Tài liệu học tập

Từ các phủ tối tiểu gồm các tế bào lớn của kar(f) tìm được ở bước 4 ta xác định được các công thức đa thức tương ứng của f. Loại bỏ các công thức đa thức mà có một công thức đa thức n[r]

LOGO

TOÁN RỜI RẠC

Lê Văn Luyện

email: luyen26@yahoo.com

Chương

Chương

Chương IV Đại số Bool Đại Số Bool

Hàm Bool

Xét mạch điện hình vẽ

Tùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta có dịng điện qua MN Như ta có bảng giá trị sau

Mở đầu

A B C MN

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

Câu hỏi: Khi mạch điện gồm nhiều cầu dao, ta kiểm

soát

5

I Đại Số Bool

 Một đại số Bool (A,,) tập hợp A   với hai phép

toán , , tức hai ánh xạ: : AA  A

(x,y) xy : AA  A (x,y)xy

6

I Đại Số Bool

- Tính giao hốn:  x, y A xy = yx;

xy = yx;

- Tính kết hợp:  x, y, z A

(xy) z = x(y z); (xy) z = x (y z)

- Tính phân phối :  x, y, z A

7

- Có phần tử trung hòa 0: x A x1 = 1x = x;

x0 = 0x = x

- Mọi phần tử có phần tử bù: x A,  A,

x  =  x = 0; x  =  x =

x

x x

x x

8

Ví dụ.

Xét F tập hợp tất dạng mệnh đề theo n biến p1, ơip2,…,pn với hai phép tốn hội , phép tốn tuyển , ta đồng dạng mệnh đề tương đương Khi F đại số Bool với phần tử 1, phần tử

hằng sai 0, phần tử bù dạng mệnh đề E dạng mệnh đề bù E

9

Xét tập hợp B = {0, 1} Trên B ta định nghĩa hai phép toán , sau:

10 II Hàm Bool

Hàm Bool n biến ánh xạ

f : Bn  B , B = {0, 1}

Như hàm Bool n biến hàm số có dạng :

f = f(x1,x2,…,xn), biến x1, x2,…, xn nhận hai giá trị 0, f nhận giá trị B = {0, 1}

Ký hiệu Fn để tập hàm Bool biến

11

Xét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn)

Vì biến xi nhận hai giá trị 0, nên có 2n trường

hợp biến (x1,x2,…,xn)

Do đó, để mơ tả f, ta lập bảng gồm 2n hàng ghi tất

cả giá trị f tùy theo 2n trường hợp biến Ta gọi

12

Ví dụ

Xét kết qủa f việc thông qua định dựa vào phiếu bầu x, y, z

Mỗi phiếu lấy hai giá trị: (tán thành)

0 (bác bỏ)

13

Hàm Bool

Khi f hàm Bool theo biến x, y, z có bảng chân trị sau:

x y z f

0 0

0

0 0

0 1

1 0

1 1

1 1

14 Các phép toán hàm Bool

Các phép toán Fn định nghĩa sau:

Phép cộng Bool :

Với f, g  Fn ta định nghĩa tổng Bool f g: f  g = f + g – fg

 0 1

0

1 1

15 Các phép toán hàm Bool

x = (x1,x2,…,xn) Bn,

(f  g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)

16

Các phép toán hàm Bool

Phép nhân Bool :

Với f, g Fn ta định nghĩa tích Bool f g f  g = fg

x=(x1,x2,…,xn)Bn,

(f  g)(x) = f(x)g(x)

Dễ thấy:

17

Các phép toán hàm Bool

Phép lấy hàm bù:

Với f  Fn ta định nghĩa hàm bù f sau:

1

18

Dạng nối rời chính tắc Hàm Bool

Xét tập hợp hàm Bool n biến Fn theo n biến x1, x2,

…,xn

 Mỗi hàm bool xi hay gọi từ đơn.

 Đơn thức là tích khác khơng số hữu hạn từ

đơn

 Từ tối tiểu là tích khác không n từ đơn.

 Công thức đa thức là công thức biểu diễn hàm Bool

thành tổng đơn thức.

 Dạng nối rời tắc là cơng thức biểu diễn hàm Bool

thành tổng từ tối tiểu

i

Công thức đa thức tối tiểu

Đơn giản

Cho hai công thức đa thức hàm Bool : f = m1 m2 … mk (F)

f =M1  M2 …  Ml (G)

Ta nói cơng thức F đơn giản công thức G tồn đơn ánh h: {1,2, ,k} → { 1,2,…, l} cho với i {1,2, ,k} số từ đơn mi không nhiều số từ

đơn Mh(i)

21

Công thức đa thức tối tiểu Đơn giản

Nếu F đơn giản G G đơn giản F ta nói F G đơn giản nhau

** Công thức đa thức tối tiểu:

Phương pháp biểu đồ Karnaugh

Xét f hàm Bool theo n biến x1,x2,…,xn với n = f hàm Bool theo biến x, y, z Khi bảng chân trị f gồm hàng Thay cho bảng chân trị f ta vẽ bảng chữ nhật gồm ô, tương ứng với hàng bảng chân trị, đánh dấu sau:

Với qui ước:

Các f đánh dấu (tô đậm gạch chéo) Tập ô đánh dấu gọi biểu đồ Karnaugh f, ký hiệu kar(f)

f hàm Bool theo biến x, y, z, t Khi bảng chân trị f gồm 16 hàng Thay cho bảng chân trị f ta vẽ bảng chữ nhật gồm 16 ô, tương ứng với 16 hàng bảng chân trị, đánh dấu sau:

Với qui ước:

Các f đánh dấu (tô đậm gạch chéo) Tập ô đánh dấu gọi biểu đồ karnaugh f, ký hiệu kar(f)

Trong hai trường hợp, hai ô gọi kề

(theo nghĩa rộng), chúng hai ô liền chúng ô đầu, cuối hàng (cột) Nhận xét rằng, cách đánh dấu trên, hai ô kề lệch biến

Định lý

Cho f, g hàm Bool theo n biến x1,x2,…,xn Khi đó:

a) kar(fg) = kar(f)kar(g) b) kar(fg) = kar(f)kar(g)

Tế bào hình chữ nhật (theo nghĩa rộng) gồm 2n-k ô

Tế bào

Nếu T tế bào T biểu đồ karnaugh đơn thức m, cách xác định m sau:

Ví dụ 3.

Ví dụ 4.

Ví dụ 5. Xét hàm Bool theo biến x, y, z, t.

Tế bào sau:

Cho hàm Bool f Ta nói T tế bào lớn kar(f) T thoả hai tính chất sau:

Tế bào lớn.

a) T tế bào T  kar(f)

Thuật toán.

Bước 1: Vẽ biểu đồ karnaugh f

Bước 2: Xác định tất tế bào lớn kar(f)

Bước 4: Xác định phủ tối tiểu gồm tế bào lớn

Nếu tế bào lớn chọn bước phủ kar(f) ta có phủ tối tiểu gồm tế bào lớn kar(f)

Nếu tế bào lớn chọn bước chưa phủ kar(f) thì:

Xét chưa bị phủ, có hai tế bào lớn chứa này, ta chọn tế bào lớn Cứ tiếp tục ta tìm tất phủ gồm tế bào lớn

kar(f)

 Bước 5: Xác định công thức đa thức tối tiểu f

Từ phủ tối tiểu gồm tế bào lớn kar(f) tìm bước ta xác định công thức đa thức tương ứng f

Loại bỏ cơng thức đa thức mà có cơng thức đa thức thực đơn giản chúng

Ví dụ 1

 Tìm tất công thức đa thức tối tiểu hàm

Bool:

( , , , ) ( )

f x y z t xyzt xy xz   yz xy z t 

xyzt xy xz yz xyz xyt

( , , , )

( , , , ) x

( , , , )

( , , , )

( , , , )

( , , , )

Bước 1:Vẽ kar(f): ( , , , )

Bước 2: Kar(f) có tế bào lớn sau:

x

yz

( , , , )

1 2 3

4 5 6 7 8 9 10 10

Bước 3: Xác định tế bào lớn thiết phải chọn:

x

2

yz - Ô nằm tế bào lớn x Ta chọn x

- Ô nằm tế bào lớn yz Ta chọn yz

( , , , )

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

Bước 4: Xác định phủ tối tiểu gồm tế bào lớn

x

yz

1

4

7 10

1

4

7

9 10

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

Ta phủ tối tiểu gồm tế bào lớn kar(f):

 Bước 5: Xác định công thức đa thức tối tiểu

của f

Ứng với phủ tối tiểu gồm tế bào lớn tìm bước ta tìm cơng thức đa thức tối tiểu f:

x  yz

( , , , )

1 2

3 4 5

6 7 8 9

B1: Vẽ Kar(f)

1 2 3 4 5 6 9

B2: Xác định tế bào lớn

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9 1 2

3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9

B3: Xác định tế bào lớn thiết phải chọn

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9 1 2

3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9

 Bước 3: Xác định tế bào lớn thiết phải chọn

 Ô nằm tế bào lớn Ta

chọn

 Ô nằm tế bào lớn

Ta chọn

 Ô nằm tế bào lớn xzt

Ta chọn xzt

zt zt

xt xt

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9 1 2

3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9 f yzt yzt  yzt  xyzt xzt

zt  xt  xzt

1 2 3 4 5 6 9

B4: Xác định phủ tối tiểu gồm tế bào lớn

1 2 3 4 5 6 9

1 2 3 4 5 6 9

Cịn lại chưa bị phủ

Ô nằm tế bào lớn: cách chọn f yzt yzt  yzt  xyzt xzt

1 2 3 4 5 6 9

B4: Xác định phủ tối tiểu gồm tế bào lớn

1 2 3 4 5 6 9

Cịn lại chưa bị phủ

Ơ nằm tế bào lớn: cách chọn f yzt yzt  yzt  xyzt xzt

1 2 3 4 5 6 9

B4: Xác định phủ tối tiểu gồm tế bào lớn

1 2 3 4 5 6 9

Cịn lại chưa bị phủ

Ô nằm tế bào lớn: cách chọn f yzt yzt  yzt  xyzt xzt

 Bước 5: Xác định công thức đa thức tối tiểu f

f yzt yzt  yzt  xyzt xzt

zt  xt  xzt xyz

Hãy xác định công thức đa thức tối tiểu

haøm Bool:

) (

)

( y t x z t z yt x y z

x

Các tế bào lớn:

Các tế bào lớn bắt buộc phải chọn là

Cịn lại (1,4) nằm tế bào lớn

t y x t z x zt z y

xz, , , ,

t z x zt xz, ,

Do có công thức đa thức tương ứng với phủ tối

tiểu:

Trong có cơng thức thứ hai tối tiểu

IV Mạng logic (Mạng cổng)

Các cổng

NOT:

Nếu đưa mức HIGH vào ngõ vào cổng, ngõ mức LOW ngược lại

Kí hiệu cổng

( )

F x x

X not X 1

Các cổng

AND:

x y x y x y xy ,  , & ,

x and y xy xy

X Y X and Y

0 0

0

1 0

1 1

Bảng chân trị

Cổng AND có ngõ vào

Các cổng

OR:

x y x y x y ,  , |

x or y x

y x v y X Y X or Y

0 0

0 1

1

1 1

Bảng chân trị:

Các cổng

NAND:

X Y Z 0 1 1 1

X nand Y = not (X and Y) = xy

Là cổng bù AND

Các cổng

NOR:

X Y Z 0 1 0 1

X nor Y = not (X or Y) = x  y

Là cổng bù OR

Thiết kế mạch điều khiển cầu dao

Mỗi cầu dao xem biến x, y : bật tắt Cho F(x, y) =1 đèn sáng đèn tắt

Giả sử F(x, y) =1 hai bật tắt

x y F(x, y)

1 1

1 0

0

0

x x x

y

y

x y

y x y

Giả sử F(x,y,z) =1 cái bật

x y z F(x, y)

1 1

1 0

1

1 0

0 1

0 1

0 1

0 0

Thiết kế mạch điều khiển cầu dao

Mỗi cầu dao xem biến x, y : bật tắt Cho F(x, y) =1 đèn sáng đèn tắt

x

z

x y

z

x y z

z y x y

x y z x y z

x y z x y z