[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI OLYMPIC CỤM HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC NĂM HỌC 2009-2010
Mơn : TỐN 11
Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang gồm 04 câu
Câu 1: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có a, b, c độ dài ba cạnh, R bán kính đường trịn ngoại tiếp
Biết 2 4
R c b
a + − = Chứng minh : C
B A
B
A tan2
1 tan tan
1 tan tan
= − + Câu 2:(6 điểm )
1 Một đoàn tàu gồm toa đỗở sân ga Có hành khách lên tầu Mỗi hành khách độc lập với chọn ngẫu nhiên toa Tính xác suất để toa có
hành khách bước lên?
2.Cho : C12n+1+C22n+1 + +C2nn+1 =220 −1
Chứng minh :
(
C201n0) (
2 + C1201n)
2 + +(
C201n201n)
2 =C40202010Câu 3: (5 điểm):
1.Tính giới hạn :
31 3x 5x 15
lim
x x
+ + −
→
2.Cho dãy số (un) :
1
n n
n
u
3.u u
u
+
=
− =
+
Tìm u2010
Câu 4: (6 điểm)
Cho tứ diện ABCD, M điểm thay đổi cạnh BC Mặt phẳng (α ) qua M
song song với hai đường thẳng AB,CD cắt cạnh BD,AD,AC
N,I,K
Xác định vị trí M để diện tích tứ giác MNIK lớn nhất?
Giả sử M trung điểm BC, P, Q nằm cạnh AB, AD
cho AP AB
= , AQ AD
4
= Gọi R giao điểm mặt phẳng (MPQ) CD
Tìm tỉ số CD CR
(2)SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HÀ NỘI
CỤM HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI VÀ THANG ĐIỂM KÌ THI OLYMPIC CỤM HÀ ĐƠNG – HỒI ĐỨC
NĂM HỌC 2009-2010
Mơn : TỐN 11
Câu ý Nội dung Điểm
(
2)
2 22
2
2
2
2
2 2
4
sin sin
sin
1 sin
sin sin
0 sin
) cos( ) cos( )
( cos
sin )
cos( ) cos(
cos sin cos
cos sin
sin
cos cos sin
sin tan
1 tan tan
1 tan tan
R c
b a R C B
A R
C B
A
C B
A B
A B
A C B
A B A
C C B
A B
A
B A B
A C
B A
B A
= − + ⇔ =
− +
⇔
= −
+ ⇔
= +
+ −
⇔ + =
+ −
− ⇔
= −
+ ⇔
= −
+ 1.0
1.0 0.5 0.5 +Mỗi khách có cách chọn toa cho mình, khơng gian mẫu Ω có số phần
tử |Ω|= 35=243
+Gọi A1là biến cố toa có người khách, hai toa cịn lại toa
người
Có cách chọn toa có khách Mỗi cách chọn toa có khách có
C
cách chon khách lên toa Hai khách cịn lại có khả lên
hai toa cịn lại
=>tập hợp mơ tả biến cố A1 có số phần tử ΩA1 =3
C 2=60
+Gọi A2 biến cố có toa toa có hai khách lên tầu cịn toa cịn lại
chỉ có khách
tương tự => tập hợp mơ tả biến cố A2 có số phần tử
2
2 A 3.5.C4 90
Ω = =
+mà biến cố A1 ,A2 xung khắc A= A1∪A2 theo qui tắc cộng ta có
xác suất biến cố A là: P(A)=P(A1)+P(A2)=
1
A A 60 90 50
243 243 81
Ω Ω
+ = + =
Ω Ω
0,5
0,5
0,5
1.0
2 Xét (1+1)2n+1= 2n 2n 2n 2n
C C C +
+ + + + + + (*) mà
k 2n k 2n 2n
C C + − k 0;1;2 ;n
+ = + ∀ =
Vậy (*) ⇔ 22n+1= C
(
2n 10 + +C12n 1+ + C+ n2n 1+)
=> n 2n
2n 2n 2n
C + +C + + C+ + =2 =>C12n 1+ + C+ n2n 1+ =22n −1
=>22n-1=220-1=>n=10
Ta phải chứng minh:
(
C20100) (
2 + C12010)
2 + +(
C20102010)
2 =C40202010+xét khai triển
(
1 x+)
4020 có hệ số x2010 : C20104020 (1)+mặt khác :
(
1 x+)
4020 =(
1 x+)
2010 x(
+)
2010=(
2 2010 2010)
2010 2010 2010 2010C +C x C+ x + C+ x
(
C02010+C12010x C+ 20102 x2+ C+ 2010 20102010x)
thực phép nhân hai đa thức ta có hệ số x2010 :
1.0
0.5
(3)j B
C
D A
M K
I
N
(
) (
2)
2(
2010)
22010 2010 2010
C + C + + C kết hợp với (1) ta có đpcm 1.5
1
I= 5
x x x
1 3x 5x 1 3x 1 5x
lim lim 5x lim
x x x
→ → →
+ + − + − + −
= + +
Tính I1=
3
5 x
1 3x
lim 5x
x →
+ −
+ =
(
)
(
)
5
x 3 3
3x
lim 5x
x 3x 3x →
+ =
+ + + +
Tính I2=
5 x
1 5x lim
x →
+ −
Đặt 51 5x+ =t
=>I2=
(
5)
4 3 2t t
5 t
lim lim
t t t t t
→ →
−
= =
− + + + +
=>I=I1+I2=1+1=2
1,0
1.0
3
2 Đặt ui=tanαi (với αi∈R, i=1;2;3; n, ) ta có :
1
3
u1 un
un u 1
n
=
− = +
+ ⇔
1
n
tan
tan n tan
tan n 1 tan
6 tan n.tan
6
α =
π
α −
π
α = = α −
+ π
α +
Ta chọn
1
n
k
k
n 6
π
α = + π
π
α = α − + π
+
ta có dãy( αn) cấp số cộng với công sai d=
6
π −
α2010= α1+2009
6
π
−
=4 k 335
π π
+ π − π + =>
u2010=tan α2010=tan
4
π π
+
=
1
3
3 2 3
1 3 1
1
+
+
= = +
− −
1.0
1.0
1.0 Vẽ hình :
Chứng minh MNIK hình bình hành Đặt AB = a, CD = b, x
CB CM
= ( x∈(0;1)),
góc (AB, CD) =α ( khơng đổi)
-Tính KM=ax
Tính MN= (1-x)b Tính SMNIK = x(1-x)absinα
Áp dụng BĐT Côsi SMNIK≤ sinα
2
1
ab x x
+ −
= sinα
4
ab (không đổi)
Dấu “=” xảy x=1
=>KL: SMNIK lớn M trung điểm BC
1.0
1.0
1.0
2 Đặt AB=a;AC =b;AD=c,x=
CD
CR .Ta có
c a PQ
4
(4)b a PM
2 10
1 +
= Tính: ( )
5
b c x b a
PR=− + + −
Vì M,N,P,Q đồng phẳng nên : PR=kPQ+lPM
3
1 10
5
=
− +
+ − +
+ −
⇔ k l a x l b k x c
Mà ABCD tứ diên=>AB=a;AC=b;AD=c không đồng phẳng
= − =
= − ⇔
k x
l x
l k
4
2
4
11 = →x
1.0
1.0