phương pháp số best wish for my students

[r]

3.6 Phép đẳng tham số cho phần tử dàn: Xét thanh dàn mặt phẳng (2D) hình vẽ:

Trong đó:

• T: lực tác dụng nút dọc theo trục

• x': trục tọa độ địa phương thanh

• 𝑢1′, 𝑢2′: chuyển vị nút

• 𝑓1𝑥′ , 𝑓2𝑥′ : ngoại lực tác dụng nút

74 T

𝑓1𝑥′ , 𝑢1′

T

1 l

EA, l x'

𝑓2𝑥′ , 𝑢2′

Theo định luật Hooke, ta có: ε = 𝜎

𝐸 và ε = 𝛿

𝑙

Nội lực xác định theo công thức:

Trong đó:

𝛿 = 𝑢2′ - 𝑢1′ 𝜎 = 𝑢2

′ − 𝑢 ′

𝑙 𝐸

𝑇 = 𝜎 𝐴

(3.5)

(3.6)

T l T

𝑓1𝑥′ , 𝑢1′

x'

𝑓2𝑥′ , 𝑢2′

Từ công thức (3.5) (3.6) ta có: 𝑇 = 𝐴𝐸(𝑢2

′ −𝑢 1′

𝑙 ) Khi nút cố định, ta có:

𝑓1𝑥′ = −𝑇 Khi nút cố định, ta có:

𝑓2𝑥′ = 𝑇

Thay (3.7) vào cơng thức ta có 𝑓1𝑥′ = −𝐴𝐸(𝑢2′ −𝑢1′

𝑙 )

𝑓2𝑥′ = 𝐴𝐸(𝑢2

′ −𝑢 1′

𝑙 )

76 (3.7)

(3.8a)

(3.9b) (3.9a) (3.8b)

Công thức (3.9a) (3.9b) viết lại dạng ma trận:

𝑓1𝑥′ 𝑓2𝑥′ =

𝐴𝐸 𝑙

1 −1

−1

𝑢1′ 𝑢2′

Trong đó:

𝑘𝑒 = 𝐴𝐸𝑙 : độ cứng thanh 𝐾 𝑒 = 𝐴𝐸

𝑙

1 −1

−1 1 : ma trận độ cứng 𝑘𝑒 va 𝐾 𝑒 được tính hệ tọa độ địa phương

của thanh

(3.10)

Công thức (3.10) viết dạng ma trận sau:

𝑓 𝑒 = 𝐾 𝑒 𝑢 𝑒

78 (3.11)

• Cơng thức (3.11) viết cho phần tử

• 𝑓 𝑒: Vector lực tác dụng lên nút phần tử

• 𝐾 𝑒: Ma trận độ cứng phần tử

• 𝑢 𝑒: Vector chuyển vị nút phần tử

• Từ cơng thức (3.11) ta giải hệ phương trình để tìm chuyển vị nút giàn

• Nội lực giàn xác định công thức

𝜎𝑒 = 𝐸 𝜀𝑥𝑒 = 𝐸.𝑢2 ′ −𝑢

1′ 𝑙 𝑁𝑒 = 𝜎𝑒𝐴

(3.12a)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Trong toán dàn chịu kéo nén tâm ta thấy:

80 T

𝑓1𝑥′ , 𝑢1′

T

1

EA, l x'

𝑓2𝑥′ , 𝑢2′

1) Các thơng số tốn tìm thơng qua chuyển vị nút

2) Vector chuyển vị phần tử: bao gồm tất chuyển vị nút phần tử;

3) Bài toán giải biết ma trận độ cứng phần tử

3.6.1 Hàm dạng phần tử dàn: Xét dàn hình vẽ

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

1) s: hệ trục gắn với trục với gốc trung điểm đoạn

2) Thanh có hai bậc tự với hai chuyển vị𝑢1 nút và𝑢2 nút

3) x: hệ tọa độ tổng quát phần tử.

𝑥1

1 L

u, x

𝑠 = 𝑠 = −1

1 L

u, x

Khi trục 𝒔song song với trục𝒙: Khi đó, tọa độ trọng tâm xác định bởi:

𝑥𝑐 = 𝑥1 + 𝑥2 Mối liên hệ 𝑥 và𝑠, ta có:

𝑥 = 𝑥𝑐+

𝐿 𝑠 Mối liên hệ 𝑠và𝑥, ta có:

𝑠 = 𝑥 − (𝑥1 + 𝑥2)

2 𝑥2− 𝑥1

82 Khoảng chia

số khoảng chia

(3.37a)

(3.37b)

(3.37c)

Gọi 𝑁1 𝑥 , 𝑁2 𝑥 hàm dạng phần tử nút 2, theo (3.31) tọa độ 𝑥 viết theo hàm dạng sau:

𝑥 = 𝑁1 𝑥 𝑥1+ 𝑁2 𝑥 𝑥2 Dưới dạng ma trận:

𝑥 = 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)

𝑥1

𝑥1

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.38a)

(3.38b)

Mặt khác, mối liên hệ tọa độ𝒙 và𝒔có thể được viết đa thức cấp sau:

Ta có:

𝑠 = −1, 𝑥 = 𝑥1, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1− 𝑎2 = 𝑥1

𝑠 = 1, 𝑥 = 𝑥2, thay vào (3.39), ta có: 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑥2 Thay vào (3.39), ta có:

𝑥 =

2 − 𝑠 𝑥1+ + 𝑠 𝑥2 Hoặc dạng ma trận:

𝑥 = − 𝑠

1 + 𝑠

𝑥1

𝑥2 = 𝑁1(𝑥) 𝑁1(𝑥)

𝑥1

𝑥1

84

(3.40)

(3.41)

Ta có:

𝑁1 𝑥 = − 𝑠 𝑁2 𝑥 = + 𝑠

2

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.42a)

𝑠 𝑠 = −1 𝑠 = 𝑁2=

1 + 𝑠

𝑁2

𝑠 𝑠 = −1 𝑠 =

𝑁1= − 𝑠

2 𝑁1

1

(3.42b)

Do phân tử đẳng tham số, xác định chuyển vị phần hàm dạng𝑁1 𝑥 , 𝑁2 𝑥 ,ta có:

𝑢 = 𝑁1 𝑥 𝑢1 + 𝑁2 𝑥 𝑢2

86

(3.43)

𝑠

𝑠 = −1 𝑠 =

𝑢

1

𝑢 = 𝑁1𝑢1+ 𝑁2𝑢2

𝑢1 𝑢2

Hàm chuyển vị hệ tọa độ s phần tử

3.6.2 Biến dạng chuyển vị dàn: Trong hệ tọa độ tổng quát, biến dạng tỉ đối dàn là:

𝜀𝑥 =𝑑𝑢 𝑑𝑥 Mặt khác, ta có:

𝑑𝑢 𝑑𝑠 =

𝑑𝑢 𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑠 Từ (3.45) (3.44), ta có:

𝜀𝑥 =( 𝑑𝑢 𝑑𝑠) (𝑑𝑥𝑑𝑠)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.44)

(3.45)

Từ định nghĩa số gia𝑑𝑢, 𝑑𝑠, ta có: 𝑑𝑢

𝑑𝑠 =

𝑢2− 𝑢1

2 ;

𝑑𝑥 𝑑𝑠 =

𝑥2− 𝑥1

2 =

𝐿 Từ (3.47) (3.46), ta có:

𝜀𝑥 = − 𝐿 𝐿 𝑢1 𝑢2

Mặt khác, gọi 𝛿 𝑒 chuyển vị nút phần tử, ta có: 𝑢 = 𝑁 𝛿 𝑒 88 (3.47) (3.48) (3.49)

Theo lý thuyết đàn hồi, ta có:

Dưới dạng ma trận

𝜀 = 𝜕 𝑢

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Thế (3.49) vào (3.50), ta có:

𝜀 = 𝜕 𝑁 𝛿 𝑒 = 𝐵 𝛿 𝑒

Trong đó: 𝐵 = 𝜕 𝑁 : ma trận chứa đạo hàm hàm dạng (ma trận để tính biến dạng)

Đồng cơng thức (3.48) (3.51), ma trận tính biến dạng 𝐵 có dạng sau:

𝐵 = −1 𝐿

1 𝐿

90

(3.51)

(3.52)

3.6.3 Ứng suất dàn: Theo định luật Hooke tổng quát ta có:

𝜎 = 𝐸 𝜀 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒

Trong đó:

𝐸 : ma trận module đàn hồi, trường hợp toán dàn 𝐸 = const,

𝐸 = 𝐸, công thức (3.53) viết lại sau: 𝜎 = 𝐸 𝐵 𝛿 𝑒

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(3.53)

3.6.4 Độ cứng dàn: Theo phương pháp thế toàn phần, độ cứng phần tử dàn xác định công thức

𝐾 𝑒 =

𝑉

𝐵 𝑇 𝐸 𝐵 𝑑𝑉 Trong tốn 1D - dàn, ta có:

𝐸 = 𝐸 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑥 Ta có:

𝐾 𝑒 =

𝐿

𝐵 𝑇𝐸 𝐵 𝐴 𝑑𝑥

92

(3.55)

(3.56)

Công thức (3.56), 𝐵 ma trận viết hệ trục s, ta phải chuyển tọa độ𝑥 sang 𝑠, ta có:

0 𝐿

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =

−1

𝑓 𝑠 𝐽 𝑑𝑠 Trong tốn chiều – dàn, ta có:

𝐽 = J = 𝑑𝑥 𝑑𝑠 =

𝐿 Thay (3.57b) vào (3.56), ta có:

𝐾 𝑒 =𝐿

−1

𝐵 𝑇𝐸 𝐵 𝐴 𝑑s

(3.57a)

(3.57b)

dàn xác định bởi:

𝐾 𝑒 = 𝐴𝐸

𝐿 −11 −11

Trong hệ tọa độ tổng quát, áp dụng cơng thức chuyển trục, ta có ma trận độ cứng phần tử xác định công thức:

𝐾 𝑒 =𝐴𝐸 𝑙

𝐶2 𝐶𝑆 −𝐶2 −𝐶𝑆

𝐶𝑆 𝑆2 −𝐶𝑆 −𝑆2

−𝐶2 −𝐶𝑆 𝐶2 𝐶𝑆

−𝐶𝑆 −𝑆2 𝐶𝑆 𝑆2

94

(3.59a)

(3.59b)

3.6.5 Vector tải trọng tác dụng lên dàn:

a) Trọng lượng thân: hệ tọa độ địa phương trọng lượng thân dàn quy lực tập trung tác dụng hai nút

𝑓𝑏 𝑒 =𝐴𝐿𝜌

1 Trong đó:

𝜌: trọng lượng riêng dàn

(3.60)

Trường hợp 1: Khi𝑞(𝑥)là hàm biến𝑥: 𝑓𝑠 𝑒 =

0 𝐿

𝑁𝑠 𝑇 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 Thay hàm dạng theo tọa độsvà 𝑑𝑥 =𝐿

2𝑑𝑠, ta có:

𝑓𝑠 𝑒 =

−1

1 − 𝑠

2 + 𝑠

2

𝑇

𝑞(𝑥) 𝐿 2𝑑𝑠

Trường hợp 2: Khi𝑞 𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ta có 𝑓𝑠 𝑒 = 𝑞(𝑥)𝐿

2 1

96

(3.60)