Lý thuyÕt 1.§Þnh nghÜa... Cho biÓu thøc:.[r]
(1)Chuyên đề thực phép tính
A Lý thuyết 1.Định nghĩa
* Căn bậc hai số a không âm lµ sè x cho x2 = a.
* Với a > 0, có hai bậc hai a hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là, √a số âm kí hiệu −√a
* Với a 0, √a đợc gọi CBHSH a
x=√a⇔ x ≥ 0 x2
=a
¿{
2 So s¸nh CBHSH.
* a, b số không âm: a < b a < b
3 Căn thøc bËc hai.
* Với A biẻu thức đại số: ngời ta gọi √A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu
* √A xác định (hay có nghĩa) ⇔ A
4.Các công thức biến đổi thức:
1 2
A A A B=- A B2 (A 0, B )
2 AB A B
(A, B ) A AB
B B
(A B 0, B
3 A A
B B (A 0, B > )
8 A A B B
B (A 0, B>0 )
4 2
A BA B
( B )
9
T A B
T
A B
A B
(A, B )
A B= A B2 (A, B ) 10
2
T a A b B T
a A b B
a A b B
B Bài tập áp dơng Bµi tËp 1.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) √22
√23 3√2
¿2
¿ (√22)
2
(2)b) √a¿2
¿ √a
¿3
¿ (2√a)
2
(−3√a)2 Víi a ≥ 0
c) (−√2)2
(−√2)4 (2√3)2
(−√2
2 )
2
(1−√3)2
d) √b¿2
¿ √b
¿3
¿ (−√b)
2
(3√b)2 Víi b ≥ 0
e) √0 , 09 √0 , 0144 √0 , 0001
2√0 ,04 f)
1+√61
4 2−√2
7
3 5−
1 2√1
11 25
Bµi tËp 2.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) √25 36 c) √28 ,9 490 e) −8¿2
34.
¿
√¿
b) √12, 360 d) √0 , 001 250 f) √5 a2 víi a<0
Bµi tËp 3.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) √3.√27 b) √7.√63 c) (2+√3).(2 −√3)
d) √2.√8 e) 2√3(2√6 −√3+1) f) (5+2√6).(5 −2√6) g) √√10+1 √√10 −1 h) (√3+√2).(√3 −√2) i) (√3+√5).(√3 −√5) Bµi tËp 4.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) (√2+1)2 b)
(√2− 1)2 c) (√2+1).(√2− 1)
d) (√3+1)2 e)
(√3− 1)2 f) (√3+1).(√3 −1)
Bµi tËp 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) (3√2+2√3)2 b)
(3√2− 2√3)2 c) (3√2+2√3).(3√2 −2√3)
d) (√5+2√2)2 e)
(√5− 2√2)2 f) (√5+2√2).(√5 − 2√2)
Bµi tËp 6.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a)
√169 196
√2, 25
√ 4 , 41 0 , 0625
√27
√3
√2 18 b) (5√3+3√5):√15 (2√18 −3√32+6√2):√2
Bµi tËp 7.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) (√27 −3√2+2❑
√6):3√3 b) √(√3+1)2
+√(1 −√3)2 c) (√2+1)2+(√2 −1)2
d) (√3+1)2
+(1−√3)2 e) √(√2+1)2−√(1 −√2)2 f) √7+4√3+√7 − 4√3
g) √6+2√5+√6 − 2√5 h) √4 −√7 −√4+√7 i) (3 −√5) (√10−√2)√3+√5 j) √9 −4√5 −√9+4√5 k) √4+2√3 −√4 +2√3 l) (4 +√15) (√10 −√6)√4 −√15 Bµi tËp 8.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) 3√8 −2√75
5√50
1
a√a
2
(3)b) √3(2−√5)2
√18(2 −√3)2
√5(1 −√3)2
4 c)
√(1 −8√2)2
√(1− x )3 √x3(1−√3)3 víi x >
d) √50(5+a)5
√( x − 4)3(1− x )5 víi < x < Bµi tËp 9.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
√2−√8 √2√8 √2+√3 √2−√3
√3−√27−√8+√2 √15.√27 √180 (1+√2+√3)(1+√2 −√3)
√8+√18−√50 (√20−√45+√5).√5 (4 +√15) (√10 −√6)(4 −√15)
√0,4+√2,5 (2+√5) (2−√5) √28 : √7
(√18 - √8) : √2 (√75+√243 - √48) : √3 (20√12 − 15√27):5√3
√12+√27 √20−√5 √2+5√8 −2√50
√12−√27+√108 √5−√80+√125 √45+√80 −√105
√20
√5
5√7 - 7√5+ 2√70
√35 √
3 4+√
1 3+√
1 12
√75+√48 −√300 √8+√18−√50 √32−√50+√98 −√72
` √20− 2√45+3√80−√320 (√2+1)(√2 −1) √√5+3 √√5 − 3
√8+√18− 6√1
2−√200 √
4
3+√12 − 3√
3
1
3√48+3√75 −√27 −10√1
(√2 3+√
3
2).√6 (√
2 3+√
3
2).√6 √
3 20+√
1 60 −2
❑
√
15
√50.√2 √32.√54 √8 √18 √98
√2,5.√40 √4+√15 √4 −√15 √6+2√5 √6− 2√5
√√5+√3+√2 √√5 −√3+√2 (2√5+ 2√45 −√125):√5 √(2+√5)2
−√(2 −√5)2
5
√5
1
√2 −1 (5√15+12√20 − 54√45+√5):2√5
3+√3
√3
15 3√20
2 −√2
√2 −1;
√15 −√6
√2 −√5 ;
3√2 −2√3
√2 −√3 ;
3
√5 −√2+
√6+√2
√3 −1−
√3+1 (
1
√5 −√3+
√5+√3).√5 √6 −2√√2+√12+√18 −√128
√(2+√5)2−√(2 −√5)2 (2+√5)2 - (2+√5)2 √(√3+2)2−√(√3 −2)2
√4+2√3 −√4 −2√3 √2+√3 −√2 −√3 √3+√5+√3 − 2√5
√3,5−√6+√3,5+√6 √2006+2√2005 −√2006 − 2√2005 √1003+√2005 −√1003 −√2005
√8+2√15 −√8 − 2√15 √8+√60 −√8 −√60 √4+√15 −√4 −√15
√17− 12√2+√9+4√2 √16+2√63 −√16 − 6√7 √8+√63 −√8 −3√7
√√5 −√3 −√29 −12√5 √13+30√2+√9+4√2 Bµi tËp 10.Khư mÉu số thức sau:
a)
23
2 − 4√√
3 −1
2+√3 (m+ n)√
1
m2+n2 (m− 3)√
1
(4)b)
√1111
120 √13
13
168 √7
7 48
x
2+¿+√ 2 x
9 +√
x
8
Bài tập 11.Trục thức mẫu:
a)
√5
2√3
√2
a
√b
x +1
√x2− 1
b)
√3+√2
2 2 −√3
√2+1
√2 −1
3√2
√3+1
c)
1+√2+√3
1
√2√3−√2.√√2+√3 Bµi tËp 12.Rót gän biÓu thøc:
a) 2+√3 2 −√3
5+2√6 5 − 2√6
√3 −1
√3+1
b) 2+√3 2 −√3 +
2 −√3
2+√3 √
2+√3+√2 −√3
√2+√3 −√2−√3−
√2+√3 −√2 −√3
√2+√3+√2 −√3 Bµi tËp 13.Rót gän biĨu thøc:
a) 3√8− 4√18+2√50 5√12+2√75− 5√48
b) a
b
√b
√a−
1
a√a
3
b+
3 b√9 ab
3
(a,b> 0)
(√28− 2√3+√7)√7+√84
Bµi tËp 14.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) √3+1
√3 −1+
√3 −1
√3+1
b) √3+1
√3 −1−
√3 −1
√3+1
c) √17− 4√9+4√5 d)
[1 −√2 1+√2 −
1+√2 1−√2]:√72
e)
2+√3−
√3+1
f) 2+√3
√2+√2+√3+
23
223 Bài tập 15.Đơn giản biểu thức:
a) √7+√48 b) √7−√48 c) √2+√3 −√2 −√3
d) √(m+ n)− 2√mn e) √4 x −4√xy+ y f) √5+√24+√5 −√24 Bµi tËp 16.Rót gän biĨu thøc:
a)
1+√2+
√2+√3+
√3+√4+ .+
√99+√100
b)
2+√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ .+
1
100√99+99√100
c)
1 −√2−
√2 −√3+
√3 −√4− .+
1
√99 −√100 Bµi tËp 17.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
(5)b) 2√5 −√125 −√80 3√2 −√8+√50 − 4√32 2√18 −3√80 −5√147+5√245− 3√98 c) √27 −2√3+2√48 − 3√75 3√2 − 4√18+√32−√50 2√3 −√75+2√12−√147
d) √20− 2√45− 3√80+√125 6√12−√20 −2√27+√125 4√24 − 2√54 +3√6 −√150
Chuyên đề rút gon biểu thức
Bµi tËp 1: Rót gän biĨu thøc: A1= [1 −a√a
1 −√a +√a] + [
1 −√a
1− a ] KQ: 1+ √a A2= [1+
a+√a
√a+1] + [1 −
a −√a
√a+1] KQ: 1- a
A3= [x√x + y√y
√x+√y −√xy]+[
√x+√y
x − y ] KQ: √x −√y A4= [
a√a+b√b
√a+√b −√ab]:[a − b]+
2√b
√a−√b
KQ: A5= [√a+b −√ab
√a+√b]:[ a
√ab+
b
√ab− a−
a+b
√ab] KQ: √b −√a
A6= √a+√b− 1
a+√ab +
√a −√b
2√ab [
√b
a −√ab+
√b
a+√ab]
KQ:
√a
A7=
√x −√y¿2 ¿ ¿
[√x − yx −√y−
x√x − y√y
x − y ].¿
KQ: √xy
x −√xy + y
A8= [√x+2√x − 1+√x −2√x −1
√x+√2 x − 1+√x −√2 x −1].√2 x −1 KQ: x>2, A= √2 x −2
1<x<2, A= √2
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B1= [√x +y −√xy
√x +√y]:[ x
√xy + y+
y
√xy − x−
x + y
√xy] a)Rót gän biểu thức B1
b)Tính giá trị biểu thức B1 biÕt x=3, y= + ❑
√3
KQ:
a) √y −√x ; b)
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B2= 2√x − 9
x −5√x+6−
√x +3
√x −2−
2√x+1
3 −√x
a)Rút gọn B2 b)Tìm x để B2<1
KQ: a) √x+1
√x − 3 ;
b) < x <
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B3= a√a− 1
a −√a −
a√a+1
a+√a +[1 −
1
√a][
√a+1
√a −1+
√a− 1
√a+1]
a)Rút gọn B3 b)Tìm a để B2=7
KQ:
a) 2 a+2√a+2
√a ;
(6)B4= [
√a+√a+b−
1
√a+√a+b]:[1−
√a+b
√a − b]
a)Rót gän B4
b)Tính giá trị B4 a= + √2 , b = + √2
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B5= 15√x −11
x +2√x −3+
3√x −2
1−√x −
2√x +3
3+√x
a)Rút gọn B5
b)Tìm giá trị cña x B5 =
KQ:
a) 2 −5√x
√x +3 ;
b) x = 121 Bµi tËp Cho biÓu thøc:
B6= [1 − √x 1+√x]:[
√x+3
√x −2+
√x+2
3 −√x+
√x +2
x −5√x +6]
a)Rút gọn B6 b)Tìm x để B6 <
KQ:
a) √x − 2
1+√x ;
b)
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B7= [√x − 2
x − 1 −
√x+2
x −2√x+1]
x2− x +1
2 a)Rót gän B7
b)Chøng minh víi < x < th× B7 > c)TÝnh sè trÞ cđa B7 x= 0,16
KQ: a) -3x - 3; b)
c)
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B8=
√x −√y¿2+√xy
¿ ¿
[ x − y
√x+√y+
√x3−√y3
y − x ]:¿
a)Xác định x,y B8 tn ti; b)Rỳt gn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ B8; d)So sánh B8 B 8 ;
e)TÝnh sè trÞ cđa B8 x = 1,8; y = 0,2
KQ:
b) √xy
x −√xy + y ; c) B8 = 0;
d) B8 < √B 8 ; e)
Bµi tËp 10 Cho biÓu thøc: B9= √x+4√x − 4+√x −4√x −4
a)Rút gọn B9; b)Tìm x để N=4
Bµi tËp 11 Cho biĨu thøc: B10=
=1- [2 x −1+√x 1− x +
2 x√x+x −√x
1+x√x ].[
(x −√x)(1 −√x)
2√x −1 ]
a)Tìm x để B10 có nghĩa; b) Rút gọn B10
KQ: a) ;
b)
(7)Bµi tËp 12 Cho biÓu thøc: B11= [√a
2 − 2√a][
a −√a
√a+1−
a+√a
√a− 1]
a)Rót gän B11;
b) Tìm giá trị a để B10 = -4
KQ:
a) -2 √a ; b) a =
Bµi tËp 13 Cho biÓu thøc: B ❑12 = [√a+1
√a −1−
√a − 1
√a+1+4√a][√a −
1
√a]
a)Rót gän B ❑12 ;
b) Tìm giá trị B ❑12 biết a = √9 2+√6 ; c)Tìm giá trị a để √B12>B12
KQ: a) 4a ; b) 12
2+√6 ; c) < a <
4
Bµi tËp 14 Cho biĨu thøc: B ❑13 = [x +1
x − 1−
x − 1
x +1]:[
2
x2−1−
x
x −1+
1
x +1]
a)Rút gọn B 13 ;
b) Tìm giá trị cña B ❑13 biÕt x = √3+√8 ;
c)Tìm giá trị x B 13 = 5
KQ: a) 4 x
1 − x2 ;
b) -2;
c) GPTBH ta đợc x ❑1 =
√5 , x ❑2 =
-√5 Bµi tËp 15 Cho biĨu thøc:
B14= [a√a −1
a −√a −
a√a+1
a+√a ]:
a+2 a −2
a)Rót gän B14;
b)Với giá trị nguyên a B14 Z
KQ: a) 2 a − 4
a+2 ;
b) ;
Bµi tËp 16 Cho biÓu thøc: B15= [1+ √x
x+1]:[
1
√x −1−
2√x
x√x+√x − x 1]
a)Rút gọn B15;
b) Tìm giá trị x cho B15 >3; c)Tìm giá trị cña x B15 =
KQ:
a) x +√x+1
√x −1 ;
b) ( √x 12+3>0 x ;
c) Không tồn x TMBT Bµi tËp 17 Cho biĨu thøc:
B16=
√x − 1−√x+
1
√x −1+√x+
√x3− x
√x − 1
a)Rót gän B16;
b) Tìm giá trị x cho B16 =4; c)T×m x Z +❑¿
¿ để B16 Z
+¿
❑¿
KQ:
a) -2 x 1 ;
b); Không tồn x TMBT; c) …
Bµi tËp 18 Cho biĨu thøc: B17= 2 a − a
2
a+3 [
a −2
a+2 −
a+2
a −2+
4 a2 4 − a2]
a)Rót gọn B17;
b) Tìm giá trị a cho B17 =1; c)Khi B17 có giá trị dơng, ©m
KQ: a) 4 a2
a+3 ;
b)Giải PTBH đợc a=
(8)Bµi tËp 19 Cho biÓu thøc: B18=
[ √a
√a+√b+ a
b −a]:[
a
√a+√b−
a√a
a+b+2√ab]
a)Rót gän B18; b) BiÕt r»ng a
b=
1
4 th× B18 =1, hÃy tìm giá trị a, b
KQ:
a) −√a −√b
√a (√a −√b) ;
b)a=4, b=36
Bµi tËp 20 Cho biĨu thøc: B19 = [√a+a
√a+1+1].[1 −
a −√a
√a −1]:
1 −√a
1+√a
a)Rót gọn B19;
b) Tính giá trị biểu thức B19 biÕt a = 27 + 10 √2
KQ:
a) √a+1¿2
¿ ;
b) 38 + 12 √2
Bµi tËp 21 Cho biÓu thøc: B20 = a
3
− a2b −ab2+b3
a3+a2b −ab2− b3
a)Rót gän B20;
b) Tìm tỉ số a b để cho B20 =
KQ: a) a− b
a+b ;
b) a
b=3
Bµi tËp 22 Cho biĨu thøc: B21 = [x −3+
x − 1]:[x −1 −
1
x −1]:
x +2 x
a)Rót gän B21;
b)Tính giá trị B21 x = √6+√20 ; c) Tìm x Z để B21 Z
KQ: a) x −2
x+2 ;
b) √5 −1
√5+3 ;
c)… Bµi tËp 23 Cho biÓu thøc:
B22 = x +2x +3−
x2+x − 6+
1 2 − x a)Rót gän B22;
b)Tính giá trị B22 x = √ 2+√3 c) Tìm x Z để B22 Z
KQ:
a) x − 4
x − 2 ;
b) 2√3 −1
√3 ;
c)… Bµi tËp 24 Cho biĨu thøc:
B23 =
1− x2
¿2 ¿
x¿
¿
a)Rót gän B23;
b)Tính giá trị B23 x = √3+2√2 ; c) Tìm giá trị x để 3.B23=1
KQ: a) x
1+x2 ; b) √2+1
4+2√2 ;
(9)Bµi tËp 25 Cho biĨu thøc: B24 = [2+x
2 − x− 4 x2
x2− 4−
2− x 2+x ]:
x2−3 x
2 x2− x3
a)Rót gän B24;
b)Tính giá trị B24 x = |x 5|=2
KQ: a) 4 x
2
x −3
Bµi tËp 26 Cho biĨu thøc:
B25 = [x − 1x +1 −x − 1x +1]:[x+11 −1− xx +
x2−1]
a)Rót gän B25;
b)Tính giá trị B25 x = √4+2√3 ; c)Tìm x để B25 = -3
a) 4 x 1 − x2 ;
b) 4(√3+1) − −2√3
c) GPTBH x1=2+√13 ;x2=
2 −√13
Bµi tËp 27 Cho biĨu thøc: B26 = [ √x −1
3√x −1−
1 3√x +1+
8√x
9 x − 1]:[1 −
3√x −2
3√x+1]
a)Rót gän B26;
b)Tính giá trị B26 x =6+2 √5 ; c)Tìm x để B25 =
5
a) x +√x
3√x − 1 ;
b) +3√5 3√5+2
c) GPTBH x1=4 ; x2= 25
Bµi tËp 28 Cho biĨu thøc: B27 = 1: [ x +2
x√x − 1+
√x+1
x+√x +1−
√x +1
x −1 ]
a)Rót gän B27;
b)Chøng minh B27 >3 víi mäi x>0; x kh¸c
a) x +√x+1
√x ;
b)…
Bµi tËp 29 Cho biÓu thøc: B28 = [
1 − x+ 1+x]:[
1 1− x−
1 1+ x]+
1
x+1
a)Rót gän B28;
b)Tính giá trị B28 x =1+ √2 ; c)Tìm x để B28 =
2
KQ: a) 2 x +1
x (x +1) ; b)
2√2+3 (1+√2)(√2+2) ; c)GPTBH ta đợc: x=1 x= −2
3 Bµi tËp 30 Cho biÓu thøc:
B29 = [x +1
x − 1−
x − 1
x +1+
x2− x − 1
x2−1 ]
x +2003 x
a)Rót gän B29;
b) Tìm x Z để B29 Z
KQ:
a) x +2003
x ;
(10)1 − a¿2 ¿
A1=(√a− 2
a −1 − √
a+2
a+2√a+1):
2
¿
a)Rút gọn ; b)Tìm Max A Bài tập 32 Cho biÓu thøc:
A2=(1+ √a
a+1):(
1
√a −1−
2√a
a√a+√a −a −1)
a) Rót gän
b) T×m a cho A2 >
c) TÝnh A2 víi a=19− 8√3
KQ : A2=a+√a+1
√a −1
Bµi tËp 33 Cho biÓu thøc:
A3=( x − y
√x −√y−
x√x − y√y
x − y ):
x√x+ y√y
x+ y +2√xy Víi
x>0 y >0 x ≠ y
¿{ { a)Rót gän
b)Chøng minh: <A3 < 1(hc so s¸nh A3víi√A3
)
KQ : A3= √xy
x −√xy+ y
Bµi tËp 34 Cho biÓu thøc:
A4=(2+√x
2 −√x−
2−√x
2+√x−
4 x
x − 4): √
x −3
2√x − x
a) Rót gän
b) Tìm x để A4 >
c) Tìm x để A4 =
KQ : A4= 4 x
√x −3
Bµi tËp 35 Cho biÓu thøc:
A5= x −3
√x −1 −√2
a) Rót gän b) T×m Min A5
KQ : A5=√x −1+√2
Bµi tËp 36 Cho biÓu thøc:
A6=( √x −1
3√x −1−
1 3√x+1+
8√x
9 x −1):(1−
3√x − 2
3√x +1)
a) Rót gän
b) Tìm x để A6=
6
KQ : A6=− x+√x 3√x −1
Bµi tËp 37 Cho biĨu thøc:
A7=(x −3√x
x − 9 −1):(
9− x
x+√x −6+
√x −3
√x −2−
√x +2
√x +3)
KQ : A7=
(11)a) Rót gän
b) Tìm x để A7 <1
c) Tìm xẻ Z để A7 ẻ Z
Bµi tËp 38 Cho biĨu thøc:
A8=(x −5√x
x −25 −1):(
25 − x
x+2√x − 15−
√x+3
√x+5+
√x −5
√x −3)
a) Rót gän
b) Tìm xẻ Z để A8 ẻ Z
KQ : A8=
√x +3
Bµi tËp 39 Cho biÓu thøc:
A9=(√x+ y −√xy
√x+√y):( x
√xy+ y+
y
√xy − x−
x + y
√xy) a) Rút gọn
b) Tính giá trị A9 với x=3 , y=4+2√3
KQ : A9=√y −√x
Bµi tËp 40 Cho biÓu thøc:
A10=(a −√a+7
a − 4 +
1
√a− 2):(
√a+2
√a −2−
√a − 2
√a+2 −
2√a
a − 4)
a) Rót gän
b) So s¸nh A10Víi
1
A10
KQ : A10=a+9 6√a
A11= ( √
x − 4
√x(√x −2)+
3
√x −2):(
√x+2
√x −
√x
√x −2)
a> Rót gän A11
b> TÝnh A11 víi x=6 - √5