trong ®êng trßn t©m O.. Mét c¸t tuyÕn MN quay quanh trung ®iÓm H cña OB. Tõ A kÓ Ax vu«ng gãc víi MN.. Ta ¸p dông h»ng. ®¼ng thøc BAØI 1.) Khoanh troøn chöõ caùi ñöùng tröôùc keát quaû[r]
(1)Buổi 10 Rót gän biĨu thøc
I, Mơc tiªu :
Học sinh biết vận dụng phép tính , phép biến đổi đơn giản thức bậc hai để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai số không âm
Vận dụng để rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai biến ( trớc rút gọn phải tìm điều kiện để thức có nghĩa )
II,
PHƯƠNG TIỆN DẠY HOẽC :
GV : Soạn giáo án , lựa chọn tập HS : ôn lại kiến thức cũ
III, Tiến trình dạy :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
GV cho học sinh ôn lại kiến thức : Các phép biến đổi đơn giản thức bậc hai Các phép tính bậc hai
Học sinh trả lời câu hỏi giáo viên để
ôn lại kiến thức c in vo ch () để hồn thành cơng thức sau:
2
2
1)
2) ( ; ) 3) ( ; ) 4) ( )
5) ( ; )
A
A B A B
A
A B B
A B B
A AB
A B B B
A A B B
B ………
2
( )
C C A B A B A B
……… GV cho häc sinh lµm bµi tËp
vËn dơng Bµi rót gän : a,
3√5 a −√20 a+4√45 a+√a (a ≥ 0)
b, 5√a+6√a
4− a√
a−√5
c, √1 5+
1
2√20+√5 d, √1
2+√4,5+√12 ,5
? §Ĩ rót gän biĨu thøc a, ta lµm nh thÕ nµo
GV Gäi häc sinh lên bảng làm
GV gọi hs nhận xét chữa lỗi sai làm
? §Ĩ rót gän biĨu thøc b, ta lµm nh thÕ nµo
HS theo dõi đề bảng
HS trả lời : để rút gọn biểu thức a ta áp dụng đa thừa số dấu HS nhận xét làm bạn bảng
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau : a,
3 20 45 ( 0)
3 5 12
13 (13 1)
a a a a a
a a a a
a a a
b,
4
5 ( 0)
4
a
a a a
a
4
5 ( 0)
4
5
6
a
a a a
a
a a a
a
(2)GV cho häc sinh vËn dông làm câu c, d
GV nhận xét làm học sinh nhắc nhở lỗi trình bày
HS lớp vận dụng làm câu c, d
HS theo dõi giáo viên nhận xét
2
1
)5 20
5 1.5
5 4.5
5
5
5 5
5
a
2 2
1
) 4,5 12,5
2
2 9.2 25.2
2 2
1
2 2
2 2
b
GV cho học sinh làm ? Để rót gän biĨu thøc a ta lµm nh thÕ nµo
GV hớng dẫn học sinh phân tích biểu thức dới dấu thành đẳng thức
? Để rút gọn biểu thức b ta làm nh thÕ nµo
GV Cho häc sinh vËn dơng làm
GV nhận xét làm bảng khắc sâu lí thuyết
HS tr lời : ta vận dụng đẳng thức bậc hai
√A2
=|A|
HS theo dâi giáo viên hớng dẫn
HS trả lời câu hỏi giáo viên HS lên bảng làm
Bài Rút gọn biểu thức sau : a,
√7+4√3 −√4 +2√3
¿√4+4√3+3 −√3+2√3+1
¿√(2+√3)2−√(√3+1)2
|2+√3|−|√3+1|
2+√3 −√3 −1 b,
√6+2√5 −√20+3√45
¿√5+2√5+1 −√4 5+3√9
¿√(√5+1)2−2√5+9√5
|√5+1|+7√5
√5+1+7√5 8√5+1
Hoạt động thày Hoạt ng ca trũ Ghi bng
GV :nêu phơng pháp
rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai ë mÉu :
b1 Tìm đkxđ b2 Phân tích tử mẫu thành nhân tử để rút gọn quy đồng mẫu
GV : BiÓu thức
HS theo dõi phơng pháp
làm bµi
HS trả lời : biểu thức A xác định thức có nghĩa mẫu thức khác
BT 1Cho biÓu thøc : A = 2√x +9
x −5√x+6−
1 3 −√x−
1 2−√x
a, Rút gọn A b, Tìm x để A >
c, Tìm x để A đạt giá trị nguyên Giải
a, ®k : x 4 ;x ≠ 9 ;x
A = 2√x +9
x −5√x+6−
1 3 −√x+
(3)? Để quy đồng mẫu ta làm nh
GV híng dÉn häc sinh trình bày lời giải
? Để giá trị phân thức lớn cần điều kiƯn g×
GV lu ý học sinh phải đối chiếu điều kiện ? Để A đạt giá trị ngun cần điều kiện
GV híng dÉn häc sinh lµm bµi
HS : để quy đồng mẫu trớc tiên ta phải phân tích mẫu thành nhân tử HS làm vào theo hớng dẫn giáo viên HS : Để phân thức lớn tử mẫu phải dấu
HS theo dâi GV nhËn xÐt
HS Để A đạt giá trị nguyên mẫu ớc tử
HS lµm bµi vµo vë
= 2√x+ 9 (√x −3) (√x − 2)+
1
√x −3−
1
√x −2
= 2√x −7 +√x −2 −√x +3 (√x −3) (√x − 2) = 2(√x −3)
(√x −3) (√x − 2)
=
√x − 2
a, Để A > :
√x − 2 > ⇔√x − 2>0
⇔√x >2 ⇔ x>4
Vậy với x > 4; x A > c, Để A đạt giá trị ngun
√x −2 lµ íc cđa mà Ư(2) = {1; 1;2 ;2}
TH 1; √x −2 = ⇔ x=5 (thoả mãn) TH2: √x −2 = -1 ⇔ x=1 (thoả mãn) TH3: √x −2 = ⇔ x=16 (thoả mãn) TH4 : √x −2 = -2 ⇔ x=0 (thoả mãn) Vậy với x = 5;1;16 ; A đạt giá trị nguyên
? Để chứng minh đẳng thức ta làm nh th no
GV gọi học sinh lên bảng làm bài, lớp làm nháp
GV tổng kết cách giải dạng
HS trả lời câu hỏi
HS lên bảng làm , lớp làm nháp
HS nhận xét làm bạn bảng
HS theo dõi giáo viên nhận xét
Bài
Chứng minh đẳng thức
a) 1 a a a a . 1 a a =1; (a0; a 1)
Biến đổi vế trái ta có: 1 a a a a 1 a a =
(1 )(1 )
1
a a a
a a
(1 )(1 )
a a a
= (1 + a + a + a)
(1 a) =
2 (1 ) (1 ) a a =
(4)? Để giải tập ta lµm nh thÕ nµo GV gäi häc sinh lên bảng rút gọn biểu thức
GV hớng dẫn học sinh phân tích nhận xét
GV Cho học sinh làm tập áp dụng tµi liƯu
HS ta rót gän biĨu thøc M nhận xét
HS lên bảng làm
HS theo dõi giáo viên nhận xét
Bài so sánh biểu thức sau với M = (
a −√a+
1
√a− 1):
√a+1 a − 2√a+1
=
1
( 1)
a a a
:
1 ( 1)
a a
=
1 ( 1)
a a a
.
( 1)
a a
=
a a
= -
a
Suy M <
IV, Hớng dẫn nhà : - ôn lại lý thuyết
- Xem lại dạng chữa - Làm tập tài liệu
Chuyên đề Hàm số đồ thị hàm số
I, Mơc tiªu :
- Học giải thành thạo tốn viết phơng trình đờng thẳng sử dụng điều kiện qua điểm vị trí tơng đối hai đờng thẳng
- Biện luận đợc số giao điểm đờng thẳng parabol
- Tìm đợc tham số để đờng thẳng cắt parabol điểm thoả mãn điều kiện
II, Chuẩn bị :
GV : Soạn giáo án, lựa chọn tập HS : Ôn lại kiến thức có liên quan
III, Tiến trình d¹y :
Hoạt động thày Hoạt động trị Ghi bảng
Bµi Cho hµm sè
y = ax + Xác định hệ số a trờng hợp sau :
a, Đồ thị hàm số qua điểm A( 1; 4) b, Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 3x
d, Đồ thị hàm số vng góc với đờng thẳng y = 2x +
? §å thị hàm số qua điểm A suy điều g× ?
? Đồ thị hàm số cắt trục hồnh tạiđiểm có hồnh độ suy điều gỡ?
Giải
a, Đồ thị hàm số ®i qua ®iÓm A(1; 4) ⇒ x = 1; y =
Thay x = 1; y = vµo hµm sè ta cã :
a.1 + = ⇔ a =
Vậy a = giá trịcần tìm Khi hàm số y = 2x +
b, Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ
⇒ x = ; y =
Thay x = 2; y = vµo hµm sè ta cã :
a.2 + = ⇔ a = -1
(5)? Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 3x suy điều
GV gäi học sinh lên bảng làm
c, Vỡ b b’ ( 0) nên đồ thị hàm số y = ax + song song với đ-ờng thẳng
y = 3x ⇒ a =
Vậy a = giá trị cần tìm Khi hàm số y = 3x +
d, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = 2x + :
a.2 = - ⇔ a = − 1
2
VËy a = − 1
2 giá trị cần tìm Khi
ú hàm số y = − 1
2 x + Bài Viết phơng trình đờng thẳng (d)
tr-êng hỵp sau :
a, d ®i qua A(1; 2) vµ B( - 1; -3)
b, d qua M( 2; - 1) d // d’ : y = 2x
? Để viết phơng trình đờng thẳng d trớc tiên ta phải làm ?
? đờng thẳng d qua A(1; 2) ta suy điều ? ? Để xác định a b ta làm nh ?
GV : Cho häc sinh vËn dụng làm câu b nháp ? Gọi em lên bảng làm
? Giáo viên chữa cho häc sinh
Bài 2.a, Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b (d)
Vì đờng thẳng (d) qua điểm A(1;2) nên ta có x = 1; y =
Thay x = 1; y = vào ptđt (d) ta đợc : a + b = (1)
Vì đờng thẳng (d) qua điểm B( - 1; - 3) nên ta có : - a + b = - (2)
Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình
a+b=2 −a+b=−3
⇔
¿b=− 1
2
a=5
2
¿{
¿
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) y = -1/2x + 5/2
b, Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b (d)
Vì đờng thẳng (d) qua điểm M(2; - 1) ta có : 2a + b = - (3)
Vì đờng thẳng d // d’ nên ta có
¿
a=a ' b ≠ b' ⇔
¿a=2
b ≠ 0
¿{
¿
Thay a = vµo (3) ta cã
4 + b = - < > b = - (thoả mÃn điều kiện )
(6)Bài Tìm điểm cố định thuộc đờng thẳng sau y = (m – 3)x + 2m –
GV : nêu cách giải :
b1,Gi s im cố định cần tìm A(x0;y0)
b2, Thay x = x0; y = y0 vào phơng trình đờng thẳng để chuyển phơng trình ẩn m
b3,Để A điểm cố định phơng trình ẩn m với m > cho hệ số để tìm x0 y0
Bài Giả sử điểm cố định cần tìm A(x0;y0)
Thay x = x0; y = y0 vào phơng trình đ-ờng th¼ng ta cã
y0 = (m – 3)x0 + 2m –
⇔ y0−(m −3) x0− 2m+1=0 ⇔ y0− mx0+3 x0−2 m+1=0 ⇔− m(x0+2)+3 x0+y0+1=0
để A điểm cố định phơng trình nghiệm với m
¿
x0+2=0
3 x0+y0+1=0 ⇔
¿x0=−2
y0=5
¿{
¿
Vậy điểm cố định cần tìm A( - 2; 5)
Hoạt động thày Hoạt động trũ Ghi bng
Bài Cho điểm A( -1;1) , B(- 2; - 1) , C(3; - 1)
a, Viết phơng trình đờng thẳng AB
b, Chứng minh điểm A, B , C không thẳng hµng
c, Tam giác ABC có đặc điểm
? GV gọi hs lên bảng viết phơng trình đờng thẳng AB ; lớp làm nháp
? Để chứng minh điểm không thẳng hàng ta chứng minh điều ?
HS ta chứng minh điểm C không thuộc đờng thẳng AB
GV híng dÉn c©u c:
+ Viết phơng trình đờng thẳng AC + Chứng minh AB vng góc với AC
Bµi
a,Phơng trình đờng thẳng có dạng y = ax + b (AB)
đờng thẳng AB qua A( - 1; 1) ta có : - a + b = (1)
đờng thẳng AB qua B( - 2; - 1) ta có : - 2a + b = - (2)
Tõ (1) va (2) ta cã hƯ ph¬ng tr×nh :
¿
−a+b=1 −2 a+b=− 1
⇔
¿a=2
b=3
¿{
¿
Vậy phơng trình đờng thẳng AB y = 2x +
b, thay x = vào phơng trình đờng thẳng AB ta có :
2 + = ≠ -1
Vậy điểm C(3; - 1) không nằm đờng thẳng AB hay điểm A, B , C không thẳng hàng
c,
+) Phơng trình đờng thẳng AC y = -1/2x+1/2
+) Hai đờng thẳng AB AC có a.a’ = 2.(-1/2) = -
(7)Bài Cho parabol y = x2 (P) đờng thẳng (d) y = 2x + m +
a, Tìm m để đờng thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt A B
b, Tìm m để xA2 + xB2 = GV hớng dẫn cách giải
b1, lập phơng trình hoành độ giao điểm
b2, để đờng thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt phơng trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt
Hoành độ hai điểm A B nghiệm tìm đợc đâu
HS : hồnh độ giao điểm A B nghiệm (1)
? Để xA2 + xB2 = cần điều kiện ? Hs trả lời câu hỏi giáo viên
GV hớng dẫn học sinh giải câu b,
? Muốn tìm M để đờng thẳng cắt parabol hai điểm có toạ độ thoả mãn điều kiện cho trớc ta làm bớc
a, Hồnh độ giao điểm nghiệm phơng trình x2 = 2x + m + 1
⇔ x2− x −m −1=0 (1) Δ=(−1)2− (− m− 1)=4 m+5
Để đờng thẳng d cắt parabol P phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
4m + > < > m > - 5/4
Vậy với m > -5/4 đờng thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt A B
b,
Để đờng thẳng d cắt parabol P hai điểm phân biệt A B thoả mãn xA2 + xB2 = ph-ơng trình (1) có hai nghiệm thoả mãn
x12 + x22 =
⇔(x1+x2)
− x1x2=8 (2) ¸p dơng hƯ thøc viÐt ta cã :
¿
x1+x2=2 x1 x2=−m− 1
¿{
¿
(3) Thay (3) vµo (2) ta cã : – ( - m – 1) =
< > m = (tho¶ mÃn điều kiện ) Vậy m = giá trị cần tìm
GV : Cho học sinh làm tập áp dụng tài liệu IV, Hớng dẫn nhà :
- Học lại kiÕn thøc cò
(8)Chuyên đề Giải biện luận phơng trình bậc hai I,Mục Tiêu:
- Hs biết giải phơng trình quy phơng trình bậc hai cách biến đổi đa phơng trình bậc hai dùng cơng thức nghiệm
- HS biết vận dụng công thức nghiệm để tìm điều kiện tham số cho phơng trình có dạng bậc hai có nghiệm phân biệt , nghiệm kép , vô nghiệm
- HS biÕt tìm nghiệm chung hai phơng trình II, Chuẩn bị :
- GV: soạn giáo án , lựa chọn tập - HS : ôn lại kiến thức cũ
III, Tiến trình học :
Hot động thày Hoạt động trò Ghi bảng
?Phát biểu công thức nghiệm phơng trình bậc hai
? Để phơng trình ax2 + bx + c = cã hai nghiÖm pb, nghiÖm kÐp, vô nghiệm cần điều kiện
HS ng chỗ phát biểu công thức nghiệm
Hs Theo dõi giáo viên hớng dẫn lí thuyết
*, cho phơng trình ax2 + bx + c = (1) +, Phơng trình (1) có nghiệm phân biÖt :
¿
a≠ 0 Δ>0
{
+, Phơng trình (1) có nghiệm kÐp :
¿
a ≠0 Δ=0
{
+, Phơng trình (1) có nghiệm :
TH1: a = suy m thay vào phơng trình để tìm x kết luận
TH2: a ≠ suy m
để phơng trình có nghiệm ≥ +, Phơng trình (1) vơ nghiệm :
TH1: a = suy m thay vào phơng trình để tìm x kết luận
TH2: a ≠ suy m
để phơng trình có nghiệm <
? Muốn tìm m để phơng trình có nghiệm kép ta làm nh
? Gäi häc sinh lên bảng trình bày
GV hớng dẫn häc sinh t×m nghiƯm kÐp b»ng
HS ta xác định a, b, c tìm áp dụng điều kiện
¿
a ≠0 Δ=0
¿{
HS lên bảng làm , lớp làm nháp
Bài Cho phơng trình :
x2 + 2(m – 1) x + m2 – m + = (1) Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép , tìm nghiệm kép ú
Giải Phơng trình (1) có
a = 1; b = 2(m – 1) ; c = m2 - m + 1 b’ = m –
’ = b’2 – ac = (m – 1)2 – 1(m2 – m + 1)
= - m
(9)C¶ líp ghi bµi vµo vë x1=x2=−b a=−
m−1
1 =− (0 −1)=1
Vậy với m = phơng trình có nghiệm kép Khi nghiệm kép
x1 = x2 = ? Muốn tìm m để phơng
tr×nh cã nghiƯm x = ta lµm nh thÕ nµo
? Khi biết nghiệm , muốn tìm nghiệm lại ta dïng kiÕn thøc nµo
GVgäi mét häc sinh lên bảng trình bày
GV hớng dẫn học sinh giải câu b
HS tr li : ta thay x = vào phơng trình để tìm m
HS trả lời : muốn tìm nghiệm cịn lại ta áp dụng định lí vi ét
HS lên bảng làm , lớp theo dõi nhận xét
HS làm theo hớng dẫn giáo viên
Bài Cho phơng trình :
(m – 2)x2 + (2m – 1)x +_m +2 = (ẩn x) a, Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại
b, Tìm m để phơng trình có nghiệm Giải
a,thay x = vào phơng trình ta đợc : (m – 2)4 +(2m -1)2 + m + = < > m = 8/9
¸p dơng hÖ thøc vi Ðt cã
x1x2=c
a⇔ x1x2= m+2 m−2
⇔2 x2=(
8 9+2):(
8 9−2)
⇔ x2=−1,3
Vậy với m = 8/9 phơng trình có nghiệm x = Khi nghiệm cịn lại
x2 = -1,3 b,
Δ=b2− ac=(2 m−1 )2− (m− 2) (m+2)
= - 4m + 17
TH1: m – = < > m = phơng trình trở thành 3x + = < > x = - 4/3
TH2: m – ≠ < > m ≠ để phơng trình có nghiệm
Δ≥ 0⇒− m+17 ≥ 0
⇔m ≥17
4 (Thoả mÃn điều kiện ) Vậy vơí m = m17
4 phơng trình có nghiệm
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bng
? Để chứng minh phơng trình có dạng bậc có nghiệm phân biệt ta chứng minhđiều
? Gọi học sinh lên bảng
HS trả lời : ta cần chứng minh :
¿
a≠ 0 Δ>0
¿{
Bài 3, Cho phơng trình ẩn x: x2 – 2x – m2 + m – = 0
a, Chứng minh phơng trình có
nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
b, Tìm m để x12 + x22 = 12 Giải
(10)xác định a, b, c tính từ áp dụng đẳng thức chứng minh >
? §Ĩ cã mối liên hệ x1 x2 ta áp dụng kiÕn thøc nµo
GV hớng dẫn giải để tỡm m
HS lên bảng làm theo yêu cầu giáo viên
HS theo dõi giáo viên nhËn xÐt vµ ghi bµi vµo vë
HS trả lời: để có mối liên hệ hai nghiệm ta áp dụng định lí vi ét
HS theodõi giáo viên h-ớng dẫn
a = 1; b = - ; c = - m2 + m – b’ = -
Δ'=b'
2
− ac=1− 1(− m2+m−2)=m2− m+3 = (m−1
2)
2
+11
4 >0 víi mäi m mµ a = ≠ víi mäi m
Vậy phơng trình cho có nghiệm phân biệt với m
b, +, Phơng trình có nghiệm phân
biệt với m (chứng minh ) +, áp dụng hÖ thøc vi Ðt cã :
¿
x1+x2=2 x1 x2=−m2+m− 2
¿{
¿
(*) +, ta l¹i cã
x12+x22=− 4⇔(x1+x2)
2− x
1x2=12 ⇒22− 2(−m2
+m− 2)=12
⇔2 m2−2 m− 4=0
m = - (tho¶ mÃn điều kiện ) m = (thoả mÃn điều kiện ) GV nêu phơng pháp biện luận dấu nghiệm
phơng trình bậc hai HS ghi lý thuyết vào vở:
Cho phơng trình ax2 + bx + c =
+,Phơng trình có nghiƯm tr¸i dÊu khi:
¿
a ≠ 0 x1x2=c
a<0
¿{
¿
+, Phơng trình có nghiệm dấu khi:
a ≠ 0 Δ>0 x1 x2=c
a>0
{ {
+, Phơng trình có nghiƯm cïng d¬ng khi:
¿
a ≠ 0 Δ>0 x1 x2=c
a>0 x1+x2=−b
a >0
{ { {
+, Phơng trình có nghiệm âm khi:
Bài Cho phơng tr×nh Èn x: x2 – 2(m + 3)x + 4m + =
a, chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm vối m
b, Tìm m để phơng trình có nghiệm phân bit cựng dng
Giải
a, phơng trình có
a = 1; b = - 2(m + 3) ; c = 4m + b’ = - ( m + 3)
’ = [- (m +3)]2 – 1(4m + 5)
= m2+2m + = (m + 1)2 + > víi m m mµ a = ≠ víi mäi m
Vậy phơng trình cho ln có hai nghiệm phân biệt với m
b, Phơng trình cho ln có nghiệm phân biệt với m ( chứng minh ) Để phơng trình có nghiệm dơng
¿
x1x2=c
a>0 x1+x2=−b
a >0 ⇒
¿4 m+5>0
2 (m+3)>0
¿{
(11)a ≠ 0 Δ>0 x1 x2=c
a>0 x1+x2=−b
a <0
¿{ { {
¿
m>−5
4
m>− 3 ⇔m>− 5
4
¿{
Vậy với m > - 5/4 phơng trình cho có nghiệm dơng
GVnêu cách giải toán tìm tham số để hai ph-ơng trình có nghiệm chung
b1, Giả sử phơng trình có nghiệm chung x = x0 Thay vào phơng trình cho
b2, rút m từ phơng trình thay vào phơng trình thứ để tìm x0 từ suy m
b3, thay m vừa tìm đợc vào phơng trình giải để thử lại
GV cho học sinh làm tập áp dụng
HS lµm bµi vµo vë theo híng dÉn cđa giáo viên
Bài 5.Cho hai phơng trình ẩn x; x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
Tìm m để hai phơng trình có nghiệm chung
Giải
Giả sử hai phơng trình có nghiệm chung x = x0
thay vào hai phơng tr×nh ta cã :
x02+mx0+2=0
x02+2 x0+m=0
ta suy
x02+(− x
02− x0)x0+2=0
⇔− x03− x02+2=0
⇔(x0−1)(− x02−2 x0− 2)=0
⇔ x0=1
suy m = -
Thay vào phơng trình ta đợc
x2 – 3x + = có nghiệm x = 1 x = Thay vào phơng trình ta đợc
x2 + 2x – = cã nghiƯm lµ x = x = -
Chuyên đề Giải biện luận hệ phơng trình
I, Mơc tiªu :
- Học sinh giải thành thạo dạng hệ phơng trình đơn giản cách quy đồng mẫu số , biến đổi đẳng thức , nhân đa thức chuyển vế đa dạng hệ bậc hai ẩn tổng quát
- Học sinh biết giải số dạng hệ phơng trình phơng pháp đặt ẩn phụ : hệ chứa ẩn mẫu, hệ đối xứng loại I, Hệ đối xứng loại II,
- HS biÕt biƯn ln sè nghiƯm cđa hƯ phơng trình cách chuyển phơng trình bậc mét Èn
II, ChuÈn bÞ :
- GV : soạn giáo án , lựa chọn tập - HS : ôn lại kiến thức có liên quan
III, Tiến trình học :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
(12)Để giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số ta làm nh no?
? Để giải hpt a ta làm nh thÕ nµo
GV hớng dẫn hs quy đồng mu ri gii
? Để chuyển hpt b thành hpt bậc ẩn tổng quát ta làm nh thÕ nµo
GV hớng dẫn học sinh biến đổi hpt thành hpt bậc ẩn tq
? Để chuyển hpt c thành hpt b1 hai ẩn tổng quát ta làm ntn GV gọi hs lên bảng làm
? GV cho hs làm câu d giấy nháp
? Để chuyển hpt thµnh hpt bËc nhÊt Èn ta lµm nh thÕ nµo
Hs trả lới : Ta nhân pt với số thích hợp để 1ẩ có hệ số đối cộng hay trừ theo vế
HS : Ta quy đồng để chuyển hpt bậc có hệ số nguyên giải HS làm vào
HS : ta thực phép nhân dùng quy tắc chuyển vế
HS theo dõi giáo viên hớng dẫn
HS ta nhân chéo dùng quy tắc
chuyển vế HS lên bảng làm
HS làm giấy nháp
HS: trả lời câu hỏi giáo viên
a,
1
2 x − y = x+ y=4 ¿{ ¿ b, ¿
(x +1) ( y − 3)=xy+1
( x − 2)( y +2)=xy −1
¿{ ¿ c, ¿ x +1 y = 2 x − y =4
¿{
¿
d,
¿
(x+1)2+2 y=x2−1 ( y +2 )2− x= y2+4
¿{ ¿ Gi¶i a, ¿
2 x − y = x+ y=4 ¿{ ¿ ⇔
3 x − y=2
x + y=4 ⇔
¿3 x −6 y =2
3 x+3 y =12
¿{
⇔ −9 y =−10
x+ y=4 ¿{ ⇔ y=10
x =13
5
¿{ Vậy hpt cho có nghiệm ( 13/5; 10/9) b,
¿
(x +1) ( y − 3)=xy+1
( x − 2)( y +2)=xy −1
¿{
¿
⇔ −3 x + y=4
2 x − y =3
⇔
¿−6 x +2 y=8
2 x − y =3
¿{
⇔ − x=11
2 x −2 y=3
⇔
¿x=− 11
4
y=−17
4
¿{
Vậy Hpt cho có nghiệm (−11 ; −17 ) c, ¿ x +1 y = 2 x − y =4
¿{
¿
⇔
3 ( x+1)=2 y 2 x − y =4
⇔
¿3 x −2 y=− 3
2 x − y =4
(13)
3 x −2 y=− 3 4 x −2 y=8
⇔
¿x=11
y=18
¿{ VËy hpt cã nghiÖm (11; 18) d,
¿
(x+1)2+2 y=x2−1
( y +2 )2− x= y2+4
¿{
¿
⇔
2 x +2 y=− 2
− x +4 y=0 ⇔
¿x+ y=−1
− x +4 y=0
¿{
⇔
5 y=−1
x+ y=−1 ⇔
¿y=−1
5
x=− 4
5
¿{
Vậy hpt cho có nghiệm (−1 ;
− 4
5 ) ? Hpt có khác
so với hpt a
? GV hớng dẫn hs đặt ẩn phụ
1
x +1=u ;
1
y − 2=v
GV gọi hs lên bảng làm
GV nhËn xÐt bµi lµm cđa häc sinh
GV giới thiệu đặc điểm hpt b hpt đối xứng loại I GV hớng dẫn hs đặt
Hs tr¶ lời : hpt chứa ẩn mẫu mÉu gièng
HS Gi¶i hpt bËc nhÊt Èn phơ råi suy nghiƯm cđa hpt
HS theo dõi giáo viên nhận xét
HS ghi nhớ dạng hpt dối xứng loại I
Bài Giải hệ phơng trình sau :
a,
¿
1
x+1+
1
y − 2=3
2
x +1−
5 3 y −6=1
¿{
¿
b,
¿
x+ y+xy=2+3√2
x2
+y2=6
¿{
¿
c,
¿
x2=2− y y2=2 − x
¿{
¿
Gi¶i
a, đặt
x +1=u ;
1
y 2=v hệ phơng trình trở thµnh
¿
u +v=3
2u −5 3v=1
⇔
¿u=15
11
v=18
11
¿{
(14)Èn phô
x + y = u; xy = v GV cho học sinh làm giấy nháp
GV nhận xét bµi lµm cđa hs
GV giới thiệu đặc điểm hpt c hpt đối xứng loại II GV hớng dẫn Phân tích nhân tử đa hpt tớch
GV hớng dẫn hs làm
GV:ôn lại cách giải dạng hpt cho hs
HS làm theo dẫn giáo viên
HS theo dõi giáo viên nhận xét ghi vào vë
HS ghi nhớ dạng hpt đối xứng loại II
hs làm theo dẫn giáo viên
HS lµm bµi vµo vë
HS ôn lại dạng hpt cách trả lời câu hỏi giáo viên
Khi ú ta cú :
¿
1
x +1=
15 11
y −2=
18 11
⇔
¿15 x +15=11
8 y −36=11
⇔
¿x =−
11
y=47
11
¿{
¿
Vậy hpt cho có nghiệm (−4 11 ;
47 11 ) b,
¿
x+ y+xy=2+3√2
x2+y2=6
¿{
¿
⇔
x+ y+xy=2+3√2 ( x + y )2− xy=6
¿{
đặt x + y = u; xy = v hệ phơng trình trở thành :
¿
u+v=2+3√2
u2−2 v =6 ⇔
¿v =2+3√2 −u
u2−2 v =6
¿{
¿
ta đợc u2
+2u − 10− 6√2=0
⇔ u1=2+√2
¿
u2=− −√2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*, Với u1=2+√2⇒v1=2√2 ta đợc
¿
x+ y=2+√2 xy=2√2
¿{
¿
suy x; y lµ nghiƯm phơng trình :
X2(2+2)X +22=0 gii ta đợc
X1=2 ; X2=√2
(15)¿
x2=2− y
y2=2 − x
¿{
¿
x2− y2
=x − y
x2=2− y
⇔
¿(x − y )( x + y − 1)=0 x2=2− y
¿{
⇔
x − y=0
¿
x+ y − 1=0
¿ ¿x2=2− y
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
*, TH1:
¿
x − y=0 x2=2− y
⇔
¿x= y
x2=2 − x
¿{
¿
ta đợc x2 + x – = 0
⇔ x1=1
¿
x2=−2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Víi x = > y =1 Víi x = - > y = -
*,TH2:
¿
x+ y − 1=0 x2=2 − y
⇔
¿y=1 − x
x2=2 − y
¿{
¿
ta đợc x2 – x – =
⇔ x1=
1+√5
¿
x2=
1 −√5
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Víi x1=
1+√5
2 ⇒ y=
(16)Víi x2=1 −√5 ⇒ y=
1+√5
GVhớng dẫn hs biến đổi hpt dạng chứa pt bậc ẩn phơng trình ẩn
? có nhận xét phơng trình bậc ẩn
? ta tìm x0; y0 cách
GV hng dn hs chng minh ph-ơng pháp biến đổi t-ơng đt-ơng
HS làm theo hớng dẫn giáo viên
HS : phơng trình bậc ln tính đợc x
HS tÝnh x0; y0 tõ hpt
HS lµm theo hớng dẫn giáo viên
Bài Cho hệ phơng trình:
mx y =−m
(1− m2)x +2 my=1+m2
¿{
¿
a,Chứng minh hpt có nghiệm với giá trị m b, Gọi (x0;y0) nghiệm hệ phơng trình Chứng minh với giá trị m lu«n cã (x0)2 + (y0)2 =
Gi¶i a, Ta cã :
¿
mx − y =−m
(1− m2)x +2 my=1+m2 ⇔
¿2m2x −2 my=−2 m2
(1− m2)x +2 my=1+m2
¿{
¿
⇔
(1+m2)x =1− m2(∗) mx − y =−m
¿{
Ph¬ng trình (*) có nghiệm m2+1 Vậy hpt có nghiệm với giá trị m b,
khi ta có :
¿
x=1− m2
1+m2
y= 2 m
1+m2
¿{
¿
ta cã
(x0)
+(y0)2=1
⇔(1− m2
1+m2)
+( 2 m 1+m2)
2
=1
⇔1 −2 m2
+m4+4 m2=1+2 m2+m4
⇔1+2 m2
+m4−1 −2 m2− m4=0
⇔0=0
Vậy (x0)2 + (y0)2 = với m
GV cho học sinh làm tập vận dụng tµi liƯu
IV, H íng dÉn vỊ nhµ :
- ôn lại cách giải dạng hpt
- Xem lại tập chữa
(17)Chuyên đề
Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình I, Mục tiêu :
- HS biết cách xác định đại lợng cha biết cần biểu diễn toán đố nằm mối liên hệ đại lợng cấu thành toán
- HS nắm đợc khác tốn giải cách lập phơng trình với tốn giải cách lập hệ phơng trình
- Giải thành thạo số dạng toán quan trọng toán đố
II, ChuÈn bị :
GV : soạn giáo án , lựa chọn tập HS : ôn lại kiến thức cũ
III, Tiến trình học :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
GV ơn lại cách giải tốn chuyển động ? tốn chuyển động có đại lợng liên quan đến ? đại lợng cho , đại lợng hỏi Cần biểu diễn đợc đại lợng
GV híng dẫn hs lập phơng trình
GV lu ý học sinh phải đối chiếu nghiệm với đk kết luận
- tốn chuyển dộng có đại lợng liên quan đến v, t, s
- cho s, hỏi v ta cần biểu diễn t
HS lập phơng trình giải phơng trình để tìm nghiệm
HS theo dõi giáo viên nhận xét
Bài Một ca nô xuôi dòng 44 km ngợc dòng 27 km hÕt tÊt c¶ giê 30 BiÕt vận tốc thực ca nô 20 km/h Tính vận tốc dòng nớc
Giải
Gọi vận tốc dọng nớc x( km/h).đk < x <20 vận tốc ca nô xuôi dòng 20 + x (km/h) vận tốc canô ngợc dòng 20 x (km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng 44
20+x (km / h) Thời gian canô ngợc dòng 27
20 x [km/h] i 3giờ 30phút = 7/2
V× tỉng thêi gian lẫn hết 3giờ 30 phút nên ta có phơng trình :
44 20+x +
27 20 − x=
7
⇔88 (20 − x)+54 (20+x )=7 (20− x)(20+x) ⇔7 x2− 34 x+40=0
'=9>0 x1=20
7 (thoả mÃn điều kiện)
x2=14
7 ( thoả mÃn điều kiện )
(18)? tốn có khác so với ? Hai đại lợng cần tìm có mối quan hệ trực tiếp không
GV hớng dẫn ta gọi ẩn, để lập đợc pt từ đố lập hpt
? Cần biểu diễn đại lợng
GV híng dÉn hs lập pt
Gọi hs lên bảng giải hpt
GV nhận xét chốt lại cách giải
Bài toán hỏi tìm hai yếu tố
Hai yếu tố cần tìm quan hệ trực tiếp
HS theo dõi gv híng dÉn
CÇn biĨu diƠn thêi gian
HS xét hai trờng hợp để lp ph-ng trỡnh
HS lên bảng giải hpt
hs theo dâi gv nhËn xÐt
Bài Quãng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài km Một ngời xe đạp từ A đến B hết 40 phút từ B A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc lúc nh nhau, vận tốc xuống dốc lúc lúc nh nhau) Tính vận tốc lên dơc vận tốc xuống dốc
Gi¶i
Gọi vận tốc lên dốc ngời x km/h gọi vận tốc xuống dốc ngời y km/h đk: < x < y
*, Khi từ A n B;
thời gian lên dốc : 4/x (h) thêi gian xuèng dèc lµ : 5/y (h) ta có phơng trình :
x+
5
y=
2 (1) *, Khi ®i tõ B A:
thời gian lên dốc : 5/x (h) thêi gian xuèng dèc lµ : 4/y (h) ta có phơng trình :
x+
4
y=
41 60 (2) tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình :
4
x+
5
y=
2
x+
4
y=
41 60
¿{
¿
đặt
x=u ;
1
y=v
hpt trë thµnh :
¿
12u+15 v=2 300 u+240 v=41
⇔
¿u=
12
v =
15
¿{
¿
khi ta có
¿
1
x=1 12
1
y=
1 15
⇔
¿x=12
y=15
{
(thoả mÃn đk)
Vậy vận tốc lên dốc ngời : 12 km/h vận tốc xuống dốc ngời : 15 km/h ? tốn khác
bài
GV giải thích kí hiệu %
bài toán có kí hiệu %,có nộidung h×nh häc
Bài Một hình chữ nhật có chu vi 216 m Nếu giảm chiều dài 20%, tăng chiều rộng 25% chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng
Gi¶i
(19)?khi gi¶m chiỊu dài 20% chiều dài tính nh
? chiỊu réng míi tÝnh ntn
GV hớng dẫn hs lập pt GV lu ý cách biểu diễn ẩn tăng hay giảm đại lợng
HS chiều dài tính cách lấy chiều dài ban đầu trừ phần giảm
HS lập phơng trình giải pt > kl
HS theo dâi gv híng dÉn
x – 0,2x = 0,8x (m)
Nếu tăng chiều rộng 25% chiều rộng 108 – x + 0,4(108 – x ) = 151,2 – 1,4x (m) chu vi hình chữ nhật khơng đổi nên ta có ph-ơng trình :
0,8x + 151,2 – 1,4x = 108
⇔− 0,6 x=− 43 ,2 ⇔ x=72
đối chiếu điều kiện ta thấy thoả mãn chiều dài hình ch nht l 72 m
chiều rộng hình chữ nhËt lµ 108 – 72 = 36 m
? có đại l-ợng liên quan đến
? Cần biểu diễn đại lợng để lập phong trình
GV híng dẫn hs lập phơng trình
GV gọi hs lên bảng giải phơng trình kl
GV lu ý học sinh đặt điều kiên cho đại l-ợng ngời, vật phải số nguyên dơng
3 đại lợng liên quan đến số ngời , số số ngời trồng
cần biểu diễn số ngời phải trồng HS lập phơng trình giải phơng trình để tìm nghiệm
HS theo dõi giáo viên tổng kết phơng pháp giải
Bi Mt lp cú 45 học sinh tham gia trồng tất 216 Tổng số bạn nam trồng tổng số bạn nữ trồng tính số nam số nữ lớp biết bạn nam trồng nhiều bạn nữ
Giải
Gọi số nam x (bạn) đk x∈ N❑
, 0<x <45
số nữ lớp 45 – x ( bạn ) số nam trồng 108
x (c©y)
số bạn nữ trồng 108
45 x (cây) bạn nam trồng nhiều bạn nữ nên ta có phơng trình :
108
x
108 45 − x=2
⇔2 x2−306 x +1860=0 √Δ=117
x1=135 (không thoả mÃn đk)
x2=18 (thoả mÃn đk)
Vậy số hs nam lớp 18 em số học sinh nữ lớp 27 em
? ta phải biểu diễn đại lợng để lập phơng trình
GV Gọi hs lên bảng làm , lớp làm nháp
ta cần biểu diễn số ngời ghế
HS lên bảng làm , lớp làm nháp
Bi Một lớp học có 40 học sinh đợc xếp ngồi ghế băng Nếu ta bới ghế băng ghế băng cịn lại phải xếp thêm học sinh Tính số ghế băng lúc đầu Giải
Gäi sè ghế băng lúc đầu x (chiếc) đk : x N❑
; x >2
Sè hs ngåi trªn ghế lúc đầu 40
x (hs)
(20)GV theo dõi sửa lỗi sai cho häc sinh
GV : tổng kết lại dạng toán học phơng pháp giải thống chung
HS làm vào
HS trả lời câu hỏi giáo viên
s hs ngồi ghế 40
x 2 (hs)
Vì bớt 2ghế ,mỗi ghế phải xếp thêm hs nên ta có phơng trình :
40
x −2−
40
x =1 ⇔ x2− x −80=0
Δ'=81
x1=10 (thoả mÃn điều kiện)
x2=8 (không thoả mÃn điều kiện ) Vậy số ghế băng lúc đầu 10 chiÕc
GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhµ :
ơn lại cách giải tốn cách lập phơng trình hay hệ phơng trình Xem lại tập chữa
Lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo
Chuyên đề Chứng minh bất đẳng thức
I, Mơc tiªu :
- Học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh bất đẳng thức: biến đổi tơng đơng, dùng bất đẳng thức côsi, dùng phơng pháp đổi biến
- HS nhận dạng đợc phơng pháp giải với bất dẳng thức đơn giản
II, ChuÈn bÞ :
GV: soạn giáo án , lựa chọn tập
HS : ôn lại kiến thức biến đổi biu thc, phng trỡnh
III, Tiến trình häc
(21)GV Híng dÉn ph¬ng pháp giải :
f ( x)>q ( x) f ( x)− q ( x)>0 ⇔ . ⇔[h ( x )]2+[g ( x )]2+a>0 hiển nhiên với a >
GV cho hs lµm bµi tËp vËn dơng
GV híng dÉn hs làm xuất hai lần tích cách nhân c¶ vÕ víi
GV chứng minh câu a ? Để chứng minh bđt b ta biến đổi ntn
GV gọi hs lên bảng chứng minh, lớp làm nháp
GV cho hs làm câu c t-ơng tự nh câu b
? Gọi hs lên bảng chứng minh
GV nhận xét làm bảng
HS theo dõi giáo viên hớng dẫn phơng pháp
HS theo dừi bảng
HS lµm theo híng dÉn giáo viên ghi vào
Ta quy đồng mẫu, khai triển đẳng thức chuyển v
hs lớp làm nháp
HS chứng minh câu c nháp
Bi Chứng minh bất đẳng thức sau : a, a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
b, chøng minh r»ng:
a2
+b2+c2 ≥(
a+b+c
3 )
2
c,
√x+
1
√y≥
4
√x +√y
Gi¶i
a, ta cã
a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥2ab + 2ac + 2bc
⇔ a2 – 2ab + b2 + b2 – 2bc + c2 + a2 – 2ac + c2 ≥ 0
⇔ (a – b)2 + (b – c)2 + ( a – c)2 ≥ (đúng) Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
b,
a2
+b2+c2 ≥(
a+b+c
3 )
2
⇔a2+b2+c2
3 ≥
a2+b2+c2+2 ab+2ac +2 bc
⇔3 a2
+3 b2+3 c2−a2− b2− c2− 2ab − ac −2 bc ≥ 0 ⇔ a2− ab+b2
+b2−2 bc+c2+a2−2 ac+c2≥ 0
⇔ (a −b )2+(b− c )2+(a − c)2≥ 0( dung) Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh c,
1
√x+
1
√y≥
4
√x +√y ⇔√x+√y
√xy ≥
√x+√y ⇔(√x+√y)2≥ 4√xy
⇔ x +2√xy+ y − 4√xy ≥ 0
⇔ x−2√xy + y ≥0
⇔(√x −√y)2≥ (dung)
Vậy đẳng thức đợc chứng minh Phơng pháp dùng bất đẳng thức cô si
GVgiới thiệu bất đẳng thức si
Víi hai số a b không âm ta có :
a+b
2 ≥√a b
GV để áp dụng bđt cô
HS theo dõi định lí đề bảng
Bài chứng minh bất đẳng thức sau: a, ab
c +
bc
a +
ac
b ≥ a+b+c víi a, b, c d¬ng
b, ab
a+b+
bc
b+c+
ac
a+c
a+b+c
2 với a,b,c dơng
Giải
(22)si ta cần điều kiện số phải không âm
? Có nhận xét phân thức bất đẳng thức a,
GV híng dÉn hs ¸p dơng bđt cô si chứng minh
GV hớng dẫn hs khai thác bđt cô si làm xuất phân thức vế trái
Các phân thức bđ thức a, hoán vị số a,b,c
HS theo dâi gv híng dÉn vµ ghi bµi vào
HS làm theo yêu cầu giáo viªn
ab
c +
bc
a ≥ 2√
ab
c
bc
a =2 b
bc
a +
ac
b ≥ 2√
bc
a
ac
b =2 c
ab
c +
ac
b ≥ 2√
ab
c
ac
b =2 a
Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta có:
2ab
c +2
bc
a +2
ac
b ≥ a+2 b+2 c ⇔ab
c +
bc
a +
ac
b ≥ a+b+c
b, áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
a2+b2≥ ab⇔(a+b)2≥ ab⇔ab
a+b≤ a+b
4 t¬ng tù ta cã :
bc b+c≤ b +c ac a+c≤ a+c cộng theo vế bđt ta có ®pcm
Phơng pháp đổi biến (đặt ẩn phụ)
? Em hÃy dự đoán dấu = bđt xảy
GV hng dn hs đổi biến thay vào bđ thức cho để biến đổi
DÊu b»ng x¶y x = y = z = 1/3
HS lµm theo híng dÉn cđa gv
Bµi
Cho a + b + c =
Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 ≥
Giải
Đặt a =
3+x ; b =
3+y ; c = 3+z thay vào điều kiện ta đợc x +y +z = Ta có :
a2 + b2 + c2 =
(13+x)
2
+(1 3+y)
2
+(1 3+z)
2
=¿(1
9+ 3x+ x
2
)+(1 9+
2 y + y
2
)+(1 9+
2
3z+z
2
)=¿1
3+
3(x + y + z)+x
2
+y2+z2=1 3+x
2
+y2+z21
Phơng pháp làm trội
GV hớng dẫn hs t/c phân thức bin i
GV trình bày lời giải cho học sinh theo dõi
GV khắc sâu lại kiến thøc b»ng c©u hái lÝ thuyÕt
HS theo dõi giỏo viờn bin i
HS trình bày lời giải vµo vë
hs trả lời câu hỏi giáo viên để nắm vững kiến thức
Bµi Chøng minh r»ng :
√1+
√2+
√3+ +
√24>8
Gi¶i
Ta cã :
¿
1
√1= 2√1=
2
√1+√1>
√1+√2=2(√2 −√1)
¿
T¬ng tù ta cã :
√2>2(√3 −√2)
√3>2(√4 −√3)
1
(23)VT >2 (√2−√1+√3 −√2+√4 −√3+ +√25−√24)
⇔ VT>2(5 −1) ⇔VT>8
GV cho hs lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo l
IV, H ớng dẫn nhà : xem lại chữa, làm tập tàiliệu.
Chuyên đề Phơng pháp tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn
I, Mơc tiªu :
- HS hiểu đợc khái niệm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
- Biết tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn dạng thờng gặp
II, Chuẩn bị :
GV : soạn giáo án , lựa chọn tập
HS : Ôn lại phép biến đổi đại số , by hng ng thc
III, Tiến trình d¹y :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
GV giới thiệu định nghĩa giá trị lớn , giá trị nhỏ mt biu thc
*Định nghĩa:
Nu A ≥ a (a số ) ta nói biểu thức A đạt giá trị nhỏ a
Nếu A ≤ b (b số ) ta nói biểu thức A đạt giá trị lớn b
GV giới thiệu phơng pháp tìm gtnn, gtln định nghĩa ? Để biến đổi biểu thức cho thành biểu thức bậc hai ta làm nh
GV hớng dẫn hs phân tích dựa vào đẳng thức
GV lu ý : tìm GTNN, GTLN phải đợc dấu xảy
HS theo dâi giáo viên h-ớng dẫn
Ta rút gọn tử cho mẫu
HS theo dõi giáo viên h-ớng dÉn vµ ghi bµi vµo vë
HS theo dâi giáo viên tổng kết dạng toán
I, Ph ¬ng ph¸p : Víi biĨu thøc bËc hai
kh«ng chøa biÕn ë mÉu
Để tìm GTNN ta biến đổi A = P2 + a ≥ a A đạt GTNN a P =
Để tìm GTLN ta biến đổi A = b – Q2 ≤ b A đạt GTLN b Q = VD: Tìm GTNN biểu thức :
M=x
+x3− x2−2 x −2
x2− 2
Gi¶i
a, thực phép chia đa thức ta đơc ;
M=x
+x3− x2−2 x −2
x2− 2
¿x2+x +1
x2+2 x 1 2+
1 4+
3
(x+1
2)
2
+3 4≥
3
Vậy M đạt giá trị nhỏnhất 3/4 x + 1/2 = ⇔ x=− 1
(24)? Để chứng minh M a ta có cách khác
GV gii thiu cỏch dựng bt ng thc cụsi
? BĐT cô si áp dụng đ-ợc
GV hng dn hs phân tích biểu thức để áp dụng bđt cơsi
? dấu xảy
Ta áp dụng bất đẳng thức cơsi
HS theodõi giáo viên nêu lí thuyết
HS áp dụng với số không âm
HS theo dõi giáo viên h-ớng dẫn
HS làm theo yêu cầu giáo viên
II, Dựng bt đẳng thức có sẵn đơn giản :
*) Với a, b không âm ta có : a + b a b ( BĐT côsi)
*) Ta lu«n cã : a2 + b2 ≥ (a+b )
2 Ví dụ : Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc
N = x
2
+2 x+1
x +2 víi x > - Gi¶i Ta cã :
¿
N=x
+2 x +1
x+2 =x+
1
x +2=x+2+
1
x +2− 2
¿
áp dụng bất đẳng thức cô si với số dơng x +
x +2 ta cã : N ≥2√(x+2)
x +2− 2=0
dÊu b»ng x¶y x + =
x +2
⇔ x=−1
¿
x=−3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
đối chiếu điều kiện ta thấy N đạt giá trị nhỏ x = -
GV hớng dẫn phơng pháp dùng tính chất nghiệm phơng trình bậc hai
GV rõ bớc giải cho học sinh
GV cho hs làm ví dụ ? Để chuyển biểu thức B dạng phân thức bậc hai ta làm ? phơng trình (1) có nghiệm nµo
HS theo dâi lÝ thuyÕt
HS làm theo bớc giải có sẵn
Ta đặt ẩn phụ x2 = t ≥
III dïng tÝnh chÊt nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh bËc hai:
Để tìm GTLN,GTNN biểu thức có dạng phân thức tử mẫu có dạng bậc hai
VD T×m GTLN,GTNNcđa biĨu thøc
y=x
2+3 x −5 x+2
B1: Quy đồng mẫu thức chuyển phơng trình bậc hai n x
B2: Để tồn giá trị lớn nhỏ y phơng trình ẩn x ph¶i cã nghiƯm
Cho Δ ≥ để tìm y
vÝ dơ :T×m GTLN cđa biĨu thøc B = x
2 x4+1
Gi¶i
Đặt x2 = t ta có
B= t
t2+1⇔ Bt
2
− t+B=0 (1)
(25)GV hớng dẫn hs tìm đk để (1) có nghiệm từ dó suy giá tr ln nht ca B
giáo viên
B ≠ 0 Δ=1− B2≥ 0
t1 t2=1>0
t1+t2=1
B>0 ⇔
¿B ≠0
−1
2 ≤ B ≤
B>0 ⇔0<B ≤ 1
2
¿{ { {
¿
Vậy B đạt giá trị lớn là1/2 t1=t2=2
khi x2 =
⇔ x=√2
¿
x=−√2
¿ ¿ ¿ ¿
GV nêu hớng giải với toán cã ®iỊu kiƯn
GV hớng dẫn hs biến đổi biểu thức để thay điều kiện vào
GV gợi ý áp dụng bất đẳng thức cô si để gii
GV lu ý hs tìm điều kiện xảy dấu
HS theo dõi giáo viên nêu cách giải
HS bin i biu thc thay điều kiện
HS lµm theo híng dÉn giáo viên
IV, Đối với biểu thức có quan hệ ràng buộc biến Ta cã thÓ:
+ Thế điều kiện vào biểu thức để rút gọn
+ BiĨu thÞ y theo x råi thay vµo biĨu thøc chun vỊ bËc hai mét Èn
+ Biến đổi điều kiện để làm xuất biểu thức
+Đổi biến để làm xuất biểu thức
VÝ dô : với hai số dơng a >b mà a.b = H·y t×m GTNN cđa
y= a2+b2
a −b
Gi¶i
Ta cã y=a
+b2
a− b=
(a − b)2+2 ab
a −b =
(a −b )2+2
a −b
đặt a – b = t ta có :
y=t2+2 t ≥
2√t2 2 t =2√2
dÊu b»ng x¶y t2 = ⇔t=
(26)khi ta có
¿
a − b=√2
a b=1 ⇔
¿a=√2+√6
2
b=−√2+√6
2
¿{
¿
GV cho häc sinh lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhµ :
- ƠN tập lí thuyết, xem lại chữa , làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Các phơng pháp giải phơng trình vơ tỉ
I,Mơc tiªu :
- HS nắm đợc nguyên lí chung để giải phơng trình vơ tỉ bình phơng để làm bậc hai để chuyển phơng trình bậc hai phơng trình tích
- HS giải thành thạo số dạng phơng trình vơ tỉ số phơng trình vơ tỉ giải cách đặt ẩn phụ
II, ChuÈn bị :
GV : Soạn giáo án ,lựa chän bµi tËp
HS : ơn lại kiến thức biến đổi thức bậc hai , cách giải pt bậc hai
III, Tiến trình dạy : Hoạt động của
thµy
Hoạt động trũ Ghi bng
GV nêu nguyên tắc giải phơng trình vô tỉ :
tỡm kx sau ú bình phơng để làm
GV giíi thiệu số dạng phơng trình
? Để giải phơng trình a ta làm nh
GV cho học sinh làm nháp
HS theo dõi giáo viên truyền đạt lí thuyết
HS theo dõi số dạng phơng trình ghi vào
Ta t iu kiện cho vế phải khơng âm bình phơng v
HS lên bảng làm bài, lớp làm nháp
I) Dạng 1: f ( x )=a (a ≥ 0)
⇔ f ( x)=a2
II)D¹ng 2: √f ( x )=g ( x )
⇔ f (x)=[g ( x )]2 ®k: g(x) ≥
III)D¹ng3: √f (x)+√g(x)=√p(x)
√f(x)+√g(x)=q
B1: Tìm đk cho thức có nghĩa B2: Bình phơng hai vế , đa dạng VD1: giải phơng trình sau :
a, x+2=4 − x
b, √x+1+√x − 2=3
Gi¶i
a, điều kiện x
Bình phơng hai vÕ ta cã :
x+2=16 −8 x +x2 ⇔ x2− x+14=0
Δ=25>0
(27)? gọi hs lên bảng làm câu a
? Để giải phơng trình b ta làm ntn
GV hớng dẫn hs tìm đk bình phơng vế chuyển dạng II
? Gọi hs lên bảng giải tiếp
Một hs nhận xét làm cđa b¹n
Ta đặt điều kiện cho thức có nghĩa bình ph-ơng vế
HS làm theo hớng dẫn giáo viên
Một em lên bảng làm
x=2
¿ ¿ ¿ ¿
đối chiếu điều kiện ta thấy x = thoả mãn Vậy phơng trình cho có nghiệm x =
b, ®iỊu kiện x Bình phơng vế ta có :
x+1+ 2√(x+ 1)(x − 2)+x − 2=9
⇔ 2√x2− x −2=10− x ⇔√x2− x −2=5− x
điều kiện x
bình phơng vÕ ta cã :
x2− x −2=25− 10 x +x2 ⇔ x=27
⇔ x=3
đối chiếu điều kiện ta thấy x = thoả mãn Vậy phơng trình cho có nghiệm x = GV giới thiệu dạng
IV.giải cách đặt ẩn phụ
? Cã nhËn xÐt g× vỊ biĨu thøc dới dấu thức câu a ? Để giải phơng trình a ta làm ntn ? Gọi hs lên bảng làm
GV nhận xét làm bảng
HS theo dâi gv h-íng dÉn
C¸c biĨu thøc díi dấu có phận chứa ẩn giống
Ta đặt ẩn phụ:
x2+x +1=t
mét em lên bảng làm
HS theo dõi giáo viên nhËn xÐt
IV)D¹ng4: √ax2
+bx+ c+√ax2+bx+ d=√ax2+bx +e B1: Tìm đk cho thức có nghĩa B2: §Ỉt Èn phơ t = ax2
+bx +c
Ví dụ : Giải phơng trình sau : a, √x2
+x +1+√x2+x − 2=3 b, √−2 x2− x +1=2 x2
+x +5
Giải
Đặt x2
+x +1=t Phơng trình trở thành :
√t +√t −3=3 ⇔t +2√t (t −3)+t −3=9
⇔2√t2−3 t=12− 2t ⇔√t2−3 t=6 − t ( t 6)
⇔t2
− t=36− 12t +t2 ⇔ t=36
⇔t=4
Víi t = ta cã
x2+x +1=4
⇔ x2
+x −3=0
Δ=13>0 x=−1+√13
2
¿
x=−1−√13
2
(28)? để giải phơng trình b ta làm nh
GV hớng dẫn hs đặt ẩn phụ giải ph-ơng trình b
GV tổng kết cách giải
ta t n phụ :
−2 x2− x +1=t
HS theo dâi gv h-íng dÉn vµ lµm vµo vë
Vậy phơng trình cho có nghiệm
x=−1+√13
2
¿
x=−1−√13
2
¿ ¿ ¿ ¿
b, đặt −2 x2− x +1=t
ph¬ng trình trở thành:
t=6 t iu kin t Bình phơng vế ta đợc ;
t=36 −12 t+t2 ⇔t2
− 13t +36=0 Δ=25> 0 t=9
¿
t=4
¿ ¿ ¿ ¿
đối chiếu ta thấy t = không thoả mãn
Víi t = ta cã :
−2 x2− x +1=4 ⇔2 x2
+x+3=0
Δ=−23<0
Vậy phơng trình cho vơ nghiệm GV hớng dẫn dạng
V
GV lu ý hs xét nghiệm biểu thức dới dấu
Có nhận xét số nghiệm biểu thức dới
GV hng dn hs phõn tích nhận xét GV giúp hs so sánh thấy tính đối lập vế
? cã nhËn xÐt g× vỊ
HS theo dâi gv h-íng dÉn lí thuyết
các biểu thức dới dấu vô nghiệm
HS làm theo yêu cầu giáo viên HS quan sát giáo viên hớng dẫn
V)D¹ng5:
¿
a x rSup \{ size 8\{2\} \} +b x +c \} \} \{ √ax2
+bx+c+√a ' x2+b ' x +c '=√❑
¿
B1:Tìm đk cho thức có nghĩa
B2: TH1: Nếu thức có nghiệm phân tích nhân tử đa phơng trình tích
TH2: Nếu thức vơ nghiệm so sánh hai vế với số phơng trình có nghiệm hai vế số
Ví dụ: giải phơng trình ;
3 x2+6 x+7+√2 x2+4 x+3=2 −2 x − x2
√x2−3 x +2+
√x+3=√x − 2+√x2+2 x −3 Gi¶i
a, Ta cã :
√3 x2+6 x+7 +√2 x2+4 x +3=2− x − x2
⇔√3(x2+2 x +1)+4 +√2(x2+2 x+1)+1=3 −(1+2 x+ x2)
⇔√3( x +1)2+4 +√2( x +1)2+1=3 −( x +1)2 ta thÊy
¿
√3 (x +1)2+4 ≥√4=2
¿
√2( x +1)2+1≥√1=1
> vế trái lớn L¹i cã 3 −(x +1)2≤ 3
(29)biểu thức dơí dấu phơng trình b
GV hớng dẫn hs phân tích nhân tử đa phơng trình tích
dấu có nghiệm
HS làm theo hớng dẫn giáo viên
b, √x −3 x+ 2+√x +3=√x −2+√x +2 x −3 ®k :x ≥
⇔√( x − 1)( x −2)+√x+3=√x − 2+√( x −1) ( x+3 )
⇔√x − 2(√x −1− 1)−√x+3(√x − 1− 1)=0
⇔(√x − 1− 1)(√x −2 −√x+3)=0
⇔ √x −1 −1=0
¿
√x −2 −√x+3=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
TH1:
√x −1 −1=0 ⇔√x −1=1 ⇔ x=2(thoamandieukien) TH2:
√x −2 −√x +3=0 ⇔√x −2=√x +3
⇔ x −2= x+3 ⇔ −2=3 ( voli)
Vậy phơng trình có nghiệm x =
GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhµ :
- Häc thc cách giải dạng toán
- Xem li cỏc tập chữa
- Lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo
Chun đề Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
(30)- HS hiểu đợc nghiệm nguyên phơng trình bậc ẩn trở lên có hạn tìm đợc số phơng pháp đặc bit
- HS biết cách giải số dạng phơng trình nghiệm nguyên thờng gặp
II, Chuẩn bị :
- GV : Soạn giáo án, lùa chän bµi tËp
- HS : Ơn lại cách phân tích đa thức thành nhân tử , đẳng thức III, Tiến trình học :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
? Tích hai đa thức có giá trị nguyên đa thức có giá trị nguyên hay không GV hớng dẫn hs gpt nghiệm nguyên cách đa tích đa thức có giá trị nguyên
GV híng dÉn häc sinh lµm vÝ dơ
GV lu ý học sinh xét trờng hợp để tìm x; y đa thức nhân tử có vai trị tơng đơng nên phải hốn vị giá trị đa thức.p
HS tr¶ lêi TÝch cđa hai đa thức có giá trị
nguyên đa thức có giá trị nguyên
HS theo dõi giáo viên hớng dẫn
HS phân tích vế trái thành nhân tử , vế phải tích số nguyên
HS quan sát giáo viên nhận xét tránh bỏ sót nghiệm
I)Đ
a vỊ d¹ng tÝch :
Biến đổi phơng trình dạng vế trái tích đa thức chứa ẩn , vế phải tích số
nguyên Cho tơng ứng nhân tử bên trái thừa số bên phải giải hệ phơng trình thu c ly nghim nguyờn
VD Tìm nghiệm nguyên phơng trình : x + xy + y =
(Thi vào lớp 10 chuyên , ĐHKHTN- ĐHQGHN,năm 2002)
Giải
Ta có :
x +xy + y=9 ⇔ x ( y+1)+ y+1=10
⇔ ( y+1)( x +1)=10
TH1: TH2:
¿
x +1=2 y +1=5
⇔
¿x =1
y=4
¿{
¿
¿
x +1=5 y +1=2
⇔
¿x=4
y =1
¿{
¿
TH3: TH4: TH5:
¿
x =−3 y=− 6
¿{
¿
¿
x=− 6 y=− 3
¿{
¿
¿
x =0 y=9
¿{
¿
TH6: TH7: TH8:
¿
y=0 x=9
¿{
¿
¿
x=− 2 y=− 11
¿{
¿
¿
x=−11 y=− 2
¿{
¿
Vậy phơng trình cho có nghiệm (1;4) ; (4;1); (- 3;- 6); (- 6; - 3); (0;9) ; (9; 0) (-2;-11); (- 11; -2)
GV giải thích cho hs hiểu vai trò ẩn để thứ tự ẩn
? pt ẩn có vai trị tơng đơng
HS ghi định nghĩa ph-ơng pháp thứ tự ẩn
HS trả lời : thay
II)Sắp thø tù c¸c Èn :
Nếu x,y,z …có vai trị bình đẳng , ta giả sử x≤y≤z≤…Để tìm nghiệm nguyên thoả mãn điều kiện Từ dùng cách hốn vị để suy nghiệm phơng trình cho VD tìm số nguyên dơng thoả mãn : x + y + z =
(31)GV híng dÉn hs gi¶i ví dụ
? Sắp thức tự ẩn
trỡnh khụng thay i HS lm theo hớng dẫn giáo viên
HS tr¶ lời : thứ tự ẩn xếp chúng theo thứ tự tăng dần hay giảm dần
Gi¶ sư x≤ y ≤ z ta cã x + y + z ≥ 3z suy 3z ≤ ⇔ z ≤2
*, TH1: z = suy x + y =
⇒2 y ≤ ⇔ y ≤2,5
nÕu y = th× x = nÕu y = th× x =
*, TH2: z = suy x + y =
⇒ 2 y ≤ 4⇔ y ≤ 2
nÕu y = th× x = nÕu y = th× x =
Vậy nghiệm nguyên dơng phơng trình : (4;1;1); (3;2;1); (3;1;2);(2;2;2) hoán vị sè nµy
? có nhận xét phơng trình có vế chia hết cho số
GV hớng dẫn hs phân tích để vế trái chia hết cho số
? Có nhận xét vế phơng trình nµy
HS phơng trình có vế chia hết cho số để ph-ơng trình có nghiệm vế cịn lại phải chia hết cho số HS phân tích vế trái thành nhân tử theo h-ớng dẫn giáo viên HS trả lời
III)Sư dơng tÝnh chÊt chia hÕt :
Phơng pháp sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vơ nghiệm tìm nghiệm ca phng trỡnh
VD: Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh sau: 3x + – 3y =
Gi¶i
ta cã :
3 x +2 −3 y=0
⇔3 x+3 −3 y=1 ⇔3 ( x +1− y)=1
Ta thấy vế trái chia hết cho cịn vế phải khơng chia hết cho Vậy phơng trình cho khơng có nghiệm ngun
GV giải thích phơng pháp sử dụng bất đẳng thức cho học sinh
GV híng dÉn hs lµm vÝ dơ
? Để giải phơng trình nghiệm nguyên ta dùng phơng pháp
HS theo dõi giáo viên hớng dẫn
HSlàm theo yêu cầu giáo viên
HS nhắc lại phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên vừa học
IV)S dụng bất đẳng thức :
Dùng bất đẳng thức để đánh giá ẩn từ đánh giá suy giá trị nguyên n ca pT ny
VD :Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 6xy + 13y2 = 100
Gi¶i
ta cã :
x2−6 xy+13 y2=100
⇔ x2− xy +9 y2=100 − y2 ⇔ ( x−3 y )2
=4(25 − y2)
ta suy y2 25 vµ 25 – y2 số ph-ơng
y2{0 ;9 ;16 ;25} hay
y∈{0 ;3 ;−3 ;4 ;− ;5 ;− 5}
Vậy phơng trình có nghiệm nguyên : (10;0); (- 10;0); (17;3); (1;3); (- 17;- 3); (- 1;-3);(6;4);(18;4);(-18;-4);(-6;-4);(15;5); (-15;-5)
(32)IV, H íng dÉn nhà:
- Học thuộc phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên
- Xem li cỏc bi ó cha
- làm tập tài liệu kèm
Ngày soạn : 26/05/2009
Chuyên đề phơng pháp chứng minh
I, Mơc tiªu :
- Hs nắm đợc phơng pháp chứng minh để giải tốn hình học, nhận thức đợc đa số toán đợc đa tốn chứng minh bản.từ thấy đợc tầm quan trọng phơng pháp
- Vận dụng đợc phơng pháp chứng minh để chứng minh hai đoạn thẳng nhau, hai góc nhau, tam giác cân
II, chuÈn bÞ :
- GV : Soạn giáo án , lựa chọn tập - HS : ôn lại kiến thức có liên quan
III, Tiến trình học :
Hoạt động thày Hoạt động trị Ghi bảng
GV đặt câu hỏi để ơn lại lý thuyết ,
? §Ĩ chøng minh hai đoạn thẳng ta có cách
? §Ĩ chøng minh hai gãc b»ng ta cã cách
HS tr li : cm đoạn thẳng ta chứng minh hai cung , tam giác , tính chất tam giác cân,
§Ĩ chøng minh hai gãc b»ng ta chøng minh tam gi¸c b»ng nhau, hệ góc nội tiếp
I) Ph ơng pháp chứng minh đoạn thẳng :
PP1: định lí liên hệ cung dây PP2: chứng minh hai tam giác PP3: tính chất ng trung trc
II) Ph ơng pháp chứng minh hai gãc b»ng :
PP1: chứng minh hai góc nội tiếp chắn cung
PP2 : chứng minh góc tạo tia tiếp tuyến dây với góc nội tiếp chắn cung
PP3: PP3dùng định lí số đo góc có đỉnh hay ngồi đờng trịn để chứng minh hai góc số đo cung
(33)? §Ĩ chøng minh hai đ-ờng thẳng song song ta có cách
? Để chứng minh hệ thức dạng tích ta có cách
? Nêu dấu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp
Ta ¸p dơng tÝnh chÊt ®t song song , tÝnh chất hình bình hành
Ta ỏp dng h thức lợng , cm tam giácđồng dạng
tính chất hai đờng thẳng song song
III) Ph ơng pháp chứng minh hai đ ờng thẳng song
song :
PP1: chứng minh hai góc so le hai góc đồng vị hai góc phía bù
PP2: chứng minh chúng vng góc với đờng thẳng thứ ba
PP3 : dùng định lí đảo định lí ta lét
IV) Chøng minh hƯ thøc d¹ng tÝch
PP1: chứng minh hai tam giác đồng dạng
PP2:dùng định lí ta lét hay tính chất đờng phân giác tam giác
PP3: dùng hệ thức lợng tam giác vuông
V)Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp :
PP1: Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng1800
PP2: Chứng minh hai đỉnh nhìn cạnh dới góc khơng đổi
Bài Cho đờng trịn (O) ng kớnh AB Gi
E điểm thuộc đoạn OB Dây MN vuông góc với AB ë E , d©y MP song song AB Gäi I điểm cung PM
a) Chøng minh AP = BN
b) IO c¾t PM K Chứng minh OKME hình chữ nhật
c) Chøng minh : KE // PN
E K
B M
N P
I
A
? Có nhận xét vai trò AB với MN
? So sánh BN BM §Ĩ chøng minh AP = BN ta chøng minh điều
Gọi HS lên bảng chứng minh AP = BM ? Để chứng minh OKME hình chữ nhËt ta cm g× ? Cã nhËn xÐt g× vai trò KE tam giác PMN
AB đờng trung trực MN
BN = BM §Ĩ chøng minh AP = BN ta chøng minh AP=BM HS lên bảng chứng minh cung AP = cung BM suy ®pcm Ta chøng minh OKME cã gãc 900
HS : KE đờng trung bình tam giác PMN
a, Ta có : AB⊥ MN ⇒EM=EN ( qh vng góc đờng kính dây)
-> AB đờng trung trực MN
> BM = BN ( tính chất đờng trung trực ) Kẻ AM > góc AMP = góc MAB( góc slt) > cung AP = cungMB (2 cung chắn 2góc nội tiếp nhau)
> AP = BM( liên hệ cung dây) mà BM = BN ( cmt)
suy AP = BN
b, Vì I điểm cung nhỏ PM nên IP = IM (liên hệ cung dây)
> I nm đờng trung trực PM.(1) lại có OP = OM ( bán kính đờng trịn ) > O nằm đờng trung trực PM(2) từ 1và suy OI đờng trung trực PM suy OI vng góc với PM hay góc MKO = 900
Lại có PM // AB mà MN AB MN ⊥PM ⇒∠PME=900
XÐt tø gi¸c OEMK cã
PME=900; MKO=900; KOE=900
Vậy tứ giác OEMK hình chữ nhật c, Trong tam giác PMN có :
PK = KM ( tính chất đờng trung trực )
(34)Bài Cho (O;R) đờng kính AB , CD vng góc
nhau , lấy S thuộc tia đối tia CO SA cắt (O) M Tiếp tuyến M cắt CD P , BM cắt CD T Chứng minh:
a) PM.MA = MT.OA b) PS = PM = PT
c)Cho PM = R Chøng minh MOA = 450
TÝnh AM, AT , SM theo R
T M
O
S C D
A
B P
? để chứng minh PM.MA=MT.OA ta cm điều ? Gọi hs cm
∠PMT =∠ AMO
? Gäi mét hs kh¸c cm
∠PMT =∠MAO
Gọi hs lên bảng cm câu a
? để chứng minh PM = PT ta làm ntn
? Gäi hs kh¸c cm PM = PS suy dpcm
? Khi PM = R nhận xét đặc điểm PMO
HS trả lời : ta chứng minh PMT đồng dạng với OM HS đứng chỗ trả lời câu hỏi giáo viên
HS lên bảng làm
Ta chứng minh PMT cân P
HS chứng minh SPM cân P
PMO vuông cân t¹i M
a, ta cã ∠PMT +∠TMO=900
∠AMO +∠OMT=900 ( gãc néi tiÕp
chắn nửa đờng trịn)
⇒∠PMT =∠ AMO
L¹i cã
∠PTM=sdMC+sdBD
2 =
sdMB mµ : ∠MAB=sdMB
2 suy ∠PMT =∠MAO
XÐt PMT vµ OMA cã :
∠PMT =∠ AMO (cmt)
∠PMT =∠MAO (cmt)
vậy PMT đồng dạng với OMA suy ra:
PM OM=
MT
MA ⇒PM MA=OM MT b, ta cã
∠PMT =∠ AMO (cmt)
∠PMT =∠MAO (cmt)
mµ AMO= MAO ( Tính chất tam giác cân )
PMT =MPT
> PMT cân P > PM = PT l¹i cã:
∠MSP +∠MTS=900 ∠SMP+∠ PMT=900 MSP =SMP
SPM cân P > PM = PS VËy PS = PM = PT
c, PM = R PMO vuông cân M
MOP=450MOA=450
Bài Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O)
Vẽ dây MN OA cắt AB , AC D E Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp đợc
E O
x
B C
A D
(35)thẳng có vị trí ntn với đờng trịn
? §Ĩ chøng minh tø giác BCED nội tiếp ta cm theo dấu hiệu
? Gäi hs cm
∠ABC =∠AED
GV hớng dẫn hs hoàn thành lời giải
vi tiếp tuyến A Ta cm tổng hai góc đối diện 1800
HS đứng chỗ trình bày
HSlàm theo yêu cầu giáo viên
⇒ Ax⊥ OA
mµ DE⊥ OA
⇒ Ax // DE⇒∠xAC =∠ AED (2 gãc slt b»ng nhau)
mà xAC= ABC (góc tạo chắn cung AC)_
⇒∠ ABC=∠AED
∠AED +∠DEC=1800 (2 gãc kÒ bï) ⇒∠ ABC+∠DEC=1800
XÐt tø gi¸c BCED cã :
∠ABC +∠DEC=1800
mà góc vị trí đối diện
Vậy tứ giác BCED nội tiếp đờng trịn
GV cho hs lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhµ :
- Häc thc lÝ thuyÕt
- Xem lại ví dụ ó cha
- Hoàn thành tập ë tµi liƯu kÌm theo
Chun đề Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định
I, Mơc tiªu:
- Học sinh nắm đợc phơng pháp chứng minh điểm thẳng hàng thờng gặp , phơng pháp chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định thờng gặp
- Vận dụng để giải toán thờng gặp kì thi tuyển sinh
(36)GV : soạn giáo án , lựa chọn tập HS : Ôn lại kiến thức có liên quan
III, Tiến trình dạy :
Hot ng ca
thày Hoạt động củatrò ghi bảng
? Khi điểm thẳng hàng chúng tạo thành góc có số đo GV nêu cách cm điểm thẳng hàng giải thích hình vÏ
GV hớng dẫn hs cách cm đờng thẳng qua điểm cố định
3 ®iĨm thẳng hàng tạo thành góc có số đo 1800
HS ghi cách chứng minh3 điểm thẳng hàng vào
hs theo dõi giáo viên hớng dẫn
VI Ph ơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng :
PP1: Chng minh ba điểm tạo thành góc bẹt
PP2 : Dùng tiên đề ơclit
PP3: Dùng tính chất hình đặc biệt : chứng minh ba điểm tạo thành đờng chéo hình bình hành đờng cao tam giác , đờng kính đờng trịn …
VII Ph ơng pháp chứng minh đ ờng thẳng qua điểm cố định ;
PP1: Chứng minh đờng thẳng qua điểm cố định có sẵn : Trực tâm , trọng tâm tam giác hay tâm đờng tròn cho trớc , trung điểm cung cố định…
PP2: Chứng minh đờng thẳng cắt đoạn cố định diểm chia theo tỉ lệ : VD điểm M thuộc đoạn AB cố định mà MA =
3 MB
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đờng trịn
tâm O có trực tâm H Kẻ đờng kính AD (O) gọi M trung điểm BC
a, Chøng minh BHCD hình bình hành H, M , D thẳng hàng
b, Giả sử OM = R
2 Chứng minh OM BC tính độ dài đoạn AH
c, Chøng minh H, G , O thẳng hàng GH = 2GO ( G trọng tâm tam giác ABC)
G M
H O
B C
A
D
? để chứng minh tứ giác HBH ta chứng minhđiều
? Gäi mét hs chøng minh
BD//CH : BH//CD để suy đpcm ? Trong tam giác AHM ; OM có vai trị
Ta cm tứ giác có cạnh đối song song vi
HS lên bảng làm
OM đờng trung bình tam giác AHM
a, Ta cã :
ABD=900
⇒ BD AB mµ CH AB ( gt)
⇒ BD // CH ( quan hệ từ vng góc đên song song )
tơng tự ta có : BH // CD ( quan hệtừ vng góc đến song song )
XÐt tø gi¸c BHCD cã BD // CH; BH // CD ( cmt)
Vậy tứ giác BHCD hình bình hµnh b,
Ta có : OA = OD( bán kính đờng trịn (O)) MH = MD ( t/c hình bình hành )
⇒ OM đờng trung bình tam giác AHD
⇒ OM // AH ( t/c đờng trung bình ) mà AH BC (gt)
(37)? Gọi hs cm OM đờng tb
tam gi¸c AHM HS lên bảng cm
lại có OM=AH
2 ( T/c đờng trung bình ) > AH = 2OM = 2.R/2 = R
c, ta có AM đờng trung tuyến tam giác AHD có G trọng tâm nên G nằm đờng trung tuyến HO HG = 2GO
Bài 2: Cho đờng tròn (O;R) đờng
thẳng xy cố định điểm chung với (O) , lấy điểm M di động xy , kẻ tiếp tuyến MP MQ với (O) , kẻ OH xy H , OH cắt dây PQ I , OM cắt dây PQ K , Chứng minh :
a, IO OH = OK OM = R b, PQ luôn qua điểm cố định
K O
M P
Q H I
? §Ĩ chứng minh hệ thức dạng tích có cách
? Để chứng minh OI.OH=OK.OM ta làm ntn
Gọi hs làm câu a ? Có nhận xét tích OI.OH độ dài OH
HS đứng chỗ trả lời
ta chứng minh tam giác OKI đồng dạng với tam giác OHM
OI.OH không đổi độ dài OH không đổi
a, Ta có MP = MQ ( t/c tiếp tuyến cắt nhau) tam giác MPQ cân M có MO đờng phân giác nên đờng cao
⇒ OM PQ t¹i K hay ∠ OKI = 900
áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vu«ng OPM cã : OP2 = OK.OM = R2 (1)
Xét tam giác OKI tam giác OHM có gãc O chung
∠ OKI = ∠ OHM = 900
Vậy tam giác OKI đồng dạng với OHM (g.g)
⇒ OI.OH = OK.OM (2)
từ (1) (2) suy IO OH = OK OM = R b, đờng thẳng xy cố định suy OH không đổi suy OI không đổi mà O cố định suy I cố định
Vậy đờng thẳng PQ qua điểm c nh
Bài Cho tam giác ABC nội tiÕp
trong đờng tròn tâm O Kẻ MH , MI , MK lần lợt vng góc với đờng thẳng AB , BC , CA H, I , K ( M nằm cung nhỏ AB)
a, Chứng minh tứ giác BHMI , MIKC nội tiếp đợc đờng tròn b, Chứng minh H, I , K thẳng hàng
B C
A
M
K I
H
? ta chøng minh tø gi¸c BHMI néi tiÕp nh thÕ nµo
ta chøng minh theo dÊu hiƯu thø nhÊt
a, Ta cã :
MH⊥ AB;MI ⊥BC; MK ⊥ AC ( gi¶ thiÕt)
∠ MHB = 900 : ∠ MIB = 900 ; ∠ MIC = 900
∠ MIC = 900
(38)GV gọi hs lên bảng chøngminh
? để chứng minh điểm H, I , K thẳng hàng ta làm nh
HS lên bảng làm , lớp làm vµo vë
HS chứng minh góc đối đỉnh
∠MHB+∠MIB=900 Mà hai góc vị trí đối
diện Vậy tứ giác BHMI nội tiếp đờng trịn đờng kính MB
XÐt tø gi¸c MIKC cã :
∠ MIC = ∠ MKC = 900
suy hai đỉnh kề I K nhìn MC dới góc vng
Vậy tứ giác MIKC nội tiếp đờng tròn đờng kính MC
b,
Ta cã tø gi¸c BHMI néi tiÕp
suy ∠ BIH = ∠ BMH ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BH)
t¬ng tù ta cã ∠ KIC = ∠ KMC ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung KC)
Mµ ∠ BMH + ∠ BMC + ∠ A = 1800
∠ KMC + ∠ BMC + ∠ A = 1800
suy ∠ BMH = ∠ KMC
mµ IH vµ IK lµ hai tia chung gèc n»m trªn hai nưa mp cã bê BC qua I
Vậy H, I , K thẳng hàng GV cho hs làm tập ¸p dơng ë tµi liƯu
IV, H íng dÉn vỊ nhµ:
- Học thuộc lí thuyết , xem lại tập chữa - Làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Bài tốn quỹ tích đơn giản
I, Mơc tiªu:
- HS nắm đợc trờng hợp quỹ tích đờng trịn đờng thẳng hay gặp
- HS biết xác định quỹ tích điểm cách xác định thử vài vị trí điểm từ dự đốn đợc quỹ tích cần tìm
- Tìm đợc quỹ tích điểm trờng hợp quỹ tích đờng trịn , đờng thẳng
II, Chn bÞ :
GV : Soạn giáo án , lựa chọn tËp
HS : Ơn lại tốn quỹ tích cung chứa góc, đn nghĩa đờng trịn
III, Tiến trình dạy :
Hot ng ca thày Hoạt động trị Ghi bảng
? Ph¸t biểu toán quỹ tích cung chứa góc
? Khi điểm M nhìn AB dới góc vuông quỹ tích hình
GV hng dn trờng hợp quỹ tích đờng thẳng
HS đứng chỗ phát biểu
HS trả lời : quỹ tích đờng trịn
HS theo dâi gv h-íng dÉn
D¹ng 1: Q tÝch đ ờng tròn
+ Chng minh cho AM có số đo khơng đổi mà A cố định quỹ tích M đờng trịn tâm A bán kính AM
+ Chứng minh AMB = 900 mà AB cố định quỹ tích M đờng trịn đờng kính AB
+ Chứng minh AMB có số đo khơng đổi mà AB cố định quỹ tích M cung chứa góc dựng đoạn AB
Dạng 2: Quỹ tích đ ờng thẳng
+ Chứng minh cho AM = MB mà AB cố định quỹ tích M đờng trung trực đoạn thẳng AB
(39)nội tiếp đờng tròn (O) M điểm di động cung nhỏ BC đờng trịn Gọi D hình chiếu B AM vàP giao điểm BD với CM
a, Chøng minh tam giác BPM cân
b,Tỡm qu tớch ca D M di động đờng tròn (O)
P
B C
M D
? §Ĩ chứng minh tam giác BMP cân ta chứng minh điều ? Vì MD phân giác BMP
? Điểm D nhìn đoạn cố đỉnh dới góc vng khơng ,
Ta chứng minh MD vừa đờng cao vừa đờng phân giác HS tr li
HS Điểm D nhìn AB díi mét gãc vu«ng
a,
Ta cã :
Δ ABC c©n cã AB = AC AB = AC ( liên hệ cung dây)
AMB = AMC ( hai gãc nt ch¾n cung b»ng nhau)
⇒ MD tia phân giác BMP
Trong Δ BMP có MD tia phân giác lại đờng cao ⇒ Δ BMP cân M
b,
Khi M di động đờng trịn (O)
ADB = 900 mà AB cố định Vậy quỹ tích điểm D đờng trịn đờng kính AB
Bài Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính
AC dây AB cố định Điểm M di động thuộc cung AB Gọi I, J , K lần lợt trung điểm AB, BC , MB KP AM P a, Chứng minh K, P, J thẳng hàng
b, Chứng minh góc IKJ = 900 Suy K di động đờng cố định
O
A C
B M
I J
K P
? để cm K, J, P thẳng hàng ta làm nh
? Gäi hs chøng minh KJ // MC; PK // MC GV híng dÉn hs hoµn thµnh lêi giµi
? Gäi hs chøng minh gãc IKJ = 900
Ta áp dụng tiên đề ơclit
HS đứng chỗ chứng minh
HS theo dõi gv chữa ghi lời giải vào
HS lên bảng trình bày
a, Trong MBC cã : MK = KB (gt) CJ = JB (gt)
suy KJ đờng trung bình Δ MBC suy KJ // MC ( t/c đờng trung bình ) (1) Lại có ∠AMC=900 ( góc nội tiếp chắn nửa
®-êng tròn )
suy MC AM
lại có KP AM ( gi¶ thiÕt )
suy PK // MC ( quan hệ từ vng góc đến song song ) (1)
mà theo tiên đề clit qua K có đt song song với MC
Vậy K, J, P thẳng hàng b,
(40)mµ KP AM suy KP IK suy gãc IKJ = 900
vậy K chuyển động đờng trịn đờng kính IJ
Bài Cho đờng trịn (O) đờng kính AB
Một cát tuyến MN quay quanh trung điểm H OB
a Chứng minh cát tuyến MN di động trung điểm I MN ln nằm đờng tròn cố định
b Tõ A kể Ax vuông góc với MN Tia BI cắt Ax C Chứng minh BN = CM c.Tìm quü tÝch cña Ckhi MNquayquanh H
O A
B H
M
N I C
? OI có quan hệ với MN, suy điều ? Tứ giác BMCN hình
GV hớng dẫn hs trình bày lời giải
? Cã nhËn xÐt g× vỊ gãc ACO
GV hớng dẫn hs làm
HS trả lời :
OI MN
Tứ giác BMCN hình bình hành
HS theo dõi giáo viên làm bảng
góc ACO = 900 HS làm theo hớng dẫn giáo viên
a, Ta có MI = IN ( gt)
suy OI MN ( Quan hệ vuông góc đk dây )
suy góc OIH = 900 mà OH cố định I ln nằm đờng trịn đờng kính OH
b,
L¹i cã OI MN ( cm trªn ) AC MN ( gt )
OI // AC ( quan hệ từ vng góc đến song song) Trong tam giác MCB có OI // AC ; OA = OB suy BI = IC ( định lí đờng trung bình ) Xét tứ giác BMCN có :
BI = IC ( cm t) IM = IN ( cmt)
suy tứ giác BMCN hình bình hành suy BM = CN ( t/c hình bình hành ) c, Trong tam giác BCO có IH đờng trung bình suy IH // CO
mµ IH AC suy CO AC suy ACO = 900
Vậy quỹ tích C đờng trịn đờng kính AO
GV cho hs lµm bµi tËp ¸p dơng ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhµ:
- Häc thc lÝ thuyÕt
- Xem lại tập chữa - Làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Bài toán cực trị hình học
(41)ợng hình học , xác định vị trí điểm để đại lợng hình học đạt cực trị
- Nắm đợc kiến thức vận dụng để giải toán quan hệ đờng vng góc đờng xiên; bất đẳng thức đại số
II, ChuÈn bÞ :
GV : Soạn giáo án , lựa chọn tập HS : ôn lại kiến thức có liên quan
III, Tiến trình học ;
Hot động thày Hoạt dộng trò Ghi bảng
? Phát biểu quan hệ đờng vng góc đ-ờng xiờn
? Định lí so sánh đ-ờng kính d©y
? Viết bất đẳng thức cơsi áp dụng cho số không âm
HS đứng chỗ phỏt biu
HS khác trả lời
HS lên bảng viết bất đẳng thức cô si
I, KiÕn thøc cÇn nhí :
1, Quan hệ đờng vng góc đờng xiên + Trong đờng kẻ từ điểm đến đờng thẳng đờng vuông góc đờng ngắn ( đờng xiên ln lớn đờng vng góc )
+Trong mét tam gi¸c vuông cạnh huyền cạnh lớn
2, Định lí đờng kính :
Trong đờng trịn đờng kính dây cung lớn
3, Bất đẳng thức cô si với hai số không âm Với a, b khơng âm ta ln có
a + b ≥ √ab A +b ≤ √2(a2+b2)
Bài 1, Cho tam giác ABC vuông A , đờng cao AH Gọi D , E theo thứ tự thuộc cạnh AC , AB cho DHE = 900 Tìm vị trí
của D, E để DE có độ dài nhỏ
A
B H C
D
E I
GV híng dÉn hs lÊy trung ®iĨm I cđa DE ? H·y so s¸nh IA, IH , ID, IE
? H·y so s¸nh DE víi AH
? DE = AH
HS làm theo yêu cầu giáo viên
IA = IH = ID = IE
HS đứng chỗ trả lời
Gọi I trung điểm DE suy AI đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông DAE
suy IA = ID = IE
tơng tự HI đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông DHE suy HI = IE = ID
suy DE = IA + IH
áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AIH ta có :
IA + IH ≥ AH suy DE ≥ AH
Vậy DE có độ dài nhỏ AH A, I , H thẳng hàng
Bài 2, Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R) , M điểm chuyển động cung BC Trên đoạn thẳng MA lấy D cho MD = MB vẽ đờng kính AE cắt BC H, MA cắt BC I Chứng minh:
a, MA = MB + MC
(42)GTLN
O
B C
A
D D
? tam giác BMD có đặc điểm
? §Ĩ chøng minh MA = MB + MD ta chứng minh điều
? Gọi học sinh lên bảng làm
GV nhận xét làm bảng
? GV hng dn hs tính để rút gọn tổng MA + MB + MC ? MA có độ dài lớn
GV hoàn thành lời giải cho hs
HS trả lời : tam giác BMD tam giác
Ta cần chứng minh đợc MC = AD
Một em lên bảng làm , lớp làm nháp
HS theodõi giáo viên h-ớng dẫn
HS trả lời câu hỏi giáo viên
a, Ta có :
ABC (gt) ⇒ ∠ A = ∠ B =
∠ C = 600
L¹i cã ∠ ADB = ∠ C = 600 ( hai gãc nt cïng ch¾n cung AB)
XÐt Δ BDM cã MD = MB (gt) suy BDM cân M
lại có ∠ ADB = ∠ C = 600 ( cm ) suy Δ BDM
Ta cã ∠ ABD + ∠ DBC = 600 ∠ DBC + ∠ CBM = 600
suy ∠ ABD = ∠ CBD
XÐt ABD vµ MBC cã :
∠ ABD = ∠ CBD ( cm trªn ) BC chung
BD = BM ( t/c tam giác )
⇒ Δ ABD = Δ MBC ( c g.c)
suy AD = MC ( cạnh tơng ứng hai tam giác b»ng nhau)
suy MA = MB + MC b,
ta cã MA + MB + MC = 2MA
để MA + MB + MC đạt giá trị lớn MA đạt giá trị lớn nhât
vì MA dây cung nên MA có độ dài lớn đờng kính
Bµi ,
cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB M điểm thuộc nửa đờng tròn (M khác A B) Từ A,B kẻ hai tiếp tuyến Ax ; By với nửa đờng tròn âý Tiếp tuyến nửa đờng tròn M cắt Ax ; By lần lợt C D
a, Chøng minh : CD = AC + BD
b, Giả sử M chuyển động nửa đờng tròn tâm O đờng kinh AB Xác định vị trí điểm
M để chu vi Δ ABM đạt GTLN A
B M
D
(43)bảng chứng minh câu a
GV chu vi tam giác ABM lớn ?
GV hớng dẫn hs áp dụng bất đẳng thức để tìm vị trí điểm M
HS lªn bảng chứng minh câu a Cả lớp theo dõi nhận xÐt
Chu vi tam gi¸c ABM lín nhÊt AM + MB lín nhÊt
HS lµm theo híng dẫn giáo viên
Ta có :
CA = CM ; DB = DM ( t/c tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
CD = CM + DM = CA + BD b,
Chu vi tam giác ABM
AM + MB + AB vỡ AB không đổi nên để chu vi tam giác ABM đạt giá trị lớn nhât AM + MB lớn
l¹i cã :
(a+b )≤√2(a2+b2) (*)
áp dụng bất đẳng thức * ta có : AM+MB≤√2(AM2+MB2)
⇔ AM+MB ≤√2 AB2=AB√2
suy AM + MB đạt giá trị lớn AB √2 AM = MB
khi M điểm nửa đờng trịn
GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhµ:
- Ôn lại phơng pháp giải - Xem lại tập chữa - Làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Luyện giải tập hình học
I, Mơc tiªu:
- HS vận dụng đợc phơng pháp chứng minh học để tìm phơng pháp chứng minh cho tập hình học lớp
- HS biết chuyển tình cụ thể tập dạng tốn có phơng pháp chứng minh học
II, ChuÈn bÞ :
GV : Soạn giáo án , lựa chọn tập HS : Ôn lại kiến thức có liên quan
III, Tiến trình dạy :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
Bµi1,
Cho Δ ABC cân A nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm D , dây DB lấy điểm E , dây DC lấy điểm F cho BE = CF chứng minh :
a, ΔAEF cân
b, Tứ giác ADEF nội tiếp
O
B C
A D
E
(44)? Để cm tam giác AEF cân ta lµm ntn
? GV gäi mét hs chøng minh AE = AF
? Để chứng minh tứ giác ADEF néi tiÕp ta lµm ntn
GV gäi mét hs chøng
minh ∠ EDF = ∠
EAF
GV hoàn chỉnh lời giải toán
Ta cm AE = AF
HS lên bảng lµm bµi
Ta cm tứ giác ADEF có hai đỉnh nhìn cạnh dới góc khơng đổi
HS lên bảng làm HS theo dõi giáo viên nhận xét
a, Xét AEB vµ Δ AFC cã AB = AC ( t/c tam giác cân )
ABE = ACF ( gãc nt cïng ch¾n AD)
BE = CF ( gt)
⇒ Δ AEB = Δ AFC ( c.g.c)
AE = AF ( cạnh tơng øng cđa tam gi¸c b»ng nhau)
VËy tam giác AEF cân A b,Ta có
AEB = Δ AFC ( chøng minh trªn)
⇒ ∠ EAB = ∠ FAC ( gãc t¬ng øng cđa tam gi¸c b»ng nhau)
⇒ ∠ EAB + ∠ BAF = ∠ FAC +
∠ BAF
⇒ ∠ EAF = ∠ BAC
mµ ∠ BAC = ∠ BDC ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n BC )
⇒ ∠ EDF = ∠ EAF ( = ∠ BAC)
XÐt tø gi¸c EDAF cã
∠ EDF = ∠ EAF ( cm trªn )
suy hai đỉnh kề D A cúng nhìn EF dới góc khơng đổi
Vậy tứ giác ADEF nội tiếp đợc đ-ờng tròn
Bài Trong đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với trực tâm H, M điểm cung BC khơng chứa A
a, Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành
b, Gọi điểm đối xứng M qua AB , AC lần lợt N , E Chứng minh tứ giác AHBN, AHCE nội tiếp đợc
c, Chøng minh ba điểm N, H , E thẳng hàng
H O
N
E
B
C A
M
? Khi tứ giác BHCM hình bình hành CM BH có quan hệ ? Suy vị trí AM có đặc bit
? Để cm tứ giác AHBN nội tiÕp ta lµm nh thÕnµo
? GV híng dÉn hs chøng minh AHB + ANB = 1800
GV lu ý hs vận dụng tính chất đối xứng giải tốn hình học
Khi CM // BH
KHi AM đờng kính
Ta chứng minh tổng số đo hai góc đối diện 1800
HS lµm theo híng dÉn cđa giáo viên
HS theodõi gv h-ớngdẫn
a, Để tứ giác BHCM hình bình hành CM // BH l¹i cã BH AC ⇒ CM AC
⇒ ∠ACM=900 mµ ∠ ACM lµ gãc
néi tiÕp
nên AM đờng kính đờng trịn
Vậy để tứ giác BHCM hình bình hành M đối xứng với A qua O
b, Ta cã : ∠ HCB = ∠ HAB ( cïng phơ
víi ∠ ABC)
∠ HCA = ∠ HAC (Cïng phơ víi BAC)
Mµ ∠ AHB + ∠ HAB + ∠ HBA =
1800
⇒ ∠ AHB + ∠ HCB + ∠ HCA =
1800
⇒ ∠ AHB + ∠ ACB = 1800
l¹i cã ∠ ACB = ∠ AMB (cïng ch¾n cung AB)
∠ AMB = ∠ ANB ( t/c đối xứng )
⇒ ∠ AHB + ∠ ANB = 180
XÐt tø gi¸c AHBN cã :
(45)? §Ĩ cm điểm H; N; E thẳng hàng ta làm nh thếnào
GV hớng dẫn hstrình bày lời giải
Ta chứng minh diểm tạo thành góc bẹt HS trình bày lời giải vào
Vậy tứ giác AHBN nội tiếp đợc
tơng tự ta có tứ giác AHCE nội tiếp đợc c,
Ta cã:
∠ AHN = ∠ ABN ( cïng ch¾n cung AN)
∠ ABN = ∠ ABM(t/c đối xứng )
⇒ ∠ AHN = ∠ ABM ( = ∠ ABN)
l¹i cã
∠ AHE = ∠ ACE ( cïng ch¾n AE)
∠ ACE = ∠ ACM ( t/c đối xứng )
⇒ ∠ AHE = ∠ ACM ( = ∠ ACE)
mµ ∠ ABM + ∠ ACM = 1800
⇒ ∠ AHB + ∠ AHE = 1800
Vậy điểm N; H; E thẳng hàng Bài 3.Cho đờng tròn (O) với dây BC cố định
( BC < 2R) điểm A cung lớn BC ( A không trùng B C , A khơng điểm cung ) Gọi H hình chiếu A BC ; E F lần lợt hình chiếu B C đờng kính AA’
a, Chøng minh r»ng HE AC
b, Chứng minh tam giác HEF đồng dạng với tam giác ABC
O
B C
A
H
A' E
F
? Để cm HE AC ta chứng minh điều GV gọi hs trình bày cách giải
? Để chứng minh Δ
HEF đồng dạng với
Δ ABC ta cm điều
GV hớng dẫn hs chứng minh hai cặp góc tơng ứng
Ta chøng minh HE //CA’
HS đứng chỗ trình bày p2 giải
Ta chøng minh
∠ EFH = ∠ ACB
∠ FEH = ∠ ABH
HS theo dõi gv hớng dẫn trình bày lời giải vào
a, Tứ giác AEHB néi tiÕp
∠ BAE = ∠ CHE ( cïng phơ víi ∠
BHE)
mµ ∠ BAE = ∠ BCA’ ( cïng ch¾n BA’)
⇒ ∠ CHE = ∠ BCA’
mµ gãc nµy ë vÞ trÝ so le
⇒ HE // CA’ l¹i cã A’C AC
⇒ HE AC ( quan hệ từ vng góc đế song song)
b,
Tø gi¸c AHFC néi tiÕp
⇒ ∠ EFH = ∠ ACH ( cïng ch¾n
AH)
⇒ ∠ EFH = ∠ ACB
Tø gi¸c ABHE néi tiÕp
⇒ ∠ FEH = ∠ ABH ( cïng phơ víi AEB)
XÐt Δ HEF vµ Δ ABC cã : ∠ EFH = ∠ ACB ( cm trªn )
∠ FEH = ∠ ABH ( cm trªn )
⇒ Δ HEF đồng dạng với Δ ABC ( g.g)
GV cho hs lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo
(46)- Ôn lại lý thuyết
- Xem lại tập chữa - Làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Luyện giải tập hình học
I, Mơc tiªu :
- Rèn kĩ vận dụng phơng pháp chứng minh học để chứng minh tập hình học có nội dung tổng hp
- Rèn kĩ trình bày lời giải
II, Chuẩn bị :
GV : Soạn giáo án , lựa chọn tập
HS : ôn lại phơng pháp chứng minh hc
III, Tiến trình học :
Hoạt động thày Hoạt động trò Ghi bảng
Bài cho hình thang cân ABCD ( AB // CD ) nội tiếp đờng tròn tâm O Các tiếp tuyên A D cắt E, tiếp tuyến B C căt F Gọi I giao điểm hai đờng chéo hình thang a, Chứng minh tứ giác AIDE nội tiếp b, Chứng minh ba điểm E, I , F thng hng
c, EF cắt AD BC ë K vµ H Chøng minh :
1 AB +
1 CD=
2 KH
H
K I
F E
O
D B
A C
? §Ĩ cm tø giác AIED nội tiếp ta làm ntn
GV gäi hs chøng minh
∠ AED + AID = 1800
? Có nhận xét tứ giác CIBE ?Để chứng minh E; I ; F thẳng hµng ta
Ta cm tổng số đo góc i din bng 1800
HS làm theo yêu cầu giáo viên
HS trả lời : tứ giác CIBE néi tiÕp
Ta chøng minh
a, ta cã AD = BC ( t/c h×nh thang cân) AD = BC (liên hệ cung dây) l¹i cã :
∠AED=sdACD− sdAD
2 =
sdAC+sdCB+sdBD − sdAD
⇒∠ AED=sdAC+sdBD
2 mỈt kh¸c :
∠AID=sdAD +sdBC
2
⇒∠ AED+∠ AID=sdAC+sdBD+sdAD+sdBD
2 =180
0
XÐt tø gi¸c AIED cã
∠ AED + AID = 1800( cmt )
mà góc vị trí đối diện tứ giác AIED nội tiếp
b,
Tơng tự ta có tứ giác CIBE nội tiếp đờng trịn Ta có
(47)GV gäi hs chøng minh
∠ BIF + ∠ EIB
=1800
? Có nhận xét mối quan hệ HK AB; CD GV hớng dẫn hs áp dụng hệ định lí ta lét làm
gãc bÑt
HS đứng chỗ cm
HS tr¶ lêi : HK // AB
HS làm theo hớng dẫn giáo viên
nhau)
∠ BCF = ∠ BIF ( cïng ch¾n BF)
⇒ ∠ AIE = ∠ BIF
mµ ∠ AIE + ∠ EIB = 1800 ( gãc kÒ bï )
⇒ ∠ BIF + ∠ EIB = 1800 Vậy điểm E; I; F thẳng hàng c,
ta cã : ∠ ABD = ∠ BIF ( = ADE) mà góc vị trí so le
⇒ IH // AB // CD
áp dụng định lí ta lét ta có ; IK AB= DI DB; IH AB= CI AC; IK CD= AI AC; IH CD= BI BD IK AB+ IH AB + IK CD+ IH CD= DI DB+ BI BD+ CI AC+ AI AC ⇔HK AB + HK CD =2 ⇔ AB+ CD= HK Bài
Cho đờng trịn (O) điểm P ngồi đ-ờng tròn Kẻ hai tiếp tuyến PA PB (A, B tiếp điểm ) Từ A vẽ tia song song với PB cắt (O) C ( C ≠ A) Đoạn PC cắt đờng tròn điểm thứ hai D Tia AD cắt PB E a, Chứng minh EAB đồng dạng với EBD b, Chứng minh AE đờng trung tuyến tam giác PAB
D O P A B C E
? Để chứng minh EAB đồng dạng với EBD ta làm nh
? EAB đồng dạng với EBD ta suy hệ thức no
? Để cm AE đ-ờng trung tuyến tam giác PAB ta chứng minh điều
GV híng dÉn hs chøng minh
EP2=EA ED suy
ta chøng minh theo trêng hỵp g.g
suy
EB2 = EA ED
ta chứng minh E trung điểm PB
HS làm theo hớng dẫn giáo viên
a,
xÐt EAB vµ EBD cã
∠ E chung
∠ EBD = ∠ EAB ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung BD)
⇒ EAB đồng dạng với EBD ( g.g) b,
ta cã:
EAB đồng dạng với EBD ( cmt )
⇒ EB
ED= EA EB ⇒ EB
2
=EA ED (1) L¹i cã
∠ EPD = ∠ ACD ( gãc so le b»ng nhau)
mµ ∠ ACD = ∠ EAP ( góc tạo tia tiếp tuyến dây cung víi gãc néi tiÕp cïng ch¾n AD)
⇒ ∠ EPD = ∠ EAP ( = ∠ ACD)
XÐt EDP vµ EDA cã :
∠ E chung
∠ EPD = ∠ EAP ( cmt)
(48)ra điều phải chứng
minh EDEP =EPEA ⇒ EP2=EA ED (2)
từ (1) (2) suy E trung điểm PB hay AE đờng trung tuyến tam giác PAB
GV cho häc sinh lµm bµi tËp vËn dơng ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhà :
- ôn lại lý thuyết
- Xem lại tập chữa - Làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Ôn tập chung Phần đại số
I, Mục tiêu :
- Ôn luyện phơng pháp giải dạng toán.rút gọn, hàm số
- Học sinh đợc huy động kiến thức tổng hợp nhằm tăng khả vận dụng linh hoạt kiến thức cho học sinh
II, ChuÈn bÞ :
GV : Soạn giáo án, lựa chọn tập
HS :Ôn lại dạng toán phơng pháp giải
III, Tiến trình dạy :
Hot ng ca
thày Hoạt động trị Ghi bảng
? §Ĩ giải câu a ta áp dụng kiến thức
Ta ¸p dơng h»ng
(49)? Để giải câu b ta áp dụng kiến thức
GV cho hs giải câu nháp hoµn thµnh vµo vë
√A =|A|
Ta đa thừa số dấu
HS làm theo yêu cầu giáo viên
a) Biu thc (2- 3) có giá trị A ( 2- ) B C (2- 3) b) Nếu 25x- 4x =9 x A B C
1
c)
12 =
A B -4 C D -2
d)
6 18
3 =
A 12 B C D GV cho hs lµm
bµi tËp
? ĐK để biểu thức có nghĩa
GV gọi hs lên bảng trình bày lớp làm nháp
? rỳt gn biu thc A ta làm ntn ? Để quy đồng mẫu ta làm ntn
GV gọi hs lên bảng trình bày ? Để tính giá trị biểu thức x = 4/9 ta lµm ntn
GV híng dÉn hs làm câu d
HS theo dừi bi bảng
Đk để biểu thức có nghĩa thức có nghĩa , mẫu thức khác HS lên bảng trình bày
Ta quy đồng mu thc ri thu gn
Ta phải phân tích mẫu thành nhân tử
HS lên bảng trình bµy
Ta thay x = 4/9 vµo biĨu thøc vµ thùc hiƯn phÐp tÝnh
HS lµm theo híng dẫn giáo viên
BAỉI Cho biu thc
A =
1
1
2 2
x x x- - x+ +
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
c) Tính giá trị A với x=
d) Tìm giá trị x để
1
A =
Gi¶i
a) Điều kiện xác định x ; x
b) A= ( ) ( )
1
1
2
x x x- - x+ +
A=
( )( ) ( ( )( ) )
2
1
1
2 1 1
x
x x x
x
x x x x
-+ - + - =
=-+
- + - +
c) Thay x = 4/9 vµo biĨu thøc ta cã :
A=− 1:(√4
9+1)− 1:(
3+1)=−1 : 3=−
3
(50)d)Giải phương trình
1
2
x
- =
+ ta coù
1
2
x+ =
1
2
x+ = x + =1 2 (1) <-> <->
1
2
x+ =- x + =-1 Phương trình (1) cho nghiệm x =1 không thuộc điều kiện xác định hàm số
Phương trình (2) vơ nghiệm Vậy khơng có x để
1
A =
GV cho häc sinh lµm bµi
? Đồ thị hs cắt trục hồnh điểm có hđộ 1,5 suy điều ? Để giải câu a.ta làm ntn
? Đồ thị hàm số qua điểm B ta suy điều ? Đồ thị hs song song với đờng thẳng y= √3 x suy điều GV gọi hs lên bảng làm
HS theo dõi đề bảng
Ta suy x = 1,5; y =
Ta thay a=2, x=1,5; y= vaứo haứm soỏ để tìm b suy x = 1; y = √3+5
suy a= √3 Hs lµm theo yêu cầu giáo viên
Baứi
Cho hàm số y = ax + b Xác định hàm số trờng hợp sau :
a, Đồ thị hàm số đờng thẳng cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1,5 có hệ số góc ẹồ thũ haứm soỏ y=ax+b caột trúc hoaứnh tái ủieồm coự hoứanh ủoọ baống 1,5
b, Đồ thị hàm số qua điểm B( 1; √3+5 ) song song vớiđờng thẳng y= √3 x
Gi¶i
Đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 1,5
x=1,5 ;y=0
Thay a=2, x=1,5; y= vào hàm số ta có: y=ax+b
0=2.1,5+b b=-3
Vậy hàm số y=2x-3
b) Đồ thị hàm số qua điểm B(1; 5 x 1;y 5 )
Đồ thị hàm số y=ax+b song song với đường thẳng y= 3x a 3;b 0
thay a= 3;x 1
y 5 vào phương trình y=ax+b
3 3.1 b b
(51)Vậy hàm số y= 3x 5 GV Cho hs lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn vỊ nhà :
- Ôn lại kiến thức cũ
- Xem lại tập chữa - Làm tập tài liệu kèm theo
Chuyên đề Ơn tập chung phần hình học
I, Mơc tiªu :
- Rèn kĩ phân tích đề tìm lời giải cho tốn hình học ,chuyển phơng pháp chứng minh thờng gp
- Rèn kĩ vẽ hình , trình bày lời giải
II, Chuẩn bị :
GV : Soạn giáo án , lựa chọn tập HS : Ôn lại kiến thức cũ
III, Tiến trình dạy :
Hot động thày Hoạt động trò Ghi bảng
Bài Cho nửa đờng trịn đờng kính AB, lấy AC
và tia tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn (Bx nửa mp bờ AB với nửa đờng trịn ) Tia phân giác góc CAB cắt dâyBC F, cắt tiếp nửa đờng tròn H, cắt Bx D AC cắt By M a, Chứng minh FB = BD ; HF = HD
b, Chứng minh tam giác HBD đồng dạng với tam giác CAF
c, Chøng minh AC.AM = AH.AD
H F
A B
C
D M
GV cho hs làm ?Để cm : FB = BD ;
HS theodõi đề bảng vàvẽ hình vào HS đứng chỗ phát
a, Ta cã
∠ CAH = HAB ( t/c tia phân giác )
(52)HF = HD ta lµm ntn ? GV gọi hs lên bảng cm tam giác BDF cân B suy đpcm
? Vỡ tam giác ACF tam giác BHD đồng dạng với
? Để cm AC AM = AH.AD ta làm ntn
GV gọi hs lên bảng làm
biểu
Một em lên bảng làm bài, lớplàm nháp
HS phát biểu
Ta áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông
HS lên bảng làm
FBH = ∠ HBD ( Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyến dây với góc nội tiếp chắn cung b»ng nhau)
⇒ BH tia phân giác ∠ FBD Δ BDF có BH vừa đờng cao vừa đ-ờng phân giác nên Δ BDF cân B ⇒ BH đờng trung trực FD ⇒ FB = BD ; HF = HD ( t/c đờng trung trực)
b, Ta cã
∠ ACB = 900 ; ∠ AHB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đờng trũn)
Xét vuông ACF vuông BHD có
∠ CAF = ∠ HBD( gãc ch¾n cung b»ng nhau)
Vậy tam giác HBD đồng dạng với tam giác CAF( g.g)
c,
¸p dơng hƯ thức lợng vào tam giác vuông ABM có
AC.AM=AB2 (1)
áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vu«ng ABD cã ;
AH.AD = AB2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy
AC.AM = AH AD ( = AB2)
Bài Cho đờng tròn (O) lấy điểm A, B, C.Gọi
M, N, P theo thứ tự điểm cung AB, BC AC , BP cắt AN I ; MN cắt AB E
a, chứng minh tam giác BNI cân b, Chứng minh AE.BN = EB.AN c, Chøng minh EI // BC
d, Gọi D giao điểm AN BC Chứng minh AN
BN= AB BD
E
D I
O
B C
A
P
N M
? Để chứng minh tam giác BIN cân ta làm ntn
Gọi hs lên b¶ng cm
GV hớng dẫn hs áp dụng t/c đờng phân giác cm câu b
Ta chøng minh
BIN =IBN
HS lên bảng làm
HS làm theo yêu cầu giáo viên
a, Ta có M, N, P theo thứ tự điểm cung AB; BC ; AC nên ta cã : AM = MB; AP = PC ; BN = NC
L¹i cã :
∠BIN=SdBN +SdAP
2 =
SdPC+SdNC
2 =
SdPN
∠IBN=SdPN
2
⇒∠BIN =∠IBN(SdPN
2 ) Vậy tam giác BIN cân N
(53)? Để cm EI // BC ta cm điều g×
GV híng dÉn hs chøng minh tam giác EIB cân suy đpcm
Để cm AN
BN= AB BD ta lµm ntn
GV gäi hs lên bảng làm
ta chứngminh gãc so le b»ng
HS theo dõi gv hớng dẫn ghi lời giải vào
Ta chứng minh tam giác đồng dạng
HS lên bảng làm
EB =BN EA BN=AN EB c,
Ta cã :
AM = BM ( cmt )
⇒ ∠ ANM = ∠ BNM ( gãc nt ch¾n
2 cung b»ng nhau)
⇒ NM đờng phân giác tam giác cân BNI nên đờng trung trực
⇒ EI = EB ( tc đờng trung trc)
Tam giác EIB cân E
⇒ ∠ EBI = ∠ EIB ( t/c tam gi¸c cân ) mà EBI = IBC ( gãc nt ch¾n cung b»ng nhau)
⇒ ∠ EIB = ∠ IBC
mµ gãc nµy ë vÞ trÝ so le
⇒ EI // BC d,
XÐt Δ ANB vµ Δ BND cã :
∠ NBD = ∠ NAD ( gãc nt ch¾n cung b»ng nhau)
∠ N chung
Δ ANB đồng dạng với Δ BND ( g.g)
⇒AN
BN = AB BD
* GV khắc sâu lí thuyết :
? chng minh tam giác cân ta làm nh ? Để cm tam giácđồng dạng ta làm ntn
? Để cm hệ thức dạng tích ta làm ntn
? Để cm đờng thẳng song song ta làm ntn
GV cho hs lµm bµi tËp ë tµi liƯu kÌm theo
IV, H íng dÉn nhà :
- ÔN lại kiến thức cò
(54)