toán cao cấp – lien giao

Khi ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của hệ phương trình tuyến tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ đã cho... Định lý: Đối với một hệ phương trình tuyến tí[r]

(1)

Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1: Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính

1 Định nghĩa:

Hệ phương trình dạng

11 12 1

21 22 2

1 2

(1)

n n

m m mn n m

a x a x a x b

   

 

   

  

    



Trong x x1, , ,2 xnlà ẩn a bij, j là số, gọi hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn.

Ma trận

11 12

21 22

1

n

m m mn

a a a

A

a a a

 

 



 

 

    gọi ma trận hệ số hệ (1)

Ma trận

11 12 1

21 22 2

1

n

m m mn m

a a a b

A

a a a b

 

 



 

 

     ma trận hệ số mở rộng hệ (1)

2 Nhận xét: Một hệ phương trình hồn tồn xác định ta biết ma trận hệ số mở rộng

Cột

1

m

b b b

           

 gọi cột tự hệ (1)

Hệ (1) viết lại dạng

1

2

n m

x b

A

x b

                       

  với A ma trận hệ số hệ (1)

Khi ta thực phép biến đổi sơ cấp dịng hệ phương trình tuyến tính ta hệ tương đương với hệ cho

Ta nói ( ; ; ; )c c1 cn một nghiệm hệ (1) thay xj cjthì tất phương trình

trong hệ (1) thỏa mãn

Nếu





T n

X  x x x B



b

bm



T

dạng: AX = B 3 Ví dụ:

Hệ phương trình

1 3

1

2 1;

4;

2 3,

x x x

  

 

  



   



(2)

Hệ phương trình cịn viết dạng

1

2 1

1 1

1

x x x



     

     

     

       

     

2 1

1 1

1

  

 

    

 

Trong (1, 2,1)

  nghiệm hệ phương trình

4 Một vài hệ phương trình đặc biệt: 4.1 Hệ Cramer:

Hệ phương trình tuyến tính (1) gọi hệ Cramer m = n (tức số phương trình số ẩn) ma trận hệ số A khơng suy biến (hay detA0)

Ví dụ:

Hệ phương trình

1

2

4

x x

x x x

 

 

  



   



hệ Cramer

4.2 Hệ phương trình tuyến tính nhất:

Nếu cột tự hệ (tức b1 b2   0) hệ phương trình tuyến tính (1)

gọi hệ phương trình tuyến tính nhất.

Hệ gọi hệ liên kết với hệ phương trình (1)

4.3 Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính ln có nghiệm

1

( , , , ) (0,0, ,0)x x xn  nghiệm gọi nghiệm tầm thường hệ

5 Định lý: Đối với hệ phương trình tuyến tính có ba trường hợp nghiệm xảy là:

- Có nghiệm nhất;

- Vơ nghiệm;

- Có vơ số nghiệm

6 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường có vơ số nghiệm

7 Định nghĩa: Hai hệ phương trình có số ẩn gọi tương đương nhau chúng có tập hợp nghiệm

8 Định lý:Nếu hai hệ phương trình có hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương đương dòng với chúng tương đương Hoặc phát biểu lại sau:

Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn K có dạng ma trận hóa là







A A B C ( | )C D Khi A C hai hệ phương trình tương đương

9 Nhận xét:

(3)

10 Ví dụ: Để giải hệ phương trình

1 3

1

2 1;

4;

2 3,

x x x

  

 

  



   



ta tiến hành ma trận hóa sử dụng phép biến đổi sơ cấp dịng để đưa ma trận hóa dạng đơn giản

1

3

1

3 2

3

1

2

3

2 1 0 7 0 1

1 1 1 4 0

1 3 0

d d d

d d

d d d d d d

d d d d

 



  

 

             

       

        

       

              

       

Vậy hệ cho tương đương với

1

3

1

0 1;

1

0

x x x x

x

x x x

   

 

 

    

 

     



 ■

7 Định lý: Giả sử u0là nghiệm cho trước hệ phương trình (1) Khi u K nlà một nghiệm hệ (1) u u 0v, với v nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần liên kết với hệ (1).

Nói cách khác v v1, , ,2 vrlà nghiệm hệ phương trình tuyến tính liên kết ta viết nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) u u 0t v1 1t v2 2 t vr r, trong t t1, , ,2 trK

8 Định nghĩa: Một nghiệm cố định u0 hệ phương trình tuyến tính (1) gọi nghiệm riêng, nghiệm u u 0t v1 1t v2 2 t vr r gọi nghiệm tổng quát hệ

Ví dụ:

Xét hệ phương trình sau:

1

2

3 7

5 10 10 15

x x x x

   

 

   



    



(1)

Nhận xét hệ có nghiệm u0 (1,0,0,1)

Xét hệ phương trình liên kết với hệ (1)

1

2

3

5 10 10

x x x x

   

 

   



    



Hệ có nghiệm v1(11,5,1, 0);v2  ( 6, 2, 0,1)

(4)

Bài 2: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

_

1 Phương pháp Cramer:

Nội dung phương pháp định lý sau:

1.1 Định lý: Cho hệ Cramer

11 12 1

21 22 2

1 2

(2)

n n

n n nn n n

a x a x a x b

   

 

   

  

    



11 12

21 22

1

n

n n nn

a a a

A

a a a

 

 



 

 

    ma trận hệ số Khi đó,

- Nếu detA0thì hệ phương trình có nghiệm xác định cơng thức sau: det

det i i

A x

A

 , Aichính ma trận thu ma trận A cách thay cột i cột hệ

số tự

n

b b b

            

- Nếu detA = tồn j{1, 2, , }n sao cho |Aj| 0 hệ phương trình vơ nghiệm

- Nếu detA = |Aj | 0,  j 1,nthì hệ phương trình khơng có nghiệm (nghĩa là vô nghiệm vô số nghiệm) Nếu xảy trường hợp ta dùng phương pháp Gauss (được nêu phần tiếp theo) để giải hệ phương trình này.

1.2 Hệ quả: Hệ phương trình tuyến tính n phương trình n ẩn có nghiệm không tầm thường định thức ma trận hệ số 0.

Nhận xét: Phương pháp dùng để giải hệ phương trình có số phương trình số ẩn

1.3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

1

2

1

(1)

ax bx c

cx ax b

cx bx a

 

 

 



  



với a, b, c số khác

Giải:

Ta có

0

det

0

a b

A c a abc

c b

   nên hệ Cramer Hơn

2 2

1

0

det ( )

0

c b

A b c a a b c b

a b

(5)

2 2

0

det ( )

a c

A b a a b c a

c a b

    

2 2

det ( )

0

a b c

A c b a b c c

c a

   

Do đó, hệ có nghiệm

2 2

1

det

A a b c

x

A ac

 

  ;

2 2

2

det

A a b c

x

A bc

  

  ;

2 2

3

det

A a b c

x

A ab

 

 

■

Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

1

2

x x x

  

 

   



   



Giải:

Ta có |A|=0 |A1| 8 nên hệ phương trình vơ nghiệm ■ Ví dụ 3:

1 3

1

2

x x x

  

 

  



   



Ta có

1

detA0;detA detA detA 0

Hệ phương trình khơng có nghiệm tức hệ có vơ số nghiệm hệ vơ nghiệm Đối với trường hợp phải dùng phương pháp Gauss để giải lại hệ phương trình

2 Phương pháp Gauss:

2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến tính tổng qt

11 12 1

21 22 2

1 2

(1)

n n

m m mn n m

a x a x a x b

   

 

   

  

    



A Alần lượt ma trận hệ số ma trận hệ số mở rộng Khi đó:

i) Nếu rankA rank A hệ (1) vơ nghiệm;

ii) Nếu rankA rank A r  thì hệ (1) có nghiệm Hơn nữa:

 Nếu r = n hệ (1) có nghiệm nhất.

(6)

2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình tuyến tính (gọi thuật tốn Gauss):

Lập ma trận hệ số mở rộng A Bằng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A

về dạng bậc thang Giả sử ma trận bậc thang cuối có dạng:

1

2

*

1 1

*

2 2

*

1

0

r

i n

r

ri rn

r

m

c c d

A C c c d

d d



     

 

   

        

 

 

Hệ phương trình tương ứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu Do đó:

1) Nếu tồn di với r  1 i m khác hệ vơ nghiệm

2) Nếu dr1dr2   dm0 hệ có nghiệm Khi cột i i1, , ,2 ir(là cột

đánh dấu * ) giữ lại bên trái x xi1, i2, ,xirlà ẩn, cột cịn lại

chuyển sang bên phải, ẩn xktương ứng với cột trở thành tham số Vậy ta có

n – r tham số hệ cho tương ứng với hệ

1

2

1 1 1

2

( )

0 ( )

(3)

( )

0

r

i i i k

i k

r k ri

c c c d x

c d x

d x c

 

 

 

Trong d xi( )k hàm tuyến tính xkvới k i i1, , ,2 ir Hệ phương trình (3) hệ

phương trình dạng tam giác ta dễ dàng giải cách dần từ lên, tức tính x xir, ir1, ,xi1

Chú ý: Nếu trình biến đổi xuất dòng mà bên trái bên phải số khác ta kết luận hệ phương trình vơ nghiệm khơng cần làm tiếp

Nhận xét: Nếu ma trận thu cuối thuật tốn Gauss có dạng A’|B’ A’

được gọi ma trận rút gọn theo dòng bậc hay đơn giản ma trận rút gọn, ký hiệu RA

Khi hạng ma trận A bằng hạng RA 2.3 Các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

1

2

2 2 (*)

3

x x x

  

 

   



   

 Giải:

Vì | | |AA1| |A2| |A3| 0 nên ta dùng phương pháp Cramer để giải hệ phương

trình

(7)

3

2

3

2

1

1 2 2 2

2 2 2 2

3 2 0 0

1 2

0 / /

0 0

d d d d d d

d d d

d d

 

 



     

     

          

     

         

     

 

 

    

 

 

Vậy hệ phương trình (*) có vơ số nghiệm phụ thuộc vào tham số x3

1 3 3

2

3

4 4

2 2

5 5

2 5

x x x x x x

x x

x

  



      

  

  

    

 ■

Chú ý:

- Khi hệ phương trình có vơ số nghiệm dù giải phương pháp ta có nhều cách chọn biến tự

- Khi giải hệ phương trình tuyến tính nhất, ta có nhiều cách chọn hệ nghiệm b) Giải hệ phương trình

1

2

3

3 25

x x x

  

 

  



   

 Giải:

Ta tiến hành giải thuật toán Gauss sau:

2

3 3 3

1 9

1 3 11 11

3 25 12 16 52 0 8

d d d

d d  d d d d

        

     

             

     

          

     

Vậy hệ phương trình đầu tương đương với hệ:

1

2

3

2

11

- 8

x x x

x x

x

  

 

  



 



Do nghiệm hệ ( , , ) (2, 3, 1)x x x1   

Sinh viên tham khảo them thuật toán Gauss Jordan tài liệu viết đại số tuyến tính

Thực chất thuật tốn Gauss Jordan ta thực phép biến đổi dòng ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận có tính chất sau:

- Các dịng khác nằm dòng 0;

- Hệ số khác dòng khác

- Các phần tử lại cột chứa số chuẩn (gọi cột chuẩn)

(8)

2

3 3

2

3

1

3

1

5

1 9

1 3 11 11

3 25 12 16 52 0 8

1

0 11

0 1 0 1

d d d

d d d d d d

d d d

d d d d d

 

   

  



 

        

     

             

     

          

     

    

 

            

   

 

2

1

2

1 0 1 0

0 0 1

d d

d d d

 

 

   

   

    

   

    

   

 

 

      

  

 

Vậy nghiệm hệ ( , , ) (2, 3, 1)x x x1    ■

Ví dụ: Giải hệ phương trình với ma trận hệ số mở rộng

1 0

0 1

1 1

0 110

A

 

 



 



  

 



 

 

Giải

Thực phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận A dạng bậc thang

3

3 4

4

2

1 0 1 0 1 0

0 1 1 1

1 1 1 0

0 110 1 10 0

1 0

0 1

0

0 0 14

d d d

d d d d d d

d d d

A

 

   

 

     

     

  

     

         

         

     

  

     

     

 

 



 

   

  

 

 

Các phần tử đường chéo 1; 1; -1; gọi phần tử đánh dấu Ta khử phần tử lại phần tử cột chứa phần tử đánh dấu ngược từ dòng lên dòng để ma trận bên vế trái ma trận đơn vị

3

2

3

1 0 1 0 1 0

0 1 1 1

0 0 43 0 43

0 0 14 0 14 0 14

1 0 0 34 0 43 0 14 d d d

d d d d d

d d d d

 

 

     

     

    

          

        

     

     

 

 

   

 

 

1

1 0 27 0 34 0 43 0 14 d d

 

  

 

   

 

 

(9)

Các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

1

2

2 3

3

2

x x x x

x x x x x m

x x x x m

   

 

   

 

    



     

 Giải:

Ma trận hệ số mở rộng hệ phương trình

2

3

4

3

4 4

2

1 2 1 2 1

2 3 0 1

3 0 3

1 1 0 2

1 2 1

0 1

0 0

0 0 2 10

d d d d d d d d d

d d d

d d d d d d

B

m m

 

   

   

   

 

   

    

      

   

  

   

   

 

 

 

 

    

   

 

 

 

 

1 2 1

0 1

0 0

0 0 0

m m

 

 

 

 

   

   

 



 

 

Nếu m5thì hệ phương trình vơ nghiệm

Nếu m = hệ phương trình trở thành

1 2 1

0 1

0 0

0 0 0

 

 

 

 

  

 

 

Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x x5, 2với x x2, 5 

1

3

4

2

1 2

x x x x

x x x

x x

   

 

  



 



Từ suy ra,

4

3

1

2

4

2

x x

x x x

  

 



   

 ■

b) Giải hệ phương trình

1

1 1

x x x mx

x x mx x

x mx x x

mx x x x

   

 

   

 

   



    

 Giải:

(10)

2

3

4

2

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 1

1 1 1 0 1

1 1 1 1 0 1

1 1

0 1

d d d d d

d d d d d md

d d d d

m m m

m m m m m

m m m m m m m

m

m m



 

  

     

     

   

            

         

     

     

     

     

 

    

2

1

0 1

0 0

m m

m m

 

 

   

 

 

 

 

Vì 3 2m m2 (1 m m)( 3)

     nên:

Nếu m = ma trận hệ số mở rộng có dạng

1 1 1 0 0 0 0 0 0 0

 

 

 

Khi hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x x x2, ,3 Tức

1

2

1

x x x x

x x x

   

 

  

 

 

   

Đặt

2 3 4

x t

  



  

  



  

x1  1 t2 t3 t4

Khi m =-3 hệ trở thành

1 1

0 4

0 0

  

 



 

  

 

 

Hệ phương trình vơ nghiệm Khi m3,m1thì hệ pt có nghiệm nhất

4

3

2

1

3

1

3

1

3

m x

m m m

x x

m

x x

m

x x x mx

m



 

  

 



 



    

 Kết luận:

- Nếu m = hệ phương trình có vơ số nghiệm - Nếu m = -3 hệ vơ nghiệm

- Nếu m 1, 3 hệ có nghiệm 1 2 3 4

3

x x x x

m

   

(11)

Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau phương pháp thích hợp: x y z t a

x y z t b x y z t c x y z t d

    



    

 

   



     

Cộng theo vế phương trình ta được:

2

a b c d

x y z t       (*)

Lấy (*) trừ cho phương trình thứ (1) hệ được:

2

a b c d a b c d

x     a x   

4

a b c d

y   

4

a b c d

z   

Thực tương tự lấy (*) trừ cho phương trình thứ (4) hệ được:

4

a b c d t    Ví dụ 2:

1 1

mx y z t x my z t x y mz t x y z mt

    

    

 

   



    



Giải

Cách 1: SV tự giải phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan) Cách 2: Cộng tất phương trình ta được:

(m3)(x y z t   ) 4 (*)

Nhận xét:

Khi m = - phương trình (*) vơ nghiệm, hệ vơ nghiệm Khi m = hệ có vơ số nghiệm

1

2

x t t t t

y t z t t t

   

 

  

    

với t t t1, ,2 3 

Khi m3,m1 chia biểu thức (*) cho m + ta có

(12)

Lấy kết trừ phương trình thứ hệ ta được: x m  

Thực tương tự ta

3

y z t m

   

Tóm tắt chương

Ở chương này, thông qua việc vận dụng kiến thức định thức ma trận ta nghiên cứu thêm phương pháp để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Sau học xong chương này, sinh viên cần trả lời câu hỏi sau:

1 Hệ phương trình tuyến tính có yếu tố cần biết để giải? Nghiệm hệ xác định sao? Khi hai hệ phương trình tương đương? Đặc điểm hệ Cramer gì? Thế hệ phương trình tuyến tính nhất?

2 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính giống với nội dung học chương trước? Trình bày phương pháp Gauss? Sinh viên nghiên cứu thêm phương pháp Gauss Jordan? Sự giống khác phương pháp Gauss phương pháp Gauss Jordan?

3 Điều kiện cần thiết để giải hệ phương trình phương pháp Cramer? Trình bày phương pháp Cramer?

BÀI TẬP

1) Giải hệ phương trình sau cách áp dụng thuật toán Cramer phương pháp Gauss:

a)

1

2 6;

2 16;

5 16

x x x

              b)

1

7 15;

5 15;

10 11 36

x x x

              c)

1

2 1;

2 4;

4

x x x

              d)

1

3 5;

2 1;

2 11

x x x

              e)

1

2;

2 2;

2

x x x x

                       f)

1

2 5;

3 1;

3 8;

2 2

x x x x

                       g)

1

5;

2 3;

4 7;

3 2;

x x x x

                       h)

1

2 2;

4 3;

8 6;

3 2 3;

x x x x

                       k)

1

3 3;

2 3;

4 22;

x x x x

x x x

x x x x

                      l)

1

; ; ; ;

x x x x a

x x x x b

x x x x c

x x x x d

                       

(13)

m)

1

; ; ;

ax bx cx dx p

bx ax dx cx q

cx dx ax bx r

dx cx bx ax s

                        

với a, b, c, d, p, q, r, s số thực khác

n)

1

2

3

4

5 1; 1; 1; 1; 1; 1; x x

x x x

x x                              

2 Giải hệ phương trình tuyến tính tương ứng với hệ cho tập (tức thay cột hệ số tự cột chứa số 0) giải lại hệ phương trình

3 Giải biện luận hệ phương trình sau:

a)

1

2

1

1; ;

mx x x

x mx x m

x x mx m

              b)

1

2

1

3

1

1; ;

;

mx x x x

x mx x x m

x x mx x m

x x x mx m

                       c)

1

4; 3;

2

ax x x

x bx x

x x x

              d)

1

2

1

2

1

; ;

x ax a x a

x bx b x b

x cx c x c

              e)

1

( 1) 1;

2 (4 2) 1;

3 ( 1)

x m x x

x x m x

x m x x

                 f)

1

1; 1; 1;

x x x x

                           g)

1

( 3) ;

( 1) ;

3( 1) ( 3)

m x x x m

mx m x x m

m x mx m x

                  h)

1

2

1

(3 1) (3 1) 1;

2 (3 1) ;

( 1) ( 1) 2( 1)

m x mx m x

mx mx m x m

m x m x m x m

                    k)

1

1;

2 2;

3

x mx m x

x x x

              l)

1

2 ;

2 1;

7

x x x x m

                  m)

1

2 ;

2 2 1;

3 3

x x x x m

                  n)

1

2 0;

2 3;

3 3;

x x x x

x x x

x x m

(14)

o)

1

2 1;

2 2;

7 11 ;

4 16

x x x x

x x x x m

   

 

   

 

   



     



p)

1

2 4;

2 3;

2 2 3;

2

x x x x

x x x x m

   

 

   

 

   



    



q)

1

2 3;

1;

3 6;

5

x x x x x

x x x x m

    

 

    

 

    



     



4 Cho aijlà số nguyên Giải hệ phương trình sau: 11 12

2 21 22 2

1 2

1

;

2

;

2

n n

n

n n n nn n

x a x a x a x



   

 

    

   

    

 

5 Giải hệ phương trình

1

1;

2 1;

3 1;

n n

n

n n

x x x

x nx n x

 



   

 

   

 

   

  

    



6 Chứng minh hệ phương trình sau

11 12 21 22 2

1 2

0;

n n

n n nn n

a x a x a x

   

 

   

  

    



aij aji n lẻ, có nghiệm khác

7 Giải hệ phương trình sau phương pháp thích hợp:

a)

; ; ;

ax by cz dt p

bx ay dz ct q cx dy az bt r dx cy bz at s

   



    

 

    



    



b)

1 3

98 99 100 99 100 100

0; 0;

x x x

  

 

  

   

  



   



  