Đang tải... (xem toàn văn)
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC
TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A Kiến thức
I Tỉ lệ thức
1 Định nghĩa: Tỉ lệ thức l{ đẳng thức hai tỉ số Dạng tổng quát: a c
b d a:b=c:d
Các số hạng a d gọi ngoại tỉ; b c gọi trung tỉ 2 Tính chất
a) Tính chất (Tính chất bản)
a
b d c
a
d c
b
(với b,d≠0)
b) Tính chất (Tính chất hoán vị) Từ tỉ lệ thức a c
b d (a,b,c,d≠0) ta suy ba tỉ lệ thức kh|c c|ch: - Đổi chỗ ngoại tỉ cho
- Đổi chỗ trung tỉ cho
- Đổi chỗ ngoại tỉ cho v{ đổi chỗ trung tỉ cho Cụ thể: Từ a c
b d (a,b,c,d≠0) , ,
a b d c d b c d b a c a
II Tính chất dãy tỉ số 1) Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức a c
b d suy ( )
a a c a c b d
b b d b d
2) Tính chất 2: a c e
b d f ta suy
a c e a c e a c e c e
b d f b d d b d f d f
(2)1 Nếu =k
Từ => +)
+)
(Tính chất n{y gọi l{ tính chất tổng hiệu tỉ lệ) * Chú ý: C|c số x, y, z tỉ lệ với c|c số a, b, c => Ta viết x:y:z = a:b:c
B Các dạng toán phương pháp giải
Dạng 1: Tìm th{nh phần chưa biết tỉ lệ thức, d~y tỉ số Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
Dạng 3: Tính gi| trị biểu thức
(3)Dạng 1: TÌM THÀNH PHẦN CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Bài 1: Tìm x biết:
a) b)
Giải a) Từ => 7(x-3) = 5(x+5) Giải x = 23 b) Cách Từ
=> (x-1)(x+3) = (x+2)(x-2) (x-1).x + (x-1).3 = (x+2).x – (x+2).2
- x + 3x – = + 2x – 2x – Đưa 2x = -1 => x =
Cách 2:
x
x +1=
3
x
x +1
1
x x =
3
x x
2x+1=0 x= -2
1 (Do x+2 x+3) Bài 2: Tìm x, y, z biết: x – 3y + 4z = 62
Giải Cách (Đặt giá trị chung)
Đặt => {
Mà x – 3y + 4z = 62 => 4k – 3.3k + 4.9k = 62 4k – 9k + 36k = 62
31k = 62 => k = Do { Vậy x = 8; y= 6; z = 18
Cách (Sử dụng tính chất d~y tỉ số nhau) Áp dụng tính chất d~y tỉ số ta có:
=>{
(4)Cách (Phương ph|p thế) Từ => x=
=> y=
Mà x – 3y + 4z = 62 => đua 31z = 558 => z = 18 Do x = ; y=
Vậy x = 8; y = v z =18 Bài 3: Tìm x, y, z biết:
a) 2x + 3y – z = 186 b) 2x = 3y = 5z | |=95
Giải a) C|ch 1: Từ => =>
Và => =>
=> = (*)
Ta có:
=
=>{
Vậy x=45; y=60 z=84
Cách 2: Sau l{m đến (*) ta đặt
= =k (Sau giải c|ch b{i 2)
Cách 3: Sau l{m đến (*) dùng phương ph|p giải c|ch b{i b) Vì 2x = 3y = 5z =>
=
=> = Mà | |
95 95 z y x
z y x
+) Nếu x+y-z= 95 Ta có
=
=>{
(5)Ta có = =>{ Vậy: [
Bài 4: Tìm x, y, z biết: a)
– x + z = -196 b) 5z – 3x – 4y = 50 c) z y x z y
x
2 3
x + y – z = - 10 Giải a) Vì
=> => => =
Ta có = = =>{ Vậy x = 231; y = 28 z = 35
b) Ta có = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { Vậy x = 5; y = z = 17 c) Vì
z y x z y
x
(6)=>{
=>{
Từ {
1 10
10 4
3 2 4 3
2
x y z x y z
=> {
Vậy x = - 20; y = -30 z = -40
Bài 5: Tìm x y, z biết:
a) x: y: z = 2: 3: xyz = 810
b) = + = - 650 Giải a) Vì x: y: z = 2: 3: => =
Cách (Đặt giá trị chung) Đặt = =>{
Mà xyz = 810 => 2k.3k.5k = 810 => 30 =810 => =27 => k = =>{
Vậy x = 6; y = z = 15 Cách 2: Từ = => ( ) =
=> x = thay v{o đề b{i tìm y = ; z = 15 Vậy x = 6; y = z = 15
Cách 3: (Phương ph|p thế) L{m tương tự c|ch b{i b) Từ = => ( ) ( ) ( ) => = Cách 1: (Đặt gi| trị chung)
Đặt = = k => {
(7)Nếu k = 5=>{ Nếu k = -5 => {
Vậy [
Cách (Sử dụng tính chất d~y tỉ số nhau) Vì = => =>{
Theo đề b{i suy x,y,z dấu Vậy
20 ;
15 ;
10
20 ; 15 ; 10
z y
x
z y
x
Cách (Phương ph|p thế) Bài 6: Tìm x, y, z biết:
(1)
Giải: * Nếu 0
Ta c ó ( ) ( ) ( ) ( ) (2) Từ (1) v{ (2) ta có x + y + z =
=> {
thay v{o đề b{i ta được:
Hay
= +)
=> 2x = => 3x = => x = +)
(8)=>z= = Vậy {
* Nếu x + y + z = ta có:
(1) =>
=> x = y = z =
Vậy [
Bài 7: Tìm x, y biết: a)
b)
Giải a) Vì
=> 24(1+2y) = 18(1+4y) =>24 +48y = 18 +72y
Đưa 24y = => y = thay v{o đề b{i ta có => = 18 => 18x = 90 => x =
Ta có
=>1+3y = -12y => 15y = -1 => y =
thay vào
Ta
=> 5x => => x = Vậy x = y =
(9)Dạng 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức ta thường dùng số phương pháp sau: •) Phương pháp 1: Chứng tỏ A.D = B.C
•) Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số có gi| trị •) Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức
* Một số kiến thức cần ý
•) (n 0)
•) => ( ) = ( ) (n N*)
Sau đ}y l{ số b{i tập minh họa ( giả thiết c|c tỉ số đ~ cho có nghĩa) Bài 1: Cho tỉ lệ thức Chứng minh
GIẢI Cách (pp1):
Ta có:
( ) ( ) – ( ) ( )
}
(a+b).(c-d) = (a – b).(c+d)
Cách (pp2):
Đặt = k => {
( ) ( )
( ) ( )
}
(10)Ta có:
=
Cách 4: Từ => {
=>
=
Bài 2: Cho tỉ lệ thức Chứng minh
(1) GIẢI
Cách 1:
( ) ( )
} ( ) ( )
Cách 2:
= k => { thay v{o vế (1) chứng minh vế có gi| trị Cách 3:
Vì
=> ( ) ( )
= = =
B ài 3: chứng minh a)
b) =
(11)b) Từ
=> = =
=
=> = Bài 4: Cho b2 = ac; c2 = bd Chứng minh rằng:
1)
( ) 2)
GIẢI 1) Vì
}
(
)
Vậy ( )
2) Có:
( ) }
Bài 5: Cho a, b, c thỏa m~n Chứng minh: 4(a-b)(b-c) = ( )
GIẢI Từ
(12)GIẢI
Từ => ab + (1)
Nh}n hai vế (1) với c ta có: abc + (2)
Ta c ó : => bc + (3)
Nh}n hai vế (3) với ta có: (4)
Cộng hai vế (2) v{ (4) ta có: abc + + = abc + = Bài 7: Cho (1)
CMR: GIẢI Nh}n thêm tử v{ mẫu (1) với a b; c Từ (1) ta có: = =
{ Bài 8: CMR: Nếu a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) (1) Trong a,b,c l{ c|c số kh|c v{ kh|c thì:
( )
( )
( )
(13)( )
( )
( )
= ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
(14)Dạng : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1: Cho tỉ lệ thức 3
4 x y x y
Tính giá trị tỉ số
x y Bài giải: Cách :
Từ 3 x y x y
4(3x – y) = 3(x+y) 12x – 4y = 3x + 3y 12x – 3y = 3(x+y) 9x = 7y
Vậy x y =
7 Cách 2:
Từ 3 x y x y 3 x y x y
Đặt x
y = a
3 1 a a =
Bài 2: Cho
2
x y z
Tính giá trị biểu thức P = y z x x y z
Cách 1: Đặt
2
x y z
= k x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k 0) P = 5
2 3
k k k k k k k k
Vậy P = Cách : Có
2
x y z
=
3
y z x y z x x y z x y z
5
5 3
y z x x y z y z x
x y z
(15)Vậy P =
Bài 3: Cho dãy tỉ số
a b c d
b c d a c d a b d b c a Tính giá trị biểu thức a b b c c d d a
M
c d a d a b b c
Bài giải:
Từ a b c d
b c d a c d a b d b c a
1 1
a b c d
b c d a c d a b d b c a
a b c d a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d b c a
(*)
+) Xét a b c d 0 a b (c d b c); (a d)
M
+) Xét a b c d 0 Từ (*) ta có : b c d a c d a b d b c a a b c d M 4
Bài 4: Cho a , b ,c đôi khác thỏa mãn a b b c c a
c a b
Tính giá trị biểu thức P a b c
b c a
Bài giải: Từ a b b c c a
c a b
1 1
a b b c c a
c a b
a b c a b c a b c
c a b
(*)
+) Xét a b c 0 a b c a c; b b c; a a b b c a c c a b abc P
b c a b c a abc
(16)+) Xét a b c 0 Từ (*) ta có :
a b c P
Bài : Cho số a;b;c khác thỏa mãn ab bc ca a b b c ca Tính giá trị biểu thức P ab23 bc32 ca3
a b c
Bài giải: Với a b c, , 0 ta có : ab bc ca
a b b c ca
1 1 1
a b b c c a
ab bc ca b a c b a c
1 1
1 a b c P a b c
(17)Dạng 4: ỨNG DỤNG TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU VÀO GIẢI BÀI TOÁN CHIA TỈ LỆ
Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số chia hết cho tỉ lệ với 1;2;3
Lời giải
Gọi số tự nhiên có chữ số cần tìm ̅̅̅̅̅ , ( ĐK : *
, , ,1 9, ,
a b cN a b c ) =>1 a b c 27
+) ̅̅̅̅̅ ⋮ 18 <=> { ̅̅̅̅̅ ⋮
̅̅̅̅̅ ⋮ ( 18=2.9 v{ ƯCLN(2;9)=1 ) +) C|c chữ số số cần tìm tỉ lệ với 1; 2;
Mà ̅̅̅̅̅ ⋮ => c ⋮
=>a, b, c tỉ lệ với 1;3; a; b; c tỉ lệ với 3; 1; +) a, b, c tỉ lệ với 1; 3; =>
1
a b c a b c
=>a + b + c ⋮
Lại có ̅̅̅̅̅ ⋮ <=>a + b + c ⋮ Mà 1 a b c 27
Nên a + b + c = 18 =>
1
a b c =>{
(Thỏa m~n điều kiện) Nếu a, b, c tỉ lệ với 3; 1; =>{
(Thỏa m~n điiều kiện) Vậy số tự nhiên có chữ số cần tìm l{ 396; 936
Bài 2: Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất 144 học sinh Nếu rút lớp 7A 1
4 số học sinh, rút lớp 7B
7 số học sinh, rút lớp 7C
3 học sinh số học sinh cịn lại lớp Tính số học sinh lớp ban đầu
Lời giải
Gọi số học sinh ban đầu lớp 7A,7B.7C l{ x,y, z (học sinh)
ĐK: *
(18)+) Ba lớp 7A,7B,7C có tất 144 học sinh =>x y z 144 +) Nếu rút lớp 7A
4 học sinh, rút lớp 7B
7 học sinh, rút lớp 7C
3 học sinh số học sinh lại lớp
Nên ta có 34x67 y 23z
3 144
6
24 42 18 9 24
x y z x y z
x y
z
48 42 54 x y z
(Thỏa m~n điều kiện)
Vậy số học sinh lúc đầu c|c lớp 7A, 7B, 7C l{ 48 học sinh, 42 học sinh, 54 học sinh
Bài 3: Lớp 7A có 52 học sinh chia l{m ba tổ Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm v{o học sinh số học sinh tổ , hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4; Tìm số học sinh tổ
Lời giải
Gọi số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A l{ x, y, z.(học sinh)
ĐK: *
, , , , , 52
x y zN x y z
+) Lớp 7A có 52 học sinh => x + y + z = 52
+) Nếu tổ bớt học sinh, tổ hai bớt học sinh, tổ ba thêm v{o học sinh số học sinh tổ một, hai, ba tỉ lệ nghịch với 3; 4;
Nên ta có 3.(x – 1) = 4.(y – 2) = 2.(z + 3)
3 – –
12 12
2 z 12
3
x y
– 1 – 2
4
z
x y
1 52
4
4 13 13
y-2
x z x y z
1 16 17
2 12 14
3 24 21
x x
y y
z z
(19)Vậy số học sinh tổ một, tổ hai, tổ ba lớp 7A l{ 17 học sinh, 14 học sinh, 21 học sinh
Bài 4: Tìm ba ph}n số có tổng Biết tử chúng tỉ lệ với 3; 4; mẫu chúng tỉ lệ với 5; 1;
Lời giải Gọi ba ph}n số cần tìm l{ với , , , , ,
, , a b c d e g Z b d g
Theo đầu b{i ta có
a : c : e = 3:4 :5, b : d : g =5:1:2 3 70
a c e
b d g
+) a:c:e= :4 :5 =>
3
a c e
k
với kZ
a=3k ,c =4k , e =5k +) b : d : g = : : =>
5
b d g
t
với tZ t, o b=5t, d=t, g=2t
+) 3
70
a c e
b d g =>
3 213
5 70
k k k
t t t
71 213
10 70
k t
=> k t
35 a b
, 12
7 c d
, 15
14 e g
Vậy ba ph}n số cần tìm l{ 35
, 12
7
, 15
14
Bài 5: Độ d{i ba cạnh tam gi|c tỉ lệ với 2; 3; Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỉ lệ với ba số n{o?
Lời giải
Gọi a, b, c l{ độ d{i ba cạnh tam gi|c v{ , l{ c|c chiều cao tương ứng
Diện tích tam gi|c l{:
2 2
a b c
a h b h c h => a = b = c (1) +) có a, b, c tỉ lệ với 2; 3;
=>
2
a b c
k
(20)=> a = 2k, b = 3k v c = 4k
(1) =>2k = 3k = 4k => = = =>2
12 12 12
a b c
h h h
=>
6
a b c
h h h
=> , tỉ lệ với 6; ;
Vậy độ d{i ba cạnh tam gi|c tỉ lệ với 2; 3; ba chiều cao tương tứng với ba cạnh tỉ lệ với 6; 4;
Bài 6: Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau quãng đường tơ tăng vận tốc thêm 20% Do tơ đến B sớm 10 phút Tính thời gian tơ từ A đến B
Lời giải Gọi vận tốc dự định l{ x, vận tốc tăng l{ y ( x,y > 0) Ta có 120
100
y x => y x
Gọi C l{ trung điểm AB Ơ tơ đến B sớm dự định 10 phút l{ nhờ tăng vận tốc từ điểm C
Nếu ô tô từ C đến B với vận tốc x thời gian l{ Nếu ô tô từ C đến B với vận tốc y thời gian l{ Thì x = y =>
2
t y
x t mà
6 y x =>
2
5 t
t =>
1
6
t t
10
6 t t
=>
1
60 50 t t
=>Thời gian ô tô nửa đường AB với vận tốc đ~ tăng hết 50 phút Thời gian ô tô nửa đường AB với vận tốc dự định hết 60 phút Vậy thời gian ô tô từ A đến B l{ 60 + 50 = 110 (phút)
(21)Lời giải
Gọi chiều d{i cuộn vải thứ nhất, thứ hai, thứ ba l{ x, y, z (m) ĐK: 0< x, y, z < 186
+) Tổng chiều d{i ba cuộn vải l{ 186m => x + y + z = 186
+ Sau b|n ng{y cửa h{ng lại cuộn thứ nhất, cuộn thứ hai, cuộn thứ ba => Trong ng{y cửa h{ng đ~ b|n số mét vải cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba ,2 ,2
3
x y z (mét)
+) Số tiền b|n ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; giá tiền mét vải ba cuộn
=> Số mét v{i b|n ba cuộn thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỉ lệ với 2; 3; => :2 :2 : :
3
x y z
=>2 2
12 10
x y z
=> 186
12 10 12 10 31 x y z x y z
=>
72 54 60 x y z
( Thỏa m~n điều kiện )
(22)Dạng 5: TÍNH CHẤT CỦA TỈ LỆ THỨC ÁP DỤNG TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Tính chất 1: Cho số hữu tỷ a
b c
d với b> 0; d >0 CM: a c ad bc
b d
Giải:
+ Có cb
bd db 0;
a c
ad
ad bc
b d
b d
+ Có: ad bc
0; bd db
ad bc a c
b d b d
Tính chất 2: Nếu b > 0; d > từ a c a a c c b d b b d d
(B{i 5/33 SGK Đ7)
Giải:
+ (1)
0;
a c
ad bc
b d
b d
thêm vào vế (1) với ab ta có:
2
ad ab bc ab
a a c
a b d b c a
b b d
+ Thêm vào hai vế (1) dc ta có:
3
ad dc bc dc d a c c b d
a c c b d d
+ Từ (2) (3) ta có: Từ a c a a c c
b d b b d d
(đpcm)
(23)b Nếu
Bài Cho a; b; c; d >
CMR: a b c d
a b c b c d c d a d a b
Giải: + Từ a
a b c theo tính chất (3) ta có: 1
a d a
a b c d a b c
(do d>0)
Mặt khác: a a 2 a b c a b c d
+ Từ (1) (2) ta có: a a a d 3 a b c d a b c a b c d
Tương tự ta có:
4
b b b a
a b c d b c d a b c d
5
c c c b
a b c d c d a c d a b
6 d+a+b+c
d d d c
d a b a b c d
Cộng bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) theo vế được:
a b c d
a b c b c d c d a d a b
Bài Cho a c
b d b d; 0CMR: 2 a ab cd c b b d d
Giải: Ta có a c
b d b d; 0nên 2
d.d
(24)Theo tính chất (2) ta có: ab2 ab cd2 2 cd2 a ab cd2 2 c b b d d b b d d
C BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài Tìm số x,y,z biết
a
1
x x
x x
b
10 21 x y z
5x y 2z28 c 4x3y ; 7y5z 2x3y z d x y z: : 12 : : xyz20
e 10 14
5 21
x y z xyz6720 f 16 25
9 16 25
x y z
2x 1 15 Bài Tìm số x,y,z biết a x y z: : 3: : 5z23x22y2 594
b 3x 1 2 y2 ; 4y2 3 z3 2x3y z 50 c 12 15 20 12 15 20
7 11
x y z y y z
x y z 48
d
3
x y z
x y z 49 Bài Tìm số x,y,z biết : a
2 x y ;
5 y
z 2x3y5z 1 b,
13 19
y y y
x
c 2
5
x y x y
x
(25)d, y z x z y x
x y z x y z
Bài Cho tỉ lệ thức a c
b d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau ( với giả thiết tỉ số có nghĩa )
a 7
3 4
a b c d a b c d
b, 2015 2016 2015 2016 2016 2017 2016 2017
a b c d
c d a b
c
2 2 2 2
a b a b c d c d
d, 2 3
ab a b cd c d
e, 22 22
7
a ac b bd
a ac b bd
Bài Cho a c 2b 2bd c b d ; b d, 0 CMR :a c b d
Bài Cho dãy tỉ số : 2014 2015
a a
a a
a a a a Cmr ta có đẳng thức
2014 2014
2015 2015
a a a a a
a a a a a
Bài Cho a c
b d số x y z t, , , thỏa mãn axyb0và zc td 0 Cmr : xa yb xc yd
za tb zc td
Bài Cho tỉ lệ thức 2 13 13
3 7
a b c d a b c d
Cmr :
a c b d Bài Cho
2
n n
n
a a a
a a
a a a a a
(a1 a2 an 0)
Tính : 1)
2 2
1
2
n n
a a a
A
a a a
(26)2)
9 9
1
9
n n
a a a
B
a a a
Bài 10 Biết x y z t y z t z t x t x y x y z Tính P x y y z z t t x
z t t x x y y z
Bài 11 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số l{ bội 72 chữ số xếp từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với ;2 ;3
Bài 12: Tìm hai phân số tối giản biết hiệu chúng
196 tử tương ứng tỉ lệ với , mẫu tương ứng tỉ lệ với
Bài 13 Cho ABC góc ngồi tam giác A,B,C tỉ lệ với ;5 ;6 C|c góc tương ứng tỉ lệ với số ?
Bài 14 Trong đợt lao động, ba khối 7,8,9 chuyển
912m đất Trung bình học sinh khối 7,8,9 theo thứ tự l{m 3
1, 2m;1, 4m;1, 6m Số học sinh khối khối tỉ lệ với 3, số học sinh khối tỉ lệ với Tính số học sinh khối ?
Bài 15 Qu~ng đường AB d{i 76m, người thứ từ A đến B v{ người thứ hai từ B đến A Vận tốc người thứ
5vận tốc người thứ hai (đến lúc gặp nhau) Thời gian người thứ 10
(27)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
Khoá Học Nâng Cao HSG