Bài 7: Một ô tô đi từ tỉnh A tới tỉnh B trong một thời gian nhất định. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng một mình thì sau bao lâu thì đầy bể... Sau khi làm chung được 5h thì một người phải đ[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG TOÁN I) ĐẠI SỐ:
A KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn:
Một hệ hai phương trình bậc với hai ẩn số x y hệ phương trình có
dạng :
(I) ' ' ' (1)
(2) ax by c a x b y c
ax + by = c a’x + b’y = c’là phương trình bậc hai ẩn.
Minh họa hình học:
Gọi (d1), (d2) hai đường thẳng xác định phương trình (1) (2)
trong hệ (I).Ta có :
Nếu (d1) cắt (d2) hệ (I) có nghiệm ;
Nếu (d1) // (d2) hệ (I) vơ nghiệm
Nếu (d1) (d2) hệ (I) có vơ số nghiệm
Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số phương pháp a) Để giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số, ta làm sau:
Nhân vế hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ
số x (hoặc y) hai phương trình hệ đối
Sử dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình có
phương trình ẩn
Giải hệ phương trình vừa thu
b) Để giải hệ phương trình phương pháp , ta làm sau:
Từ phương trình ẩn, ta biểu thị x theo y (hoặc y theo x )
Thế biểu thức vừa tìm x (hoặc y)vào phương trình cịn lại để
phương trình ẩn y (hoặc x) Giải phương trình bậc vừa tìm
Thay giá trị vừa tìm ẩn y (hoặc x) vào biểu thức tìm bước
thứ để tìm giá trị ẩn cịn lại * Bổ sung
1) Ta chứng minh được:
Hệ (I) có vơ số nghiệm
' ' '
a b c
a b c ; (a’, b’,c’ 0)
Vô nghiệm
' ' '
a b c
a b c (a’, b’,c’ 0)
Có nghiệm
' '
a b
a b (a’, b’ 0)
2) Để giải hệ phương trình,có ta đặt ẩn phụ sau giải phương pháp cộng phương pháp
3) Một đa thức tất hệ số
B KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PT BẬC MỘT ẨN 1 Phương trình bậc hai ẩn:
(2)Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0, x
ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số a0
* Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0, a0 biệt thức = b2 – 4ac:
Nếu < phương trình vơ nghiệm
Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
b a
Nếu > phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 =
2 b
a
x
2 =
2 b
a * Công thức nghiệm thu gọn
Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0, a0 có b = 2b’, ’ = b’2 – ac:
Nếu ’ < phương trình vơ nghiệm
Nếu ’ = phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =
' b
a
Nếu ’ > phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = b' '
a
x
2 = b' '
a .
Hệ thức Vi-ét:
Nếu phương trình ax2+ bx + c = ( a 0) có hai nghiệm x
1, x2
1
1
b x x
a c x x
a
Ứng dụng:
a) Tính nhẩm nghiệm:
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có a + b + c = phương trình có
nghiệm x1 = 1, cịn nghiệm là: x2 =
c a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có a - b + c = phương trình có nghiệm
x1 = -1, nghiệm là: x2 =
-c a
b) Hệ thức Vi-ét đảo : Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình :
X2– SX +P = (1) (điều kiện để có hai số S2 – 4P ≥ 0)
c) Chú ý :
Trước áp dụng hệ thức Vi- ét cần tìm điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai: a ≥ 0
4 Bổ sung:
* Xét dấu nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = ( a 0) (1)
Điều kiện để phương trình (1)
+ Có nghiệm trái dấu là: P <
+ Có hai nghiệm dấu là: ≥ P >
Có nghiệm dương là: ≥ 0, P > 0, S >
(3)C MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1 Phương trình đa thức có bậc lớn hai:
Phương pháp giải :
a) Đưa phương trình tích A(x).B(x) M(x) = A(x) , B(x), ,M(x) đa thức có bậc khơng q
b) Đặt ẩn phụ :
Nhiều phương trình đa thức bậc cao ta giải phương pháp đặt ẩn phụ Để giải toán phương pháp này, ta cần ý:
Bước 1: Lựa chọn cách đặt ẩn phụ f(x) = t (hoặc u,v, y, ) hợp lí đặt điều kiện cho ẩn phụ
Bước 2: Viết phương trình ban đầu thành phương trình theo ẩn t
Bước 3: Giải phương trình theo ẩn t, loại nghiệm không phù hợp với điều kiện giải phương trình phụ f(x) = t để tìm x
Một số phương trình bậc cao thường gặp:
* Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = ( a 0) (1)
Cách giải: Đặt ẩn phụ x2 = t ( t 0) Ta phương trình bậc hai ẩn t
at2 + bt + c = 0,
* Phương trình hệ số đối xứng bậc bốn: ax4 + bx3 + cx2+ bx + a = ( a 0).
Nhận xét: Ở vế trái, hệ số số hạng đối xứng qua số hạng x = khơng nghiệm phương trình
Hướng giải : Chia hai vế phương trình cho x2 , nhóm lại ta được
a(x2 +
2
1
x ) + b(x +
1
x) + c = Đặt x1
x = t , điều kiện |t| ≥
2
1
x
x = t
2 - 2, dẫn đến phương trình bậc
hai : at2 + bt + c - 2a = Từ tính t tính x theo phương trình x2 - tx + = 0
* Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c
Cách giải: Đặt ẩn phụ x +
a b
= y
2 Phương trình chứa ẩn mẫu: Hướng giải:
* Tìm ĐKXĐ phương trình
* Khử mẫu để đưa phương trình bậc hai
3 Phương trình có chứa ẩn dấu :
Hướng giải:
* Tìm ĐKXĐ phương trình
* Bình phương hai vế để khử dần dấu Cần thử lại để loại trừ nghiệm ngoại lai
4 Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp chung khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý : Để giải phương trình bậc cao bậc hai ta dùng phép thử trực tiếp để
tìm nghiệm
(4)+ Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ, phương trình có nghiệm x = -
(Với phương trình ax3 + bx2+ cx + d = điều kiện a - b + c - d = 0)
Bài 1: Khơng giải mà dựa vào phương trình hệ Hãy cho biết số nghiệm hệ phương trình sau giải thích sao?
a) yy 42x x1
b)
1 3 y x y x c) 4 1 x y x y
Bài 2: Cho hai phương trình x + 2y = 2x + 3y = a) Tìm dạng tổng quát nghiệm phương trình
b) Vẽ đường thẳng xác định pt hệ trục tọa độ xác định nghiệm chúng
Bài 3: Tìm a b:
a) Để đường thẳng y = ax + b qua điểm A(1;2) B(3;4)
b)Để đường thẳng ax – 8y = b qua điểm M(9; - 6)và qua giao điểm hai đường thẳng (d1): 2x + 5y = 17, (d2): 2x – 5y =
Bài 3: Giải hpt sau: a) 40
3
x y y x
b)
5 22 x y x y
c)
2
2 x y x y d) 1 x y x y e) 1 2 3 x y x y
Bài 4: Cho hệ phương trình:
(1 )
kx ky k x y
a) Giải hệ với k =
b) Tìm k để hệ có nghiệm âm
Bài 5: Tìm chữ số biết chữ số hàng chục gấp đôi chữ số hàng đơn vị đổi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị cho số nhỏ số ban đầu 36 đơn vị
Bài 6: Từ thành phố cách 126km có tơ người khởi hành lúc Nếu ngược chiều gặp sau 3,5 Nếu chiều tơ đuổi kịp người sau 4,5 Tính vận tốc tơ người
Bài 7: Một ô tô từ tỉnh A tới tỉnh B thời gian định Nếu chạy với vân tốc 45km/h đến B chậm 0,5h chạy với vận tốc 60km/h đến B sớm 45 phút Tính quãng đường AB thời gian dự định ban đầu
Bài 8: Hai vịi nước chảy vào bể sau
3h đầy bể cho vòi thứ chảy
6h vòi thứ chảy
5h
(5)Bài 9: Hai công nhân làm cơng việc sau 5h 50 phút xong Sau làm chung 5h người phải điều làm việc khác nên người phải làm tiếp 2h xong công việc Hỏi người pahir làm xong công việc
Bài 10: Cho hàm số 2
y x yx2 y2x2
a) vẽ đồ thị ba hàm số mặt phẳng tọa độ
b) tìm điểm A,B,C có hồnh độ 1,5 theo thứ tự đồ thị Xác định tung độ chúng
c) Tìm điểm A’,B’,C’ có hồnh độ -1,5 theo thứ tự đồ thị Xác định tung độ chúng
d) Có nhận xét đb, nb hàm số
Bài 11: Giải phương trình sau a)
8x 3x0 b)x2 4,5x4,5 0 c)4x2 6x 2
Bài 12: Cho phương trình x2 2(m 2)x m2 0
a) giải phương trình với m =
b) giải biện luận số nghiệm phương trình
bài 13: Đối với pt cho sau đây, tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép
2(2 1)
mx m x
Bài 14: Đối với pt cho sau đây, tìm giá trị m để phương trình có nghiệm tính nghiệm phương trình theo m
2x2 (4m 3)x 2m2 1 0
Bài 15: Chứng tỏ pt x2 2x 15 0
có nghiệm Hãy tìm nghiệm Bài 16: Tìm số u v biết
a) u v 5 uv24
b) u v 4 uv19
c) 2
85
u v uv18 Bài 17: Cho pt
7
x x m Tính giá trị m biết phương trình cho có
nghiệm x x1, 2thỏa mãn điều kiện x1 x2 5
Bài 18:Cho phương trình x2 – (2m+1)x + 7m – 1= (1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm
Bài 18: Giải phương trình: a)
14
9 3
x
x x x x
b)
1
1
2 12
x
x x x
c) 36t4 13t2 1 0
d) t4 1,16t2 0,16 0
e) x 3x – 12 2 2(x2 3x 1) 0
f) (2x2 x 2)2 10x2 5x 16 0
(6)Bài 19: Đường cao tam giác vuông 9,6m chia cạnh huyền thành hai đoạn 5,6m Tính độ dài cạnh huyền
Bài 20: Một ca nô xuôi khúc sông dài 90km ngược dịng 36km Thời gian xi dịng nhiều thời gian ngược dịng 2h vận tốc xi dịng vận tốc ngược dịng 6km/h tìm vận tốc ca nơ xi dịng ngược dòng
Bài 21: Hai vòi A B chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 2h55p chảy riêng vịi A chảy đầy bể nhanh vòi B 2h Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể
II) HÌNH HỌC:
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, AC lấy điểm M vẽ đường trịn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn D Đường thẳng DA cắt đường tròn S
(S nằm A D) CMR:
a) ABCD tứ giác nội tiếp b) Góc ABD = góc ACD
c) CA phân giác góc SCB
Câu 2: Cho hình vng ABCD, điểm E BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường vng góc cắt DE H cắt DC K
a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp b) Tính số đo góc CHK c) CMR: KC.KD = KH.KB
Câu 3: Cho tam giác ABC cân A có cạnh đáy nhỏ cạnh bên, nội tiếp đường tròn (0) Tiếp tuyến B C đường tròn cắt tia AC tia AB D E
a) CMR: BD2 = AD CD.
b) Tứ giác BCDE tứ giác nội tiếp c) BC // DE
Câu 4: Cho nửa đường trịn đường kính AB Trên cung AB lấy hai điểm M N cho M Ỵ AN» Có AM cắt BN E; AN cắt BM F
Chứng minh rằng:
a) EMFN tứ giác nội tiếp b) AEF = ABM· ·
c) EF ^ AB
Câu 5: Cho tam giác ABC vng A đường cao AH Vẽ đường trịn tâm O đường kính AB biết BH 2cm HC = 6cm Tính:
a) Diện tích hình trịn tâm (o)
b) Tổng diện tích hình viên phân AmH BnH (ứng với cung nhỏ) c) Diện tích hình quạt trịn AOH (ứng với cung nhỏ AH)
Câu 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R = cm
a) Hãy tính góc AOB, Biết độ dài cung AmB tương ứng
cm b) Tính diện tích hình quạt tròn OamB