Đề thi và lời giải.[r]
(1)(2)Lời giải thi mơn Tốn
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Thành phố Hà Nội Năm học 2008 – 2009
Giải đề :QK
Bài I.Cho biểu thức P=(
√x+
√x
√x+1):
√x x+√x a) Rút gọn P
P=(
√x+
√x
√x+1):
√x x+√x=
√x+1+x
√x(√x+1):
√x
√x(√x +1) P= √x+1+ x
√x(√x+1):
1
√x +1=
√x +1+x
√x(√x +1).(√x+1) P=x+√x +1
√x b) Tính giá trị P x = 4
Với x = P=4 +√4+1
√4 =
7
c) Tìm x để P=13
3
Đkxđ: x>0
P=13
3 ⇔ x+√
x+1
√x =
13
3 ⇔ 3(x+√x +1)=13√x⇔3 x −10√x +3=0 (1)
Đặt √x=t ; điều kiện t >
Phương trình (1) ⇔3 t2
−10 t +3=0 ; Giải phương trình ta t=3 ¿ t=1 ¿ ¿ ¿ ¿
(thoả mãn điều kiện) *) Với t = ⇔√x=3⇔ x=9
*) Với t=1
3⇔√x= 3⇔ x=
1
Bài II Giải toán cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ làm tháng đầu x (xN*; x < 900; đơn vị:chi tiết máy)
Số chi tiết máy tổ thứ hai làm tháng đầu 900-x (chi tiết máy) Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nên tổ I làm 115%x=1,15x (chi tiết máy)
Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nên tổ II làm 110%(900-x)=1,1(900-x) (chi tiết máy)
(3) 1,15x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010 0,05x = 20 x = 20:0,05
x = 400 (thoả mãn điều kiện) tháng thứ tổ I sản xuất 400 chi tiết máy tổ II sản xuất 900 – 400 = 500 chi tiết máy
Bài III Cho Parabol (P) y=1
4 x
2
đường thẳng (d) y = mx +
1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt.
Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P):
1 x
2=mx+1⇔ x2− mx− 4=0(∗)
Học sinh giải theo hai cách sau: Cách 2 m¿2+4=4 m2+4 >0∀ m
Δ'=¿
(*) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m
Cách Vì a.c = (-4) = -4 <0 ∀ m
(*) ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m
2) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc toạ độ)
Vì phương trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên đồ thị hai hàm số có dạng
Gọi toạ độ điểm ; giả sử x1 < < x2
(4)Ta có:
OC=|x2|=x2;OD=|x1|=− x1;CD=OC+OD= x2− x1 BC=|y2|=1
4x2
2;AD=
|y1|=
1 4x1
2
Ta có
SOAB=SABCD− SOBC− SOAD=(AD+BC)CD
2 −
1
2OC BC−
2OD AD
SOAB= (14 x2
2
+1 4x1
2
)(x2− x1)
2 −
1 2x2
1 4x2
2 −1
2(− x1)
1 x1
2
SOAB=1 8(x2
2
+x12)(x2− x1)−
1 8x2
3
+1 x1
3
=1 x1
2x 2−
1 x2
2x 1=
1
8x1x2(x1− x2)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:
x1+x2=4 m ;x1x2=−4
Ta có
(x1− x2)
=(x1+x2)
− x1x2=16 m
+16=16(m2+1)
⇒|x1− x2|=√16(m2+1)=4√m2+1 ⇒ x1− x2=− 4√m
2+1
(x1<x2) SOAB=1
8 x1x2(x1− x2)=
1
8.(− 4).(− 4√m
2+1)=2
√m2
+1
Bài IV
a) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA
Xét (O) có (EK phân giác Ê)
(hai cung chắn hai góc nội tiếp nhau) (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét KAF KEA:
(5)(chứng minh trên)
KAF đồng dạng với KEA (g-g)
b) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA
- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O E
Ta có O, I, E thẳng hàng OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O)
- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB F:
Dễ dàng chứng minh EIF cân I EOK cân O
Mà hai góc vị trí đồng vị IF // OK (dấu hiệu nhận biết)
Vì (chứng minh trên)
Ta có IF // OK ; IFAB
Mà IF bán kính (I;IE) (I;IE) tiếp xúc với AB F
c) Chứng minh MN//AB
Xét (O):
(góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Xét (I;IE):
(vì )
MN đường kính (I;IE) EIN cân I
Mà EOB cân O
Mà hai góc vị trí đồng vị MN//AB
d)Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động (O)
Học sinh dễ dàng chứng minh tứ giác PFQK hình chữ nhật; tam giác BFQ tam giác vuông cân Q
Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ
mà PK = FQ (PFQK hình chữ nhật)
(6)Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK
Vì (O) cố định, K cố định (hs tự chứng minh K điểm cung AB)
FK FO ( quan hệ đường vng góc, đường xiên)
Chu vi KPQ nhỏ = BK + FO E điểm cung AB Ta có FO = R
Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng cân FOB tính BK = Chu vi KPQ nhỏ = R +
Bài V Tính giá trị nhỏ biểu thức Đặt a = x –
x – = a + 1; x – = a -1