Ta giả sử A B, biến đổi bất đẳng thức này để chỉ ra được điều mâu thuẩn với giả thiết hoặc mâu thuẩn với một bất đẳng thức đúng nào đó đã biết. Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứn[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC: 1 a2 với a R Dấu "=" xãy a = -a2 với a R Dấu "=" xãy a = a với a R Dấu "=" xãy a =
2 a b a c b c
Với a, b, c thuộc R a > b a + c > b + c ( a, b, c R) a + c > b + c a > b ( a, b, c R) a > b
a c b c a c b c
3 a b a c b d c d
a b a c b d C d
0 a b c
ac bd c d
1
a b
a b a b
*
n n
a b
a b n Z
2
*
n n
a b
a b
n Z
n n
a b a b (n N*, n chẳn ) 4 A B A B
A B
A B BAB với B
A B A B dấu "=" xãy A.B
A B A B dấu "=" xãy AB0 học AB0
2
A B A B
5 m > n m; n nguyên dương
với c >
(2)Tổ: Toán - Lý-Tin-KT
Nếu a > am > an Nếu a = am = an Nếu < a < am < an
6 Bất đẳng thức cơ-si: Với a 0, b 0.Ta có: a + b 2 a b dấu "=" xãy a = b
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH:
1 Phương pháp thứ nhất: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > bất đẳng thức Từ suy A > B
Ví dụ 1: Chứng minh a4 + b4 a3b + ab3 ( a,b R Giải:
a4 + b4 a3b + ab3 a4 + b4 - a3b - ab3 a3(a - b) + b3(b - a)
a3(a - b) - b3(a - b) (a - b)(a3 - b3)
(a - b)2(a2 + ab + b2) (a - b)2 [(a +
2 b
)2 +
2
3 b
] (*)
vì (a - b)2 ; (a +
2 b
)2 +
2
3 b
Nên bấtđẳng thức (*) luôn
Suy a4 + b4 a3b + ab3
Ví dụ 2: Cho a , b 0, c Chứng minh rằng: a + b + c ab bc ca
Giải:
a + b + c ab bc ca a b c ab bc ac 0 2a 2b 2c ab bc ac
(a b ab) (a c ac) (b c bc)
( a b )2 + ( a c)2 + ( b c )2 Bất đẳng thức luôn Suy a + b + c ab bc ca
2 Phương pháp thứ 2: Để chứng minh A > B, ta dùng phép biến đổi tương đương thành bất đẳng thức biết theo đề cho ngược lại xuất phát từ bất đẳng thức biến đổi thành bất đẳng thức cần chứng minh:
Tổng quát: A > B A1 > B1 An > Bn Mà An > Bn bất đẳng thức
(3)Ví dụ 1: Cho a, b hai số dương có tổng Chứng minh rằng:
1
1
a b
Giải:
Vì a + > b + > nên:
1
1
a b 3(b + + a + 1) 4(a + 1)(b + 1)
3(1 + + 1) 4(ab + a + b + 1) ( a + b = 1)
4(ab + 2)
4ab +
4ab
(a + b)2 4ab
(a - b)2 bất đẳng thức Suy 1
1
a b
Ví dụ 2: Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b + c 16abc
Giải:
Vì a, b, c > nên: a + (b + c) a b( c) ( bất đẳng thức cô-si)
1 a b( c)
( a + b + c = 1)
1
4a(b + c)
b + c 4a(b + c)2 (1) Mà b + c 2 bc ( bất đẳng thức cô-si)
(b c) 4bc
(2) Từ (1) (2) suy b + c 4a 4bc b + c 16abc
3 Phương pháp thứ 3: Để chứng minh A > B ta chứng minh A > C > D > B Từ suy A > B Hoặc sử dụng tính chất bất đẳng thức để biến đổi từ giả thiết đề thành điều phải chứng minh
Ví dụ 1: cho a > 0, b > Chứng minh rằng: (a + b)(1
ab)
Giải:
Vì a >
a
(4)Tổ: Tốn - Lý-Tin-KT Vì b >
b
>
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho số a b;
a
1
b ta có:
a + b 2 ab (1)
1
a +
1 b
1
a b
(2)
Vì vế bấtđẳng thức (1) (2) đề dương nên nhân vế theo vế ta được: (a + b)(1
a +
1
b)
Ví dụ 2: Cho a, b hai số thực a + b = Chứng minh rằng: a3 + b3
4
Giải:
Ta có: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2 ( a + b = 1)
3
2(a b )
= 2a2 - 2ab + 2b2 = a2 + b2 + (a - b)2 mà a2 + b2 + (a - b)2 a2 + b2
2(a3 + b3) a2 + b2 =
2 2 2
2
2 2
a b a b a b ab
=
2
( ) a b
( a2 + b2 2ab )
2(a3 + b3)
2
( ) a b
=
2
a3 + b3
4
Ta chứng minh theo cách sau: a3 + b3
4
4(a3 + b3) 4(a3 + b3) (a + b)3 ( a + b = 1)
4a3 + 4b3 - a3 - b3 - 3a2b - 3ab2
3a3 - 3a2b + 3b3 - 3ab2 3a2(a - b) - 3b2(a - b)
3(a - b)(a2 - b2) 3(a - b)(a - b)(a + b)
3(a - b)2 ( đẳng thức đúng) a3 + b3
4
Ví dụ 3: Chứng minh a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với a, b, c R Giải:
Vì a4 0, b4 0, c4
Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có: a4 + b4 2a2b2
(5) 2(a4 + b4 + c4 ) 2(a2b2 + a2c2 + b2c2)
a4 + b4 + c4 a2b2 + a2c2 + b2c2 (1) Tương tự ta có:
a2b2 + a2c2 2(ab)(ac) a2b2 + b2c2 2(ab)(bc) a2c2 + b2c2 2(ac)(bc)
a2b2 + a2c2 + b2c2 (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc)
a2b2 + a2c2 + b2c2 abc(a + b + c) (2)
Từ (1) (2) suy a4 + b4 + c4 abc(a + b + c) với a, b, c R
4 Phương pháp thứ 4: Muốn chứng minh A > B (1)
Ta giả sử A B, biến đổi bất đẳng thức để điều mâu thuẩn với giả thiết mâu thuẩn với bất đẳng thức biết
Do điều giả sử sai Suy bất đẳng thức (1)
Ví dụ : Cho x2 + y2 Chứng minh x + y Giải:
Giả sử x + y >
x2 + y2 +2xy >
mà x2 + y2 2xy 2(x2 + y2) x2 + y2 + 2xy >
2(x2 + y2) >
x2 + y2 > Điều mâu thuẩn với giả thiết x2 + y2 Suy x + y >
5 Phương pháp thứ 5: ( phương pháp đổi biến )
Bước 1: Đặt ẩn phụ biểu thức có liên quan đến vế ( vế ) bất đẳng thức
Bước 2: Chuyển bất đẳng thức cần chứng minh thành bất đẳng thức theo biến vừa đặt
Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức theo biến vừa đặt bất đẳng thức Từ suy bất đẳng thức ban đầu
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: Nếu a > 0; b > 0; c >
3
a b c
b c caa b (1) Giải:
Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z ( x, y, z)
a + b + c =
2
(6)Tổ: Toán - Lý-Tin-KT
2
y z x
a
; b =
2
z x y
; c =
2
xyz
Khi đó:
Vế trái = a b c
b c ca ab =
y z x
x
+
2 z x y
y
+
2
x y z
z
Vế trái = 1
2 2
y x z x z y
x y x z y z
(*)
Vì a > 0, b > 0, c > nên x > 0, y > 0, z > Áp dụng bấtđẳng thức cơ-si ta có:
2
x y x y
y x y x = 2; tương tự:
z x
x z
z y y z Từ (*) suy ra:
Vế trái = 1
2 2
y x z x z y
x y x z y z
+ + +
2 =
Vậy
2
a b c
b c caa b
Ví dụ 2: Cho a > b > Chứng minh rằng: a b a b
Giải:
Đặt a = x2 ; b = y2 ( x > 0, y > 0) Vì a > b nên x > y Do đó:
Vế trái = a b = x - y = xy2 xyxy Vế trái < xyxy = 2
x y
Vế trái < a b
Vậy a b a b
Ví dụ 3: Cho ba số a, b, c đôi khác Chứng minh rằng:
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b b c c a
Giải:
Đặt x = a b
a b
; y =
b c
b c
; z =
c a
c a
Ta có: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 2a 2b 2c
a b b c c a (x + 1)(y + 1)(z + 1) = 2b 2c 2a
(7) (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1)
xy + yz + zx = -1 ( bỏ ngoặc chuyển vế )
Mà (x + y + z)2 x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) x2 + y2 + z2 + 2.(-1)
x2 + y2 + z2
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a b b c c a
a b b c c a
Vậy bấtđẳng thức chứng minh 6.Phương pháp thứ 6:
Bước 1: Xác định dạng tổng quát số hạng bất đẳng thức
Bước 2: Tìm bất đẳng thức tương ứng với dạng tổng quát tìm cách làm trội tử mẫu
Bước 3: Thay vào bất đẳng thức cần chứng minh rút gọn
Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên dương n ta có:
1 1
2 13 2008 2007 Giải:
Dạng tổng quát số hạngở vế trái :
1
( *)
( 1) ( 1)
( 1)
k
k Z k
k k k k
k k
= 2
1 1
1 1
k k
k k k k
= 1 1
1
k
k k k k
Vì 1
k k nên :
(k1) k =
1 1
1
k
k k k k
<
1 1
1 k
k k k k
=
hay
(k1) k <
2 1 k
k k k
= 1 k k
(k1) k <
1 k k
Do
đó:
1 1
2
2 1
1 1
2
3 2
(8)Tổ: Toán - Lý-Tin-KT
1 1
2
2008 2007 2007 2008
Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta được:
1 1 1 1 1
2
2 2008 2007 2 2007 2008
hay 1 1
2 2008 2007 2008
Vì 1
1 2008
nên:
1 1
2 13 2008 2007
Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh: 1 2 13 2008 2007
Ví dụ 2: Cho A = 1 1
1 2 3 2024 Chứng minh A > 88 Giải:
A = 2 2 2
2 12 2 2 2004 1 1 2 2004 2004 Làm trội mẫu ta có:
A 2
1 2 2004 2004
>
2 2
1 2 3 2004 2005
A > ( 1 )
1 2 2004 2005
Đặt B = 1
1 2 3 2004 2005 Các số hạng bấtđẳng thức B có dạng:
1
n n = 2
1
1 ( 1)
1
n n n n
n n
n n
n n
B = 1
1 2 3 2004 2005 = 2 1 3 2 2025 2024 = 2025 145 1 44
A = 1 1
(9)III BÀI TẬP ÁP DỤNG:
1 Cho x y hai số dương Chứng minh rằng: 1
x y xy
2 Cho tam giác ABC có độ dài cạnh a, b, c Chu vi 2p Chứng minh rằng:
( )( )( )
8 abc
p a p b p c
3 Chứng minh số dương a, b, c có tổng a + b + c =
1 1
9
abc
4 Cho a > 0, b > chứng minh rằng:
a b
a b
b a
5 Cho x, y, z ba số thực Chứng minh bấtđẳng thức: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 3(x2 + y2 + z2)
6 Cho x, y khác Chứng minh rằng:
x4 + y4 6
2
x y
y x
7 Cho a > 0, b > 0, c > 0> Chứng minh rằng:
bc ca ab
a b c a b c
8 Chứng minh bất đẳng thức sau với x R
2
2
x x x x
9 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 < 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác
10 Chứng minh với số nguyên dương n ta có:
1 1
2 2
n
n n