Đáp án HSG Toán học lớp 9 Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc 2013-2014 - Học Toàn Tập

Thử lại x=0 là nghiệm pt.. Vậy pt đã cho có nghiệm x=0.[r]

PHÒNG GD&ĐT VT HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2013 - 2014

Câu Ý Nội Dung

Câu 1

2

2

5 2 (2 1) 2

5 ( 1) 2 ( 1)

5 2       

        

  

(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )

A a b  c b c a  c a b  abc

C

âu

2

4 4 4 16

(4 )(4 ) (16 4 )

        

      

a b c abc a b c abc

a b c a b c bc

2

(2 ) (2 )

 a a bc  a a bc  a abc

Tương tự b(4c)(4a) 2 b abc, c(4a)(4b) 2 c abc

2( ) 2( )

 A a b c   abc abc  a b c   abc  a) ĐK: x0 Pt x 9 x 4 x 1 x (1)

9

x x x x

 

    

 x 9 x 4 5( x 1 x) (2)

Từ (1),(2) suy ra:

x 9 x 1 x3 x 1 9x 9 x9,dấu “=” xảy x=0 Thử lại x=0 nghiệm pt

Vậy pt cho có nghiệm x=0

b) ĐK: x-1

Đặt a = x1, b = x2 x 1 với a0, b>0

Khi phương trình cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0

2a=b a=2b

Với a=2b  x1=2 x2 x 1

4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm

Với b=2a  x2 x 1=2 x1

x2-5x-3 = 37

2

x 

  (thỏa mãn đk x-1.)

Câu

Ta có 2013  , *, ,  1

2013

x y m

m n m n

n y z



  

 ¥

  2013

nx my mz ny

   

0

nx my x y m

xz y

mz ny y z n

  

     

 

 2  2   

2 2 2 2

x y z  x z  xz y  x z y  x y z x z y    Vì x y z  1 x2y2z2 số nguyên tố nên 2

1

x y z x y z

x y z

      

  



Từ suy x  y z (thỏa mãn)

Câu 4

M G

D O F

E

H

C B

A

· ·

BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC)

Suy B, C, E, F thuộc đường trịn đường kính BC

Ta có A CD· = 900 DCAC

Mà HEAC; suy BH//DC (1)

Chứng minh tương tự: CH//BD (2)

Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành

Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD

Do AM, HO trung tuyến AHDG trọng tâm

AHD

 GM

AM

 

Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, GM

AM

Suy G tâm ABC

Câu

a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2 2 2

2

(a b c ).(x y z) ( a x b y c z)

x  y  z    x  y  z =

(a b c) (a+b+c)2  đpcm

b) (1 điểm) Vế trái

2 2

2 2 2

2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 2(1 ) (1 )

x y z

M

z y x z y x

  

   

        

Đặt 1x2 a,1y2 b,1z2 c. với a, b,c >0

Khi M = 2 2 2 2

2 2 2

a b c a b c

Sau áp dụng bđt phần a) bđt

2

(a b c  ) 3(ab bc ca  )M 2

Từ có đpcm

Câu

Gọi xi số tơ đỏ dịng thứ i

Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi = ( 1)

2

i i

x x 

Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 1( 1) 2( 1) 13( 13 1)

2 2

x x

x x  x x    

Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết khơng có cặp đỏ có hình chiếu trùng

Vậy C2

13=78 A= 1( 1) 2( 1) 13( 13 1)

2 2

x x

x x  x x    

 13 13

1

156

i i i i

x x

 

 

 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

2

13 13

2

1

( ) 13( ) 156

13

i i i i

s

x x s

 

   

 

 s2-13s-20280S52

Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dòng có tơ

đỏ)

(Học sinh lập luận S52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ)

x x x x x x x x

x x x x

x x x X

x x x x x x x x x x x x x x x X x x x x x x X x x x X x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52