Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)sở giáo dục đào tạo quảng ninh
h−ớng dẫn chấm thi chọn đội tuyển hsg năm học 2011-2012 mơn tốn lớp 12 (ðỀ CHÍNH THỨC)
(HDC có 05 trang)
Bµi Sơ lợc lời giải Cho
điểm Bài
5 điểm iu kin 6,
0
x x
y
≥ − ≠
≠
Xét phương trình (1), đặt ,
x y
t t
y x
= + ≥
Khi (1) thành: 2
(t −2) − −2 3(t −2)+ = −t
7 14
t t t
⇔ − + + = (3) 1,0
Xét hàm số g(t)=t4 −7t2 + +t 14 (−∞ − ∪; 2] [2;+∞) (*) Có:f t'( )=4t3−14t+1; ''
( ) 12 14
f t = t − >0 (*) => f’(t) ñồng bến khoảng (*) Khi ta có
' '
( ) ( 2) 0, ( ; 2]
f t ≤ f − = − < ∀ ∈ −∞ −t ' '
( ) (2) 0, [2; )
f t ≥ f = > ∀ ∈t +∞ f(t) đồng biến [2;+∞)và nghịch biến (−∞ −; 2] => f t( )≥ f( 2)− = ∀ ∈ −∞ −0, t ( ; 2] f t( )≥ f(2)> ∀ ∈0, t [2;+∞)
Suy phương trình (3) có nghiệm t=-2 ủú x=-y 1,0 Thay vào phơng trình (2) ta đợc:
6
4x= x+ x x2 +4x= x+6
− + − = +
+ + = + ⇔ + + =
+ ⇔
+ + + + = + + ⇔ + = + ⇔
1
1 )
1 ( ) (
1 ) ( 25 20
6 16
2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
1,0 phơng trình 2x+5=2 x+6+1 + =x x+6 22
( 2)
x
x x
≥ −
⇔ + = +
2
2
3 17
2 3 17 3 17
;
2
3
3 17
x
x x
x y
x x
x
≥ −
− +
≥ −
= − + − −
⇔ ⇔ ⇔ = =
+ − =
− − =
1,0
phơng trình 2x+5= -2 x+6−1 26
5
x
x x
x x
− ≤ ≤ −
⇔ − − = + ⇔
+ + =
6
5 13
5 13 13
;
2
5 13
x
x
x y
x
− ≤ ≤ −
− +
− − − +
=
⇔ ⇔ = =
− − =
(2)Bài Sơ lợc lời giải Cho điểm Bài
3 ®iÓm Từ giả thiết suy xn > ∀ ∈0, n N , xn > ∀ ∈1, n N
Bằng qui nạp chứng minh ñược: xn < ∀ ∈2, n N 1,0
Xét hàm số: ( ) ( 2)x
f x = R, ta thấy f(x) ñồng biến R Dãy ñã cho có dạng
1
(1; 2)
, 0,1, 2, ( )
n n
x a
n x + f x
= ∈
=
=
Ta có (1; 2); ( 2)
a
x = ∈a x = > > x
suy x2 = f x( )1 > f x( )0 = x1, tương tự x3> x2, Do dãy (xn) tăng bị chặn
Nên (xn) có giới hạn hữu hạn, giả sử giới hạn b (b∈(1; 2]) 1,0
Từ ( )2
n x n
x + = , chuyển qua giới hạn ta ñược b=( 2)b(1) , b∈(1; 2] Khi (1) lnb ln
b
⇔ = (2) Xét hàm g(x)=lnx
x (1;2]
Có: '
2
1 ln
( ) x 0, (1;2)
g x x
x −
= > ∀ ∈ g(x) liên tục (1;2]; g(2)=0
Suy (2) có nghiệm b = Vậy limn→+∞xn =2 1,0 Bài
4 điểm Chng minh ñược: 3(x
2
+y2+z2) ≥(x+y+z)2∀x; y; z ∈ R Kết hợp với giả thiết, ta có:
2 2 2 2
2 ( 2) ( 1) ( )
3
M ³ a + + b + c + = a +b + c + ³ a +b+c +
Suy ra: a+ b+ c£ 6M - (1) 1,0
Mặt khác, sử dụng bất ñẳng thức Cauchy, ta lại có
2
1
;
a
a b b + ³
1
;
b
b c c + ³
1
;
c
c a
a + ³ 1,0
2 2
1 1
: a b c ,
suy M
a b c a b c b c a
³ + + ³ + + ³
+ +
do đó: a b c
M
+ + ³ (2) 1,0
Từ (1) (2), ta thu bất phương trình: 6M
M £
-Giải bất phương trình này, ta M ³