Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm C chuyển động trên nửa đường tròn đó. Kẻ CD vuông AB. Trên đoạn OC lấy điểm E sao cho OE = CD. Tìm tập hợp các điểm E. Cho đoạn thẳng AB. T[r]
(1)HỆ THỐNG BÀI TẬP CƠ BẢN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH 2.3.1 ĐẠI SỐ
CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA BÀI 1: CĂN BẬC SỐ HỌC
1 Điền số vào bảng sau
a 0,6 0,09
4
1 7
a2 0,81 1,21
CBH ±
CBHSH 0,4 1,7 ( )2
7 − Tính
a) 2
4
5 − b) 252 −242 c) 852−842 d) 262 −242 e) 1,44+3 1,69 f) 0,04+2 0,25 g) 0,81 0,09
9
h)
25 16 16
3 +
3 So sánh
a) 82 b) 35 c) 15 d) + e) 7+ 15và f) 2+ 11và 3+5 g) 26 15 h) −5 35 -30 i)
4 45 30−
17 k) Giải phương trình
a) x−1=3 b) x2+x+1=1 c) x2 +1=−3 d)
4 20 x
x2 + + = Cho a > Chứng minh a) Nếu a > a > a
b) Nếu a < a < a Cho a; b > Chứng minh a>b⇔ a > b
BÀI 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
(Giả thiết thức có nghĩa) Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) - x b) x x +8 c)x x−6x+12 x −8 d) 25 - 42 - 4
y
x - y e) x+ x y + y - z x - z y
f) 25 - 4x - x y - y g) x - x y + 4y - z + z t - 9t h) x + z y - x z - y i) 4x - x y - + y
2 Phân tích đa thức thành nhân tử:
(2)d) 4x + x y - 8y e) x2 + f) 4x4 + g) x - x - h) x + 14 x + 48
3 Tìm x biết:
a) x x - 16 x = 0; b) x2 - 2x x + 10x -20 x = c) (2 x - 3)2=( x + 5)2 d) x( x - 1) - 4x + 8 x - = e) x + x - 18 = f) 8x + 30 x + =
g) x x - 11x + 30 x = Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) (x + x)2 -2(x + x ) - 15 b) (x + 2 x)2 + 9x + 18 x + 20 c) (x + x + 1)(x + x + 2) –
d) (x + x + 7)( x + 3)( x + 5)+ 15 e) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 f) (4 x + 1)(12 x - 1)(3 x + 2)( x + 1) - g) 4( x + 5)( x + 6)( x + 10)( x + 12)- 3x
BÀI 3: HẰNG ĐẲNG THỨC A2 = A Rút gọn biểu thức
a) 14+6 b) 30−10 c) 27−8 11− 11 d) 48−16 − e) 11+6 − 6−4
f) 28−10 3+ 4+2 3− 4−2 g)
2 2
3
2 −
− +
h) 4x− x2−4x+4 i)3x+ 9+6x+x2 k)
4 a
a a a a
− − + −
m)
6 7
6 12
− −
+ n) c
1 c c2
− + +
o) 8−2 15 − 8+2 15 p) 2+ 2+ 2+ 2− 2+ q)
3 2
3
2
3
− −
− +
+ +
+
2 Tính giá trị biểu thức sau mà khơng dùng máy tính a) 0,01
64 49
144 b) ( 0,25− 225+ 2,25): 169 c) ( )−3 +5 ( )−2 d) 2
3 3 :
72 + − −
e) 72: 22.32.36− 225 f) ( )1,5 −4 ( )0,5 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa
(3)a) −5x−10 b)
7 x
5
− −
−
c) x2 +2x+3 d) x2−3x+2
e) x2 +4x+5 f)
x
3 x
− +
g)
6 x x
1
2− +
4 Giải phương trình sau
a) x2 −10x+25=7−2x b) 9−12x+4x2 =4
c) x2−2x+1+ x2−6x+9=1 d) x2 −2x+1+ x2 −4x+4 =3 e) 3x2 −18x+28+ 4x2 −24x+45=−5−x2 +6x
5 a) Chứng minh x2 + y2 =
2 y x 2≤ + ≤
−
b) Cho x, y, z số thực dương, chứng minh
zx yz xy z y x
+ + ≥
+ +
6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau A = 4x2−4x+1+ 4x2 −12x+9 B = 49x2 −42x+9+ 49x2+42x+9
7 Tìm số x; y; z thoả mãn đẳng thức x+y+z+8=2 x−1+4 y−2+6 z−3 BÀI 4: BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC 1) Thực phép tính
a) 40 12 −2 75 −3 b)
45 27 18
20 12
+ −
+ −
c) (( 2 2))
2
19 47
17 38
− − d) 252− 700+ 1008−
e)
3
1
3
+ −
− + =
E f) ( 125+ 245− 5):
g) :
7 16
+
− h) 3+ − 3− − i) 6,5+ 12 + 6,5− 12 +
j) I = 4− − 4+ k) B= 10+ 24+ 40+ l)
3 2
2
3 2
2
− − +
− + +
=
F
2) Rút gọn a)
35 21
10
+ +
b)
45 3
27 405
+ +
c)
4
12
+ +
− − − + +
d)
1
5
− −
3) Giải phương trình
a) 1− 3x+1=3x b) 2+ 3x−5 = x+
c)
3
5 =
+ +
x x
d)
3
5 =
+ +
x x
(4)e) 7+ 2x =3+ f) 3x2−4x =2x−3 g) x+ x2+6=3 h) x2 −4x=8 x−1 i) x−1− x+1=1 j) x+ x+ 1−x =1
4) Rút gọn biểu thức A = ( )
( )
25 2 − − − − − x x x x
(x < 4) B =
3 27 3 + + + − x x x
x (x ≥ 0)
C = ( )
4
2 2
2 y xy x y x + +
− (x ≠y, -y) D =
6 100 100 25 x x x
x− − + (x ≠ 1/2)
5) Thực phép tính cách trục thức mẫu khử mẫu biểu thức lấy
a) − + + b) 10 2 + +
+ c) 2 3
3 3 2 + − − d) 6 6 + − + − + e) 24 1 24 − − − + − f) 1 3 1 3 + + − −
+ g)
5 5 + − + − + 6) Tính a) 2 − − − +
+ b)
1 5 5 + + − + − c) 3 + − +
+ d)
6 1 2 + + − − − + − − e) 3 5 3 − − +
f) ( )( )
2 2 3 − + + + − 7) Cho biểu thức A=x2+3x y+2y
a) Phân tích A thành nhân tử b) Tính giá trị biểu thức A
5 ; + = − = y x
BÀI 5: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1 P =
(5)a) Rút gọn P b) Tính P biết x=7−4 c) Tìm a nhỏ để P < a
2
− + + − + − − + + + = 1 1 : ) )( ( a a a a a a a a a P
a) Rút gọn P b) Tìm a để
1 − a+ ≥ P 2 1 1 − − + − + − = x x x x x x P
a) Rút gọn P b) Tìm x để >2
x P ) ( 2 − − + + − + + − = x x x x x x x x x P
a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ P c) Tìm x để
P x
Q= có giá trị nguyên
5
− + + − − − = 1 :
1 x x x x
x x P
a) Rút gọn P b) Tìm x để P >
c) Tìm tham số m để có giá trị x thoả mãn P x =m− x
6
− − + − + − − = 2 : ) ( x x x x x x x x P
a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x = 6−2
c) Tìm tham số n để có giá trị x thoả mãn (( x+1)P> x +n)
7
− − − + + + − = x x x x x x x P :
a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P
8
− − − − + + = x x x x x x x x P 2 :
a) Rút gọn P b) Tìm x để P = -1
c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x −3)P >x+1
9
+ − + − − = x x x x x x x
P : 1
a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết
(6)c) Tìm x thoả mãn P x =6 x−3− x−4 10 1 : 2 1 − − + + − + − + − + = x x x x x x x P
a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x = 4−2 c) Tìm số tự nhiên x để giá trị
P
là số tự nhiên 11 x x x x x x x P − + + − + − + − − = 3 12 15
a) Rút gọn P b) Tìm x để P < c) Tìm số nguyên x để giá trị P số tự nhiên
12 : 6 3 − − − − + − − + − + + − − − = x x x x x x x x x x x P
a) Rút gọn P b) Tìm x để P >
c) Tìm tham số k để có giá trị x thoả mãn P( x +2)=kx+2 13 3 19 26 + − + − − − + − + = x x x x x x x x x P
a) Rút gọn P b) Tính giá trị P x=7−4 c) Tìm giá trị nhỏ P
14
+ + + − − − − + = : 1 1
3 x x
x x
x x P
a) Rút gọn P b) Tìm số nguyên x để giá trị P số tự nhiên
15
+ − − + − + + − − − + = x x x x x x x x x x P : 3 3
a) Rút gọn P
b) x0 nghiệm phương trình x2 - 11x + 18 = 0, tính giá trị P xo
c) Tìm m để phương trình P = m (ẩn x) có nghiệm
16
− − − − + − + + + = : 3 x x x x x x x x A
a) Rút gọn biểu thức b) So sánh A -1 c) Tìm m để phương trình
9 − =
x m
A có nghiệm
17
+ + + + − + − − + − = 1 1 : x x x x x x x x x A
a) Rút gọn biểu thức b) So sánh A │A│ c) Tìm m để phương trình ẩn x:
1 + = x x m
(7)18 1 : 1 + − + + − + − − + − = x x x x x x x x A
a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để giá trị A nguyên
c) Với x > 1, tìm biểu thức
A x Q=
19
− + + + + − − + = x x x x x x x x x x P 2
a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị P biết
7 11 − = x
c) Tìm max biểu thức Q = P 2−x
20
− − + + + + − = x x x x x x x P 1 1 1
a) Rút gọn biểu thức b) Tìm x nguyên để giá trị P nguyên c) Tìm giá trị x nguyên thoả mãn (x - 1).P - x =
21 + − − + − − + − + − + = : 2 x x x x x x x x x P
a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị x để
2 − ≤ P 22 1 1 + + + − − + − − + = x x x x x x x x P
a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị lớn biểu thức
x P
Q= +
23
− + − − − − + − − − + = x x x x x x x x x x A : 3 3
a) Rút gọn biểu thức b) Tìm điều kiện x để │A│>-A c) Tìm x để A2 = 40A
24
+ + + + + + = xy y xy xy x xy y x y xy x xy
A 2 : 2
a) Rút gọn biểu thức
b) Tìm m để phương trình A = m - có nghiệm thoả mãn x+ y =6
25 − − − + − + + − + − − = x ) x )( x x ( x x x x x x x x x A
a) Rút gọn biểu thức
(8)c) Tìm x nguyên để giá trị M nguyên
CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT BÀI 1: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ
1 a) Chứng tỏ hàm số y = (m2 - m + 1)x - 7 hàm số bậc với m thuộc R
b) Với giá trị m, n hàm số y = (m2 - 5m + 6)x2 + (m2 + mn - 6n2)x + hàm số bậc
2 Cho hàm số y = ((m2− 3m− 2m+ 6)x+17
Với giá trị m hàm số đồng biến? Nghịch biến? Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-1;2); B(3; 0); C(3; 5)
a) Tính cạnh tam giác ABC từ suy ABC tam giác cân b) Tính diện tích tam giác ABC
4 Cho hàm số y=( 3− 5)x+ 5+
a) Hàm số cho đồng biến hay nghịch biến R? b) Tìm x để giá trị hàm số
c) Tìm x để f2(x) = + 2 15
5 Cho hàm số bậc y = f(x) = (6 - 3a)x + a -
a) Với giá trị a hàm số đồng biến? Nghịch biến? b) Biết f(2) = 0, hàm số đồng biến hay nghịch biến?
c) Biết f(-1) = 8, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Cho hàm số y = 2x
a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Ba điểm A, B, C thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ -1; 1; Tính khoảng cách từ điểm đến gốc toạ độ
7 a) Trên mặt phẳng toạ độ có đường thẳng d qua gốc điểm A
−; 2,5
, d đồ thị hàm số nào?
b) Điểm B thuộc d có khoảng cách đến trục hoành -5, xác định toạ độ điểm B
8 Cho hàm số y = -2x (d1) y = 1/2x(d2)
a) Vẽ đồ thị hàm số hệ trục toạ độ
b) Vẽ đường thẳng qua điểm (0; 2) song song với trục Ox, cắt (d1) (d2) A; B Chứng minh OAB tam giác vng tính chu vi, diện tích tam giác
9 Cho hàm số y = |x| a) Vẽ đồ thị hàm số
b) Đường thẳng y = cắt đồ thị A B OAB tam giác gì? Tính chu vi, diện tích tam giác
10 Cho hàm số y = (m2 - 2m + 3)x +
a) Hàm số cho đồng biến hay nghịch biến R b) Tìm m, biết đồ thị qua điểm (1; 14)
(9)11 Xác định hàm số có đồ thị đường thẳng // với đồ thị hàm số y = ( 3−1)x qua điểm (1; 3+1)
12 Cho ba đường thẳng y = -x + 1(d1); y = x + 1(d2)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số mặt phẳng toạ độ
b) (d1) cắt (d2) A, đường thẳng y = -1 cắt d1 d2 B C Tìm toạ độ A; B; C
c) ∆ABC ∆gì? Tính diện tích ∆đó 13 Cho đường thẳng (d): y = -2x +
a) Xác định giao điểm A, B (d) với Ox, Oy tính khoảng cách từ gốc toạ độ tới (d)
b) Tính khoảng cách từ điểm C(0, -2) đến (d) 14 Vẽ đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 2|
BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1) Xác định hàm số y = ax + b trường hợp sau, biết:
a) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y=− 3x qua B(1; 3-3)
b) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y = −3 3xvà qua điểm
(1− 5; 15−6)
2) Trên mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(2; 3), B(-1; -3), C(0; -1) a) Tìm hệ số a đường thẳng AB
b) Chứng tỏ ba điểm A, B, C thẳng hàng
3) Tìm giá trị k để ba đường thẳng y = 2x + (d1);
3 + −
= x
y (d2); y =
k k
x
2 − −
(d3) đồng quy mặt phẳng tọa độ
4) Cho hai đường thẳng y = (m + 1)x - y = (2m - 1)x + a) Chứng minh m =
2 −
thì hai đường thẳng vng góc với
b) Chứng minh hai đường thẳng vng góc với tích hai hệ số góc -1
c) Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng cho vng góc với
5) Cho đường thẳng y = 4x (d)
a) Viết phương trình đường thẳng (d2) vng góc với đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ -8
b) Viết phương trình đường thẳng (d3) song song với đường thẳng (d) cắt Ox A, cắt Oy B diện tích tam giác ABO
(10)6) Cho hai đường thẳng y = (k - 3)x - 3k + (d1) y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm giá trị k để:
a) đường thẳng cắt nhau; đường thẳng cắt điểm trục tung
b) đường thẳng song song; đường thẳng trùng 7) Cho đường thẳng (d): y = ax + 3a +
a) Xác định đường thẳng (d) tạo với tia Ox góc 450 b) Xác định a để đường thẳng (d) qua điểm A (-1; -3)
c) Chứng minh với a, họ đường thẳng xác định hàm số luôn qua điểm cố định mặt phẳng toạ độ
8) Cho hai đường thẳng (d1) y = (m + 1)x + (d2): y = 3mx + a) Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng song song với b) Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng vng góc với 9) Cho hai hàm số y = 2x + (d1); y = -1/2x - (d2)
a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ Oxy
b) Gọi giao điểm đường thẳng (d1) với trục Oy A, giao điểm đường thẳng (d2) với trục Ox B, giao điểm đường thẳng (d1) (d2) C Tam giác ABC tam giác gì? Tìm toạ độ điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC
10) Cho hai đường thẳng y = x + (d1); y = 3x + (d2) a) Vẽ đồ thị hàm số hệ trục toạ độ Oxy
b) Gọi giao điểm đường thẳng (d1) (d2) với trục Oy A B Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB
c) Gọi J ≡ (d1) ∩ (d2) Chứng minh ∆ OIJ tam giác vng Tính S tam giác
11) Cho ba đường thẳng: x + y = 1(d1); x - y = (d2); (k + 1)x + (k - 1)y = k + (k ≠ 1) (d3)
a) Tìm giá trị k để ba đường thẳng đồng quy mặt phẳng toạ độ Chứng minh k thay đổi đường thẳng (d3) ln ln qua điểm cố định mặt phẳng toạ độ Oxy
BÀI 3: LUYỆN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ Tìm điểm cố định mà hàm số sau qua với m
a) y = (m - 2)x + b) y = mx + m + c) y = (m - 1)x + 2m - a) Cho đường thẳng d: y = 2x + 11 Xác định đường thẳng d' đối xứng với d qua trục hoành
b) Cho đường thẳng d: y = 2x + Xác định đường thẳng d' đối xứng với d qua đường thẳng y = x
(11)3 Chứng minh đường thẳng không qua gốc toạ độ, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a, cắt trục tung điểm có tung độ b có phương trình là:
b y a x = +
4 Xác định số nguyên a b cho đường thẳng y = ax + b qua điểm A(4; 3) cắt trục tung điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hồnh điểm có hồnh độ ngun dương
5 Cho đường thẳng d: y = (m - 2)x +
a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cố đinh với m b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d
c) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng d lớn Tính hệ số góc đường thẳng
2 y x = +
7 Các điểm A(m; 3) B(1; m) nằm đường thẳng có hệ số góc m > Tìm giá trị m
8 Chứng minh đường thẳng qua điểm A(x1; y1) có hệ số góc a đường thẳng có phương trình y - y1 = a(x - x1)
9 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm toạ độ đỉnh D hình bình hành ABCD
10 Cho điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) Tứ giác ABCD hình gì? CHƯƠNG III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI 1: GIẢI HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Giải hệ phương trình sau phương pháp cộng đại số
a) ( ) ( )
− − = − = − − + 17 99 y x y x y x y x
b) (( ) () ( ) ) = − + + − = − + − 14 y x x x y c) (( ) () ( ))
= + − + = + − + 1 y x y x
d) (( ) () ( )) = − − + = − − + 5 x y x y e) − = + = − 5 5 5 y x x f) − = + = − 10 y x y x g) = − = + , 3 2 y x y x h) = − = + y x y x
(12)d) ( ( ) ) = + + = − − 1 3 y x y x
e) ( ) − = + + = − − 4 5 3 y x y x
f) ( )
= + − = − 28 14 7 y x y x
3 Giải hệ phương trình sau a) (( )()( ))
+ = − + = − + 2 xy y x xy y x
b) (( )()( ) () ( )()( )) = − − − + − = − + − − − 18 3 y x y x y x y x
c) (( )()( ) () ( )()( )) + − = + − − + = − − 4 y x y x y x y x
d) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) − − = − − + + + = − + − 2 2 2 1 y x y x y x y x
e) ( )
= − + + = − + − − 31 16 11 x y x y x y x f) − = − − − = − + + 55 11 3 12 y x y x y x x
4 Tìm giá trị a b để:
a) Đa thức sau đa thức 0: P(x) = (5a - 4b - 3)x + (3a + b + 5) b) Hệ phương trình
= + = + ay bx a by x
nhận x = 1; y = làm nghiệm c) Hệ phương trình
= − + = −
3x y a b y x
nhận x = 2; y = làm nghiệm Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ
a) = + = + 12 4 10 1 y x y x b) = + + − = + + − 1 1 15 y x y x c) = − + − = − − + 20 2 y x y x y x y x d) = + − + − + = + − − − + , 1 3 y x y x y x y x e) = + + − = + − − 15 2 y x y x f) = + + + = + − + 2 y x y x h) = + + − = + − − 13 5 7 y x y x a) = − + − = − + − 18 1 10 1 y x y x b) = + + + = + − + 31 3 y x y x c) = − − = + 33 11 39 13 2 y x y x d) = − = + 10 2 2 y x y x
e) ( )
( ) = + + = − + 3 3 y x y x
f) ( )
(13)6 Biết đa thức P(x) chia hết cho (x - a) P(a) = Hãy tìm giá trị m n cho đa thức:P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x - 1) (x + 2)
7 Tìm giá trị m để: a) Hệ phương trình
= + = − my x y mx
có nghiệm thỏa mãn x > 0; y < b) Hệ phương trình
= + = + my x y mx
có nghiệm thỏa mãn x > 1; y > c) Hệ phương trình
+ = + = + m my x m y mx
có nghiệm nguyên m nguyên d) Hệ phương trình ( )
− = − − = + + 2 m y mx m my x m
có nghiệm thỏa mãn xy đạt giá trị lớn
8 Giải hệ phương trình sau a) = + − = + − = + + z y x z y x z y x b) = − − = + + = − + 40 z y x 39 z y x 36 z y x c) = + + = + + = + + = + + 33 y x t 27 y t z 31 t z x 23 z y x d) = − − + = + − − − = − + − = + + + t z y x t z y x t z y x t z y x e) = + = + = + 18 x z 20 z y 16 y x f) = + = + = + 24 z x xz 12 z y yz y x xy g) = + − = − = + − , y z y x x z h) = + = + = + x z z y y x
9 Tìm giá trị k để hệ phương trình sau có nghiệm
− = + = + − = − + k y k x y x y x
BÀI 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH
(14)1 Giải hệ phương trình sau a)
= − +
= − + −
1
9 2
y x
y x
b)
= + −
= + +
30 25
y y x
x y x
c)
= + +
= + +
= + +
38
46
12
z ay x
z y ax
z y x
(a tham số)
d)
= + +
= + +
= + +
2
2
az y x
a z ay x
a z y ax
(a tham số) e)
( ) ( )( ) ( )( )
− = − + +
− = − + +
− = − + +
a c by x z c a
c b ax z y c b
b a cz y x b
a )
(
(a, b, c tham số, a + b + c ≠ 0)
2 Vẽ đồ thị biểu diễn tập nghiệm phương trình x2 - 2xy + y2 =
3 Đường thẳng ax + by = (a; b > 0) tạo với hai trục toạ độ tam giác có diện tích Tìm tích ab
4 Tìm điểm nằm đường thẳng 8x + 9y = -79, có hồnh độ tung độ số nguyên điểm nằm góc phần tư thứ III
5 Trong hội trường có số băng ghế, băng ghế quy định ngồi số người Nếu bớt băng ghế băng ngồi thêm người thêm chỗ Nếu thêm băng ghế ghế ngồi bớt người giảm chỗ Tính số băng ghế hội trường
6 Người ta cho thêm 1kg nước vào dung dịch A dung dịch B có nồng độ axit 20% Sau lại cho thêm 1kg axit vào dung dịch B dung dịch C có nồng độ axit 33
3
% Tính nồng độ axit dung dịch A
7 Hai vòi nước chảy vào bể 3/10 bể Nếu vòi I chảy giờ, vòi II chảy 4/5 bể Hỏi vịi chảy đầy bể
8 Ba tổ công nhân A, B, C có tuổi trung bình theo thứ tự 37, 23, 41 Tuổi trung bình hai tổ A B 29 Tuổi trung bình hai tổ B C 33 Tính tuổi trung bình ba tổ
9 Ba xe ô tô chở 118 hàng tổng cộng hết 50 chuyến Số chuyến xe thứ chở gấp rưỡi số chuyến xe thứ Mỗi chuyến xe thứ chở tấn, xe thứ hai chở 2,5 tấn, xe thứ ba chở Hỏi ô tô chở chuyến? 10 Ba ca nô rời bến A lúc để đến B Ca nô thứ hai chậm ca nô thứ 3km nhanh ca nô thứ ba km nên đến B sau ca nô thứ trước ca nô thứ ba Tính chiều dài khúc sơng AB
11 Một bè nứa trôi tự ca nơ đồng thời rời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 96 km quay lại A, lẫn vễ hết 14 Trên đường quay A, cách A 24 km ca nơ gặp bè nứa nói Tính vận tốc ca nơ vận tốc dịng nước
(15)12 Hai máy cày có công suất khác làm việc cay 1/6 cánh đồng 15 Nếu máy thứ cày 12 giờ, máy thứ hai cày 20 hai máy cày 20% cánh đồng Hỏi máy làm việc riêng cày xong cánh đồng
13 Một đồn học sinh tổ chức thăm quan tô Người ta nhận thấy xe chở 22 học sinh cịn thừa học sinh Nếu bớt tơ phân phối học sinh lên tơ cịn lại Hỏi lúc đầu có tơ, biết ô tô không chở 32 học sinh
14 Đem số có hai chữ số nhân với tổng chữ số 405 Nếu lấy số viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại nhân với tổng chữ số 486 Tìm số ban đầu
CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN BÀI 1: HÀM SỐ Y = AX2VÀ ĐỒ THỊ
1 Xác định công thức hàm số y = ax2, biết hàm số có đồ thị parabol thoả mãn điều kiện sau:
a) Cắt đường thẳng y = hai điểm A B với độ dài AB = b) Cắt đường thẳng y = -6 hai điểm M N với độ dài MN =
c) Đi qua điểm (-2; -2) Xác định toạ độ điểm C thuộc parabol này, biết khoảng cách từ C đến trục hồnh gấp đơi khoảng cách từ C đến trục tung Vẽ đồ thị hàm số y xx
3 =
3 a) Vẽ đồ thị hàm số
2
x y=−
b) Gọi C điểm tuỳ ý parabol K trung điểm OC Khi điểm C di chuyển parabol điểm K di chuyển đường
4 a) Cho parabol
4
x
y= , điểm A (0; 1) đường thẳng d có phương trình y =
-1 Gọi M điểm thuộc parabol Chứng minh MA khoảng cách MH từ điểm M đến đường thẳng d
b) Cho điểm A (0; a), gọi d đường thẳng có phương trình y = -a Chứng minh quỹ tích điểm M(x; y) cho khoảng cách MH từ M tới d MA parabol
5 Cho hàm số y = x2(P) Xác định vị trí tương đối (P) đường thẳng (d) có phương trình:
a) y = 2x - b) y = 2x c) y = 2x -
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI
1 Dùng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình sau:
(16)a) 6x2 + 71x + 175 = b) x2−( 2+ 8)x+4=0 c) (1+ 3) (x2 − 3+1)x+ 3−1=0 d) -30x2 + 30x - 7,5 = e) (1− 2)x2 −2(1+ 2)x+1+3 2=0 f) ( 3+1)x2+2 3x+ 3−1=0 Giải phương trình với biến x sau:
a) x2 - 11ax + 60a2 = b) x2 + (a + c)x - 2a(a - c) = c) (m2 - n2)x2 - 2mx + = d) x2 + 2(3m + 5)x + 3m + 25 = e) x2- 2(m + 2)x + m2 - 12 = f) (m - 4)x2 - 2mx + m - = g) x2 - mx - 3(m+ 3) = h) mx2 - 4x + =
3 Với giá trị m phương trình có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép
a) mx2+ 2(m + 2)x + = b) x2 - 2(m - 4)x + m2 + m + = c) (m + 1)x2 - m3x + m2(m - 1) = d) (m + 3)x2 - mx + m = Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm
a) mx2 - 2(m - 1)x + m + = b) (m2 - 4)x2 + 2(m + 2)x + x = c) 3x2 −m 3x+1=0
5 Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó?
a) 2x2 + (3m + 1)x - = và 6x2 + (7m - 1)x - 19 = b) x2 + 2x + m = x2 + mx + =
c) x2 + mx + = x2 - x - m = d) x2+ (m - 2)x + = 2x2 + mx + m + = Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam giác
a) Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: a2x2 + (a2+ b2 - c2)x + b2 =
b) Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 - c2)x - 4abx + a2 + b2 - c2) =
7 Tìm giá trị m, biết phương trình x2 + mx + 12 = có hiệu hai nghiệm
8 Chứng minh phương trình sau có nghiệm với a, b, c a) x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x - b) =
b) x2 + (a + b)x - 2(a2 - ab + b2) = c) 3x2 - 2(a + b + c)x + ab + bc + ca =
d) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) =
9 Tìm số nguyên m để nghiệm phương trình sau số nguyên mx2 - 2(m - 1)x + m - =
BÀI 3: ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ÁP DỤNG Tính nhẩm nghiệm phương trình
a) mx2 - 2(m - 1)x + m - = b) (m - 1)x2 + (m +1)x + = Khơng giải phương trình, xét dấu nghiệm phương trình, có a) 3x2 - 7x + = b) 5x2 + 3x - = c) 2x2 + 13x + =
d) 4x2 - 11x + =
(17)3 Xác định giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dấu
a) (m - 1)x2 - 2x + = b) mx2 + 2(m + 1)x - + m =0 Gọi x1; x2 nghiệm phương trình 2x2 - 3x - = Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau
a)
2
1
x
x + b) (x1 - x2)
2 c) x
13 + x23 d) 2
2
1
x x + e)
2
2 2
1
x x
x x x x
− + +
5 a) Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn
5
1
2
x x x x
+ = +
b) Cho phương trình x2 - (m + 2)x + 2x - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình mà khơng phụ thuộc vào m
6 Cho phương trình x2 + mx + n = có 3m2 = 16n Chứng minh hai nghiệm phương trình có nghiệm gấp lần nghiệm
7 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm a) 3va2 b) 2− 3va2+
c) Bình phương nghiệm phương trình x2 - 2x - = d) Nghịch đảo nghiệm phương trình x2 + mx - = e) Luỹ thừa bậc bốn nghiệm phương trình x2 + 5x - = 0 Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + m - =
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để nghiệm phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 =
a) Giải biện luận số nghiệm phương trình
b) Tìm m cho hai nghiệm phương trình thoả mãn 10x1x2 + x12 + x22đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
10 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + =
Tìm giá trị lớn biểu thức A = |x1x2 - 2x1 - 2x2| 11 Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m - =
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m
b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu
12 Cho số a, b, c khác đôi một, c khác Biết phương trình:
(18)x2 + ax + bc = x2+ bx + ca = có nghiệm chung a) Tìm nghiệm cịn lại hai phương trình
b) Chứng minh nghiệm cịn lại nghiệm phương trình x2 + cx + ab =
13 Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt trái dấu a) x2 + 3mx +3x - = b) x2 - 7x + m2 - = c) (2m- 1)x2 - (3m + 4)x + m + =
14 Cho phương trình (k - 1)x2 - 2kx + k - = Gọi x
1 x2 hai nghiệm phương trình Lập hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào k
15 Tìm giá trị m để nghiệm x1 x2của phương trình: a) x2 + (m - 2)x + m + = thoả mãn x12 + x22 = 10 b) x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 thoả mãn x
1 = 2x2 c) x2 - mx + m + = thoả mãn x
1x2 + 2(x1 + x2) - 19 =
16 Gọi x1 x2là hai nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + =
Tìm giá trị lớn biểu thức M = |x1x2 - 2x1 -2x2|
17 Gọi x1 x2là hai nghiệm phương trình x2- mx + m - 1= Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
) (
2
2 2
2
+ +
+
+ =
x x x
x
x x P
18 Cho phương trình ax2+ bx + c = có hai nghiệm m n cx2 + bx + a = có hai nghiệm p q Chứng minh m2 + n2 + p2 + q2 ≥ 19 Cho phương trình x2+ bx + c = có nghiệm x1 x2, phương trình x2 - b2x + bc = có nghiệm x3 x4 Biết x3 - x1 = x4- x2 = Tính b, c
20 Tìm số a b cho phương trình x2 + ax + = x2 + bx +12 = có nghiệm chung |a| + |b| nhỏ
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I Phương trình đa thức bậc cao
1 Phương trình tam thức
a) x4 + 17x2 + 52 = b) 2x4 - 34x2 + 113 = c) x4 + 25x2 + 144 = d) x6 + 9x3 + = e) x8 - 17x4 + 16 = f) x6 + x4 + x2 = Giải phương trình sau
a) 2x3 - 11x2 + 2x + 15 = b) x3 + x2 - 7x + = c) x3 - 13x2 + 42x - 36 = d) x3 - 10x2 + 31x - 30 = e) x3 - 5x2 + x + = f) x3 + 2x - 5 3= g) x3−x− 2=0 h) (x - 2)3 + (x + 1)3 =8x3 -
i) 2x3−22x2 +17 2x−6=0 k) x4 −12x2+16 2x−12=0
m) (x2- 6x)2 - 2(x - 3)2 = 81 n) x4 + (x - 1)(3x2 + 2x - 2) = p) x4 + (x + 1)(5x2 - 6x - 6) = q) x5 + x2 + 2x + =
Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 3.Phương trình đối xứng (phương trình hồi quy)
(19)a) x4 + 5x3 - 12x2 + 5x + = b) 6x4+ 5x3 -38x2 + 5x + =
c) 6x4 + 7x3 - 36x2 - 7x + = d) 6x5 - 29x4 + 27x3+ 27x2 - 29x + = e) x7 - 2x6 + 3x5- x4 - x3 + 3x2 - 2x + = f) 6x5 - 11x4 - 11x + = g) x4 + = 5x(x2 - 3) h) (x2- 6x - 9)2 = x(x2 - 4x - 9)
4.a) (x2 + x + 2)2 - 12(x2 + x + 2) + 35 =
b) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12 = c) x(x - 1)(x + 1)(x + 2) =
d) (x + 1)(x+ 4)(x2 + 5x + 6) = 24 e) (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = f) (x2- 2x + 4)(x2 + 3x + 4) = 14x2 g) (2x2 - 3x + 1)(2x2 +5x + 1) = 9x2 h) (4x + 3)2(x + 1)(2x + 1) = 810 i) (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35 k) (x2 - 3x + 1)(x2 + 3x + 2)(x2 - 9x + 20) = -30
5 a) (x + 5)4 + (x + 3)4 = b) (x + 6)4 + (x + 4)4 = 82 c) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 d) (x - 4,5)4 + (x - 5,5)4 = e) (x - 2)3 + (x - 4)3 = f) ( + 2)4 +( +1)4 =33+12 2
x x
6 Giải phương trình cách biến đổi hai vế thành bình phương lập phương
a) x4 - x2 + 2x - = b) x4 - 9x2+ 24x - 16= c) x4 = 2x2 + 8x + d) (x2 - 16)2 = 16x + e) (x2 - a2)2 = 4ax + f) x4 = 4x - g) x4 = 2x2 - 12x + h) (x2 - x + 1)4 - 6x2(x2 - x + 1)2 + 5x4 = i) x4 = 4x + k) x4 = 8x +
m) x3- 3x2 + 9x - = n) x3 - x2 - x = 1/3
II Phương trình chứa ẩn mẫu (phương trình phân thức hữu tỉ)
1 Giải phương trình sau a) 1 2 − = + − − x x x x x x b) x x x x x x + − = + − − 2 1 c) 16
6 2
− − − = + + + x x x x x x d 4 12 2
3+ − − − − − + + + + =
x x x x x x x
2 Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ a) 12 16 1+26=0
+ − + x x x
x b)
+ = + x x x
x3 13
c)
5 11 25 2 = − − + x x x x d) 3 2
2− + + − + = − +
x x x x x x e) ) ( 2 2 2
2− + + − + = − +
x x x
x x
x f) ( )( ) ( 1)( 4)
8 = + − + +
+ x x x
x g) 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + x x x x x x x x h) 40
1 2
(20)3 Chia tử mẫu cho x đặt ẩn phụ
a)
7 10 4
2− + + − + =
x x x x x x b) 12 15 16 15 15 15 14 15 13 2 2 − = + − + − − + − + − x x x x x x x x
c)
7 10 2
2− + + − + =
x x x x x x
d) 16
3 2 13 2
2− + + + + =
x x x
x x
e)
1 3
2− + + + + =−
x x x x x x f) 15 12 15 15 10 2 + − = + − + − x x x x x x x g) 5 15 15 10 2 2 = + − + − − + − + − x x x x x x x x
4 Thêm bớt hạng tử để bình phương đặt ẩn phụ
a) 11
) ( 25 2 = + + x x
x b)
( 9) 40 81 2 = + + x x x c)
( 1)2 15
2 = + + x x
x d)
( 2) 2 = + + x x x
5 Một số dạng khác
a) 2
1 2 = + + + x x x x
b)
1 2 2 2 = − − − − − + + + x x x x x x
c)
1 48 2 2 = − − + − + − + − x x x x x x
d) ( ) 3 2
1 3 = − − + + − x x x x x x
e) ( )
1 5 = + − + + − x x x x x x
f) ( ) 15
1 8 = − − − − − x x x x x x
g)
4 3 2 1 = − + + + − + + − + − + x x x x x x x x h) 8 4 − + − + − + = + − + − + x x x x x x x x i) 11 6 11 − − = x x
x k)
x x x 78 133 78 133 − − =
III Phương trình vơ tỉ
1 Giải phương trình cách nâng lên luỹ thừa để khử a) 2x+5− 3x−5=2 b) 1+x x2 +4 =x+1 c)
2 9 3 x x x
x = + +
+
d) 15−x+ 3−x =6 e) 4x+1− 3x+4=1 f) x−1− x+1=2 g) x−2 x−1− x−1=1 h) x+ 2x−1+ x− 2x−1=
i) x+ 6x−9 + x− 6x−9 =
(21)a) x2+3x−6+4 x2+3x−6=0 b) x2−4x+4=4 x2−4x+1
c) x2−5+ x2 −6=7 d) x2 −4x−10−3 (x+2)(x−6)=0 e) 2x2−3x+2=2x2−3(x+2) f)
12 2
2
2
2 =
+ + − +
+
x x x
x
3 Giải phương trình cách đưa dạng phương trình chứa dấu GTTĐ a) x2−4x+4+ x2−6x+9=1 b) x+4−4 x + x+9−6 x =1 c) x+6−4 x+2 + x+11−6 x+2 =1 d) x+2−4 x−2 + x+7−6 x−2 =1 Giải phương trình cách nghiệm nhờ ĐKXĐ đánh giá vế a) 2x−1+ x−2= x+1 b) 3x+15− 4x+17= x+2 c) x−1+ x+3+2 (x−1)(x2−3x+5)=4−2x d) x+1+ x+10= x+2+ x+5 2.3.2 HÌNH HỌC
CHƯƠNG I: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BÀI 1: HỆ THỨC CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Cho tam giác ABC vuông A Biết
7 AC AB=
, đường cao AH = 15 cm Tính HB, HC
2 Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn AB = 26 cm, AD = 10 cm đường chéo AC vng góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD
3 Cho tam giác ABC vuông A, đường phân giác AD, đường cao AH AB = 12 cm, AC = 16 cm Tính độ dài đoạn HB, HC, HD
4 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Tính chu vi tam giác ABC biết AH = 14 cm,
4 HC HB=
5 Cho hình thang vng ABCD có góc A = góc D = 900, AB = 15 cm, AD = 20 cm, đường chéo AC BD vuông O Tính diện tích hình thang ABCD
6 Cho hình vng ABCD điểm I nằm A B Tia DI cắt BC E Đường thẳng qua D vng góc với DE cắt BC F
a) ∆ DIF tam giác gì? b) Chứng minh 2 2 DE
1 DI
1 +
không đổi I di chuyển AB
7 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD, CE cắt H Gọi M, N điểm nằm HB HC cho góc AMC = góc ANB = 900 Tam giác AMN tam giác gì?
8 Cạnh huyền tam giác vng lớn cạnh góc vng tam giác 9cm, cịn tổng hai cạnh góc vng lớn cạnh huyền 6cm Tính chu vi diện tích tam giác vng
(22)9 Cho tam giác ABC, đường cao BH đặt BC = a, CA = b, AB = c, AH = c', HC = b' Chứng minh
a) Nếu góc A < 900 a2 = b2 + c2 - 2bc' a) Nếu góc A > 900 a2 = b2 + c2 + 2bc'
BÀI 2: HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG 0) Chứng minh với góc nhọn α ta ln có:
a) sin2α + cos2α = b) tgα.cotgα = c)
α =
α
+ 2
cos tg
1 d)
α = α
+ 2
sin g
cot 1 Tính
A = (sinα + cosα)2 - 2sinα.cosα - B = (sinα - cosα) + 2sinαcosα + C = (sinα + cosα)2 + (sinα - cosα)2 + D = 4cos2α - 6sin2α biết sin α = 1/5
E = sinα.cosα , biết tgα + cotgα = F = cos4α - cos2 α + sin2α biết cos α = 4/5
2 Cho tam giác nhọn ABC có BC = a; AB = c; AC = b a) Chứng minh
C sin
c B sin
b A sin
a
= =
b)SABC= acsinB
2 A sin bc C sin ab
1 = =
c)
bc
a A sin ≤
3 Cho tam giác ABC có BC = a; AB = c; AC = b b + c = 2a Chứng minh a) 2sinA = sinB + sin C
b)
c b
a h
1 h
1 h
2 = + trong h
a; hb; hclần lượt chiều cao ứng với a, b, c Cho tam giác ABC vuông A, ∠C = α (α < 450), trung tuyến AM, đường cao AH Biết BC = a, AC = b, AH = h
a) Tính sinα, cosα, sin2α theo a, b, h b) Chứng minh sin2α = 2sinαcosα
5 Cho tam giác nhọn ABC, ba đường cao AH, BI, CK Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C) SABC Cho tam giác ABC vuông A
a) Kẻ đường cao AA' Gọi E F theo thứ tự hình chiếu điểm A' AC AB Chứng minh 3
3
AB AC BF CE =
b) Cho D điểm cạnh BC, M N hình chiếu điểm D AB AC Chứng minh DB DC = MA MB + NA NC
(23)7 Cho tam giác AMB vuông M Qua B kẻ đường thẳng d vng góc với AB Gọi H K hình chiếu điểm M đường thẳng d AB Cho biết ∠MAB = α (α≤ 450) AB = 2a
a) Tính MA, MB, MH theo a α b) Tính MH theo a 2α
c) Chứng minh cos2α = - sin2α, cos2α = 2cos2α - Giải ∆ABC vuông A, biết:
a) a = 50 cm, góc B = 500 b) b = 21 cm; góc C = 410 Tam giác ABC có AB = 16 cm; AC = 14 cm góc B = 600
a) Tính BC b) Tính SABC
10 Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, đặt BC = a; AC = b; AB = c
Chứng minh AH = asinBcosB; BH = acos2B, CH = asin2B
11 Cho tam giác nhọn ABC, BC = a; CA = b; AB = c Chứng minh b2 = a2 + c2 - 2accosB
12 Cho tam giác ABC cân A, đường cao thuộc cạnh bên h, góc đáy α Chứng minh = α α
cos sin
h S
2
ABC
13 Cho tam giác ABC có AB = AC = 1, góc A = 2α Vẽ đường cao AD, BE
a) Các tỉ số sinα; cosα, sin2α, cos2α biểu diễn đoạn hình?
b) Chứng minh ∆ADC đồng dạng ∆BEC, từ suy ra:
sin2α = 2sinαcosα cos2α = - 2sin2α = 2cos2α-1 = cos2α - sin2α c) Chứng minh
α −
α =
α 2
tg
tg 2
tg
α − α =
α 2
g cot
1 g cot
g cot
14 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Trên cạnh BC lấy điểm E Tia AE cắt đường thẳng CD F Chứng minh 2
AF
1 AE
1 AB
1 = +
Gợi ý: Nhân hai vế đẳng thức với chứng minh hệ thức thu cách vẽ thêm đường phụ
15 Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD CE Chứng minh a) SADE = SABC cos2A b) SBDCE= SABC sin2A
16 Cho tam giác ABC cân A, đường cao BH = h, góc C = α Hãy giải
∆ABC theo h α
17 Hình bình hành ABCD có góc A = 1200, AB = a, BC = b Các đường phân giác góc tạo thành hình tứ giác MNPQ Tính diện tích MNPQ
KIỂM TRA 45'
(24)1 Cho hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo vng góc với Biết AC = 16cm, BD = 12 cm Tính chiều cao hình thang
2 Cho tam giác ABC có AB = 1; góc A = 1050; góc B = 600 Trên cạnh BC lấy điểm E cho BE = Vẽ ED // AB (D∈ AC) Chứng minh
3 AD
1 AC
1
2
2 + =
Gợi ý: Kẻ AK vng góc AC (K∈CB), chứng minh AK = AD Biết sinα + cosα = 7/5 (00 < α < 900) Tính tgα
4 Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Cho biết góc AOD = 700 Tính diện tích tứ giác ABCD (kết làm tròn đến chữ số thập phân
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG VÀ LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG KÍNH - DÂY CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN Gọi I K điểm thuộc cạnh AB, AD hình vng ABCD cho AI = AK Đường thẳng kẻ qua A vuông góc với DI P, cắt BC Q Chứng minh C, D, K, P, Q thuộc đường trịn
2 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi M N hai điểm tuỳ ý cạnh AB AD cho chu vi tam giác ANM = 2a Gọi H hình chiếu C MN Chứng minh điểm H thuộc đường tròn cố định hai điểm M, N di chuyển AB AD
3 Cho đường tròn (O) điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây qua I dây vng góc với OI có độ dài nhỏ
4 Cho nửa đường trịn (O), đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy điểm B C Biết AB = AC = 5, CD = Tính bán kính đường trịn
5 Cho đường trịn (O), đường kính AB, dây cung AC
a) Cho biết khoảng cách từ O đến AC, BC Tính độ dài dây AC, BC bán kính đường trịn
b) Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = CA Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác ABD C chuyển động đường tròn (O)
6 Cho đường trịn (O, R), đường kính AB, dây cung DE Tia DE cắt AB C Biết góc DOE = 900 OC = 3R
a) Tính độ dài CD CE theo R
b) Chứng minh CD.CE = CA.CB
(25)a) Nêu cách dựng dây AB nhận M làm trung điểm
b) Tính độ dài dây AB nói biết R = 7,5 cm, OM = 2,1 cm
8 Cho ∆ABC cân A nội tiếp (O), AC = 40cm, BC = 48cm Tính khoảng cách từ O đến BC
9 Cho ∆ABC cân A nội tiếp (O), cạnh bên b, đường cao AH = h Tính bán kính (O) theo b h
10 Cho điểm A, B, C đường trịn (O) bán kính Chứng minh tồn điểm M nằm (O) cho MA + MB + MC ≥
BÀI 2: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 1.Cho hình thang vng ABCD có góc A = góc B = 900, AB = BC = 1cm, AD = 2cm Chứng minh đường thẳng AC tiếp xúc với đường trịn (D; 2cm) Cho hình vuông ABCD, đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA Đường thẳng kẻ qua I vuông góc với BD cắt AD E
a) So sánh đoạn AE, EI, ID
b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng BD với đường trịn (E, EA)
3 Dựng đường trịn bán kính 2cm, tiếp xúc với đường thẳng xy cho trước qua điểm A cách xy khoảng 3cm
4 Cho đường tròn (O, 15cm), AB dây cung đường trịn Tìm tập hợp trung điểm I AB AB thay đổi (O)sao cho độ dài AB 24cm
5 Cho nửa (O), đường kính AB Qua C thuộc nửa đường trịn, kẻ tiếp tuyến xy nửa đường tròn Gọi M, N hình chiếu A B xy Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C xuống AB Chứng minh:
a) C trung điểm MN b) CH2 = AM BN
c) Tam giác MHN vuông
6 Cho (O) điểm M nằm ngồi đường trịn Qua M dựng hai tiếp tuyến MA, MB với (O) cho AMB = 900 Qua điểm C cung nhỏ AB kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt MA MB P Q Chứng minh
) MB MA ( PQ ) MB MA (
+ <
< +
7 Cho nửa (O), đường kính AB, hai tiếp tuyến Ax, By Trên Ax, By lấy điểm C D Biết AC + BD = CD Chứng minh
a) Góc COD = 900
b) Đường thẳng AB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác COD CD tiếp tuyến (O)
8 Cho tam giác ABC có BC < AC, trung tuyến CD Đường tròn nội tiếp tam giác ACD BCD tiếp xúc với CD E F Chứng minh 2EF = AC - BC
(26)9 Cho tam giác ABC, biết BC = a; CA = b; AB = c Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ∆ABC, S diện tích tam giác Chứng minh
2 ) c b a ( s
S= + +
10 Cho tam giác ABC vuông A, gọi r, R bán kính đường trịn nội tiếp ngoại tiếp ∆ABC Chứng minh AB + AC = 2(r + R)
BÀI 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN
1 Hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc A Đường nối tâm OO' cắt (O) B, cắt đường tròn (O') C DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (D ∈ (O), E ∈ (O')) Gọi M giao điểm hai đường thẳng BD CE Chứng minh:
a) Góc DME = 900 b) MA tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) (O')
c) MD MB = ME MC
2 Cho tam giác ABC vuông A Vẽ (O1) qua A tiếp xúc BC B, (O2) qua A tiếp xúc BC C
a) Chứng minh (O1) (O2) tiếp xúc A
b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung hai đường tròn A
3 Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc M Qua M vẽ hai đường thẳng, đường thẳng thứ cắt hai đường tròn A, B, đường thẳng thứ hai cắt hai đường tròn C, D Chứng minh:
a) Tam giác O1AM đồng dạng tam giác O2BM b) Tam giác MAC đồng dạng tam giác MBD c) AC // BD
4 Cho nửa (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (O'), đường kính OA Qua A vẽ dây cung AC đường tròn (O) cắt (O') M Chứng minh:
a) Hai đường tròn tiếp xúc b) O'M // OC
c) M trung điểm AC OM // BC
5 Cho hai đường tròn (O, R) (O'; R') cắt A B Biết góc OAO' = 900; R = 6cm, R' = 4,5 cm
a) Tính OO'; AB
b) Gọi P trung điểm OO', qua A kẻ cát tuyến vng góc với AP cắt đường trịn (O) C, cắt đường tròn (O') D So sánh AC, AD AB
6 Hai đường tròn (O) (O') tiếp xúc A Gọi OM O'M' bán kính hai đường trịn OM // O'M'
(27)a) Chứng minh đường thẳng MM' qua điểm cố định S bán kính OM O'M' thay đổi
b) Tính SO SO' biết bán kính hai đường tròn (O) (O') cm cm
c) Tam giác AMM' tam giác gì? Vì sao?
7 Cho hai đường trịn (O) (O') giao A B (O, O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Một cát tuyến qua A cắt đường tròn (O), (O') C, D Kẻ OM vng góc CD, O'N vng góc CD
a) Chứng minh MN = 1/2CD
b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh đường thẳng kẻ qua I vng góc với CD qua điểm cố định cát tuyến CAD thay đổi
c) Qua A kẻ cát tuyến song song với đường nối tâm OO', cắt đường tròn (O); (O') P, Q So sánh độ dài đoạn CD PQ
BÀI 4: ÔN TẬP CHƯƠNG II
1 Cho (O1; 17cm) (O2; 10cm) AB tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (O1) A với (O2) B Đường thẳng AB cắt đường nối tâm C Tính độ dài đoạn CO1; CO2biết O1O2 = 21 cm Cho tứ giác ABCD biết đường tròn nội tiếp hai tam giác ABC ADC tiếp xúc nhau, chứng minh đường tròn nội tiếp hai tam giác ABD CBD tiếp xúc
3 Cho hai đường tròn (O) (O') tiếp xúc A, tiếp tuyến chung BC Biết AB = 6cm, AC = 8cm
a) Tính độ dài đoạn BC b) Tính bán kính hai đường trịn
4 Cho hai đường tròn (O,5cm) (O', 2cm) tiếp xúc K AD tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn Vẽ đường kính AB đường tròn (O) Chứng minh AB2 = BK.BD
5 Cho hai đường trịn (O) (O') nằm ngồi Một tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung CD Tính độ dài đoạn OO' biết AB = 1,5CD
6 Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB điểm M nằm đường tròn Vẽ đường tròn (M) tiếp xúc với AB H Qua A B vẽ hai tiếp tuyến AC BD với đường tròn (M)
a) Chứng minh ba điểm C, M, D nằm tiếp tuyến đường tròn (O) điểm M
b) Chứng minh AC + BD khơng đổi, tính tích AC.BD theo CD c) Giả sử CD cắt AB K Chứng minh OB2 = OH.OK
7 Cho điểm A, B, C theo thứ tự đường thẳng AB = 4BC Trên nửa mặt phẳng bờ AC vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính AB nửa đường trịn tâm O' đường kính BC Tiếp tuyến chung FG
(28)của hai nửa đường tròn cắt tiếp tuyến vẽ từ A C hai nửa đường trịn D E Tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn B cắt DE I
a) Chứng minh tam giác OIO', OID O'IE tam giác vng b) Đặt O'C = a Tính BI, EG AD theo a
c) Tính SADEC theo a
8 Cho (O,R) đường thẳng xy không giao Từ điểm M tuỳ ý đường thẳng xy kẻ hai tiếp tuyến MP MQ với đường trịn (O) Qua O kẻ OH vng xy, dây PQ cắt OH I, cắt OM K Chứng minh:
a) OI OH = OK OM = R2
b) PQ qua điểm cố định M thay đổi xy
9 Cho (O, R) tiếp xúc với (O', R') điểm A Đường nối tâm cắt hai đường tròn B B' Chứng minh tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn đường kính OO' BB' qua điểm A cố định 10 Cho (O) điểm P nằm (O) không trùng O Gọi Q điểm tuỳ ý đường tròn (O) Chứng minh điểm Q chuyển động đường trịn (O) giao điểm M đường thẳng kẻ qua O vng góc với PQ tiếp tuyến kẻ từ Q đường tròn (O) chạy đường thẳng cố định
11 Cho nửa (O; R), đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax By tia Oz vuông AB(Ax, By, Oz nằm nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi E điểm thuộc nửa đường trịn Qua E kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By, Oz C, D, M Chứng minh điểm E thay đổi vị trí nửa đường trịn
a) Tích AC BD khơng đổi b) Điểm M chạy tia
c) Tứ giác ACDB có diện tích nhỏ hình chữ nhật Tính diện tích nhỏ
12.Cho đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tia Ax, By song song
a) Dựng đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn AB tiếp xúc với tia Ax, By
b) Tính góc AOB
c) Gọi tiếp điểm (O) với Ax, By, AB M, N, H Chứng minh MN tiếp tuyến đường trịn đường kính AB
d) Các tia Ax, By có vị trí HM = HN?
13 Cho tam giác ABC cân A có BC = 16 cm, AB = 10cm Tính bán kính đường tròn nội tiếp ngoại tiếp khoảng cách hai tâm hai đường trịn
14 Cho hình thang ABCD (góc A = góc D = 900) Tia phân giác góc C qua trung điểm I AD
(29)b) Cho AD = 2a, tính AB CD theo a
c) Gọi H tiếp điểm BC với đường tròn (I), K giao điểm AC BD Chứng minh KH // DC
15 Cho tam giác ABC cân A, O trung điểm BC Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB, AC H K Một tiếp tuyến (O) cắt cạnh AB, AC M, N
a) Cho góc B = góc C = α Tính góc MON theo α
b) Chứng minh OM, ON chia tứ giác BMNC thành tam giác đồng dạng
c) Cho BC = 2a Tính tích BM.CN theo a
d) Tiếp tuyến MN vị trí tổng BM + CN nhỏ
16 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, HB = 20 cm, HC = 45 cm Vẽ đường tròn (A,AH) Kẻ tiếp tuyến BM,CN với đường tròn với M, N tiếp điểm
a) Tính diện tích tứ giác BMNC
b) Gọi K giao điểm CN HA Tính độ dài AK, KN c) Gọi I giao điểm AM CB Tính độ dài IM, IB 17 Cho (O) (O') cắt A B
a) Nêu cách dựng cát tuyến chung CAD (C ∈ (O), D ∈ (O')) cho A trung điểm CD
b) Tính độ dài đoạn CD nói biết OO' = cm, OA = 4cm, O'A = 3cm
18 Cho góc vuông xOy Các điểm A B theo thứ tự di chuyển Ox, Oy cho OA + OB = k (k số) Vẽ đường tròn (A, OB) (B, OA)
a) Chứng minh hai đường trịn (A) (B) ln giao
b) Gọi M,N giao điểm hai đường trịn Chứng minh MN ln qua điểm cố định
19 Cho hai đường tròn (O) (O') tiếp xúc A Gọi AB đường kính (O) AC đường kính (O') DE tiếp tuyến chung hai đường tròn , K giao điểm BD CE
a) Tứ giác ADKE hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AK tiếp tuyến chung (O) (O') c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh MK vuông DE
20 Cho hai đường tròn (O, R) (O', r) tiếp xúc ngoại A Gọi BC DE hai tiếp tuyến chung hai đường tròn
a) Chứng minh BDEC hình thang cân
b) Tính diện tích hình thang cân theo R r
21 Cho hai đường trịn (O) (O') ngồi Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF
(30)a) Gọi M giao điểm AB EF Chứng minh ∆AOM ∆BMO' đồng dạng
b) Chứng minh AE vuông BF
c) Gọi N giao điểm AB EF Chứng minh O, N, O' thẳng hàng 22 Cho ∆ABC có Ab = c, AC = b, BC = a Gọi S diện tích tam giác Chứng minh (a + b + c)(b + c - a) = 4S ∆ABC vng A
CHƯƠNG III: GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN BÀI 1: VỊ TRÍ CỦA GĨC VÀ ĐƯỜNG TRỊN Hồn thành bảng sau để so sánh vị trí góc với đường trịn Tên Hình vẽ Vị trí tâm,
cạnh góc Liên hệ với số đo cung bị chắn
Hệ
1 Cho tam giác OBC cân O, đường cao OH Vẽ đường tròn (O, OB), tia HO cắt đường trịn A Biết góc B = 500 Tính số đo cung nhỏ BC, CA, AB
(31)2 Cho tam giác ABC cân A Trên tia đối tia BA lấy điểm D Vẽ (O) ngoại tiếp tam giác BCD
a) So sánh số đo cung DB, BC, DC
b) Kẻ OI, OH, OK vng góc với DC, DB, BC So sánh đoạn OI, OH, OK
3 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH, trung tuyến AM, phân giác AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác S, N, P
a) Chứng minh MP // AH
b) So sánh góc MAP, MPA, PAS c) Chứng minh cung BN = cung CS
4 Cho đường trịn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn Kẻ MH vng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa (O), vẽ hai đường trịn (O1) (O2) đường kính AH BH cắt MA MB P Q
a) Chứng minh MH = PQ
b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng PQ với hai đường tròn (O1) (O2)
c) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn để tứ giác MPHQ hình vng
5 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp (O) Tia AO cắt đường tròn D
a) Tứ giác BHCD hình gì? Vì sao?
b) Gọi I trung điểm BC, chứng minh OI = 1/2 AH
6 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) điểm M nằm tren cung nhỏ BC Trên tia MA lấy điểm D cho MD = MB
a) Tam giác BMD tam giác gì? Vì sao? b) So sánh hai tam giác ADB CMB c) Chứng minh MA = MB + MC
7 Cho đường tròn (O), dây AB Gọi M điểm cung AB, K trung điểm MB Qua K kẻ KP vuông AM Chứng minh M chuyển động cung AB đường thẳng KP qua điểm cố định
8 Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R), đường cao AH Đặt AB = c, BC = a, CA = b, AH = h Chứng minh
a) b c = 2Rh b) SABC = abc/4R
9 Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Một đường trịn (O) thay đổi có bán kính đường cao AH, tiếp xúc với cạnh BC (O A nằm nửa mặt phẳng bờ BC) cắt Ab AC D E Chứng minh số đo cung DE nằm tam giác ABC không đổi
10 Cho tam giác ABC vng C Tìm điểm N tam giác cho góc NBC = góc NCA = góc NAB
(32)11 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B (O, O' thuộc hai nửa mặt phẳng bờ AB) Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O) A, cắt đường tròn (O') D Các tiếp tuyến hai đường tròn kẻ từ C D cắt I Chứng minh cát tuyến CAD thay đổi
a) Góc CBD khơng đổi b) Góc CID khơng đổi
12 Cho đường trịn (O, R), hai đường kính AB CD vng góc với Trên tia đối tia CO lấy điểm S, SA cắt đường tròn M, tiếp tuyến đường tròn M cắt CD P, BM cắt CD T Chứng minh:
a) PT.MA = MT.OA b) PS = PM = PT
c) Biết PM = R, tính TA.SM theo R
13 Cho đường tròn (O), đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với đường trịn A, qua điểm T đường thẳng d kẻ tiếp tuyến TM với đường tròn Gọi P Q hình chiếu điểm M AB đường thẳng d Chứng minh
a) Các đường thẳng AM, PQ, OT đồng quy I b) MA tia phân giác góc QMO TMP
c) Các tam giác AIQ ATM, AIP AOM cặp tam giác đồng dạng
14 Cho đường tròn (O) điểm C nằm bên ngồi đường trịn Qua C kẻ hai tiếp tuyến CA, CB với đường tròn Vẽ đường tròn (O') qua C tiếp xúc với AB B, cắt đường tròn (O) M Chứng minh đường thẳng AM qua trung điểm BC
15 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B, tiếp tuyến chung MN cắt đường nối tâm I (M, A, N nằm nửa mặt phẳng bờ OO') Chứng minh AI tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN 16 Từ điểm M nằm bên (O), vẽ tiếp tuyến MA cát tuyến MCB (C nằm M B) Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) N Chứng minh:
a) MA = MD b) MA2 = MC MB c) NB2 = NA ND
17 Từ điểm P nằm ngồi (O) vẽ tiếp tuyến PA với đường trịn Qua trung điểm B đoạn PA vẽ cát tuyến BCD với đường tròn Các đường thẳng PC PD cắt (O) E F Chứng minh:
a) Góc DCE = góc DPE + góc CAF b) AP // EF
18 Cho đường tròn (O), hai dây AB CD, AD BC cắt I nằm bên đường tròn, AB CD cắt E nằm bên ngồi đường trịn Đường thẳng kẻ qua E song song với AD cắt CB F Qua F vẽ tiếp tuyến FG với (O) Chứng minh:
(33)19 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm thuộc cung AB, qua D kẻ dây DD' // BC cắt AC F Đường thẳng AD' cắt BC E
a) So sánh tam giác ABD tam giác AEC, tam giác ABE ADC b) Chứng minh AD AE = AB AC
c) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng tam giác AD'B
20 Cho đường tròn (O) điểm S nằm bên ngồi đường trịn Từ S vẽ hai tiếp tuyến SA SA' Phân giác góc BAC cắt BC D, cắt (O) E Gọi H giao điểm OS AA', G F giao điểm OE AA' với BC Chứng minh:
a) SA = SD b) SA2 = SF SG
21 Cho tam giác ABC, phân giác AD Vẽ (O) qua A, D tiếp xúc với BC D, đường tròn cắt AB, AC E F Chứng minh:
a) EF // BC b) AE AC = AB AF c) AE AC = AB AF
22 Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R) Gọi M điểm thuộc cung BC
a) Chứng minh MA = MB + MC
b) Gọi D giao điểm MA BC Chứng minh + =1
MC MD MB MD
c) Tính AM2 + BM2 + CM2 theo R
23 Hai đường trịn (O) (O') có bán kính cắt hai điểm A B Một đường thẳng d song song với OO' cắt đường tròn C, D, E, F theo thứ tự d (C, E thuộc (O), D, F thuộc (O'))
a) Chứng minh CDO'O hình bình hành b) Tính độ dài CD biết AB = a
c) Chứng minh số đo góc CAD khơng phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d (d ln // OO')
24 Cho đường tròn (O') tiếp xúc với (O) A Dây BC đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ H Gọi D, E theo thứ tự giao điểm AB, AC với đường tròn nhỏ Chứng minh rằng:
a) DE // BC b) AH tia phân giác góc BAC 25 Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tiếp tuyến A cắt BC I a) Chứng minh
2
AC AB IC IB =
b) Tính IA, IC biết AB = 20cm, AC = 28 cm, BC = 24 cm
26 Cho hình bình hành ABCD có góc A < 900 Đường tròn (A, AB) cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường tròn (C, CB) cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh rằng:
a) DE = DK b) Năm điểm A, D, C, K, E thuộc đường tròn
(34)BÀI 2: CUNG CHỨA GĨC VÀ BÀI TỐN QUỸ TÍCH
1 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm M nửa đường trịn Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho MN = MB Tìm quỹ tích điển N điểm M chuyển động nửa đường tròn
2 Cho tam giác ABC vng A.Về phía ngồi tam giác vẽ hai nửa đường trịn đường kính AB AC Một cát tuyến thay đổi qua A cắt hai nửa đường trịn nói D E Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng DE
3 Cho đường tròn (O, R) tiếp tuyến Ax Gọi P điểm Ax Qua P kẻ tiếp tuyến PB với đường tròn, PO cắt AB I Tìm tập hợp điểm I P chuyển động Ax
4 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm C chuyển động nửa đường trịn Kẻ CD vng AB Trên đoạn OC lấy điểm E cho OE = CD Tìm tập hợp điểm E
5 Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia Ax, By M N tạo thành hình thang AMNB có diện tích khơng đổi Gọi E trung điểm AB, I hình chiếu điểm E MN Tìm tập hợp điểm I
6 Dựng hình vng ABCD biết đỉnh A, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh CD
7 Cho hình chữ nhật ABCD Tìm điểm E đường thẳng AB cho E nhìn AD BC góc
8 Cho hình bình hành ABCD có góc A < 900 Đường trịn tâm A bán kính AB cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Đường trịn tâm C bán kính CB cắt đường thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh
a) DE = DK b) Năm điểm A, D, C, K, E thuộc đường tròn
9 Qua điểm M thuộc đáy BC tam giác cân ABC, kẻ đường thẳng song song với cạnh bên, chúng cắt AB, AC D, E Gọi I điểm đối xứng với M qua DE Chứng minh rằng:
a) Điểm I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Khi điểm M di chuyển BC đường thẳng IM qua điểm cố định
10 Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, điểm M nằm B C Đường trung trực BM cắt AB E, đường trung trực CM cắt AC F Gọi N điểm đối xứng với điểm M qua EF, I giao điểm MN AD Chứng minh năm điểm A, B, I, C, N thuộc đường trịn
11 Cho hình thang ABCD (AB // CD), O giao điểm hai đường chéo Trên tia OA lấy điểm M cho OM = OB Trên tia OB lấy điểm N cho ON = OA Chứng minh rằng:
(35)a) Bốn điểm D, M, N, C thuộc đường trịn b) Góc ACN = góc BDM
12 Cho tam giác ABC (AC > AB) Đường trịn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC D, E Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AC, BC Gọi K giao điểm MN AI Chứng minh rằng:
a) điểm D, M, N, C thuộc đường tròn a) Ba điểm D, E, K thẳng hàng
13 Cho tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến AM thoả mãn góc BAH = góc MAC Chứng minh góc BAC = 900
Ngày - 11 - 2010
BÀI 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với O Qua O kẻ OE, OF, OG, OH vng góc với AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH nội tiếp
2 Cho đường tròn (O) điểm P nằm bên ngồi đường trịn Từ P kẻ hai tiếp tuyến PA, PB với đường tròn
a) Gọi M điểm nằm A B Đường thẳng kẻ qua M vng góc với OM cắt PA, PB C D Chứng minh MC = MD
b) Trên cung nhỏ AB lấy điểm I Họi H, K, L hình chiếu I AB, PB, PA Chứng minh IH.HL = KH.IL
3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) điểm M cung CD Gọi E, F, G, H hình chiếu điểm M AB, BC, CD, DA Chứng minh:
a) Tam giác MEF đồng dạng tam giác MHG b) ME MG = MF MH
4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đường tròn B C cắt D Qua D kẻ cát tuyến cắt đường tròn E F, cắt cạnh AC I.Cho biết EF //AB, chứng minh I trung điểm EF
5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) điểm M cung BC Qua M kẻ MP, MQ, MR vng góc với BC, AC, AB Chứng minh ba điểm P, Q, R thẳng hàng
6 Cho tam giác nhọn ABC.Vẽ phía ngồi tam giác ba tam giác A1BC, B1AC, C1AB
a) Chứng minh AA1 = BB1 = CC1
b) Ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác cắt điểm
c) Gọi O1, O2, O3 tâm tam giác nêu trên, chứng minh tam giác O1O2O3đều
7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E giao điểm hai đường thẳng AB CD, F giao điểm hai đường thẳng BC AD Phân giác góc E cắt cạnh AD M, cắt cạnh BC P, phân giác góc F cắt cạnh AB N, cắt cạnh CD Q Tứ giác MNPQ hình gì?
(36)8 Cho tứ giác ABCD có AB = BD nội tiếp đường trịn (O) Qua A kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt đường thẳng BC Q Gọi R giao điểm hai đường thẳng AB CD Chứng minh:
a) Tứ giác AQRC nội tiếp b) QR // AD Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
a) Gọi M, N điểm AB AC cho BM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định M, N thay đổi AB,AC
b) Phân giác góc BAC cắt đường tròn (O) E Một đường tròn (O') thay đổi qua A E cắt AB AC tương ứng P Q So sánh BP CQ 10 Cho góc xAy = 450 điểm O nằm góc Vẽ đường trịn tâm O bán kính OA cắt Ax B, cắt Ay C Đường trịn đường kính BC cắt Ax, Ay M N Chứng minh:
a) O trực tâm tam giác AMN b) MN = BC : c) SABC = 2SAMN
11 Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B.Vẽ tia Cx vuông AB, Cx lấy điểm D E cho = =
CD CA CB CE
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BCD cắt H Chứng minh
a) Ba điểm B, H, D thẳng hàng ba điểm A, E, H thẳng hàng
b) Đường thẳng HC qua điểm cố định C di chuyển đoạn AB
12 Cho hình vng ABCD Gọi M N hai điểm cạnh BC CD cho góc MAN = 450 AM AN cắt đường chéo BD theo thứ tự P Q
a) Tam giác AQM tam giác gì? b) C/m C, M, N, P, Q thuộc đường tròn
c) So sánh SAPQ SMNQP
13 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Lấy điểm I thuộc cạnh AC cho góc ABI = góc C Đường trịn (O) đường kính IC cắt BI D cắt BC M Chứng minh:
a) CI tia phân giác góc DCM b) DA tiếp tuyến đường tròn (O)
14 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh
a) BH.BE + CH.CF = BC2 b) AH.AD + BH.BE +
CH.CF =
2
2 2
BC AC
AB + +
15 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H Gọi AM, AN tiếp tuyến với đường trịn (O) đường kính BC Chứng minh rằng:
(37)16 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Các tia phân giác góc A, B, C cắt đường trịn theo thứ tự D, E, F Chứng minh rằng:
a)
2
AC AB
AD> + b) AD + BE + CF lớn chu vi tam giác ABC
17 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BD, CE Vẽ phía ngồi tam giác nửa đường trịn đường kính AB, AC Gọi I, K giao điểm CE, BD với nửa đường trịn Chứng minh AI = AK
18 Cho đường tròn (O) hai điểm B, C thuộc đường tròn Các tiếp tuyến B C cắt A Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC Tiếp tuyến đường tròn M cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi giao điểm OD, OE với BC theo thứ tự I, K Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OBDK, DIKE nội tiếp b) Các đường thẳng OM, DK, EI đồng quy
19 Cho đường trịn (O), qua điểm K nằm ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến KB, KD cát tuyến KAC
a) Chứng minh AB CD = AD BC
b) Vẽ dây CN song song với BD Gọi I giao điểm AN BD Chứng minh I trung điểm BD
20 Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi E hình chiếu B AD, H hình chiếu A BC, M trung điểm BC Chứng minh tam giác MEH cân
21 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = a, CD = b (a < b) Một đường tròn (O) qua A B cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M, N Tính độ dài MN theo a, b, biết tứ giác ABNM CDMN có diện tích
22 Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, BE , CF Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác DEF
a) Chứng minh OA vng EF
b) Tính tỉ số diện tích tam giác DEF ABC theo R r
23 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), điểm E nằm C D Vẽ đường tròn (O) qua E tiếp xúc với AD D Vẽ đường tròn (O') qua E tiếp xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đường tròn Chứng minh rằng:
a) điểm A, B, C, D, K thuộc đường tròn b) Ba điểm K, E, B thẳng hàng
24 Cho tam giác ABC, M thuộc BC D đối xứng M qua AB, E đối xứng M qua AC Vẽ hình bình hành DMEI Chứng minh rằng:
a) điểm D, A, I, E thuộc đường tròn b) AI // BC
(38)