµ abc0 Bµi tËp 43 a) cho a.b.c = Rót gän biĨu thøc:
2 2
2 c ac c b bc b a ab a M ;
b) cho a.b.c = Rót gän biĨu thøc:
1
1 c ac c b bc b a ab a N
Bµi tËp 44 Cho
c b b a c a
, a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # Chøng minh r»ng:
c c b b a a 1 1
Bµi tËp 45 Cho, a # 0, b # 0, c # Rót gän c¸c biÓu thøc sau: a) ab c ca b bc a A 2
b) 2 2 2
2 2 2 2 2 b a c c a c b b c b a a B
Bµi tËp 46 Tính giá trị biểu thức sau, biết abc0 A a c b c b a b a c b a c a c b c b a
Bµi tËp 47 Chøng minh r»ng nÕu (a2 bc)(b abc) (b2 ac)(a abc)
số a, b, c a b khác
thì c b a c b
a 1 11
Bµi tËp 48 Cho 0, 0, 0
z c y b x a z y x c b
a Chøng minh r»ng: 2 0
bx cx
ax
Bµi tËp 49 Cho
x xz z
yz y
xy 1 1
Chøng minh r»ng: x = y = z x2y2z2 = 1.
Bài tËp 50 Cho
a b
c a c b c b a
Chøng minh r»ng:
2 b a c a c b c b a
Bµi tËp 51 Cho
a b
c a c b c b a
Chøng minh r»ng:
) ( ) ( )
( 2 2 2 b a c a c b c b a
Bµi tËp 52 Cho a x
x1 Tính giá trị biểu thức sau theo a: a) 12
x
x ; b) 13
x
x ; c) 14
x
x ; d) 15
x
x
Bài tập 53 Cho a, b, c thoả m·n a, b, c # 0, vµ abbcca0 TÝnh
abc a c c b b a
P( )( )( ) Bµi tËp 54 Cho a, b, c thoả mÃn (ab)(bc)(ca) #
b a c a c b c b a a c c c b b b a a 2 2 2
(5)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Chøng minh r»ng: a = b = c
Bµi tËp 55 Cho x, y, z # 0, vµ xyzxyz vµ 1 1
z y
x
Tính giá trị biểu thức: 12 12 12
z y x
P
Bµi tËp 56.Rót gän biĨu thøc
a)
) )( (
1 )
)( (
1 )
)( (
1
b c a c c b a b c a b a A
b)
) )( (
1 )
)( (
1 )
)( (
1
b c a c c c b a b b c a b a a B
c)
) )( ( ) )( ( ) )(
( c a c b
ab c
b a b
ac c
a b a
bc C
d)
) )( ( ) )( ( ) )( (
2
2
b c a c
c c
b a b
b c
a b a
a D
Chuyên đề : Bất đẳng thức
I - Định nghĩa: Cho hai số: a, b ta nãi : sè a lín h¬n sè b, ký hiƯu lµ: a > b nÕu a - b > số a nhỏ số b, ký hiệu là: a < b nÕu a - b <
II - TÝnh chÊt:
1) a > b b < a
2) a < b, b < c a < c (tính chất bắc cầu) 3) a < b a + c < b + c (tính chất đơn điệu)
4) a < b, c < d a + c < b +d (Cộng hai vế Bất đẳng thức chiều ta đợc Bất đẳng thức chiều với chúng)
5) a < b, c > d a - c < b - d (trừ hai Bất đẳng thức ngựoc chiều ta đợc Bất đẳng thức có chiều chiều Bất đẳng thức bị trừ)
6) Nhân hai vế Bất đẳng thức a < b với số m a<b
0 , . .
0 , . .
m m b m a
m m b m a
7) Nhân hai vế hai Bất đẳng thức không âm chiều ta đợc Bất đẳng thức chiều: <a<b, 0<c<d a.c<b.d
8) a> b >0 an> b n; 0>a>b an+1>b2n+1 an<b2n
9) so sánh hai luỹ thõa cïng c¬ sè: m>n>0; a>1 am > an; am < an víi < a <1
10) Ngịch đảo hai vế Bất đẳng thức ta đợc Bất đẳng thức đổi chiều: a b
b a
1
Các tính chất chứng minh nhờ định nghĩa tính chất trớc
III - Một số Bất đẳng thức cân nhớ:
1) A 2k0 víi mäi A, DÊu"=" x¶y A=0
2) A 0,A DÊu "=" x¶y A=0.
3) A AA
4) AB A B DÊu "=" x¶y A.B0
5) A B A B DÊu "=" x¶y A.B0 vµ A B Chó ý:
- Ngồi Bất đẳng thức số Bất đẳng thức khác mang tính tổng quát nên giải tập cần ý
(6)c- phơng pháp chứng minh Bất đẳng thức I -Ph ơng pháp 1: phơng pháp dùng định nghĩa:
Để chứng minh Bất đẳng thức A>B ta chứng minh Bất đẳng thức A-B >0 Bài 1- Chứng minh Bất đẳng thức a2+b2
ab
Gi¶i
XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+
4 b2
-2
2 ab)+
b2=( a-
2
b)2+
4
b2
0 với a, b ( a-2
1
b)20;
4
b20 DÊu "=" x¶y (a-
2
b)2=
4
b2=0 suy a = b = 0
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
Chøng minh t¬ng tù cho Bµi a2+b2
ab
Ta cã thĨ chứng minh cho Bài toán tổng quát: (an)2+(bn)2an.bn
Bµi - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0<a b c chøng minh r»ng:
b c c a a b a c c b b a
Gi¶i
XÐt hiÖu: (a2c ab2 bc2 b2c ba2 ac2)
abc b c c a a b a c c b b a
)] (
) (
) [(
1 a2c b2c b2a a2b c2b ac2
abc
=
abc
1
[c(a-b)(a+b)-ab(a-b)-c2(a-b)]=
abc
1
(a-b)[c(a+b)-ab-c2]
=
abc
1
(a-b)(b-c)(c-a)0 (do 0<a b c ) Dấu "=" xảy a=b b=c a=c Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
Bµi 3: Cho a b c vµ x y z h·y chøng minh r»ng:
2
by ax y x b
a
Gi¶i
XÐt hiÖu:
2
by ax y x b
a
=
(ax+ay+by+bx-2ax-2by) =
4
[(ay-ax)+(bx-by)]=
(x-y)(b-a) ( x y vµ a b ) Dấu "=" xảy x=y a=b
Vậy Bất đẳng thức thực đợc chứng minh Chứng minh tơng tự ta đợc Bất đẳng thức:
3
cz by ax z y x c b
a
Bạn đọc tổng quát tốn
Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e số thực chứng minh rằng:
a2+b2+c2+d2+e2 a(b+c+d +e)
Gi¶i
XÐt hiƯu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae
=
( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae)
=
[(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)]
=
[(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] 0
Do (a+2b)2 vµ (a+2c)2 vµ (a+2d)20 vµ (a+2e )20
DÊu "=" x¶y b = c = d = e =
a Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
(7)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Vậy Bất đẳng thức đợc chứng minh
4- Bài tập áp dụng:
Hóy chng minh cỏc Bất đẳng thức sau: 1/ 4.x2+y 2 4xy
2/ x2+y2 +1 xy +x+y
3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7)
4(x11+y11) 4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995)
(x+y+z):3 5/ (a3+b3+c3)
(a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0 6/ Cho số dơng a,b,c chøng minh r»ng: a/
c b a abc
c b
a 1
) (
8 8
b/ abc
a b c c
a b b
c a b
a c a
c b c
b a
6
3 3 3
II - Ph ơng pháp 2: Dùng tính chất Bất đẳng thức để biến đổi tơng đơng:
Bµi 1: Chøng minh r»ng: x2+2y2+2z2 2xy +2yz+2z-1 (*)
Gi¶i
(*) x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 0
(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1)
(x-y)2+(y-z)2+(z-1)2
0 Bất đẳng thức cuối với x,y,z Dấu "=" xảy x=y=z=1
Vậy Bất đẳng thức dã cho đợc chứng minh
Bài 2: Chứng minh Bất đẳng thức: (a10+b10) (a2+b2)
(a8+b8) (a4+b4)
Gi¶i
(a10+b10) (a2+b2)
(a8+b8) (a4+b4) (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4)
0 a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 0
( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 0
a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) 0
a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) 0
a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) với a, b
DÊu "=" x¶y a2=b2 a=b a=-b a=0 b=0
Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh
*Nhận xét: Từ kết qủa toán ta có toán tơng tự:
Cho 0a b Chứng minh Bất đẳng thức: (a5+b5) (a+b) (a2+b2) (a4+b4)
Bài 3: Chứng minh Bất đẳng thức a) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) -
b) Cho a c vµ b c chøng minh : c(a c) + c(b c) ab
Gi¶i
a) Nhận xét: Ta thấy 3+4=1+6 nên ta nhân (x-1)( x-6) vµ (x-3)(x-4 )
(x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) - (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9
(x2-7x +6)(x2-7x+12)+9 (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 (x2-7x +9)2 0
Bất đẳng thức cuối với giá trị x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) -
DÊu "=" x¶y x2-7x +9 =0 x=
13 7
b ) c(a c) + c(b c) ab ( c(a c) + c(b c) )2 ( ab )2
c(a-c)+c(b-c) +2 c(a c) c(b c) ab
c2 +2c (a c) (b c) +(a-c)(b-c) 0 ( c- (a c) (b c))2
Bất đẳng thức cuối với giá trị a,b,c thoả mãn điều kiện đề )
(a c
c + c(b c) ab víi a c vµ b c
(8)Bài 4: Chứng minh Bất đẳng thức:
ab
3 +
cb
3 +
ac
3
(
b a
1 +
b c
1 +
c a
1
)2 biÕt a,b,c >0
Gi¶i
Ta cã
ab
1 +
cb
1 +
ac
1 =
abc c b
a )
(
Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a) 8abc =>
ab
1 +
cb
1 +
ac
1
(a 8b.()(ab bc)(cc) a)
Hay
ab
1 +
cb
1 +
ac
1
4(a (ab) b)(4(bb cc)()c 4(ac) a)
2(
ab
1 +
cb
1 +
ac
1
) (a c)(8b c)
+( )( )
8
c a b
a +( )( )
8
c b b
a (1)
Trong (1) DÊu "=" x¶y a=b=c Mặt khác ta có (a+b)2
4ab
ab
1
( )2
4
b
a t¬ng tù ta cã cb
1
( )2
4
b
c vµ ac
1
( )2
4
c
a suy ab
1 +
cb
1 +
ac
1
( )2
4
b
a + ( )2
4
b c +
) (
4
c a (2)
Trong (2) Dấu "=" xảy a=b=c Từ (1) (2) Ta cã
ab
3 +
cb
3 +
ac
3
(
b a
1 +
b c
1 +
c a
1 )2
DÊu "=" x¶y a=b=c
Nhận xét: Để chứng minh Bất đẳng thức nhiều ta biến đổi từ Bất đẳng thức có dạng tơng tự nh Bất đẳng thức cần chứng minh Sau ví dụ kiểu nh
Bài 5: Cho < a ,b, c abc =1 chứng minh Bất đẳng thức sau:
1
3
b
a +
1
3
b
c +
1
3
c
a
Gi¶i
Do a b c => (a-b)2(a+b) 0 DÊu "=" x¶y a=b (a-b)(a+b)(a-b)0
(a2-b2)(a-b) a3-a 2b-ab2+b3 a3 +b3 a 2b+ab2 a3 +b3 +1
a 2b+ab2+abc a3 +b3 +1(a+b+c)ab
1
3
b
a ( )
1
c b a
ab =(a b c)
c
(do abc= => ab c
1 ) suy
1
3
b
a (a b c)
c
T¬ng tù ta cã
1
3
b
c (a b c)
a
Dấu "=" xảy b=c
1
3
c
a (a b c)
b
Dấu "=" xảy a=c Cộng vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc:
1
3
b
a +
1
3
b
c +
1
3 3c
a
DÊu "=" x¶y a=b=c =1 - Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho 0 x,y,z 1 chøng minh: A) x+y+z -xy-yz-zx 1 B) x2+y2+z2 1+x 2 y +y2 z +z2 x
C) 1
yz x
+
xz
y
+ 1
yx z
Bài 2: Cho a, b,c độ dài ba cạnh tam giác, có chu vi Chứng minh rằng: a2+b2+c2+2abc < 2
Bµi 3: Chøng minh víi mäi x, y > ta cã: x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2
Bµi 4: Cho a, b ,c lµ ba sè tuú ý thuéc ®o¹n [0,1] Chøng minh:
(9)Các Chuyên đề BDHS giỏi
1- a2+b2+c2 1+ a2b +b2 c +c2 a
2- 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a)
3-1 bc a + 1 ac b ba c
III - Ph ơng pháp 3: Dùng tính chất cđa tØ sè
KiÕn thøc cÇn vËn dơng:
- Víi ba sè d¬ng a,b.c
NÕu
b a
Th×
b a c b c a
DÊu "=" x¶y a=b NÕu
b a
Th×
b a c b c a
DÊu "=" x¶y a=b NÕu b, d >0 vµ
b a d c b a d b c a d c
DÊu "=" x¶y ad=bc
1- Bµi tËp mÉu:
Bµi 1: Cho a,b, c số đo ba cạnh tam giác:Chứng minh r»ng:1<
c b
a
+a c b
+b a c <2
Giải
Do a, b, c ba cạnh tam giác nên ta có: a, b, c >0 vµ a+b > c; b+c > a; c+a >b Tõ a+b > c
b a
c
< a b c
< a b c c c = c b a c b a c
<a b c c
2 Chøng minh t¬ng tù ta cã:
c a
b
<a b c b vµ b c a
<a b c a
2 Cộng vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc
c b
a
+a c b
+b a c
<a b c a + c b a b + c b a c = - Ta cã
c b
a
+a c b
+b a c
>a b c a
+a b c b
+a b c c
=1 Do a, b, c d¬ng
VËy 1<
c b
a
+a c b
+b a c
< (®pcm)
Nhận xét: ta sử dụng tính chất:
- Víi ba sè d¬ng a,b,c
NÕu
b a
Th×
b a c b c a
DÊu "=" x¶y a=b Bµi 3:
Cho a>0 ,b>0 chøng minh r»ng: ( a a + b b ) < b a b a < a a + b b Gi¶i
Ta chøng minh ( a a + b b ) < b a b a
Do a > ta cã
a
a
<
1 a a < b a b a
T¬ng tù ta cã: b b < b a b a
Cộng vế với vế hai Bất đẳng thức cuối ta đợc: ( a a + b b
) <
1 b a b a ( a a + b b ) < b a b a (1) *) Ta chøng minh
1 b a b a < a a + b b
Do a, b d¬ng ta cã a a > b a a vµ b b > b a a
Cộng vế với vế hai Bất đẳng thức ta đợc:
1 b a b a < a a + b b (2)
(10)Từ (1) Và ( 2) Ta đợc:
(
a
a
+
b
b
) <
1
b a
b a
<
a
a
+
b
b
2- Bµi tập áp dụng:
Bài 1: Chứng minh
<
2005
7
2004
<2005
2004
Bài 2: Cho a, b số dơng tho¶ m·n ab =1 chøng minh r»ng:
2
1
a +2
1
b < a b b a
1 < 1
a +
1
b IV - Ph ơng pháp Phơng pháp phản chứng
1- Nội dung phơng pháp
Để chứng minh A B ta giả sử phản chứng A<B điều vô lý với giả thiết Bất đẳng thức từ khẳng định A B
Bài 1: Cho 0<a,b,c <1 chứng minh có Bất đẳng thức sau sai: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25
Gi¶i
Giả sử ba Bất đẳng thức a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 (1)
Mặt khác ta có
a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2 a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 0,25
a(1-a) 0.25 Tơng tự ta có b(1-b) 0,25 c(1-c) 0,25 Nhân vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc:
a(1-b) b (1-c) c(1-a) <0,25 (2) ta nhËn thÊy (1) mâu thuẫn với (2) điều giả sử sai
suy ra: Bất đẳng thức sau: a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 có Bất đẳng thức sai
Bµi 2: Cho số thực a,b,c thoả mÃn điều kiện
0
0 0
abc
ca bc ab
c b a
H·y chøng minh r»ng: a,b,c > (*)
Giải: Giả sử (*) khơng có số a,b,c phải Khơng tình tổng quát giả sử a 0 abc >0 bc <0
XÐt trêng hỵp a 0 b>0 c<0 a+c<0
tõ gØa thiÕt ta cã b >-a-c b(a+c) < -(a+c)2 ac + b(a+c) < ac-(a+c)2
ac + b(a+c) < -(-ac+a2+c2) ac +ba +bc < -(a-0.5c)2- 0.75c2
Trái giả thiết ab +bc +ca >0
Tng tự đồi với trờng hợp A b<0 ,c>0 ta điều vơ lí Vậy (*) đợc chứng minh
Bài 4: Chứng minh rằng: Tổng phân số dơng với nghịch đảo khơng nhỏ
Gi¶i:
Gi¶ sư ph¶n chøng
b a
>0 ta cã
b a
+
a b
<
b a
+
a b
- <0
ba ab b
a2 2
<0
ab b a )2
(
< Điêù vô lý
b a
+
a b
Vậy Tổng phân số dơng với nghịch đảo ca nú khụng nh hn
4-Bài Tập áp dông:
Bài1 Cho ba số dơng nhỏ a,b,c: chứng minh Bất đẳng thức sau sai: a(2-b)>1; b(2-c) >1; c(2-a)>1
(11)Các Chuyên đề BDHS giỏi
c2> a: d2 > b
V- Ph ơng pháp 5: Phơng pháp quy nạp;
1) Nội dung phơng pháp;
Cú rt nhiu Bất đẳng thức mà cách chứng minh thơng thờng khơng thể chứng minh đợc Thờng Bất đẳng thức có dạng dãy số Bất đẳng thức tổng quát Thông thờng để chứng minh Bất đẳng thức kiểu nh ta dùng phơng pháp quy nạp
Để chứng minh Bất đẳng thức với n ,bằng phơng quy nạp chứng ta thực bớc sau;
Bớc Kiểm tra xem Bất đẳng thức với n0 đo ( thông thờng ta chọn n0 =0
hc 1)
Bớc Giả sử Bất đẳng thức với k
Bớc ta chứng minh Bất đẳng thức với k+1 Bớc Kết luận Bất đẳng thức với
Bài 1: cho tan giác vuông a,b độ dài ba cạnh góc vng, c độ dài cậnh huyền tam giác chứng minh rằng: b2n+a2n c2n
Gi¶i:
+ Với 1 theo định lí Pithago ta có b2+a2 = c2 Bất đẳng thức
+ Giả sử Bất đẳng thức với k tức b2k+a2k c2k
+ Ta chứng minh Bất đẳng thức với n = k+1 hay: b2(k+1)+a2(k+1) c2(k+1)
ThËt vËy: Ta cã c2(k+1) = c2k+2=c2k c2
(a2k+b2k)(a2+b2) =a2k+2 + a2k b2 +b2ka2 +b2k+2 a2k+2 + b2k+2 b2(k+1)+a2(k+1)
c2(k+1) (®fcm)
Vậy cho tan giác vng a,b độ dài ba cạnh góc vng, c độ dài cậnh huyền tam giác ta có; b2n+a2n
c2n
VI-Ph ơng pháp 6 Dùng Bất đẳng thức tam giác:
C¸c kiÕn thøc cÇn vËn dơng:
NÕu a, b, c ba cạnh tam giác ta có
-a, b, c >0
-|a-c| < b <a+c ; |b-c| < a <b+c vµ |c-a| < b < a+c -Mét sè quan hƯ kh¸c tam gi¸c:
Bài 1: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác chứng minh (a+b+c)2 9bc Biết a b c
Gi¶i:
Ta cã a+b+c 2b+c a b Ta ®i chøng minh (2b+c)2 9bc (1)
(1) 4b2 + bc + c2
9bc 4b2 - bc + c2
4b2 -4bc -bc+ c2
4b(b-c) -c(b-c) ( b-c)(4b-c) (2)
ta thấy b c b-c 4b-c a+b-c +2b (2) Vậy Bất đẳng thức ban đầu đợc chứng minh
Bài 2: cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2 +b2 +c2 < (ab+bc+ca)
Gi¶i:
Do a,b ,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:
0<a<b+c a2< ab + ac t¬ng tù ta cã b2 < ba+bc vµ c2 < ca +cb
Cộng vế với vế ba Bất đẳng thức cuối ta đợc: a2 + b2 +c2 < (ab+bc+ca) (Đfcm)
Bài 3: Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3
Gi¶i:
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 - a3 - b3 - c3 > 0
a[(b-c)2 - a 2] + b[(c-a)2 - b2] + c[(a-b)2 -c2] > 0
a(b-c-a)(b-c+a) + b9(c-a-c)(c-a+b) +c(a-b-c)(a-b+c) > ( a+b-c)( ab-ac-a2 -bc-b2+ab+ac+bc+c2) >0
(a+b-c)(c2 - a2- b2+2ab) > 0
(a+b-c)(c-a+b)(c+a-b) >
(12)do a,b ,c độ dài ba cạnh ram giác Vậy a,c,b độ dài ba cạnh tam giác ta có:
a(b-c)2+ b(c-a)2 c(a-b )2 > a3 + b3 +c3
1- Bµi tËp ¸p dông:
Bài Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(+-a) +c2(a+b ) >2abc + a3 + b3 +c3
Bài Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2(b+c)+ b2(c+a) +c2(a+b ) < 3abc + a3 + b3 +c3
bai3 Cho a,c,b độ dài ba cạnh tam giác chứng minh rằng: 2a2 b2+2b2 c2 + 2a2 c2-a4 -b4 -c4 > 0
VII - Ph ơng pháp 7: Phơng pháp làm trội:
Nội dung phơng pháp:
Dùng tính chất Bất đẳng thức để đa vế Bất đẳng thức dạng tính đợc tổng hữu hạn tích hữu hạn tức biến
Bài Chứng minh n tự nhiên ta cã 1.23..45..67. (8 (2n2n)1) <
1
1
n
Gi¶i:
ta cã (2(n2n)1) = 2
2
) (
) (
n n
1 ) (
) (
2 n n
=
1
1
n n
Lần lợt thay n= 1,2,3,… nhân vế với vế Bất đẳng thức ta đợc: )
2 (
) (
n n
<
1
1
n (Đfcm)
Bài Chøng minh r»ng:
2 1
n
+ 2
) (
1
n +… + ( )2
1
k n
<
n n kn 1
Gi¶i:
Tríc tiên ta chứng minh Với ba số x,y,z thoả mÃn x+y+z =0 ta cã:
2 2
1 1
z y
x = x y z
1 1
* ThËt vËy:
XÐt ( 1x 1y 1z )2 =
2
1
x +
1
y +
1
z +2( xy
1
+
xz
1
+ zy1 )
= 12
x +
1
y +
1
z +2( xy
z y
x
)= 12
x +
1
y +
1
z 2
1 1
z y
x = x y z
1 1
¸p dơng * víi x=1, y=n, z= -(n+1) Ta cã
2 1
n
< 2 2
) (
1
1
n
n =1+n
1
-1
n
2 1
n
+ 2
) (
1
n +… + ( )2
1
k n
<1+
n
1
-1
n +1 +
1
n -
1
n +… +1 +nk
1
-1
k
n =k+1+ n
1
-1
k
n < k+1+n
1 =
n n kn 1 - Bài tập áp dụng:
(13)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Bµi Chøng minh r»ng: a) 10
1 +
11
+….+
100
>1 Tỉng qu¸t b)
n
1 +
1
n +….+
1
n >1 n nguyªn dơng
Bài Cho n số tự nhiên chøng minh r»ng:
.a)
) ( (
1
3
1
1
n
n ; b) 1+ n n
1
1
1
2
2
Bµi 3: Chøng minh víi mäi sè tù nhiªn n>1 ta cã:
4 1
n n n
n
VIII- Ph ơng pháp 8: Phơng pháp sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Bất đẳng thức Bunhiacopxky
1 - KiÕn thøc c¬ b¶n
- Bất đẳng thức Cauchy cho hai số a, b 0: ab
b a
2 DÊu "=" x¶y a=b
- Bất đẳng thức cauchy cho n số không âm a1, a2, …, an
n a a
a1 n
a1.a2 an DÊu "=" xảy a1 =a2 = = an
Bài Cho a,b chøng minh r»ng 3a3+72 b3 18 ab2
Gi¶i:
Do a, b 0 3a3, 9b3, 8b3 0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số 3a3, 9b3, 8b3
Ta đợc 3a3+ 9b3+8b3
33 3a39b38b3 = 18ab2
DÊu "=" x¶y 3a3= 9b3= 8b3 a=b=0
Bµi 3: Cho a>b >0 Chøng minh r»ng a + b(a1 b) 3
Gi¶i
Ta thÊy a = b +( a-b ) a>b a-b >0
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm b, a-b, b(a1 b)
ta đợc: a + b(a1 b)
=b+(a-b) + ( )
b a
b 3 b(a-b)
1 b)
-b(a =3
VËy a>b >0 ta cã a + b(a1 b)
3 DÊu "=" x¶y b=a-b= ( )
b a
b
b= 0,5 a = b(a1 b)
a=2 b=1 Bài tập áp dụng:
Bài 1: Cho a,b,c >0 vµ a+b+c =1
Chøng minh (1+a-1)(1+b-1)(1+c-1) 64
Bµi 2: Cho a,b,e,c,d >0 vµ a+b+c +d+ e=1
Chøng minh (-1+a-1)(-1+b-1)(-1+c-1)(-1+d-1)(-1+e-1) 1024
Bài 3: Ch a,b,c Là độ dài ba cạnh tam giác
(14)Chøng minh r»ng: 8
1
a c
a c c b
c b b a
b a
Bài 4: Cho hình thang ABCD có AB//CD có diện tích S Gọi E giao điểm hai đờng chéo Chứng minh SABE 0,25
Dùng Bất đẳng thức Bunhiacopxky
Bài Cho ba số x,y,z thoả mÃn: x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)
Chøng minh r»ng x+y+z
Gi¶i:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky cho số 1, 1, 1, x, y, z ta đợc: (x+y+z)2
(1+1+1) (x2+y2+z2) =3(x2+y2+z2) (1) ta cã x(x-1)+y(y-1)+z(z-1)
4
(x2+y2+z2)-(x+y+z)
(2) Tõ (1) vµ (2) Ta cã
3
(x+y+z)2-(x+y+z)
4
Đặt S = x+y+z ta cã
1 S2-S
(S+1)(S-4) = -1 S 4 VËy x+y+z DÊu "=" x¶y x=y=z =
3
Bµi Chøng minh phơng trình:
x4 + ax3 + bx2 + ax +1=0 cã nghiƯm th× a2+ (b-2)2 >3
Giả sử x= t nghiệm phơng trình ta có: t# không nghiệm phơng trình t4 + at3 + bt2 + at +1 =0 t2 +
2
1
t +a(t+ t
1
) +b = (1) Đặt T = (t+
t
1
) T2 = t2 +
1
t +2 t
2 +
1
t
khi (1) Trở thành T2+aT +b -2=0 T2=-(aT +b -2)
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta có: T4 =(aT +b -2)2
[a2 + (b-2)2] (T2 +1) a2 + (b-2)2
1
2
T
T =T2-1+
1
2
T > 4-1 =3
VËy a2 + (b-2)2 > (đfcm)
Bài Tập ¸p dông:
c- Cho a,b,c Kh¸c chøng minh r»ng:
a c c b b a a c c b b a
2
2 2 2
IX - Phơng pháp 9: Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 1- Kiến thức cần vận dụng:
- Định lý vỊ dÊu cđa tam thøc bËc hai:
Cho tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c )
a)NÕu = b2-4ac <0 th× a.f(x) >0 x R x
a) NÕu =0 Th× a.f(x) , x R x DÊu "=" x¶y x=-b:2a b) NÕu th× f(x) cã nghiƯm x1, x2 ta cã
x x1 x2
af(x) +
NÕu tam thøc bËc hai f(x) =ax2 +bx +c (a kh¸c )
tån tai sè t cho a.f(t) < f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 < t < x2
(15)Các Chuyên đề BDHS giỏi
- NÕu tån t¹i t,k ch f(t)f(k) < th× f(x) cã hai nghiƯm x1, x2 hai số t,k có
môt sè n»m vµ mét sè n»m ngoµi hai nghiƯm 2- Bài tập mẫu:
a- Dạng thứ nhất:
§Ĩ chøng minh ax2 + bx+ c 0 ta chứng minh a >0
0 Bµi 1: a Chøng minh r»ng: x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3
b) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e )
Gi¶i:
a) Ta cã x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy30
Biển đổi tơng đơng ta đợc:
x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy30 (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 0
Ta thấy (y2+1)2 x2+ 4y (1-y2).x +4y2 là tam thức bạc hai biến x
“a”= (y2+1)2 >0 XÐt ’ =[2 (1-y2)]2-(y2+1)2.4y2= -16 y2 y
x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3 x,y
x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 - 4xy3
VËy x2 y4 +2(x2+2)y2+4xy +x2 4xy3
b ) a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e )
a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e )
Ta coi a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e ) tam thức bậc hai biến a Ta có
“a”=1 > =(b + c + d + e )2 -4 (b2 + c2 + d2 + e 2) áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxky ta đợc:
(1+1+1+1)(b2 + c2 + d2 + e 2) - (b2 + c2 + d2 + e 2) =0 b,c,d,e
a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 - a (b + c + d + e )
a, b,c,d,e VËy: a2 + b2 + c2 + d2 + e 2 a (b + c + d + e )
DÊu "=" x¶y b = c = d = e , a=(b+c+d+e):2
b- Dạng thứ hai: Để chứng minh b2-4ac = ta chøng minh a.f(x) 0
Trong f(x) =ax2 +bx +c (a khác )
Bµi 2: Cho -1 ,= x 0,5; vµ
3
5
y Chøng minh r»ng x2 +3xy +1 >0
Giải:
Đặt f(x) = x2 +3xy +1 ta cã
= 9y2 - = (3y-2)(3y+2) <
3
2
y
3
4
y
Theo bµi ta cã:
3
5
y < x2 +3xy +1 >0
Bµi 3: Cho số thực x,y,z thoả mÃn điều kiện: x+y+z=xyz vµ x2 =xy
Chøng minh r»ng x2 3
Giải:
Theo ta cã x+y+z=xyz vµ x2 =xy x+y+z = x3 y+z =x(x2 -1)
Vµ yz =x2 y,z nghiệm phơng trình t2 +(x-x3) t + x2 =0 (1)
XÐt =(x-x3)2-4x2 =x2[(x2-1)2-4] (1) cã nghiÖm (x2-1)2-4 0
(x2+1)(x2-3)
(x2+1) x2
X- Ph ¬ng pháp 10: Phơng Pháp hình học
1- Kiến thứ c cÇn vËn dơng:
- Bất đẳng thức tam giác:
- Víi ba ®iĨm bÊt kú A,B,C ta lu«n cã AB +BC CA
DÊu "=" xảy B năm A C
- Tổng quát: Cho n điểm bất khì A1,A2 ,….,An ta lu«n cã
A1A2+A2A3+…+ An-1 An A1An
DÊu "=" x¶y x¶y Ai i=1,2,.,n-1 liên tiếp nằm A1 ,An
2- Bµi tËp mÉu:
Bµi 1: Chøng minh r»ng a,b ta cã ( )2 ( 3)2
a b b
a
Gi¶i
(16)Trên mặt phẳng toạ độ lấy điểm: A(0;-1) B(a;1 ), C(b,2) D(3,3) Khi ta có: AB= 4, ( )2 1, ( 3)2
BC a b CD b
a ,
AD= (3 0)2 (3 1)2
=5 mµ ta lu«n cã AB+BC+CD AD
VËy ( )2 ( 3)2
a b b
a
Dấu "=" xảy B,C,D thẳng hàng theo thứ tự
Bµi 2: Cho < a,b,c chøng minh a+b+c 1+ab +bc +ca
Gi¶i:
Xét tam giác ABC Gọi M, N, P lần lợt
điểm AB,AC,BC cho AM=a BP =b CN =c Khi diện tích tam giác AMN
S AMN = 0,5 AM.AN.sin A = 0,5 a (1-b) sin 60o =
3 a(1-c)
T¬ng tù ta cã SBMP=
3 b(1-a) vµ S CNP =
4
3 c(1-b)
Mặt khác ta có SAMN+S BMP +SCNP S =0,5.AB AC Sin 60o=
3
4
3 a(1-c)+
3 b(1-a)+
3 c(1-b)
4
a (1-c)+ b (1-a)+ c (1-b) a+b+c 1+ab +bc +ca
d- Một số ứng dụng Bất đẳng thức
I Giải ph ơng trình: Dùng bất đẳng thc 1-
Phơng pháp giải: Để Giải phơng trình A(x) = B(x)
Cỏch 1: Ta bin đổi phơng trình dạng g(x) = h(x) mà g(x)a ; h(x)a; (a số) Nghiệm phơng trình giá trị thoả mãn đồng thời: g(x) = a; h(x)=a
Cách 2: Ta biến đổi phơng trình dạng h(x) = m; (m số) Mà h(x) m m h(x) nghiệm phơng trình giá trị x làm Du ''='' xy
Bài 1: Giải phơng trình:
7
x
x + 10 14
x
x = - 2x -x2
NhËn xÐt: Thông thờng giải dạng tập có thức ta thờng làm thức cách sử dụng công thức n a n a
đa a2k ak Đối với toán häc sinh
có thể tìm điều kiện bình phơng hai vế Với cách làm phơng trình cho tơng đơng với phơng trình bậc cao khơng giải đợc Vì nên ta tìm cách giải khác:
Ta thÊy VP= - 2x -x2
=5- 12
x V× - 12
x
DÊu ''='' x¶y x = -1
Từ nghĩ đến việc đánh giá vế trái:
Ta cã: 3x26x7 = 3(x1)24 2 DÊu ''='' x¶y x=-1.
210 14
x
x 5( 1)2
x DÊu ''='' x¶y x=-1 Suy VT DÊu ''='' x¶y x=-1; VT=5 VP
DÊu ''='' x¶y x= -1
Vậy nghiệm phơng trình x= -1
Bài 2: Giải phơng trình:
2
x + 11
x x x
(17)Các Chuyên đề BDHS giỏi
TXD: 42
4 2 04 02
x x x x x
Ta thÊy VP= 32 2
x 32
x
DÊu ''='' x¶y x= 3.(*)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho vế trái ta có: VT = (1 x 2+ 4 x) 11x 24 x 2
DÊu ''=''x¶y x= (**) Tõ (*) vµ (**) suy
Nghiệm phơng trỡnh ó cho l: x=
Bài 3: Giải phơng trình:
2 5
5 ,
3 2
2
x x x x x
x
Gi¶i:
Ta cã:
2 1
4
1 1
2
2
x x
x
x x
x
NhËn thÊy VT:
2
5
2
, 3
2
2
x x x x x
x
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta đợc:
5
) 2 ( ,
3 2
2
x x x x x
x DÊu ''=''x¶y khi:
2 3
2
2
2 x x x x x
x
Vậy nghiệm phơng trình cho là: x= 3/2
Bµi 4: Giải phơng trình: x3 x1 x8 x11
Gi¶i:
Phơng trình cho tơng đơng với:
22 32
1 1 1
x x
x x x x
áp dụng bất đẳng thức a b a b
DÊu ''=''x¶y a.b 0
ta cã: x1 2 3 x x1 3 x1 1 DÊu ''='' x¶y
(18)10
9
3
0 )
)( (
x x
x
x x
Vậy nghiệm phơng trình cho là: 5x10
Bài 5: Giải phơng trình
(8x - 4x2 -1)(x2 - 2x +1) = 4(x2 +x+1)
Thơng thờng ta nhân phân phối đợc phơng trình bậc đầy đủ
Giải phơng trình nhiều cơng hiệu quả.Từ nghĩ đến việc hạ bậc phơng trình cách nhân hay chia hai vế phơng trình cho nhân tử cho hp lý
Thử thấy x=1 nghiệm phơng trình nên chia hai vế phơng trình cho 4(x-1)
Ta c phng trỡnh:
2
) (
1
1
x x x x
x
Ta cã:
4
3 ) ( 4
1
8 2
x x
x
DÊu ''=''x¶y x-1= suy x = Mặt khác ta có:
4 1
1 1 1
) (
1 )
1 (
1 ) (
) ( ) (
1
2
2
2 2
2
x
x x
x x
x x
x x
x x
DÊu ''='' x¶y
1 1
x
x
Nhận thấy x= khơng phải nghiệm phơng trình Vậy phơng trỡnh ó cho l vụ nghim
Bài 6: Giải phơng trình
17 3 3
x
x +17 3 3
x
x =
Gi¶i:
áp dụngbất đẳng thức
2
1
2
k k b
a )2
2 (
a b k
(bất đẳng thức chứng minh qui nạp toán học) Dấu ''=''xảy a2 =b2
Tađợc: (
2
) (
3 17
17 x3 x x x
)17
2
) (
3
3 x x x
x
=1
17 3 3
x
x +17 3 3
x
x 1
DÊu ''=''x¶y (17 3 3
x
x )2 =(17 3 3
x
x )2
x3 3x (x3 3x)
x=1
(19)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Vậy nghiệm phơng trình cho là: x=
Bµi 7: Giải phơng trình
5 18 ) ( )
( 6
x
x
Gi¶i
Ta lu«n cã (a)2k ( a)2k
áp dụng bất đằng thức:
k k
k b a b
a2 2
2
2
(bất đằng thức chứng minh băng qui nạp toán học) Dấu ''=''xảy a=b
5 18
5 2
5
2
) (
) ( ) ( ) (
6
6
6
x x
x x
x x
VT
DÊu ''=''x¶y x+1=
-x-2 5 x vây nghiệm phơng trình cho là:
2 5
x
Giá trị LN - GTNN
VD1: T×m max biĨu thøc:
A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) víi x, y, z không âm x+y+z=1 + Có bạn giải nh sau:
áp dụng BĐT: ab2 4ab Ta cã:4 x y z x y z2 1
2
4 xy x x y z 1
2
4 xy y x y z 1
64xyz x y y z z x
1 max A
64
*Chó ý: Lêi giải hoàn toàn sai lầm cha tìm dấu áp dụng BĐT + Ta có lời giải hoàn chỉnh nh sau:
áp dụng BĐT Côsi cho số không âm ta có:
3
x y z
xyz (1)
3 27
(20)
3
2 x y z 8
x y y z z x (2)
3 27
Nhân vế (1) (2) ta đợc
82
xy x y y z z x
729 27
DÊu “=” x¶y x = y = z = ** Tơng tự ta dễ mắc phải sai lầm ví dụ sau
- Tìm A = 2x +3y biÕt 2x2 + 3y2 5
Lêi gi¶i sai: Gäi B = 2x2 + 3y2 ta cã B 5
XÐt A + B =
2
2 5
2 x y (1)
2 4
Mµ B B Céng tõng vÕ cña (1); (2) A 25
4
*Chú ý : Sai lầm ở chỗ ta cha xét dấu hai BĐT
* Một số tập áp dụng BĐT Côsi:
1) Tìm
2
x 4x
A x
x
3
x
B x
x
1
C x
1 x x
L êi gi¶i:
2
x 4x 4
) A x 4 x
x x x
A A x
Tơng tự giải B,C +)
3
3
2 2
x 1 x x x.x
B x
2
x x x 2.2x
3
3
B B x
4
(21)Các Chuyên đề BDHS giỏi
5 x x
1 x x
) C 5 2
1 x x x x x x
5
C 5 x
4
2) T×m
max cđa
A = (2x-1) (3-5x)
2
2
x B
x
x C
x
Bài giải
2
2
A 2x 5x 3x 5x
5
2 1
5x 5x
5 4 40
1 11
A max A x
40 20
Tơng tự dễ dàng giả đợc phần B; C
3) Cho a, b, c > T×m cđa
2 2
4a 5b 3c
A
a b c
XÐt:
2
4a 4a 4
4 a
a a a
4
4 a
a
áp dụng BĐT Côsi cho số không âm (a -1);
a 1 ta cã:
2
4a
2 16 16
a 1
T¬ng tù víi
2
5b 3c
;
b 1 c 1
ta tìm đợc A = 48
(22)4) Cho a, b, c kh«ng ©m CMR a + b + c = 3
T×m cđa A = 2 2
a 2ab b 2c c 2a Dễ dàng CM đợc
2
2 2 x y z
x y z
3
áp dụng BĐT ta cã:
2
2 2 2
2
a b b
a 2b a b b
3
a 2b a 2b
3
T¬ng tù:
2
2
2 2 2
1
b 2c b 2c
3
c 2a 2a c
3
1
a 2b b 2c c 2a a b c
3
A
DÊu “=” x¶y (=) a b c
*
¸ p dụng BĐT Bunhiacopxki
1) Tìm min; max
2
A x x x
B 3x x x
Bµi lµm
A3 x 1 4 5 x
áp dụng BĐT Bunhia copxti có sè (3; 4) vµ x ; 5 xta cã Cã:
2
2 2
A x x x x 100
A 10
(23)Các Chuyên đề BDHS giỏi
2
2
2
x4 x 61
A max 10 x tm
3 25
A x x x x
9 x x
5 x x 36
A A x
Tơng tự giải cho B
* Chú ý thêm BĐT suy từ BĐT Côsi 1 (2) x y xy
Dùa vµo BĐT ta giải tập sau:
Cho x; y > TM:
1 1
4 x y 2
T×m max; CM: A 1 1
2x y z x 2y z x y 2z
Theo B§T ta cã
1 1 1 1 1
2x y z x y x z x y x z 16 x y x z
1 1 1 1 1
2x y z x y x z 16 x y x z
DÊu “=”x¶y x = y = z T¬ng tù:
1 1 1
x 2y z 16 x y y z
1 1 1
x y 2z 16 x z y z
Céng tõng vÕ BĐT
1 1
1
2x y z x 2y z x y 2z
DÊu “=” x¶y (=) x= y = z =
* Một tốn tìm cực trị ta áp dụng nhiều BĐT để giải
VÝdơ : Cho sè d¬ng a, b, c ; a +b +c = m lµ h»ng sè
(24)T×m cđa A=
2 2
a b c
bc ac ab
Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho số d¬ng ta cã:
3
3
2 a b c a b b c a c
1 1
3
a b b c a c a b b c c a
1 1
2 a b c
a b b c c a
a b c a b c a b c
a b b c a c
c a b
a b b c a c
2 2
c a b
a b c a b c
a b b c a c
a b c a b c m
b c c a a b 2
min
Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có:
2
a b c a b c
2 a
b c b c
T¬ng tù:
2
b c a
b
c a
c a b
c
a b
Céng tõng vÕ A m
Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có:
2 2
2
a b c
b c c a b
b c c a a b
a b c
b c c a a b
b c c a a b
Cách 4: Giả sử 2
a b c suy a b c
(25)Các Chuyên đề BDHS giỏi
1 bc ca ab
áp dụng BĐT Trêbsép cho số
2 2 2
1 1 a b
a b c
3 b c c a a b b c a c a b
2 2
2
1
a b c 1 1
a b c
b c a c a b b c c a a b
1 m
a b c Theo C
18
* Một số toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối Ví dụ: Tìm ; max
Ax x x x H
íng dÉn : §ỉi:
A x x x x
x x x x
x x x x
4
*áp dụng BĐT điểm
* Một số tập
Bài 1: Tìm
B x x x
Bài 2: Tìm min; max p = x2+y2 với x, y số thoả mÃn x2+ xy + y2 = 1
Bài 3: Tìm max p a) A = 4x3 - x4
b) B =x y
y x víi x, y 1 ; 2
c) C xy 2xy x 4yz víi x 0 ; 2 vµ y ;
Bµi 4: T×m max a.a’
(26)p x y z
y x x
víi x, y, z 1 ; 2
Bài 5: Tìm
a) 4
Ax y z víi x, y, z TM: xy + yz + zx =
b) B x y 1 z 1 víi x, y, z TM: x y z 5
Bµi 6: Cho a, b >0 ; a + b =1
T×m Max Q a b
1 2a 2b
Bài7: Cho a, b, c, d >0
Tìm cña a c b d c a d b
a b b c c d d a
(ĐS = 4)
Bài 8: Cho x, y, z, t > TM x + y + z + t = T×m Min cđa 1 1
x y z t (ĐS = 16)
Bài 9: Cho a, b, c cạnh tam giác có a + b + c = m lµ mét h»ng sè
T×m Max cđa 2 2 2
a b b c c a
Bµi10: Cho x, y, z TM 2xyz + xy + yz + zx 1
T×m Min cđa xyz §S = x y z
8
Bài11: Cho số dơng x, y, z > TM
3 2
x y z x y z 429xyz
Tìm Min xyz ĐS: x=y=z=2
Bµi12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c =
T×m Max cđa a b b c ca §S: a b c
b) Cho a, b, c cạnh tam giác Tìm Max biểu thức
b c a c a b
A
a b c
(27)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Chuyên đề thực phép tính A Lý thuyt
1.Định nghĩa
* Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a.
* Với a > 0, có hai bậc hai a hai số đối nhau: Số d ơng kí hiệu là, asố âm kí hiệu a
* Với a 0, a đợc gọi CBHSH a
a x x a x 2 0
2 So sánh CBHSH. a, b số không âm: a < b a < b
3 Căn thức bậc hai.
* Vi A biẻu thức đại số: ngời ta gọi A thức bậc hai A, A gọi l biu thc ly
căn hay biểu thức dới dấu
* A xỏc nh (hay cú ngha) A
4.Các công thức biến đổi thức:
1 2
A A A B=- A B2 (A 0, B )
2 AB A B
(A, B ) A AB B B
(A B 0, B 0
3 A A
B B (A 0, B > )
8 A A B
B
B (A 0, B>0 )
4 2
A B A B
( B )
9
T A B
T
A B
A B
(A, B )
A B= A B2 (A, B ) 10
2
T a A b B T
a A b B a A b B
B Bài tập áp dụng
Bµi tËp 1.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) 22 23 (3 2)2
2
32
b) ( a)2 ( a)3
2
2 a a2 Víi a0
c) 2
2
24 2 32
2
2 1
d) ( b)2 ( b)3 2
b
3 b2 Víi b0
e) 0,09 0,0144 0,0001
04 , f)
4 1
9 2
25 11 Bµi tËp 2.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) 25.36 c) 28,9.490 e) 34.( 8)2
(28)b) 12,1.360 d) 0,001.250 f)
5a víi a0
Bµi tËp 3.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) 27 b) 63 c) 2 3 .2 3
d) e) 3(2 6 31) f) 52 6 .5 6 g) 101 10 h) 3 2 3 2 i) 3 5 3 5 Bµi tËp 4.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) 2
1
2 b) 12 c) 1 1
d) 2
1
3 e) 3 12 f) 31 3 1
Bµi tËp 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) 2
3 2
3 b) 3 32 c) 3 2 3.3 3
d) 2
2
5 e) 5 22 f) 52 2 5 2
Bµi tËp 6.Thùc hiÖn phÐp tÝnh a)
196
169 2,25
0625 ,
41 ,
3 27
18
b) 5 33 5: 15 2 18 326 2: Bµi tËp 7.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) 27 3 22 6:3 3 b) 2 2
3 1
3 c)
2
1
2
d) 2 2
3 1
3 e) 212 1 22 f) 74 7
g) 62 6 h) 4 4 i) 3 5 10 2 3 j) 9 5 94 k) 42 42 l) 4 15 10 6 4 15
Bµi tËp 8.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) 75 50
5
b a a
2
1 (a# 0, b>0)
b) 2
5
3 182 32
4 c)
2
2
8
1 x3
31 33
x víi x >
3 d) 505 a5
x 4 3 1 x5 víi < x <
Bµi tËp 9.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
2 2 2
2 27
3 15 27 180 1 2 31 2 3
50 18
8 20 45 5 4 15 10 64 15
5 , ,
0 2 52 5 28 :
18- 8: 75 243- 48 : 20 12 15 27:5 27
12 20 25 8 50
108 27
12 5 80 125 45 80 105
5 20
35
70 -7
5
12
300
48
75 8 18 50 32 50 98 72
` 20 453 80 320 21 2 1 53 5
200
1 18
8
4 3 12
3 1 10 27 75 48
6 3
2 3
15 60
1 20
3
50 32 54 18 98
(29)Các Chuyên đề BDHS giỏi 40
,
2 4 15. 4 15 62 6
2
5 45 125:
2 2
5
2
5
1
1
5 :2
4 20
5
3 3 20 15 ; 2 ; 15 ; 3 2 1
5 3
1 128 18 12 2
6
2 2
5
2
2
2 -2 52 22 22
3
4 2 2 3 5 3
6
3, , 20062 2005 2006 2005 1003 2005 1003 2005 15
2 15
8 8 60 8 60 4 15 4 15
2 2
17 162 63 16 8 63 8
5 12 29
5 1330 2 94
Bµi tËp 10.Khử mẫu số thức sau: a) 3
21 2
n m n m m m
3 víi m<3
b) 120 11 11 168 13 13 48 7 2 x x x Bài tập 11.Trục thức ë mÉu:
a) 3 b a 1 x x b)
2
1 3 c) 1
2
1
Bµi tËp 12.Rót gän biĨu thøc: a) 3 6 3 b) 3 + 3 3 3 3 3
Bµi tËp 13.Rót gän biĨu thøc:
a) 8 182 50 12 2 75 48
b) 3 3
9 ab b b a a a b b a
(a,b>0) 28 3 7 84 Bµi tËp 14.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) 3 3 b) 3 3
c) 17 94
d) 72 : 2 2 e) 3 f) 2 3 2
Bài tập 15.Đơn giản biểu thøc:
a) 7 48 b) 7 48 c) 2 2
(30)d) mn mn e) 4x xy y f) 5 24 5 24
Bµi tËp 16.Rót gän biĨu thøc: a) 100 99 3 2 1 b) 100 99 99 100 3 2 2 c) 100 99 3 2 1
Bµi tËp 17.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) 8 32 72 6 12 20 2 27 125 3 112 7 2164 54 2 252 3 96 b) 2 5 125 80 3 2 8 50 4 32 2 18 3 80 5 147 5 245 3 98 c) 27 2 32 48 3 75 3 2 4 18 32 50 2 3 752 12 147
d) 20 2 45 3 80 125 6 12 20 2 27 125 4 24 2 543 6 150
Bµi tËp 18 1: Rót gän biĨu thøc:
A1= a a a a 1 + a a 1
KQ: 1+ a A2=
1 a a a + 1 a a a
KQ: 1- a
A3= y x y x xy y x y y x x
KQ: x y A4=
b a b b a ab b a b b a a
:
KQ: A5= ab b a a ab b ab a b a ab b a :
KQ: b a
A6= ab a b ab a b ab b a ab a b a KQ: a A7= y y x x y x y x y y x x y x y x
( )2
KQ: y xy x xy
A8=
1 2 2 x x x x x x x x x
KQ: x>2, A= 2x 1<x<2, A=
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B1= xy y x x xy y y xy x y x xy y x :
a)Rót gän biĨu thøc B1
b)TÝnh giá trị biểu thức B1 biết x=3, y= +
KQ:
a) y x;
b)
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B2= x x x x x x x 2
a)Rút gọn B2 b)Tìm x để B2<1
KQ: a) x x ; b) < x <
Bµi tËp Cho biĨu thøc: KQ:
(31)Các Chuyên đề BDHS giỏi
B3=
1 1
1
1 1
a a a
a a a
a a a a a
a a
a)Rút gọn B3 b)Tìm a để B2=7
a)
a a
a 2
2 ;
b) GPTBH ta đợc a=4; Bài tập Cho biểu thức:
B4=
a b
b a b
a a b a
a :
1
a)Rút gọn B4
b)Tính giá trị B4 a= + 2,
b = +
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B5=
x x x
x x
x x
3
2 3
11 15
a)Rút gọn B5
b)Tìm giá trị cña x B5 =
KQ: a)
3
x x ;
b) x = 121
1
Bµi tËp Cho biĨu thøc:
B6=
6
2
2
3 :
1
x x
x x
x x
x x x
a)Rút gọn B6 b)Tìm x để B6 <
KQ: a)
x x
2;
b)
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B7=
2
2
2
x x
x x
x x
x
a)Rót gän B7
b)Chøng minh víi < x < th× B7 > c)TÝnh sè trÞ cđa B7 x= 0,16
KQ: a) -3x - 3; b)
c)
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B8=
y x
xy y
x x
y y x y x
y x
3 ( )2
: a)Xác định x,y để B8 tồn tại; b)Rút gn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ B8; d)So sánh B8 B8;
e)Tính số trị B8 x = 1,8; y = 0,2
KQ: b)
y xy x
xy
;
c) B8 = 0; d) B8 < B8; e)
Bµi tËp 10 Cho biĨu thøc: B9= x4 x x x
a)Rút gọn B9; b)Tìm x để N=4
Bµi tËp 11 Cho biÓu thøc: KQ:
(32)B10= =1- ) )( ( 1 x x x x x x x x x x x x x
a)Tìm x để B10 có nghĩa; b) Rút gọn B10
a) ; b) x x 1
Bµi tËp 12 Cho biÓu thøc:
B11= 1 2 a a a a a a a a
a)Rót gän B11;
b) Tìm giá trị a để B10 = -4
KQ: a) -2 a;
b) a =
Bµi tËp 13 Cho biĨu thøc:
B12=
a a a a a a
a 4
1 1
1
a)Rót gọn B12;
b) Tìm giá trị B12 biết a =
6
9
;
c)Tìm giá trị a để B12 B12
KQ: a) 4a ; b)
6
12
;
c) < a <
Bµi tËp 14 Cho biĨu thøc:
B13=
1 1 : 1 1
2 x x
x x x x x x
a)Rót gän B13;
b) Tìm giá trị B13 biết x = ; c)Tìm giá trị x B13 =
KQ:
a) 2
1 x x ; b) -2;
c) GPTBH ta đợc x1=
5
, x2 = -
Bµi tËp 15 Cho biĨu thøc: B14= 2 : 1 a a a a a a a a a a
a)Rút gọn B14;
b)Với giá trị nguyên cđa a th× B14 Z
KQ: a) a a ; b) ;
Bµi tËp 16 Cho biĨu thøc:
B15= 1 : 1 x x x x x x x x
a)Rót gän B15;
b) Tìm giá trị x cho B15 >3; c)Tìm giá trị x B15 =
KQ: a) 1 x x x ;
b) ( x 1)2 30x;
c) Kh«ng tồn x TMBT Bài tập 17 Cho biểu thøc:
B16= 1 1 x x x x x x x
a)Rót gän B16;
b) Tìm giá trị x cho B16 =4; c)Tìm xZ để B16Z
KQ:
a) -2 x 1;
b); Không tồn x TMBT; c)
(33)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Bµi tËp 18 Cho biĨu thøc:
B17= 2 4 2 2 a a a a a a a a a
a)Rót gän B17;
b) Tìm giá trị a cho B17 =1; c)Khi B17 có giá trị dơng, âm
KQ: a) a a ;
b)Giải PTBH đợc a=
, a=-1;
Bµi tËp 19 Cho biÓu thøc: B18=
a b ab
a a b a a a b a b a a :
a)Rót gän B18; b) BiÕt r»ng
4
b a
B18 =1, hÃy tìm giá trị a, b
KQ: a)
)
( a b
a b a ; b)a=4, b=36
Bµi tËp 20 Cho biĨu thøc: B19 = a a a a a a a a 1 : 1 1
a)Rót gän B19;
b) Tính giá trị biểu thức B19 biết a = 27 + 10
KQ:
a) ( 1)2
a ;
b) 38 + 12
Bµi tËp 21 Cho biÓu thøc: B20 = 3 2 2 3
3 2 b ab b a a b ab b a a
a)Rót gän B20;
b) Tìm tỉ số a b để cho B20 = KQ: a) b a b a ; b) 3
b a
Bµi tËp 22 Cho biÓu thøc:
B21 = x x x x x
x :
1 1 : 1
3
a)Rót gän B21;
b)Tính giá trị B21 x = 20;
c) Tìm xZ để B21Z
KQ: a) 2 x x ; b) 5 ; c)… Bµi tËp 23 Cho biÓu thøc:
B22 = x x x x x 2
a)Rót gän B22;
b)Tính giá trị B22 x =
3
2 c) Tìm xZ để B22Z
KQ: a) x x ; b) 3 ; c)…
Bµi tËp 24 Cho biÓu thøc:
B23 =
x x x x x x x x x 1 1 : )
(
2 2
a)Rót gän B23;
b)Tính giá trị B23 x = 32 ; c) Tìm giá trị x để 3.B23=1
KQ: a) 2 x x ; b) 2 ; c)GPTBH ; x x KQ:
(34)Bµi tËp 25 Cho biÓu thøc:
B24 = 2 3
2 2 : 2 4 2 x x x x x x x x x x
a)Rót gän B24;
b)Tính giá trị B24 x = x 2
a) x x
Bµi tËp 26 Cho biĨu thøc:
B25 =
1 : 1 1 x x x x x x x x
a)Rót gän B25;
b)Tính giá trị B25 x = 42 3;
c)Tìm x để B25 = -3
a) 2 x x ; b) 3 ) ( c) GPTBH 13 ; 13 2 x x
Bµi tËp 27 Cho biÓu thøc:
B26 =
3 : 1 x x x x x x x
a)Rót gän B26;
b)Tính giá trị B26 x =6+2 5; c)Tìm x để B25 =
5 a) x x x ; b) 5 c) GPTBH 25 ; 2
1 x x
Bµi tËp 28 Cho biÓu thøc:
B27 = 1:
1 1 x x x x x x x x
a)Rót gän B27;
b)Chøng minh B27 >3 víi mäi x>0; x kh¸c
a)
x x
x 1
; b)…
Bµi tËp 29 Cho biÓu thøc: B28 = 1 1 1 : 1 1
x x x x x
a)Rút gọn B28;
b)Tính giá trị B28 x =1+ ;
c)Tìm x để B28 =
KQ: a) 2( 11)
x x
x
; b)
) 2 )( ( 2 ;
c)GPTBH ta đợc: x=1 x=
Bµi tËp 30 Cho biĨu thøc: B29 = x x x x x x x x x 2003 1 1 1 2
a)Rót gän B29;
b) Tìm xZ để B29Z
KQ: a)
x x2003
;
b) x=2003 vµ x = -2003 Bµi tËp 31 Cho biĨu thøc:
2
1 (1 )
2 : 2 a a a a a a A
a)Rót gän ; b)T×m Max A
a a A
KQ:
(35)Các Chuyên đề BDHS giỏi
Bµi tËp 32 Cho biĨu thøc:
1 : 1 a a a a a a a a A
a) Rót gän
b) T×m a cho A2 >
c) TÝnh A2 víi a19
1 : 2 a a a A KQ
Bµi tËp 33 Cho biÓu thøc:
y x 0 y 0 x Víi xy y x y y x x y x y y x x y x y x A 2 : a)Rót gän
b)Chứng minh: <A3 < 1(hoặc so sánh A3 víi A3 )
y xy x xy A KQ :
Bµi tËp 34 Cho biÓu thøc:
x x x x x x x x x A : 4 2 2
a) Rót gän
b) Tìm x để A4 >
c) Tìm x để A4 =
3 : x x A KQ
Bµi tËp 35 Cho biÓu thøc:
2 x x A
a) Rót gän b) T×m Min A5
2 : A5 x KQ
Bµi tËp 36 Cho biĨu thøc:
3 : 1 x x x x x x x A
a) Rút gọn b) Tìm x để
5 6 A : x x x A KQ
Bµi tËp 37 Cho biĨu thøc:
2 : x x x x x x x x x x A
a) Rót gän
b) Tìm x để A7 <1
c) Tìm x Z để A7 Z
2 : x A KQ
Bµi tËp 38 Cho biĨu thøc:
5 15 25 : 25 x x x x x x x x x x
A
5 : x A KQ
(36)a) Rót gän
b) Tìm x Z để A8 Z
Bµi tËp 39 Cho biĨu thøc:
xy y x x xy
y y
xy x y
x xy y x
A9 :
a) Rót gän
b) TÝnh giá trị A9 với x3, y42
x y A
KQ: 9
Bµi tËp 40 Cho biÓu thøc:
4 2 2
2 :
2
7
10 a
a a
a a
a a
a a a
A
a) Rót gän b) So s¸nh
10 10
1
A A Víi
a a A KQ
6 : 10