Lý thuyÕt 1.§Þnh nghÜa... Cho biÓu thøc:.[r]
(1)Chuyên đề thực phép tính
A Lý thuyết
1.Định nghĩa* Căn bậc hai số a không âm lµ sè x cho x2 = a.
* Với a > 0, có hai bậc hai a hai số đối nhau: Số dơng kí hiệu là, √a số âm kí hiệu −√a
* Với a 0, √a đợc gọi CBHSH a
x=√a⇔ x ≥ 0 x2
=a
¿{
2 So s¸nh CBHSH.
* a, b số không âm: a < b a < b
3 Căn thøc bËc hai.
* Với A biẻu thức đại số: ngời ta gọi √A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dới dấu
* √A xác định (hay có nghĩa) ⇔ A
4.Các công thức biến đổi thức:
1 2
A A A B=- A B2 (A 0, B )
2 AB A B
(A, B ) A AB
B B
(A B 0, B
3 A A
B B (A 0, B > )
8 A A B B
B (A 0, B>0 )
4 2
A BA B
( B )
9
T A B
T
A B
A B
(A, B )
A B= A B2 (A, B ) 10
2
T a A b B T
a A b B
a A b B
B Bài tập áp dơng
Bµi tËp 1.Thùc hiƯn phÐp tÝnha)
√
22√
23 3√2¿2
¿
(
√22)
2
(2)b) √a¿2
¿ √a
¿3
¿ (2√a)
2
(−3√a)2 Víi a ≥ 0
c) (−√2)2
(−√2)4 (2√3)2
(
−√22
)
2
(1−√3)2
d) √b¿2
¿ √b
¿3
¿ (−√b)
2
(3√b)2 Víi b ≥ 0
e) √0 , 09 √0 , 0144 √0 , 0001
2√0 ,04 f)
1+
√
614 2−
√
27
3 5−
1 2
√
111 25
Bµi tËp 2.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) √25 36 c) √28 ,9 490 e) −8¿2
34.
¿
√¿
b) √12, 360 d) √0 , 001 250 f)
√
5 a2 víi a<0Bµi tËp 3.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) √3.√27 b) √7.√63 c) (2+√3).(2 −√3)
d) √2.√8 e) 2√3(2√6 −√3+1) f) (5+2√6).(5 −2√6) g)
√
√10+1√
√10 −1 h) (√3+√2).(√3 −√2) i) (√3+√5).(√3 −√5) Bµi tËp 4.Thùc hiƯn phÐp tÝnha) (√2+1)2 b)
(√2− 1)2 c) (√2+1).(√2− 1)
d) (√3+1)2 e)
(√3− 1)2 f) (√3+1).(√3 −1)
Bµi tËp 5.Thùc hiƯn phÐp tÝnh
a) (3√2+2√3)2 b)
(3√2− 2√3)2 c) (3√2+2√3).(3√2 −2√3)
d) (√5+2√2)2 e)
(√5− 2√2)2 f) (√5+2√2).(√5 − 2√2)
Bµi tËp 6.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a)
√
169 196√2, 25
√
4 , 41 0 , 0625√27
√3
√2 18 b) (5√3+3√5):√15 (2√18 −3√32+6√2):√2
Bµi tËp 7.Thùc hiƯn phÐp tÝnh a) (√27 −3√2+2❑
√6):3√3 b)
√
(√3+1)2+
√
(1 −√3)2 c) (√2+1)2+(√2 −1)2d) (√3+1)2
+(1−√3)2 e)
√
(√2+1)2−√
(1 −√2)2 f)√
7+4√3+√
7 − 4√3g)
√
6+2√5+√
6 − 2√5 h)√
4 −√7 −√
4+√7 i) (3 −√5) (√10−√2)√
3+√5 j)√
9 −4√5 −√
9+4√5 k)√
4+2√3 −√
4 +2√3 l) (4 +√15) (√10 −√6)√
4 −√15 Bµi tËp 8.Thùc hiƯn phÐp tÝnha) 3√8 −2√75
5√50
1
a
√
a2
(3)b)
√
3(2−√5)2√
18(2 −√3)2√
5(1 −√3)24 c)
√
(1 −8√2)2√
(1− x )3√
x3(1−√3)3 víi x >d)
√
50(5+a)5√
( x − 4)3(1− x )5 víi < x < Bµi tËp 9.Thùc hiƯn phÐp tÝnh√2−√8 √2√8
√
2+√3√
2−√3√3−√27−√8+√2 √15.√27 √180 (1+√2+√3)(1+√2 −√3)
√8+√18−√50 (√20−√45+√5).√5 (4 +√15) (√10 −√6)(4 −√15)
√0,4+√2,5 (2+√5) (2−√5) √28 : √7
(√18 - √8) : √2 (√75+√243 - √48) : √3 (20√12 − 15√27):5√3
√12+√27 √20−√5 √2+5√8 −2√50
√12−√27+√108 √5−√80+√125 √45+√80 −√105
√20
√5
5√7 - 7√5+ 2√70
√35
√
3 4+
√
1 3+
√
1 12
√75+√48 −√300 √8+√18−√50 √32−√50+√98 −√72
` √20− 2√45+3√80−√320 (√2+1)(√2 −1)
√
√5+3√
√5 − 3√8+√18− 6
√
12−√200
√
4
3+√12 − 3
√
3
1
3√48+3√75 −√27 −10
√
1(
√
2 3+√
3
2
)
.√6(
√
2 3+
√
3
2
)
.√6√
3 20+
√
1 60 −2
❑
√
15
√50.√2 √32.√54 √8 √18 √98
√2,5.√40
√
4+√15√
4 −√15√
6+2√5√
6− 2√5√
√5+√
3+√2√
√5 −√
3+√2 (2√5+ 2√
45 −√125):√5√
(2+√5)2−
√
(2 −√5)25
√5
1
√2 −1
(
5√
15+12√20 − 54√
45+√5)
:2√53+√3
√3
15 3√20
2 −√2
√2 −1;
√15 −√6
√2 −√5 ;
3√2 −2√3
√2 −√3 ;
3
√5 −√2+
√6+√2
√3 −1−
√3+1
(
1
√5 −√3+
√5+√3
)
.√5√
6 −2√
√2+√12+√
18 −√128√
(2+√5)2−√
(2 −√5)2 (2+√5)2 - (2+√5)2√
(√3+2)2−√
(√3 −2)2√
4+2√3 −√
4 −2√3√
2+√3 −√
2 −√3√
3+√5+√
3 − 2√5√
3,5−√6+√
3,5+√6√
2006+2√2005 −√
2006 − 2√2005√
1003+√2005 −√
1003 −√2005√
8+2√15 −√
8 − 2√15√
8+√60 −√
8 −√60√
4+√15 −√
4 −√15√
17− 12√2+√
9+4√2√
16+2√63 −√
16 − 6√7√
8+√63 −√
8 −3√7√
√5 −√
3 −√
29 −12√5√
13+30√
2+√
9+4√2 Bµi tËp 10.Khư mÉu số thức sau:a)
2
32 − 4
√
√3 −1
2+√3 (m+ n)
√
1
m2+n2 (m− 3)
√
1
(4)b)
√
1111120
√
1313
168
√
77 48
x
2+¿+
√
2 x9 +
√
x
8
Bài tập 11.Trục thức mẫu:
a)
√5
2√3
√2
a
√b
x +1
√
x2− 1b)
√3+√2
2 2 −√3
√2+1
√2 −1
3√2
√3+1
c)
1+√2+√3
1
√
2√3−√2.√
√2+√3 Bµi tËp 12.Rót gän biÓu thøc:a) 2+√3 2 −√3
5+2√6 5 − 2√6
√3 −1
√3+1
b) 2+√3 2 −√3 +
2 −√3
2+√3
√
2+√3+
√
2 −√3√
2+√3 −√
2−√3−√
2+√3 −√
2 −√3√
2+√3+√
2 −√3 Bµi tËp 13.Rót gän biĨu thøc:a) 3√8− 4√18+2√50 5√12+2√75− 5√48
b) a
b
√b
√a−
1
a
√
a3
b+
3 b
√
9 ab3
(a,b> 0)
(√28− 2√3+√7)√7+√84
Bµi tËp 14.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
a) √3+1
√3 −1+
√3 −1
√3+1
b) √3+1
√3 −1−
√3 −1
√3+1
c)
√
17− 4√
9+4√5 d)[
1 −√2 1+√2 −1+√2 1−√2
]
:√72e)
2+√3−
√3+1
f) 2+√3
√2+
√
2+√3+23
223 Bài tập 15.Đơn giản biểu thức:a)
√
7+√48 b)√
7−√48 c)√
2+√3 −√
2 −√3d)
√
(m+ n)− 2√mn e)√
4 x −4√xy+ y f)√
5+√24+√
5 −√24 Bµi tËp 16.Rót gän biĨu thøc:a)
1+√2+
√2+√3+
√3+√4+ .+
√99+√100
b)
2+√2+ 3√2+2√3+
1
4√3+3√4+ .+
1
100√99+99√100
c)
1 −√2−
√2 −√3+
√3 −√4− .+
1
√99 −√100 Bµi tËp 17.Thùc hiƯn phÐp tÝnh:
(5)b) 2√5 −√125 −√80 3√2 −√8+√50 − 4√32 2√18 −3√80 −5√147+5√245− 3√98 c) √27 −2√3+2√48 − 3√75 3√2 − 4√18+√32−√50 2√3 −√75+2√12−√147
d) √20− 2√45− 3√80+√125 6√12−√20 −2√27+√125 4√24 − 2√54 +3√6 −√150
Chuyên đề rút gon biểu thức
Bµi tËp 1: Rót gän biĨu thøc: A1=
[
1 −a√a1 −√a +√a
]
+[
1 −√a
1− a
]
KQ: 1+ √a A2=[
1+a+√a
√a+1
]
+[
1 −a −√a
√a+1
]
KQ: 1- aA3=
[
x√x + y√y√x+√y −√xy
]
+[
√x+√y
x − y
]
KQ: √x −√y A4=[
a√a+b√b
√a+√b −√ab
]
:[a − b]+2√b
√a−√b
KQ: A5=
[
√a+b −√ab√a+√b
]
:[
a√ab+
b
√ab− a−
a+b
√ab
]
KQ: √b −√aA6= √a+√b− 1
a+√ab +
√a −√b
2√ab
[
√b
a −√ab+
√b
a+√ab
]
KQ:
√a
A7=
√x −√y¿2 ¿ ¿
[
√x − yx −√y−x√x − y√y
x − y
]
.¿KQ: √xy
x −√xy + y
A8=
[
√
x+2√x − 1+√
x −2√x −1√
x+√2 x − 1+√
x −√2 x −1]
.√2 x −1 KQ: x>2, A= √2 x −21<x<2, A= √2
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B1=
[
√x +y −√xy√x +√y
]
:[
x√xy + y+
y
√xy − x−
x + y
√xy
]
a)Rót gän biểu thức B1b)Tính giá trị biểu thức B1 biÕt x=3, y= + ❑
√3
KQ:
a) √y −√x ; b)
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B2= 2√x − 9
x −5√x+6−
√x +3
√x −2−
2√x+1
3 −√x
a)Rút gọn B2 b)Tìm x để B2<1
KQ: a) √x+1
√x − 3 ;
b) < x <
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B3= a√a− 1
a −√a −
a√a+1
a+√a +
[
1 −1
√a
]
[
√a+1
√a −1+
√a− 1
√a+1
]
a)Rút gọn B3 b)Tìm a để B2=7
KQ:
a) 2 a+2√a+2
√a ;
(6)B4=
[
√a+√a+b−
1
√a+√a+b
]
:[
1−√a+b
√a − b
]
a)Rót gän B4
b)Tính giá trị B4 a= + √2 , b = + √2
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B5= 15√x −11
x +2√x −3+
3√x −2
1−√x −
2√x +3
3+√x
a)Rút gọn B5
b)Tìm giá trị cña x B5 =
KQ:
a) 2 −5√x
√x +3 ;
b) x = 121 Bµi tËp Cho biÓu thøc:
B6=
[
1 − √x 1+√x]
:[
√x+3
√x −2+
√x+2
3 −√x+
√x +2
x −5√x +6
]
a)Rút gọn B6 b)Tìm x để B6 <
KQ:
a) √x − 2
1+√x ;
b)
Bµi tËp Cho biĨu thøc: B7=
[
√x − 2x − 1 −
√x+2
x −2√x+1
]
x2− x +1
2 a)Rót gän B7
b)Chøng minh víi < x < th× B7 > c)TÝnh sè trÞ cđa B7 x= 0,16
KQ: a) -3x - 3; b)
c)
Bµi tËp Cho biÓu thøc: B8=
√x −√y¿2+√xy
¿ ¿
[
x − y√x+√y+
√
x3−√
y3y − x
]
:¿a)Xác định x,y B8 tn ti; b)Rỳt gn B8;
c)Tìm giá trị nhỏ B8; d)So sánh B8 B 8 ;
e)TÝnh sè trÞ cđa B8 x = 1,8; y = 0,2
KQ:
b) √xy
x −√xy + y ; c) B8 = 0;
d) B8 < √B 8 ; e)
Bµi tËp 10 Cho biÓu thøc: B9=
√
x+4√x − 4+√
x −4√x −4a)Rút gọn B9; b)Tìm x để N=4
Bµi tËp 11 Cho biĨu thøc: B10=
=1-
[
2 x −1+√x 1− x +2 x√x+x −√x
1+x√x
]
.[
(x −√x)(1 −√x)
2√x −1
]
a)Tìm x để B10 có nghĩa; b) Rút gọn B10
KQ: a) ;
b)
(7)Bµi tËp 12 Cho biÓu thøc: B11=
[
√a2 − 2√a
][
a −√a
√a+1−
a+√a
√a− 1
]
a)Rót gän B11;
b) Tìm giá trị a để B10 = -4
KQ:
a) -2 √a ; b) a =
Bµi tËp 13 Cho biÓu thøc: B ❑12 =
[
√a+1√a −1−
√a − 1
√a+1+4√a
]
[
√a −1
√a
]
a)Rót gän B ❑12 ;
b) Tìm giá trị B ❑12 biết a = √9 2+√6 ; c)Tìm giá trị a để
√
B12>B12KQ: a) 4a ; b) 12
2+√6 ; c) < a <
4
Bµi tËp 14 Cho biĨu thøc: B ❑13 =
[
x +1x − 1−
x − 1
x +1
]
:[
2
x2−1−
x
x −1+
1
x +1
]
a)Rút gọn B 13 ;
b) Tìm giá trị cña B ❑13 biÕt x =
√
3+√8 ;c)Tìm giá trị x B 13 = 5
KQ: a) 4 x
1 − x2 ;
b) -2;
c) GPTBH ta đợc x ❑1 =
√5 , x ❑2 =
-√5 Bµi tËp 15 Cho biĨu thøc:
B14=
[
a√a −1a −√a −
a√a+1
a+√a
]
:a+2 a −2
a)Rót gän B14;
b)Với giá trị nguyên a B14 Z
KQ: a) 2 a − 4
a+2 ;
b) ;
Bµi tËp 16 Cho biÓu thøc: B15=
[
1+ √xx+1
]
:[
1
√x −1−
2√x
x√x+√x − x 1
]
a)Rút gọn B15;
b) Tìm giá trị x cho B15 >3; c)Tìm giá trị cña x B15 =
KQ:
a) x +√x+1
√x −1 ;
b) ( √x 12+3>0 x ;
c) Không tồn x TMBT Bµi tËp 17 Cho biĨu thøc:
B16=
√x − 1−√x+
1
√x −1+√x+
√
x3− x√x − 1
a)Rót gän B16;
b) Tìm giá trị x cho B16 =4; c)T×m x Z +❑¿
¿ để B16 Z
+¿
❑¿
KQ:
a) -2 x 1 ;
b); Không tồn x TMBT; c) …
Bµi tËp 18 Cho biĨu thøc: B17= 2 a − a
2
a+3
[
a −2
a+2 −
a+2
a −2+
4 a2 4 − a2
]
a)Rót gọn B17;
b) Tìm giá trị a cho B17 =1; c)Khi B17 có giá trị dơng, ©m
KQ: a) 4 a2
a+3 ;
b)Giải PTBH đợc a=
(8)Bµi tËp 19 Cho biÓu thøc: B18=
[
√a√a+√b+ a
b −a
]
:[
a
√a+√b−
a√a
a+b+2√ab
]
a)Rót gän B18; b) BiÕt r»ng a
b=
1
4 th× B18 =1, hÃy tìm giá trị a, b
KQ:
a) −√a −√b
√a (√a −√b) ;
b)a=4, b=36
Bµi tËp 20 Cho biĨu thøc: B19 =
[
√a+a√a+1+1
]
.[
1 −a −√a
√a −1
]
:1 −√a
1+√a
a)Rót gọn B19;
b) Tính giá trị biểu thức B19 biÕt a = 27 + 10 √2
KQ:
a) √a+1¿2
¿ ;
b) 38 + 12 √2
Bµi tËp 21 Cho biÓu thøc: B20 = a
3
− a2b −ab2+b3
a3+a2b −ab2− b3
a)Rót gän B20;
b) Tìm tỉ số a b để cho B20 =
KQ: a) a− b
a+b ;
b) a
b=3
Bµi tËp 22 Cho biĨu thøc: B21 =
[
x −3+x − 1
]
:[
x −1 −1
x −1
]
:x +2 x
a)Rót gän B21;
b)Tính giá trị B21 x =
√
6+√20 ; c) Tìm x Z để B21 ZKQ: a) x −2
x+2 ;
b) √5 −1
√5+3 ;
c)… Bµi tËp 23 Cho biÓu thøc:
B22 = x +2x +3−
x2+x − 6+
1 2 − x a)Rót gän B22;
b)Tính giá trị B22 x =
√
2+√3 c) Tìm x Z để B22 ZKQ:
a) x − 4
x − 2 ;
b) 2√3 −1
√3 ;
c)… Bµi tËp 24 Cho biĨu thøc:
B23 =
1− x2
¿2 ¿
x¿
¿
a)Rót gän B23;
b)Tính giá trị B23 x =
√
3+2√2 ; c) Tìm giá trị x để 3.B23=1KQ: a) x
1+x2 ; b) √2+1
4+2√2 ;
(9)Bµi tËp 25 Cho biĨu thøc: B24 =
[
2+x2 − x− 4 x2
x2− 4−
2− x 2+x
]
:x2−3 x
2 x2− x3
a)Rót gän B24;
b)Tính giá trị B24 x = |x 5|=2
KQ: a) 4 x
2
x −3
Bµi tËp 26 Cho biĨu thøc:
B25 =
[
x − 1x +1 −x − 1x +1]
:[
x+11 −1− xx +x2−1
]
a)Rót gän B25;
b)Tính giá trị B25 x =
√
4+2√3 ; c)Tìm x để B25 = -3a) 4 x 1 − x2 ;
b) 4(√3+1) − −2√3
c) GPTBH x1=2+√13 ;x2=
2 −√13
Bµi tËp 27 Cho biĨu thøc: B26 =
[
√x −13√x −1−
1 3√x +1+
8√x
9 x − 1
]
:[
1 −3√x −2
3√x+1
]
a)Rót gän B26;
b)Tính giá trị B26 x =6+2 √5 ; c)Tìm x để B25 =
5
a) x +√x
3√x − 1 ;
b) +3√5 3√5+2
c) GPTBH x1=4 ; x2= 25
Bµi tËp 28 Cho biĨu thøc: B27 = 1:
[
x +2x√x − 1+
√x+1
x+√x +1−
√x +1
x −1
]
a)Rót gän B27;
b)Chøng minh B27 >3 víi mäi x>0; x kh¸c
a) x +√x+1
√x ;
b)…
Bµi tËp 29 Cho biÓu thøc: B28 =
[
1 − x+ 1+x
]
:[
1 1− x−
1 1+ x
]
+1
x+1
a)Rót gän B28;
b)Tính giá trị B28 x =1+ √2 ; c)Tìm x để B28 =
2
KQ: a) 2 x +1
x (x +1) ; b)
2√2+3 (1+√2)(√2+2) ; c)GPTBH ta đợc: x=1 x= −2
3 Bµi tËp 30 Cho biÓu thøc:
B29 =
[
x +1x − 1−
x − 1
x +1+
x2− x − 1
x2−1
]
x +2003 x
a)Rót gän B29;
b) Tìm x Z để B29 Z
KQ:
a) x +2003
x ;
(10)1 − a¿2 ¿
A1=
(
√a− 2a −1 − √
a+2
a+2√a+1
)
:2
¿
a)Rút gọn ; b)Tìm Max A Bài tập 32 Cho biÓu thøc:
A2=
(
1+ √aa+1
)
:(
1
√a −1−
2√a
a√a+√a −a −1
)
a) Rót gän
b) T×m a cho A2 >
c) TÝnh A2 víi a=19− 8√3
KQ : A2=a+√a+1
√a −1
Bµi tËp 33 Cho biÓu thøc:
A3=
(
x − y√x −√y−
x√x − y√y
x − y
)
:x√x+ y√y
x+ y +2√xy Víi
x>0 y >0 x ≠ y
¿{ { a)Rót gän
b)Chøng minh: <A3 < 1(hc so s¸nh A3víi
√
A3)
KQ : A3= √xy
x −√xy+ y
Bµi tËp 34 Cho biÓu thøc:
A4=
(
2+√x2 −√x−
2−√x
2+√x−
4 x
x − 4
)
: √x −3
2√x − x
a) Rót gän
b) Tìm x để A4 >
c) Tìm x để A4 =
KQ : A4= 4 x
√x −3
Bµi tËp 35 Cho biÓu thøc:
A5= x −3
√x −1 −√2
a) Rót gän b) T×m Min A5
KQ : A5=√x −1+√2
Bµi tËp 36 Cho biÓu thøc:
A6=
(
√x −13√x −1−
1 3√x+1+
8√x
9 x −1
)
:(
1−3√x − 2
3√x +1
)
a) Rót gän
b) Tìm x để A6=
6
KQ : A6=− x+√x 3√x −1
Bµi tËp 37 Cho biĨu thøc:
A7=
(
x −3√xx − 9 −1
)
:(
9− x
x+√x −6+
√x −3
√x −2−
√x +2
√x +3
)
KQ : A7=
(11)a) Rót gän
b) Tìm x để A7 <1
c) Tìm xẻ Z để A7 ẻ Z
Bµi tËp 38 Cho biĨu thøc:
A8=
(
x −5√xx −25 −1
)
:(
25 − x
x+2√x − 15−
√x+3
√x+5+
√x −5
√x −3
)
a) Rót gän
b) Tìm xẻ Z để A8 ẻ Z
KQ : A8=
√x +3
Bµi tËp 39 Cho biÓu thøc:
A9=
(
√x+ y −√xy√x+√y
)
:(
x√xy+ y+
y
√xy − x−
x + y
√xy
)
a) Rút gọnb) Tính giá trị A9 với x=3 , y=4+2√3
KQ : A9=√y −√x
Bµi tËp 40 Cho biÓu thøc:
A10=
(
a −√a+7a − 4 +
1
√a− 2
)
:(
√a+2
√a −2−
√a − 2
√a+2 −
2√a
a − 4
)
a) Rót gän
b) So s¸nh A10Víi
1
A10
KQ : A10=a+9 6√a
A11=
(
√x − 4
√x(√x −2)+
3
√x −2
)
:(
√x+2
√x −
√x
√x −2
)
a> Rót gän A11
b> TÝnh A11 víi x=6 - √5