Goïi I, J, K laàn löôït laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp caùc tam giaùc ABC, AHB, AHC1. Chöùng minh AI vuoâng goùc JK.[r]
(1)1 )
(
1 )
(
2
ax x x Q
ax x x P
PHÒNG GIÁO DỤC ĐỒNG XUÂN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2006 – 2007
Mơn : Tốn 9
Thời gian làm : 120 phút ( Không kể thời gian phát đề )
Điểm thi Chữ ký giám thi Số Phách
Ghi số Ghi chữ Giám thi 1 Giám thị 2
( Thí sinh làm đề thi )
A Phần trắc nghiệm: (6 điểm)Hãy khoanh tròn chữ đứng đầu câu trả lới nhất
Câu 1 : Để 22ab số phương ab bằng:
A 49 B 16 C 25 D 09
Câu 2 : Ước chung nguyên tố n + 2n – : ( n N)
A vaø 11 B vaø C vaø D.
Câu 3: 4 34 5
x x
M đạt giá trị nhỏ khi :
A x21 B
4
x C
4
x D Đáp án khác Câu 4 : Giá trị nhỏ biểu thức 42 13
x x
A laø:
A -1 B C D -4
Câu : Cho hai đa thức
P(x) Q(x) có nghiệm chung a baèng:
A -1 B C -2 D
Câu 6: Giá trị biểu thức 3182 33125 3182 33125
A laø
A B C 6 D 7
Câu 7: Biểu thức 10n + 18 n – 28, nN chia hết cho:
A 10 B 18 C 28 D 27
Câu 8 : Chữ số tận 2999 là :
A 38 B 76 C 88 D 24
Câu : Phân số sau tối giaûn n
A 2 85
n n
B 59
n
n
C 142 45
n n
D 22 3 2
n n
n
Câu 10: Cho hai đa giác n - cạnh m – cạnh có tỉ số hai góc chúng
7
Số cạnh hai đa giác :
A n = 6; m = 15 B n = 7; m = 30 C n = 6; m = 30 D n = 7; m = 15
(2)a Tính tổng : ( 1). .( 1)
1
n n n
S ( nN)
b Chứng minh rằng: 41
1
1
3
3 n
Câu 2: Số đo diện tích hình vng số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống Tìm số đo hình vng
Câu 3:
a Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 4x2 – 29x + 24
b Cho xyz = Chứng minh rằng: 1
1
1
1
x xy y yz z zx
Caâu 4:
a Cho hai số x, y thoả : xy + x + y = -1 x2y + xy2 = -12
Tính giá trị biểu thức: M = x3 + y3
b Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < ( ab + bc + ca )
Câu 5: Cho hình vng ABCD có AB = a cố định M điểm di động đường chéo AC Kẻ ME vng góc với AB MF vng góc với BC Xác định vị trí M AC cho diện tích tam giác DEF nhỏ Tính giá trị nhỏ
Câu 6: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH Gọi I, J, K tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AHB, AHC
1 Chứng minh AI vng góc JK
2 Chứng minh tứ giác BJKC nội tiếp đường trịn
BÀI LÀM :
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
(3)……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
(4)……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
……… ……… ……… ……… ……… …………
(5)……… ……… ……… ……… ……… ………… ……… ……… ……… ……… ……… ………… ……… ……… ……… ……… ……… ………… ……… ……… ……
-HẾT -PHỊNG GIÁO DỤC ĐỒNG XN
THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2006 – 2007
Mơn : Tốn 9 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
-A Phần trắc nghiệm: Từ câu đến câu câu 0,5 điểm
Caâu : D Caâu : D Caâu 3: C Caâu : A Caâu : C Caâu : B Caâu : D Caâu : C Caâu : C,D (1 điểm)
Câu 10 : C (1 điểm) B Phần tự luận :
Caâu 1: a (1điểm)
) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 2 2 1 2 1 n n n n n n n n S n n S n n n n S b (1điểm)
Đặt: 3
1 n
(6)Ta coù:
) ( ) (
1
4
3
n n n n
Do đó: 12 2( ( 1)1)2 14 ( ( 1)1)2 41
n n
n n n
n n n S
S
Vì n(n+1) – < n(n+1) Câu 2: (2,5 điểm)
Số đo diện tích hình vng phải tìm có dạng aabb, với a,b N 1a9, 0b 9
aabb = k2, k N, 32 k 100 ( k cạnh hình vuông ) 11(100a + b) = k2
Do đó: k2
11 k11 k = 11t
100a + b = 11 t2 với t (1) a+b 11
Với a, b N, 1a9, 0b9, ta có:1 a+b 18
Từ (2) (3) a+b = 11 9a +1 = t2
t2 – = 9a (4)
Suy : t2 – (t+1)(t-1) 3
Vì (t+1) – (t-1) =
Nên t+1 t – không đồng thời chia hết cho a Nếu t+1 (4) t+1 , mà t9
t + =
t = a = b =
Suy : aabb = 7744
Nếu t – 1 (4) t – ( Lọai) Câu :
a (1điểm)
Ta có: x3 + x2 – 29x + 24 = x3 - x2 +5x2 - 5x - 24x + 24
= x2(x - ) + 5x(x - 1) - 24(x - 1)
= ( x – 1)( x2 + 5x – 24)
= (x -1 )( x + )( x – 3) b (1,5 điểm)
Ta có : 1x1xy
x xy
x xyz
xy x
x yz
y x
x yz
y
1
1
xy x
xy xyzx
xyz xy
xy zx
z xy
xy zx
z
(1 )
1
Do đó:
1
1 1
1
1
1
x xy
xy xy
x x xy
x zx z yz y xy x
(7)
(a-b) ( ) ( )
2 ) a ( ) c ( ) b (a bc -ac -ab -c b a 2 2 2 2 2 2 a c c b ca c bc b ab ) ( 2 2 2 ca bc ab c b a bc ca c b a c ab cb b a c b ac ab a c b a Ta coù: 12 ) ( 1 ) ( y x xy y x xy
Đặt xy = a b = x + y a+ b = -1 ; ab = -12 a = -b – b(-b -1) = -12 b2 + b -12 =
3 a b a b *Với 4 3 4 3 yx xy b a
P = x3 + y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) = (-4)3 – 3.3(-4) = -28
*Với 3 4 3 4 yx xy b a
P = x3 + y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) = 33 – 3(-4).3 = 27 +36 = 63
b (1,5 điểm) Xét :
Nên : a2 + b2+ c2 ab +bc + ca
Ta cần chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Theo tính chất ba cạnh tam giác ta có:
Câu 5: (2 điểm)
Đặt AE = x, CF = y MF = CF = BE = y x + y = a
DEF = SABCD – SDAE – SDCF - SBEF A B
(8)C D
2
2
2
xy a
Ta có: SDEF nhỏ xy lờn
xy
4 ) (
2
2 a
y x
max (xy) =
4
2
a x = y =
2
a
Lúc đó, điểm M trung điểm AC: SDEF =
8 2
2
2 a a
a
Câu : (2 điểm) A
1 Xét AEK, góc ngồi AEB = KAC + ACB
Ta coù : BAE = BAH + KAH Maø : KAC = KAH ; ACB = BAH
AEB = BAE
Tam giác ABE cân B có BJ tia phân giác BJ vng góc với AE
Chứng minh tương tự, ta có:
CI vng góc với AD B D H E C Xét Tam giác ẠK ta có I trọng AI vng góc JK
2, Cộng góc, ta suy : IKJ = CBI CBJ + JKC = 1800 Tứ giác BJKC nội tiếp