Đang tải... (xem toàn văn)
Neáu moät ñöôøng thaúng song song vôùi moät caïnh cuûa tam giaùc vaø caét hai caïnh coøn laïi thì noù ñònh ra treân hai caïnh ñoù nhöõng ñoaïn thaúng töông öùng tæ leä.. ABC coù MN // B[r]
(1)Phần MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN A PHẦN ĐẠI SỐ :
I PHƯƠNG TRÌNH : 1 Phương trình ẩn
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) =B (x), vế trái A(x) vế phải B(x) Ví dụ : 3x + = phương trình với ẩn x
5x +5 = 91 x +7 phương trình với ẩn x
2.Giải phương trình : Giải phương trình tìm tập nghiệm S phương trình đó.
3 Phương trình tương đương :Hai phương trình có tập hợp nghiệm hai phương trình tương đương Kí hiệu
VD : 2x = x=
4 Phương trình bậc ẩn: Phương trình dạng ax+b = , với a b hai số cho a 0, gọi phương trình bậc ẩn
VD: 3x – =
5 Hai quy tắc biến đổi phương trình:
a Qui tắc chuyển vế : Trong phương trình, ta chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu hạng tử
b Qui tắc nhân với số : Trong phương trình, ta nhân hai vế số khác (hoặc thể chia hai vế số khác 0)
6 Phương trình tích cách giải :
A(x).B(x) = phương trình tích Với A(x), B(x) biểu thức chứa x Cách giải :A(x).B(x) = A(x) =0 B(x) =0
7 Phương trình chứa ẩn mẫu :
Cách giải
Bước 1: Tìm điều kiện xác định mẫu
Bước 2: Qui đồng khử mẫu ( bỏ mẫu ) hai vế phương trình Bước 3: Giải phương trình ( sau bỏ mẫu )
Bước 4: Kiểm tra giá trị vừa tìm ẩn thỏa điều kiện xác định kết luận. 8 Tóm tắt bước giải tốn cách lập phương trình :
Bước : Lập phương trình
- Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số
- Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ chúng (các đại lượng)
Bước : Giải phương trình
Bước :Trả lời kiểm tra xem xong nghiệm phương trình, nghiệm thoả
mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận II BẤT PHƯƠNG TRÌNH :
1 Bất đẳng thức: Hệ thức dạng a b ( hay a > b , a b; a b ) gọi bất đẳng thức ; a gọi vế trái ; b gọi vế phải
VD: -4 +2 < 2
3 Liên hệ thứ tự phép cộng:
Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho
(2)4 Liên hệ thứ tự phép nhân với số dương:
Khi nhân số dương vào hai vế bất đẳng thức ta một bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho.
5 Liên hệ thứ tự phép nhân với số âm:
Khi nhân số âm vào hai vế một bất đẳng thức ta một bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho.
6 Tính chất bắc cầu thứ tự.
Tính chất: Nếu a< b b < c a < c 7.Bất đẳng thức Côsi :
Với a,b số dương, ta có : a b
ab
a b ab 8 Bất phương trình bậc ẩn :
Bất phương trình dạng ax + b < ( ax + b > ,ax + b ≥ 0, ax + b ≤ ) a b hai số cho, a≠ , gọi bất phương trình bậc ẩn
Ví dụ : 2x + 3<0 5x – 10 <0 phương trình bậc ẩn 9 Hai qui tắc biến đổi bất đẳng thức :
a Qui tắc chuyển vế :
Khi chuyển vế hạng tử từ vế sang vế ta phải đổi dấu hạng tử b Qui tắc nhân với số :
Khi nhân hai vế bất phương trình với số khác , ta phải : - Giữ nguyên chiều bất phương số đo dương
- Đổi chiều bất phương số đo dương B PHẦN HÌNH HỌC :
I TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG: 1 Tỉ số hai đoạn thẳng
Định nghĩa: Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng theo đơn vị đo.Tỉ số hai đoạn thẳng AB CD kí hiệu : ABCD
2 Đoạn thẳng tỉ lệ
Định nghĩa: hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ C’D’ nếu có tỉ lệ thức:
' ' ' '
AB A B
CD C D hay ' ' ' '
A B AB
C D CD
3 Định lý Talet tam giác a Định lí Taleùt :
Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
ABC coù MN // BC =>
;
AMANAMAN ABACMBNC
MBNC
ABAC
= =
=
A
(3)b Định lý Talét đảo
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác
hoặc
AM = AN AM = AN MB = NC
AB AC MB NC AB AC => ABC có MN // BC
c Hệ :
ABC có MN // BC =>
AM AN MN
AB AC BC
4 Tính chất đường phân giác tam giác : ABC có AD phân giác góc A =>
DB AB
DC AC
5 Tam giác đồng dạng: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ '; '; '
A A B B C C a Định nghóa :
' ' ' ' ' '
A B B C A C k
AB BC AC A’B’C’ ABC
b Tính chất:
1 Mỗi tam giác đồng dạng với (ABC ABC ) Nếu A’B’C’ ABC thì’ ABC A’B’C
3 Nếu ABC A’B’C’ theo tỉ số đồng dạng k A’B’C’ ABC tỉ số đồng dạng k Nếu A’B’C’ A’’B’’C’’và A’B’C’ A’’B’’C’’ ABC A’B’C
c Hệ :
Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho
d Dấu hiệu nhận biết :
+ Trường hợp : ( ba cạnh tương ứng tỉ lệ ) ' ' ' ' ' '
A B A C B C
AB AC BC => A’B’C’ ABC
+ Trường hợp 2: (Hai cạnh tương ứng tỉ lệ góc tạo cạnh nhau) ' ' ' '
A B A C
AB AC ; A A ' => A’B’C’ ABC
+ Trường hợp : ( hai góc tương ứng ) ^
A= ^A ', \{ ^B= ^B ' => A’B’C’ ABC
Lưu hành nội Trang 3/8
A
B C
N M
C B
A
D <=>
(4)+ Dấu hiệu nhận biết tam giác vng : ( cạnh góc vng cạnh huyền tương ứng tỉ lệ )
A’B’C’ vaø ABC,
0 ' ' ' '
' 90 ;B C A B A A
BC AB
=> A’B’C’ ABC e Tính chất :
A’B’C’ ABC theo tỉ số đồng dạng k, ta có : + A’H’ B’C’; AHBC =>
A'H' A'B'= =k
AH AB (Tỉ số hai đường cao tỉ số đồng dạng )
+
2 A'B'C'
ABC
S =k
S (Tỉ số hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng) II HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG – HÌNH CHĨP ĐỀU :
1 Hình hộp chữ nhật :
- Hình hộp chữ nhật có : mặt, đỉnh 12 cạnh
- Hai mặt hình hộp chữ nhật khơng có hai cạnh chung xem
hai mặt đáy hình hộp chữ nhật , mặt cịn lại gọi mặt bên - Hình lập phương hình hộp chữ nhật có mặt hình vng - Thể tích hình hộp chữ nhật : V = abc
- Theå tích hình lập phương có cạnh a : V = a3
2 Hình lăng trụ đứng :
+ Diện tích xung quanh hình lăng trụ đướng tổng diện tích mặt Sxq = 2p.h ( chu vi đáy nhân đường cao )
+ Diện tích tồn phần hình lăng trụ đứng bằng tổng diện tích xung quanh diện tích hai đáy
Stp = Sxp + S2đáy
+ Thể tích hình lăng trụ đứng diện tích đáy nhân với chiều cao V = S.h
3 Hình chóp : a Hình chóp :
- Đỉnh chung S gọi đỉnh hình chóp
- Đường thẳng qua đỉnh vng góc với mặt đáy gọi đường cao - Hình chóp tứ giác có đỉnh mặt đáy tứ giác ví dụ
hình chóp S.ABCD b Hình chóp :
- S.ABCD hình chóp tứ giác
- Hình chóp hình chóp có đáy đa giác đều, mặt bên tam giác cân
- Diện tích xung quanh hình chóp tích chu vi với trung đoạn : Sxq = p d
- Diện tích tồn phần hình chóp : tổng diện tích xung quanh diện tích đáy
- Thể tích hình chóp
3diện tích đáy nhân chiều cao.
V= S.h
Măt
Đỉnh
B A
D C S
B A
D C S
H I
E F
D
M
C N
(5)c Hình chóp cụt :
Mỗi mặt bên hình chóp cụt hình thang cân PHẦN MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài : Giải phương trình :
a 3x – + x = – x b 3x – = 2x –
c – 3x = – x d – (x – 6) = 4(3 – 2x) e – 4x(25 – 2x) = 8x2 + x – 300 g 3(3x-2) -2(2x+1)=0 Bài : Giải phương trình :
a
7 16
2 x x x b
1
9
x x x x
c
5 5
6
x x x
d
3 2
2
x x x
e
2x-5
x-
5
x x
f x +29 31 − x +27 33 = x +17 43 − x +15 45
Bài : Giải phương trình :
a (3x – 2)( 4x + ) = b 2x (x – 3) +5(x – 3) =
c x (2x – 7) – 4x + 14 = d ( x – 1)(x – 5) = ( x+2 )( x-1 ) e (x2 – 4) – (x – 2)(3 – 2x) = f 2x3 + 6x2 = x2 + 3x
g (2x + 5)2 = (x + 2)2 h x2 – 5x + = 0 Baøi : Giải phương trình :
a) 1 x x x x
b
2
-
2 ( 2)
x
x x x x
e)
2
2( 3) 2 ( 1)( 3)
x x x
x x x x
3
(x1) x (x 3)(x 1)(x 2)(x 3)
g) x −11 +2 x 2−5 x3− 1 =
4
x2+x+1 h)
x+2 x −2−
1 x=
2 x(x −2) Baøi 5: Giải phương trình :
a¿ x+1−
5 x −2=
15
(x +1)(2− x) d¿
1 x-1−
3 x2 x3−1=
2 x x2+x +1 b¿ x-1
x+2− x x −2=
5 x −2
4 − x2 e¿
7 8x+
5 − x 4 x2−8 x=
x − 1 2 x (x − 2)+
1 8 x −16 c¿ x +5
x2− x−
x −5 2 x2
+10 x=
x +25
2 x2− 50 f) 2 x x −1+
4 x2+2 x −3=
2 x −5 x +3
Bài : Giải phương trình sau :
a 3x x b 2x 4x18 c x 3x
d x2 2x10 e x - 5 = f 3x - 1 - x = 2
g 8 - x = x2 + x h x - 4 = -3x + 5
Bài : Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 25 Km/h Lúc người với vận
tốc 30km/h nên thời gian thời gian nửa Tính quãng đường AB
Bài : Tổng hai số 80 , hiệu chúng 14 Tìm hai số
(6)Bài :Một ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B 4h ngược dòng từ bến B bến A
mất 5h Tính khoảng cách hai bến, biết vận tốc dịng nước 2km/h
Bài 10: Trong thư viện trường, tủ sách thứ gấp đôi tủ sách thứ thứ hai Nếu
tăng thêm tủ thứ 20 giảm tủ thứ hai 10 tổng số sách hai tủ 100 Tìm số sách tủ lúc đầu
Bài 13: Một tổ may áo theo kế hoạch ngày phải may 30 áo Nhờ cải tiến kĩ thuật, tổ
đã may ngày 40 áo nên hoàn thành trước thời hạn ngày ngồi cịn may thêm 20 áo Tính số áo mà tổ phải may theo kế hoạch
Bài 14: Một tổ sản xuất dự định hồn thành cơng việc 10 ngày Thời gian đầu, họ
làm ngày 120 sản phẩm Sau làm nửa số sản phẩm giao, nhờ hợp lý hoá số thao tác, ngày họ làm thêm 30 sản phẩm so với ngày trước Tính số sản phẩm mà tổ sản xuất giao
Bài 15 Số lượng gạo bao thứ gấp lần số lượng gạo bao thứ hai Nếu bớt
ở bao thứ 35 kg bao thứ hai 25 kg số lượng gạo hai bao Hỏi lúc đầu bao chứa kg gạo?
Bài 16 Thùng đường thứ chứa 60kg, thùng đường thứ hai chứa 80kg Ở thùng lấy ra
một lượng đường gấp lần lượng lấy thùng Sau đố, lượng đường lại thùng gấp đơi lượng đường cịn lại thùng Hỏi lấy đường thùng?
Bài 17 Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h Sau người trở A với
vận tốc 10km/h Tính quãng đường AB Biết thời gian lẫn hết 4giờ
Bài 18 Một xe máy từ A đến B với vận tốc 30km/h Lúc xe chạy với vận tốc nhanh
hơn lúc 10km/h nên 7giờ Tính quãng đường AB?
Bài 19 Một xe xuôi dốc từ A đến B hết 2h, sau ngược dốc từ B A hết 3h Biêt
vận tốc xi dốc nhanh ngược dốc 20km/h Tính đoạn đường AB?
Bài 20 Cha 40 tuổi 15 tuổi Hỏi năm tuổi cha gấp đôi tuổi con? Bài 21 : Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số.
a – 2x b (x – 3)2 < x2 – 5x +
c (x – 3)(x + 3) (x + 2)2 + 3 d 8x + 3( x + 1) > 5x – ( 2x – 6)
e x3 – 2x2 + 3x – < f x2 – 4x + 0
Baøi 22 : Giải bất phương trình biểu diễn tập nghiệm trục số.
a
4x -
3
x
b
x
5
c
2x
2
x x
d
2
3
2
x
x
e 4 x − 53 > 7 − x
5 f
5x-3 2
5
x x
Baøi 23: Cho m < n Hãy so sánh:
a) m + n + c) – 3m + vaø - 3n +
b) - + 2m vaø - + 2n 5
m
)
2 n vµ d
Bài 24: Cho a > b Hãy chứng minh:
(7)b) - 2a – < - 2b – d) – 4a < – 4b
Bài 25: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = cm Gọi H chân đường vng
góc kẻ từ A xuống BD
a/ Chứng minh AHB BCD b/ Tính độ dài đoạn thẳng AH
c/ Gọi AM đường phân giác góc BAD Tính diện tích tam giác ADM
Bài 26: Cho ABC cân ( AB=AC) ,vẽ đường phân giác BD CE
a) Chứng minh BD = CE b) Chứng minh ED // BC c) Tính ED, biết : AB = 5cm; AE = 3cm; BC = 4cm.
Bài 27 : Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) Kẻ đường cao AH ( H BC) a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA
b) Biết AB = 3cm , BC = 5cm Tính độ dài đoạn HB
Bài 28 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Biết AB=6cm,AC= 8cm.
a/ Tính độ dài BC AH
b/ Tia phân giác góc ABC cắt AH D AC E Chứng minh tam giác BHD đồng dạng tam giác BAE
c/ Chứng minh : AB.HD = AE.HB
d/Tính tỉ số diện tích tam giác ABE vaø BHD
Bài 29 : Cho tam giác ABC vuông A ; AB = 15 cm ; CA = 20 cm , đường cao AH.
a) Tính độ dài BC, AH,
b) Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ hình bình hành ADCE Tứ giác ABCE hình ? Chứng minh
c) Tính độ dài AE
d) Tính diện tích tứ giác ABCE
Bài 30 : Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE CF gặp H, đường
thẳng kẻ từ B song song với CF từ C song song với BE gặp D Chứng minh a) ABE ACF
b) AE CB = AC EF
c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh H, I, D thẳng hàng
Bài 31: Cho tam giác ABC, đường cao BD, CE cắt H Gọi K hình chiếu
H BC.Chứng minh rằng: a.BH.BD = BK.BC b.CH.CE = CK.CB
c BH.BD + CH.CE = BC2
Bài 32: Cho ABC cân A (góc A < 90o) Các đường cao AD CE cắt H.
a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA
b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA Từ suy ra: DC2 = DH DA
c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm Tính EC, HC
Bài 33: Cho hình bình hành ABCD (Aˆ Bˆ) Gọi E hình chiếu C AB, K hình chiếu H BC Chứng minh rằng:
a) AB AE = AC AH b) BC AK = AC HC c) AB AE + AD AK =AC2
(8)Bài 34: Cho ABC, vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB D cắt AC E Qua C
kẻ tia Cx song song với AB cắt DE G
a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG b) Chứng minh: DA EG = DB DE
c) Gọi H giao điểm AC BG Chứng minh: HC2 = HE HA
Bài 35 : Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với kích thước AB = 12 cm, BC = cm
và AE = 10 cm
a) Tính diện tích tồn phần thể tích hình hộp
b) Gọi I tâm đối xứng hình chữ nhật EFGH, O tâm đối xứng hình chữ nhật ABCD Đường thẳng IO song song với mặt phẳng ?
c) Chứng tỏ hình chóp IABCD có cạnh bên Hình chóp IABCD có phải hình chóp khơng ?
d) Tính diện tích xung quanh hình chóp IABCD
Bài 36: Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy 10 cm, trung đoạn bằng 13cm
a) Tính độ dài cạnh bên