phuong phap quy nap toan hoc

“Quy nạp và suy diễn gắn chặt với nhau như phân tích và tổng hợp”. PHÉP QUY NẠP[r]

TRƯỜNG THPT 19-5 TỔ TỐN – LÍ - TIN

§1.

 CÁI RIÊNG  CỤ THỂ

 CÁI CHUNG  TỔNG QUÁT

PHÉP QUY NẠP PHÉP SUY DiỄN PHƯƠNG PHÁP SUY LUẬN

PHÉP SUY DiỄN

PHÉP QUY NẠP

“Quy nạp suy diễn gắn chặt với như phân tích tổng hợp”

PHÉP QUY NẠP

Hãy tìm hiểu về phương pháp quy nạp Toán học

Các em cần phân biệt hai kiểu suy luận liên hệ

giữa hai kiểu suy luận đó

Ph Ăng-ghen

“Quy nạp suy diễn gắn chặt với nhau phân tích tổng hợp”

Hoạt động 1:

a) Với n = 1,2,3,4,5 P(n), Q(n) đúng hay sai

b) nN* P(n) , Q (n) đúng hay sai

P(n): “ >3n +1 ” 3n Q(n): “ 2n  n ” với nN*

Xét hai mệnh đề chứa biến:

Q(n) : “ 2n > n ”

Hoạt đợng nhóm

Các em sử dụng phiếu

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “3n > 3n+1 ” Q(n) : “2n > n ”

a Với n = 1, 2, 3, 4, P(n), Q(n) hay sai?

b Với nN* P(n), Q(n) hay sai?

Trả lời:

a P(n) : “ 3n > 3n+1 ” Q(n): “ 2n > n ”

n ? 3n+1

2

3n n ? n

1 2n

b Với nN* P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắn hay sai ta khơng thể kiểm tra hết với nN*

§1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bước 1:

Bước 2:

Kiểm tra mệnh đề đúng với n =

Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên bất kỳ n = k  (gọi giả thiết quy nạp)

I Phương pháp quy nạp Toán học:

Chứng minh mệnh đề đúng với n = k +

Bước3 :

Các em chép phần

Chứng minh với nN* : + + + + (2n – 1) = n2 (1)

Giải:

1) Khi n = 1: VT = 1, VP = 12 = Vậy (1) đúng

2) Đặt VT = Sn Giả sử với n = k  ta có:

Sk = + + + + (2k –1) = k2 (gt quy nạp)

3) Ta chứng minh (1)cũng đúng với n = k+1 :

Ví dụ 1:

II Ví dụ áp dụng :

Sk+1=1 + + + …+ (2k – 1) + [2(k + 1) – 1] = (k +1)2

Thật vậy:

Sk+1= Sk+ [2(k + 1) – 1] = k2 + 2k + = ( k + 1)2

1

1 + =

1 + + =

1 + + + =

1 + + + + =

1

4 = 22

9 = 32

16 = 42

25 = 52

= 12

+ + + + 9

n

+ + (2n – 1) = n2

2.2 1.1

3.3

4.4

5.5

.n

Mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nN*

Chứng minh : + + + 7+ … + (2n – 1) = n2

Quan sát phần minh họa cho ví

Chứng minh với nN* thì n3 – n chia hết cho

Giải : Đặt An = n3 – n (1)

1) Với n = 1, ta có : A1= …

2) Giả sử với(1) đúng với n = k  1, ta có: Ak = (k3 – k) … (giả thiết quy nạp)

3) Ta chứng minh Ak+1

Thật vậy: Ak+1 = (k+1)3- (k+1) = k3 +3k2 +3k +1- k -1

= (k3- k) +3(k2+k)

= Ak+ 3(k2+k)

Ak … 3(k2+k) nên A

k+1 …

Vậy: An = n3 – n chia hết cho với mọi nN*. Ví dụ 2:Ví dụ 2

Các em chép phần

I Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề với nN* ta thực theo bước sau:

B1: Kiểm tra mệnh đề với n=1

B2: Giả sử mệnh đề với n = k  (Giả thiết qui nạp-GTQN) B3: Ta chứng minh mệnh đề với n=k+1

II Ví dụ áp dụng:

HOẠT ĐỘNG NHÓM

HOẠT ĐỘNG NHÓM

CMR : Với mọi nN* có un = 13n –1 6…

CMR : Với mọi nN* có un = 10n – 3…

Hoạt động 2: HOẠT ĐỘNG NHÓMHOẠT ĐỘNG NHÓM

Thật vậy:

CMR : Với mọi nN* có un = 13n – (2)…

uk+1 = 13k+1– = 13k 13 –1

= 13k.(12+1) –

Với n = 1 ta có: u

1 = 131 –1 =12 6 (Mệnh đề (2) đúng)

Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: u

k = 13k – 6

Ta phải chứng minh (2) với n = k + 1, tức : uk+1= 13k+1 – 6…

…

…

= 12.13k +13k –

Vậy với mọi nN*, ta có un = 13n – 6… (2) = 12.13k + u

k

…

Vì : 12.13k u

k …

Chú ý theo dõi

giải Thầy mời nhóm

Thật vậy:

CMR : Với mọi nN* có un = 10n – (3)…

uk+1 = 10k+1– = 10k 10 –

= 10k(1+9) –

…

Với n = 1 ta có: u

1 = 101 –1 = 3 (Mệnh đề (3) đúng)

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là: u

k = 10k – 3

Ta phải chứng minh (3) với n = k + 1, tức : uk+1= 10k+1 – 3…

…

= 10k – + 9.10k

Vậy với mọi nN*, ta có un = 10n – 3… (3) = uk+ 9.10k

…

Vì : 9.10k u

k …

Chú ý theo dõi

giải Thầy mời nhóm

Chú ý:

Bài tập số ( trang 82 – sgk Đại số & Giải tích 11)

Chứng minh với mọi số tự nhiên n  2, ta có bất

đẳng thức : a) 3n > 3n + b) 2n+1 > 2n +

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 2

•Ở bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên

bất kỳ n = k  (giả thiết quy nạp)

•Ở bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với

n = k+1

Chú ý:

Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên ) :

•Ở bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p

•Ở bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên

bất kỳ n = k  p (giả thiết quy nạp)

Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 Các em ghi nhận

Củng cố:

Nắm vững bước thực hiện toán chứng minh phương pháp quy nạp tốn học

•Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =1 (hoặc n = p )

•Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n = k  (hoặc với

số tự nhiên n = k  p) (giả thiết quy nạp)

•Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 •Cần chú ý vào giả thiết quy nạp dựa vào yêu cầu

Dặn dò:

1/ Làm lại tập vừa tiếp thu tại lớp

2/ Làm tập 1& trang 82 SGK

3/ Xem : “ BẠN CÓ BIẾT ? ”trang 83 SGK Các em ý