[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
(Đề thi gồm 02 trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC: 2020- 2021
MƠN THI: TỐN CHUYÊN Ngày thi: 17 tháng năm 2020
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (1,0 điểm)
Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b c 2020 bccaab
Tính giá trị biểu thức:
2 2
:
a b c
P a b c
b c c a a b
Câu (2,5 điểm)
a) Giải phương trình 2x2 x 2x2 x x
b) Giải hệ phương trình
2
2
2
8
y xy x x y x x x
Câu (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC AB BCCA nội tiếp đường tròn O Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt O A1 Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt O B1 Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt O C1 Chứng minh đường thẳng qua A B C1, 1, 1 vng góc với BC CA AB, , đồng quy Câu (2,0 điểm)
a) Cho hai số thực dương , a b Chứng minh rằng:
2
2
2
a b a b
ab
a b
b) Cho hai số dương ,a b thỏa mãn a b Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 20
Q b a
a b
Câu (2,0 điểm)
Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh AB BC CA, , D E F, , Kẻ đường kính EJ đường trịn I Gọi d đường thẳng qua A song song với BC Đường thẳng JD cắt ,d BC ,L H
a) Chứng minh ,E F L, thẳng hàng
b) JA JF, cắt BC M K, Chứng minh MH MK Câu (1,0 điểm)
Tìm tất số nguyên dương x y, thỏa mãn 3xy3 1.
(2)LỜI GIẢI CHI TIẾT
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021 TP HỒ CHÍ MINH
THUVIENTOAN.NET
Câu
Ta có:
2
a a b c a a b c a
a a
b c b c b c
Viết hai đẳng thức tương tự cộng lại, ta có: Suy ra:
2 2
1
2020 2019
a a b c b a b c c a b c
a b c
a b c
b c c a a b b c c a a b
a b c
a b c a b c
b c c a a b
a b c
a b c
b c c a a b a b c a b c
Do đó: P2019a b c : a b c 2019 Câu
a) Điều kiện xác định x Ta có: 2 2 2
2 2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 4 2
2
2 2
7
0
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x
7 x Vậy 0;
7 S
(3) 2 2
2 2 9 6 1 3 1
3
1
y xy x x x y x x
y x x y x
y x x y x
Với y4x1, thay vào phương trình thứ hai thu gọn ta được:
3
0
8
7 27
x y
x x x x y
x y
Với y 1 ,x thay vào phương trình thứ hai thu gọn ta được:
3
0
4 3
3
x y
x x x x y
x y
Vậy hệ cho có nghiệm x y; 0; , 1;3 , 7; 27 , 0;1 , 1;3 , 3; Câu
Gọi H trực tâm tam giác ABC OH cắt đường thẳng qua A1, vng góc với BC điểm K. Gọi M trung điểm AA1 OM AA1 Suy OM BC.
Mặt khác, tứ giác AHKA1 hình thang AHA K1 nên ta có OM đường trung bình, kéo theo O trung điểm HK hay nói cách khác, đường thẳng qua A1, vng góc với BC qua điểm đối xứng với trực tâm H tam giác ABC qua O.
Rõ ràng điểm bình đẳng với B C, nên hai đường qua B C1, 1 vng góc với CA AB, qua
.
K Vì nên ta có đường thẳng đề đồng quy K. Câu
a) Ta có:
M
K O
H
A1
C B
(4)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0 a b a b
ab
a b a b a b ab
a b a b a b
a b
a b a b a b
a b a b
Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ab
b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
20 20
5a 20 20 a
a a
7
7b 14 14 b
b b
Do đó: Q b a 205a 14 7b346a b 34 6 16 Đẳng thức xảy chi a2,b1
Vậy giá trị nhỏ Q 16 đạt a2,b1 Câu
a) Ta có JE đường kính ( )I nên JDE90 tam giác HDE vuông D. Chú ý BDBE , tiếp tuyến kẻ từ B đến ( )I nên BDBH (tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền) Do tam giác BHD cân B.
Vì AL BH nên hai tam giác ADL BDH đồng dạng, kéo theo ADL cân A hay AL AD AE.
T
K M
L
H
J
I
F
E D
C B
(5)Vì AL CE nên LAFFCE, mà hai tam giác ALF CEF, cân có góc đỉnh nên chúng đồng dạng Suy AFLCFE, kéo theo L F E, , thẳng hàng
b) Kéo dài JF cắt d T tương tự câu a, ta có T D E, , thẳng hàng
. AT AD AF AL Theo định lý Thales với dBC AL AJ AT
MH JM MK , mà ATAL nên MH MK. Câu
Ta có 3x y3 1 (y1)(y2 y 1).Do đó, tồn số tự nhiên u v, cho
2
1 3
1 3
u
v y
y y
Vì y 1 1 nên 3u1 hay u1. Rút y3u1, thay vào phương trình dưới, ta có
2
(3u1) (3u 1) 1 3v hay
2 1
3 u 3 3u 3 3v 3 u 3u 1 3 v
Vì vế phải ngun nên ta phải có v 1 0 hay v1. Tuy nhiên, v 1 0 3v1 chia hết cho 3,
trong vế trái không chia hết cho 3, vô lý Do đó, v1 hay
2
1 3 2