phương pháp số best wish for my students

2) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần tử mà nhỏ hơn bậc của trường biến số thì phần tử được gọi là: “ Bán đẳng tham số ”. 3) Nếu bậc của hàm dạng miêu tả hình dáng của phần [r]

(1)

PH

ƯƠ

NG PHÁP S

Ố

(Computer Method)

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

(Finite Element Method)

TS Lê Hữu Thanh

3.1 Các khái niệm bản

• Theo tốn học, phương pháp PTHH phương gần (PP số) để tìm nghiệm hàm số miền xác định (V)

• PP PTHH áp dụng để giải tốn kết cấu đó: hệ kết cấu chia thành nhiều phần tử (rời rạc hóa kết cấu) chịu tác dụng tải trọng có điều kiện biên khác

• Trong hệ kết cấu, phần tử kết nối với điểm liên kết (gọi nút)

2

(2)

Ưu điểm PP PTHH

1) Có thể giải tốn kết cấu có hình dáng, chịu tác dụng tải trọng điều kiện biên 2) Có kết hội tụ cao so với phương pháp xác

bằng cách sử dụng lưới chia phần tử hợp lý

3) Giữ nguyên chất vật lý toán (Khác so với PP khác, làm thay đổi chất vật lý hệ kết cấu)

3

Chương 3: Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn

Nhược điểm PP PTHH

1) Đòi hỏi kinh nghiệm kỹ tốt người thực thực phép chia lưới phần tử

2) Kết tốn xuất từ chương trình PTHH cần biên dịch trình bày chương trình khác

(3)

Lịch sử phát triển PP PTHH

• 1941, Hrennikoff người xem đặt móng cho PP PTHH nghiên cứu ứng suất cách mô làm việc hệ dàn chịu kéo nén

5

• 1956, M J Turner, R W Clough, H C Martin J L Topp làm việc công ty Boeing, mô máy bay phần tử ba cạnh (Giới thiệu lần phương pháp độ cứng trực tiếp)

Lịch sử phát triển PP PTHH (tiếp)

• 1960, R W Clough, người gọi tên phương pháp PP Phần tử hữu hạn giới thiệu nghiên cứu phân tích ứng suất phẳng

6

• 1965, O C Zienkiewicz (1921-2009) Y K Cheyng áp dụng PP PTHH cho tất toán kỹ thuật

(4)

Cấu trúc PP PTHH kết cấu Xây dựng

7

- 2D, 3D; - Động học: - Truyền nhiệt - Ổn định mái dốc - Thủy lực; - Phi tuyến

- PP độ cứng trực tiếp - PP Galerkin - PP trị riêng

- Hình dáng phần tử - Số nút phần tử - Số bậc tự nút - Hàm nội suy

- Trị Gausian - Newton

- Kết nối phần tử - Các ràng buộc liên kết - Giải nghiệm - Lập trình chương trình tính (1) Dạng tốn (2) PP xây dựng toán (3) Lựa chọn phần tử

(4) PP lấy tích phân

số

(5) Kỹ thực

hiện

3.2 Phần tử: Phần tử sử dụng phương pháp PTHH bao gồm phận cấu thành sau:

3.2.1 Hình dạng phần tử

• Phần tử đường (thanh): đường thẳng cong

• Phần tử (mặt)

• Phần tử khối (solid)

(5)

3.2.2 Số nút phần tử: Nút điểm thuộc phần tử có đặc điểm sau:

• Là vị trí xác định tọa độ phần tử, kết nối phần tử với

• Biểu diễn hình dáng phần tử

• Xác định biên phần tử

9

Biên phần tử

Nút góc (biên ngồi) Miền xác định phần tử Nút (biên ngoài)

Nút bên phần tử

Hình 3.2Nút phần tử

3.2.3 Tọa độ bậc tự phần tử: Bậc tự

phần tử tổng số ẩn (độc lập) cần thiết phải xác định để tính thơng số khác toán

Các ẩn biểu diễn thông qua biến số nút phần tử Kiểu số biến nút phụ thuộc vào đặc điểm sau tốn

• Dạng tốn

• Khơng gian tốn (1D, 2D 3D) • Phương pháp xây dựng tốn

10

(6)

Ví dụ 1: Xét nút liên kết cột thép dầm ngang dọc hình vẽ sau:

11

Hình 3.2 Khung mơ hình nút Vùng có độ cứng lớn (nút cứng)

Nút cứng

𝜃1 𝜃 𝑗

𝜃2 A

Nút A

Hình 3.3 Hệ kết cấu khung

Biến dạng nút A

(7)

Nút khớp

13 B

Hình 3.4 Hệ khung mơ hình nút

Biến dạng nút B

B

Nút liên kết

14

(1) Liên kết ngàm

U=

(2) Liên kết gối cố định

U=

(3) Liên kết gối di động

(8)

Phương pháp xây dựng toán PTHH: gồm phương pháp sau:

15

Phương pháp Nguyên lý áp dụng

Đại lượng xác định

Biến số nút Ghi chú

PP Chuyển vị Thế toàn phần

Chuyển vị Chuyển vị, góc xoay, vận tốc

> nghiệm PP xác

PP Lực Nguyên lý bù

Ứng suất Moment, lực < nghiệm PP xác PP Hỗn hợp Nguyên lý

Lagrange

Chuyển vị Ứng suất

Chuyển vị, góc xoay moment, lực PP Liên hợp

3.3 Hàm dạng: (thường xem xét dạng ma trận hàm dạng) chứa tọa tộ nút phần tử tọa độ điểm xét Hàm dạng sử dụng với chức sau:

• Biểu diễn hình dáng, miền xác định phần tử

• Sự biến thiên (bậc, mũ) trường biến số miền xác định phần tử

Ví dụ: biến (𝑥, 𝑦)của ẩn chuyển vị(𝑢, 𝑣, 𝑤)

(9)

Gọi 𝑚 mũ (bậc) hàm dạng biểu diễn hình

dạng phần tử, 𝑛 số mũ (bậc) hàm dạng

thể trường biến số phần tử, ta có:

17

(1) Nếu 𝑚 = 𝑛: phần tử gọi phần tử đẳng

tham số.

(2) Nếu 𝑚 < 𝑛: phần tử gọi phần tửbán

đẳng tham số.

(3) Nếu 𝑚 > 𝑛: phần tử gọi phần tửsiêu

đẳng tham số.

1) Nếu phần tử có hình dạng trường biến số (ẩn) sử dụng chung hàm dạng gọi là: “Phần tử đẳng tham số”

18

2) Nếu bậc hàm dạng miêu tả hình dáng phần tử mà nhỏ bậc trường biến số phần tử gọi là: “Bán đẳng tham số”

3) Nếu bậc hàm dạng miêu tả hình dáng phần tử mà lớn bậc trường biến số phần tử gọi là: “Siêu đẳng tham số”

(10)

Ví dụ 2: Cho phần tử có tham số: 𝜃𝑥, 𝜃𝑦, 𝑤: tham số độc lập Khi đó, tọa độ nút phần tử xác định qua hàm dạng sau:

𝑥 𝑟, 𝑠 = 𝑎=1 𝑚

𝑁𝑥𝑎 𝑟, 𝑠 𝑥𝑎

Trường biến số (ẩn) phần tử biểu diễn hàm dạng sau:

𝑤(𝑟, 𝑠) 𝜃𝑥(𝑟, 𝑠) 𝜃𝑦(𝑟, 𝑠)

= 𝑎=1 𝑛

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 𝑤𝑎

𝜃𝑥𝑎 𝜃𝑦𝑎

19

Phần tử đẳng tham số: Trong trường hợp xem

phần tử có dạng tổng quát bất kỳ, thực

tốn PTHH gặpmột số khó khăn sau:

(1) Biểu thức hàm dạng nguyên hàm miền xác định phần tử khó phức tạp

(11)

2) Tích phân miền xác định phần tử khơng liên tục khơng có thuật tốn chung để xác định

3) Nếu biên phần tử đường cong tích phân miền xác định phần tử trở nên phức tạp

4) Các điều kiện biên khó xác định gán cho phần tử

21

Các khó khăn vừa nêu giải ta lựa chọn miền xác định phần tử với đặc điểm sau:

(1) Miền xác định phần tử quy chiếu miền gốc đơn giản hàm dạng lựa chọn số nút biên phần tử (phép biến đổi gọi phép chiếu);

(2) Đối với toán hai chiều, miền gốc thường sử dụng miền vuông hai trục, toán ba chiều thường sử dụng khối lập phương ba trục, trục vng góc với

22

(12)

Hình 3.5 giới thiệu miền gốc miền thật phần tử, đó:

• Hệ tọa độ Cartersian phần tử 2D (r,s) • Hệ tọa độ Cartersian phần tử 3D (r,s,t)

23

Miền thật phần tử Miền quy chiếu (phần tử gốc)

Phép biến đổi đẳng hướng tọa độ trường biến số trong PP PTHH: Cho đa thức có dạng sau:

W 𝑟, 𝑠 = 𝛼𝑜 + 𝛼1𝑥 𝑟, 𝑠 + 𝛼2𝑦 𝑟, 𝑠 + ⋯ 𝛼𝑚𝑓 𝑟, 𝑠

Giả sử giá trị nút (chuyển vị …) cho

W 𝑟𝑎, 𝑠𝑎 = 𝑊𝑎

Từ (1), ta có:

𝑊𝑎 = 𝛼𝑜+ 𝛼1𝑥𝑎 + 𝛼2𝑦𝑎+ ⋯ 𝛼𝑚𝑓𝑎

Bằng cách nội suy, ta có:

W 𝑟, 𝑠 = 𝑛

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑊𝑎

(1)

(2)

(13)

Thế (2) Vào (3), ta có:

W 𝑟, 𝑠 = 𝛼𝑜

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠) + 𝛼1

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑥𝑎

+ 𝛼2 𝑎

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 𝑦𝑎 + ⋯ + 𝛼𝑚 𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑓𝑎

25

(4)

So sánh (1) (4), ta có:

𝑎

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 =

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑥𝑎 = 𝑥 𝑟, 𝑠

𝑎

𝑁𝑎 𝑟, 𝑠 𝑦𝑎 = 𝑦(𝑟, 𝑠)

𝑎

𝑁𝑎(𝑟, 𝑠)𝑓𝑎 = 𝑓(𝑟, 𝑠)

26

(5a)

(5b)

(5c)

(14)

Ưu điểm phép biến đổi đẳng hướng:

• Tương thích nhiều dạng tốn, quy chiếu

nhiều hình dáng phức tạp

• Chỉ xét tới giá trị nút mà không cần xét tới

cả phần tử

• Khơng cần phân biệt dạng biên (cong hay thẳng)

của phần tử

27

Ví dụ: Xét phần tử tứ giác sau:

(15)

Tọa độ phần tử (hình dạng) xác định sau:

𝑥 = 𝑁1𝑥1+ 𝑁2𝑥2+ 𝑁3𝑥3 + 𝑁4𝑥4 𝑦 = 𝑁1𝑦1 + 𝑁2𝑦2+ 𝑁3𝑦3+ 𝑁4𝑦4

Hoặc viết dạng ma trận:

𝑥 = 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4

𝑦 = 𝑁1 𝑁2 𝑁3 𝑁4 𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4

29

(3.31a) (3.31b)

(3.31c)

(3.31d)

Trong đó: 𝑁𝑖 hàm dạng, áp dụng phép nội suy Lagrange ta có:

𝑁1 =

1

4 − 𝑠 − 𝑟 𝑁2 =1

4 + 𝑠 − 𝑡 𝑁3 =1

4 + 𝑠 + 𝑡 𝑁4 =1

4 − 𝑠 + 𝑡

30

(3.32a)

(3.32b)

(16)

Để thoả mãn điều kiện phần tử đẳng tham số, chuyển vị khai triển qua hàm dạng sau :

𝑢 = 𝑁1𝑢1 + 𝑁2𝑢2 + 𝑁3𝑢3 + 𝑁4𝑢4 𝑣 = 𝑁1𝑣1 + 𝑁2𝑣2 + 𝑁3𝑣3 + 𝑁4𝑣4

31

Như phần tử tứ giác tính thông qua phần tử tứ giác vuông thông qua phép biển đổi đẳng tham số (tọa độ) với hàm dạng nút

Đạo hàm phép biến đổi đẳng tham số: Khi tính giá trị ứng suất, biến dạng, đạo hàm hàm dạng (theo biến 𝑠, 𝑡) xác định sau:

𝜕𝑁 𝜕𝑠 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑠+ 𝜕𝑁 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑁 𝜕𝑡 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑡 + 𝜕𝑁 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑡 Dưới dạng ma trận

𝜕𝑁 𝜕𝑠 𝜕𝑁 = 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑁

(3.33a)

(3.33b)

(17)

Ta có: 𝐉 = 𝜕𝑥 𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡

: gọi ma trận Jacobien

Công thức (3.34) triển khai dạng sau: 𝜕𝑁 𝜕𝑠 𝜕𝑁 𝜕𝑡 = 𝐉 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑁 𝜕𝑦 33

(3.35)

Cơng thức (3.35) triển khai dạng sau:

𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝜕𝑁 𝜕𝑦

= 𝐉 −1 𝜕𝑁

𝜕𝑠 𝜕𝑁

𝜕𝑡

Phép đẳng tham số sử dụng

định thức Jacobien 𝐉 = 𝜕𝑥

𝜕𝑠 𝜕𝑦 𝜕𝑡 − 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦

𝜕𝑠 ≠ 0tại

điểm miền xác định phân tố

34

(18)

1) Định thức Jacobien 𝐉 hàm số tọa độ phần mẫu đại lượng khác diện tích phần tử thực phần mẫu

2) Đối với toán 2D, 𝐉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 phần tử có

dạng hình chữ nhật

3) Khi 𝐉 < xảy thứ tự nút phần

tử đặt không theo quy tắc

35

3.4 Tính tốn PP PTHH theo mơ hình chuyển vị:

1) Chuyển vị lấy xấp xỉ hàm đơn giản (đa thức) hay hàm xấp xỉ chuyển vị;

2) Khi đó, hệ kết cấu chia thành phần tử có hình dáng thích hợp Các phần tử liên kết với nút Số nút phần tử lấy phụ thuộc vào hàm xấp xỉ mô tả chuyển vị nút

3) Tập hợp hàm chuyển vị tạo nên trường chuyển vị xác định trạng thái chuyển vị phần tử

(19)

Trình tự phân tích tốn theo PP PTHH: gồm bước sau:

• Rời rạc hóa kết cấu thành phần tử đơn giản

• Chọn hàm xấp xỉ

• Thiết lập ma trận độ cứng phần tử

• Kết nối phần tử xây dựng ma trận độ cứng tổng thể

• Thiết lập Phương trình tổng qt

• Gán điều kiện biên

• Giải phương trình tổng qt rút gọn

• Tìm thơng số toán

37

Hàm chuyển vị : thường chọn đa

thức với yêu cầu sau:

1) Các đa thức phải thỏa mãn điều kiện hội tụ; 2) Các đa thức chọn cho khơng

tính đẳng hướng hình học

3) Số tham số đa thức phải số bậc tự phần tử

38

(20)

3.5 Rời rạc hóa kết cấu: Xét hệ kết cấu sau:

39

Kết cấu trạng thái ban đầu

Phần tử điển hình Rời rạc

Hình 3.1: Rời rạc hóa kết cấu

Source: O.C Zienkiewicz, R.L Taylor & J Z ZHU: “FEM: its Basic and fundamentals

Xét phần tử 1: gọi lực tác dụng nút 𝑋, 𝑌,

chuyển vị nút 𝑢, 𝑣, ta có::

(𝑌3)

(𝑋3)

Lực tác dụng nút:

𝑞1 = 𝑞11 𝑞21 𝑞31

; 𝑞11 = 𝑋𝑌1

1

Chuyển vị nút:

𝑢1 = 𝑢11

𝑢21 ; 𝑢11 = 𝑢𝑣1 Hình 3.1: Phần tử điển hình số

(3.1)

(21)

Trong hệ kết cấu đàn hồi tuyến tính, mối liên hệ lực tác động chuyển vị phần tử thỏa mãn điều kiện sau:

𝑞1 = 𝐾1𝑢1

Trong đó: 𝐾1: gọi độ cứng phần tử

Trong trường hợp tổng quát, (3.3) viết sau:

𝑞𝑒 = 𝐾𝑒𝑢𝑒

41

(3.3)

3.7 Các bước thực toán theo PP PTHH:

được tiến hành theo bước sau

Bước 1:

• Xác định tính chất, hình dáng tải trọng tác dụng lên phần tử

• Xác định nút tương ứng phần tử

• Xác định ma trận độ cứng phần tử điền nút tương ứng phần tử ma trận độ cứng

42

(22)

Ví dụ: Xét hệ kết cấu hình vẽ, ta có:

43

Source: O.C Zienkiewicz, R.L Taylor & J Z ZHU: “FEM: its Basic and fundamentals

Các nútcủa phần tử

Phần tử số Tên nút

1 1, 3,

2 1, 2,

3 2,

4 3, 4, 6,

5 4, 5, 7,

Hình 3.10Kết nối phần tử

Lập ma trận độ cứng phần tử điền nút tương ứng phần tử ma trận độ cứng, ta có:

1

Vector lực tác dụng nút phần tử

(23)

Bước 2: Xác định ma trận độ cứng hệ kết cấu (kết nối phần tử), dựa vào nguyên lý sau:

dựa vào điều kiện sau:

• Điều kiện tương thích chuyển vị

• Điều kiện cân lực

• Cộng số hạng vị trí ma trận độ cứng lực tác dụng lại với nhau;

• Các số hạng cần quan tâm số hạng 𝐾𝑎𝑏 có a

và b trùng tên với số nút phần tử đó;

45

Ta có:

46

1

(24)

Bước 3: Xét hệ kết cấu Hình 3.1, ta có:

47

𝑢1 = 𝑢6 = 0

Với việc gán điều kiện biên, số ẩn hệ phương trình giảm đi;

Bước 4: Giải hệ phương trình, tìm nghiệm liên quan toán

Các lưu ý:

• Ma trận độ cứng cuối hệ kết cấu

là ma trận vng

• Tải trọng, ngoại lực chuyển vị giá trị