Xuất phát từ yêu cầu của Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học môn toán ở trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hòa, và nhóm toán trường chúng tôi đã bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “ T[r]
(1)A ĐẶT VẤN ĐỀ:
Xuất phát từ yêu cầu Bộ GD- ĐT, từ thực tiễn dạy học mơn tốn trường THCS Hiệu trưởng trường THCS Đức Hịa, nhóm tốn trường chúng tơi bàn bạc, thảo luận biên soạn chủ đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số”, nhằm dạy cho đối tượng học sinh giỏi dạy tự chọn phục vụ cho việc giảng dạy học tập ngày Đây mảng kiến thức khó tốn học phổ thông sở mà em thường gặp số sách giáo khoa Khi gặp tập dạng này, học sinh thường lúng túng bắt đầu phải giải nào? Với mong muốn giúp em làm quen nắm cách giải tốn dạng này, tơi biên soạn thành chun đề để em tham khảo có kĩ định giải toán dạng
B CƠ SỞ KHOA HỌC:
- Các kiến thức thường sử dụng là:
+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số khơng âm a, b; ta có bất đẳng thức:
2
a b ab
;
Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức:
2 2 2 2 2
ac bd a b c d
(BĐT: Bunhiacopxki);
Dấu “=” xảy
a b c d .
+ a b a b ; Dấu “=” xảy ab
+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
Nếu
2 ( )
y a f x y = a f(x) = 0.
Nếu
2 ( )
y a f x max y = a f(x) = 0.
(2)C NỘI DUNG: CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI
Dạng 1 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC
Bài toán 1:Tìm GTNN biểu thức:
a) A4x24x11
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) Cx2 2x y 2 4y7
Giải:
a)
2
2
4 11 4 10 10 10
A x x x x x
Min A = 10
1
x
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36
Min B = -36 x = x = -5.
c) Cx2 2x y 2 4y7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2
Min C = x = 1; y = 2.
Bài tốn 2:Tìm GTLN biểu thức:
a) A = – 8x – x2
b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Giải:
a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21
Max A = 21 x = -4
b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y
= -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
(3) Max B = x = 1,
1
y
Bài tốn 3:Tìm GTNN của:
a) M x 1 x x 3 x
b)
2
2 2
N x x
Giải:
a) M x 1 x x 3 x
Ta có: x1 x x 14 x x x 3
Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) hay 1 x
2 3
x x x x x x
Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) hay 2 x
Vậy Min M = + = 2 x 3.
b)
2
2 2 2
N x x x x
Đặt t2x1 t
Do N = t2 – 3t + =
2
1 ( )
4
t
4
N
Dấu “=” xảy
3
0
2
t t
Do
1
N
3
2
3 2 1
3
2
2
2
x x
t x
x x
Vậy
1
4
N x
hay
1
x
Bài tốn 4:Cho x + y = 1.Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3.
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2
2 2
2
( )
2 2 2 2
x y x y x y
xy x y
2
( )
2
M x y
(4)Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do
2 2
x y
2 1
2
x y x y
Ta có:
2
( )
2
M x y
2 1 1
( )
2 2
x y M
Do
M
dấu “=” xảy
1
x y
Vậy GTNN
1
4
M x y
Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0.
Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2.
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = 0
x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2
(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + ≤ 0
2
2
3
2
2 4
3 5
2 2
5
2 2
3 5
2
t t
t t
t
t
Vì t = x2 + y2 nên :
GTLN x2 + y2 =
3
(5)GTNN x2 + y2 =
3
Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì 0a b c, , 1)
Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P =
Theo giả thiết ta có: – a 0; – b 0; – c 0;
(1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc P = a + b + c – ab – bc – ac 1 abc1
Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý 0;1 Vậy GTLN P =
Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN GTNN x + y
Giải:
Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 (x + y)2
2(x2 + y2) (x + y)2
Mà x2 + y2 = (x + y)2
2 2
x y x y
- Xét x y
Dấu “=” xảy
2 2
x y
x y x y
- Xét x y
Dấu “=” xảy
2 2
x y
x y x y
Vậy x + y đạt GTNN
2
x y
(6)Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27.
Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx
Giải:
Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx
(x + y + z)2= x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) 3(x2 + y2 + z2) 81
x + y + z (1)
Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2)
Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36
Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2
2 ( 1)2 1 1
2 2
A B A B B
P A
Vì B 27
1
B
-14 P -14
Vậy P = -14 2
27
x y z
x y z
Hay x 13;y 13;z1.
Bài toán 9:
Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN ấy.
Giải:
Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + 1
Đặt t = xy thì:
x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t
x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100
Do đó: P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101
= (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45
45
P
và dấu “=” xảy x + y = 10 xy = 2.
Vậy GTNN P = 45 x + y = 10 xy = 2.
(7)Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2.
Giải:
Ta có: x + y = y = – x
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + – 4x + x2
= 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4
= 2(x – 1)2 + 2
Vậy GTNN A x = y =
Dạng 2 : CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC
Bài tốn 1:
Tìm GTLN GTNN của:
1
x y
x
Giải:
* Cách 1:
2
2
4 ax
1
x x a
y a
x x
Ta cần tìm a để ax24x 3 alà bình phương nhị thức.
Ta phải có:
1 ' (3 )
4
a
a a
a
- Với a = -1 ta có:
2
2
4 x 4 ( 2)
1
1 1
x x x
y
x x x
1
y
Dấu “=” xảy x = -2.
Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có:
2
2
4 -4x (2 1)
4 4
1 1
x x x
y
x x x
(8)Vậy GTLN y = x = 2.
* Cách 2:
Vì x2 + 0 nên:
2
4
yx
1
x
y x y
x
(1)
y giá trị hàm số (1) có nghiệm
- Nếu y = (1)
3
x
- Nếu y 0 (1) có nghiệm ' y y( 3) 0 (y1)(y 4) 0
1 y y
1 y y
1 y
Vậy GTNN y = -1 x = -2
Vậy GTLN y = x = 2.
Bài toán 2: Tìm GTLN GTNN của: 2 1 x x A x x . Giải:
Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: 2 1 x x a x x
(1)
Do x2 + x + = x2 + 2.
1 2.x +
2
1 3
0
4 x
Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2)
Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x =
Trường hợp 2: Nếu a để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ 0,
tức là:
2
( 1) 4( 1)( 1) ( 2)( 2)
(3 1)( 3) 3( 1)
3
a a a a a a a
a a a a
Với a
a = nghiệm (2)
( 1)
2( 1) 2(1 )
(9)Với
a
x = Với a = x = -1
Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có:
GTNN
A
x = GTLN A = x = -1
Bài toán 3:
a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức:
2
( 1)( )
A a b a b
a b
b) Cho m, n số nguyên thỏa
1 1
2m n 3 Tìm GTLN B = mn.
Giải:
a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2
2 2 2 2 2
a b a b ab (vì ab = 1)
2 4
( 1)( ) 2( 1) ( ) ( )
A a b a b a b a b a b
a b a b a b
Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b
a b .
Ta có: (a + b) +
4
2 (a b)
a b a b
Mặt khác: a b 2 ab2
Suy ra:
4
2 ( ) ( )
A a b a b
a b
Với a = b = A =
Vậy GTNN A a = b =
b) Vì
1 1
2m n 3 nên hai số m, n phải có số dương Nếu có hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương
Ta có:
1 1
(10)Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra:
+
2
3 12
m m n n
B = mn = 2.12 = 24
+
2 3
3
m m n n
B = mn = 3.6 = 18
+
2
3
m m n n
B = mn = 6.4 = 24
Vậy GTLN B = 24
2 12 m n
hay
6 m n
Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: 2 x y A x y . Giải:
Ta viết:
2 2 2
2 ( )
x y x xy y xy x y xy
A
x y x y x y
Do x > y xy = nên:
2
( ) 2
2
x y xy x y x y
A x y
x y x y x y
Vì x > y x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số khơng âm, ta có:
2
2
2
x y x y
A
x y
Dấu “=” xảy
2
( ) ( )
2
x y
x y x y
x y
(Do x – y > 0)
Từ đó:
2
2
2
A
Vậy GTNN A
2 x y xy 2 x y
hay
1 2 x y
Thỏa điều kiện xy = 1
Bài toán 5: Tìm GTLN hàm số: 1 y x x . Giải:
Ta viết:
2
1
1
(11)Vì
2
1 3
2 4
x
Do ta có:
4
y
Dấu “=” xảy
1
x
Vậy: GTLN y
x
Bài tốn 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức:
1 ( )
4
f t t t
Giải:
Ta viết:
2 2
1 (2 1) (2 1)
( )
4 4
t t t t
f t t
t t t t
Vì t > nên ta có: f t( ) 1
Dấu “=” xảy
1
2
t t
Vậy f(t) đạt GTNN
t
Bài tốn 7: Tìm GTNN biểu thức:
2 ( ) t g t t Giải:
Ta viết:
2
2
1
( )
1 t g t t t
g(t) đạt GTNN biểu thức 2
1
t đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN
Ta có: t2 + (t2 + 1) = t = min g(t) = – = -1
Vậy GTNN g(x) -1 t =
Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN
của biểu thức: 3
1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
.
Giải:
Đặt
1 1
; ;
a b c abc
x y z xyz
Do đó: 1
( ) ( )
a b x y a b xy x y c a b
xy
(12)z + x = b(c + a)
3 3
2 2
3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
1 1
( ) ( ) ( )
E
x y z y z x z x y
a b c
a b c
a b c b c a c a b b c c a a b
Ta có:
3
a b c
b c c a a b (1)
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
2
; ;
2 2
x y z a b c
y z x z x y x y z
a b c
Khi đó, 2
a b c y z x z x y x y z
VT
b c c a a b x y z
1 1 3
1 1
2 2 2
y x z x z y
x y x z y z
Nhân hai vế (1) với a + b + c > Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
2
a a b c b a b c c a b c
a b c
b c c a a b
2 2 33 3 3
2 2
a b c a b c abc
E b c c a a b
GTNN E
3
2 a = b = c = 1.
Bài toán 9: Cho x, y số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = (*).
Tìm GTLN, GTNN biểu thức:
2
2
x y a
x y
.
Giải:
Từ
2
2
x y a
x y
a(2x+y+z) = 2x+3y
2ax + ay + 2a – 2x +3y = 0 2(a – 1)x + (a – 3)y = -2a (1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số (2x; y) (a – 1; a – 3) Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2]
(13)Do ta có: 4a2 (a1)2(a 3)2 a2 2a 1 a2 6a9
2
2a 8a 10 a 4a
5 ( 1)( 5)
1
a
a a
a
(Vì a + > a – 1) 1 a
* Thay a = vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1
Thay y = vào (*) ta có: x = (x; y) = (0;1)
* Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5)
12 10
4
x
x y x y y
Thay vào (*) ta được:
2
2
4
4
x
x
2
100 60
10
x x x y
( ; ) 3;
10
x y
Vậy GTLN a x = 0; y =
GTNN a -5
3
;
10
x y
Bài toán 10:
Giả sử x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: x + y = Hãy tìm gái trị nhỏ cảu biểu thức:
M =
2
1
x y
x y
Giải:
Ta có: M =
2
1
x y
x y
=
2
2
1
2
x y
x y
= + x2 + y2 +
2
2
2 2
1
4
x y
x y
x y x y
Vì x, y > nên ta viết:
x y2 0 x y2 xy
Mà x + y = nên 2
1
2 xy 16
x y xy
(14)Dấu “=” xảy
1
x y
Ngoài ta có:
2 2 2 2
(x y ) 0 x y 2xy 2(x y ) 2 xy x y
2 2 2
2(x y ) (x y) 2(x y )
(vì x + y = 1)
2 2
x y
(2)
Dấu “=” xảy
1
x y
Từ (1) (2) cho ta: 2
2
1 25
4 ( )(1 ) (1 16)
2
M x y
x y
Do đó:
25
M
Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa
khi
1
x y
Vậy GTNN
25
M
1
x y
* Dạng 3: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC
Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y x 2 4 x.
Giải:
* Cách 1:
Điều kiện:
2
2 4(*)
4
x
x x
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)
Dấu “=” xảy
a b c d .
Chọn a x 2;c1;b 4 x d; 1 với 2 x 4
(15)
2 2
2 2
2
2
2 4 1
2
4
y x x x x
y x x
y y
Vì y > nên ta có: 0y2
Dấu “=” xảy x 2 4 x x 4 x x3 (Thỏa mãn (*))
Vậy GTLN y x =
* Cách 2:
Ta có: y x 2 4 x
Điều kiện:
2
2
4
x
x x
Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN.
Ta có: y2 x 4 x2 (x 2)(4 x) y2 2 (x 2)(4 x) Do
2
2
4
x x
x
nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm
cho ta: (x 2)(4 x) ( x 2) (4 x) 2 Do y2 2
Dấu “=” xảy x 4 x x3 (thỏa mãn điều kiện). Vậy GTLN hàm số y x =
Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y3 x 5 x(1 x 5).
Giải:
a) GTLN:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) (( x1; 5 x) ta có:
2 2
2 (3. 1 5 )2 (32 4 ).2 1 5 100
y x x x x
<=> y2 100
=> y 10
Dấu “=” xảy <=
1
3
x x
hay
1 16
x x
(16)=> x = 61
25 (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN y là10 x =
61 25 * b) Gía trị nhỏ nhất:
Ta có: y = x1 5 x 3 x 5 x 5 x
= 3 x1 5 x 5 x
Đặt: A = x1 5 x t2 = + x1 5 x 4
=> A2 dấu “=” xảy x = x = Vậy y 3 + =
Dấu “=” xảy x =
Do GTNN y x =
Bài toán 3: GTNN y x =
Tìm GTNN biểu thức: M =
2 2
1994 ( 1995)
x x
Giải:
M =
2 2
1994 ( 1995)
x x
= x1994 x1995 Áp dụng bất đẳng thức: a b a b ta có: M = x1994 x1995 x 1994 1995x => M x 1994 1995 x 1
Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x)
<=> 1994 x 1995
Vậy GTNN M = 1994 x 1995
Bài tốn 4:
Tìm GTNN B = 3a + 1 a2 với -1 a
Giải:
B = 3a +
2
2 16
1 5
5 25
a a a
(17)
2
2
2
3 16
1
3 16 25
5 5
5 25 2
a a
a a
=> B
2
9 25 41 25
5
2 25
a a
=> Do B5 dấu “=” xảy khi.
2 16
1 25
a
a
<=> a =
3
Vậy GTNN B = <=> a =
Bài tốn 5:
Tìm GTNN biểu thức:
A =
3
2 2x x 7
Giải:
Điều kiện: 2x x 2 7 x2 2x1 8 <=> -(x-1)2 + 80
2
1
x
2 x 2
1 2 x 2
Với điều kiện ta viết:
2
2
2x x 7 x1 8 2x x 7 2
=> +
2
2x x 7 2 2 1
Do đó:
2
1
2 2
2 2x x
Vậy A
2
2
dấu “=” xảy <=> x -1 =
<=> x = (thỏa mãn điều kiện)
Vậy GTNN A =
2 1
2 x
(18)Tìm GTNN biểu thức: A =
1
x x
Giải:
Điều kiện: – x2 > <=> x2 < <=> - < x < 1
=> A > => GTNN A A2 đạt GTNN.
Ta có: A2 =
2 2
2 2
2
5 25 30
16 16
1
1
x x x x
x x
x
Vậy GTNN A =
x
Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y 1
Tìm GTNN biểu thức: A = x 1 x2
Giải:
Điều kiện: – x2 0 1 x 1
Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 0 – x2 0
Ta có: x2 + – x2
2 2
2 x x x x
<=>
1
2
A A
Vậy GTLN A =
2 x = 2
hay x = 2
Bài toán 8:
Tìm GTLN biểu thức: y = x1996 1998 x
Giải:
Biểu thức có nghĩa 1996 x 1998
Vì y 0với x thỏa mãn điều kiện 1996 x 1998
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
(19)Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x <=> x = 1997
Do y2 4 y2
Vậy GTLN y x = 1997
Bài toán 9:
Cho 0 x 1 Tìm GTLN biểu thức y = x + 1 x
Giải:
Ta có: y x 1 x = x +
1
2 x
Vì 0 x 1 nên – x 0
Áp dụng bất đẳng thức Cô si số:
2 (1 – x) cho ta:
1
2 1
2 2
y x x x x
Dấu “=” xảy <=>
1
1
2 xx2 Vậy GTLN y
3
2 x =
Bài toán 10:
Cho M = a 3 a1 a15 8 a
Tìm TGNN M
Giải:
M = a 3 a1 a15 8 a1
= a 1 a1 4 a 1 a1 16
=
2
1
a a
Điều kiện để M xác định a – 0 a1
Ta có: M a1 2 a1 4 Đặt x = a1 điều kiện x 0
(20)1) Khi x 2 x x 2 2 x Và x x 4 4 x
=> M = – x + – x = – 2x 6 2.2 2
Vậy x < M 2
2) Khi x4 x x ¿ x-4 ¿ =x-4 => M = x 2 x 2 x 6 2
Vậy x > M 2
3) Khi < x < x x x 4 x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: 2 a1 4
<=> 4 a 16
<=> 5 a 17
Cả ba trường hợp cho ta kết luận:
GTNN M = tương ứng với: 5 a 17
D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x 1
hoặc x 3.
Gợi ý:
- Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = <=> x =
Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – 7 Xảy đẳng thức x =
3 giá trị không thỏa mãn x 1 , khơng thỏa mãn x 3 Do khơng thể kết
luận GTNN A –
Bài 2:
Gọi x1; x2 nghiệm phương trình:
x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = 0
(21)Gợi ý:
= 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức
Vi-ét, ta có:
2 2 2
1 ( 2) 2 (2 1) 2( 2)
x x x x x x m m m m
=
2
3 11 11
2 4
m
=> Min ( 2
11
x x
với m =
Bài toán 3:
Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2
Gợi ý:
Rút x theo y vào E
Bài tốn 4:
Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2
Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = 4
Gợi ý:
Từ x2 + y2 – xy = <=> 2x2 + 2y2 – 2xy = 8
<=> A + (x – y)2 = 8
<=> Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy
<=> 3A = + (x + y)2 8
=> A
A =
3 x = - y
Bài toán 5:
Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25
Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y
(22)Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 (x24 )y2 (12 + 12) = 50
<=> x2y 50 50M 50 Vậy Max M = 50 x =
5
;
2 y2 Min M = -5 2 x =
-5
2 ; y = - 2
Bài tóan 6:
Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức:
A = 2
x y
x y x y
Gợi ý:
Từ (x2 – y)2 0 x4y2 2x y2
=> 2
2
x x
x y x y
Tương tự: 2
y y x
=> A 1 => Max A =
2 1
1
x y
y x x y
xy
Bài tóan 7:
Tìm GTNN biểu thức:
A = x2 1 x1 x2 1 x1
Gợi ý:
B = x 1 1 x1 Min B = - 1 x
Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức:
B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước.
(23)Biểu diễn B =
2
2
2 2
3
a b c a b c
x a b c
=> GTNN B = (a2 + b2 + c2) -
2
3
a b c
Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x +3y + 45
Gợi ý:
Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + 4
Vậy Min P = y = ; x =
Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3
Gợi ý:
Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2
=> GTLN E = 10 y = ; x =
Bài toán 11: Tìm GTLN biểu thức: P = 2x4y 5z Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169
Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Max P = 65
x
2=
y
4=
z
√5⇔
x=26
5 52
5 ¿y=❑
❑
¿z=13√5
5
{}{|}{}
Bài toán 12:
(24)a) A = 1 x x
b) B = 3x
c) C = 2 1 x x Gợi ý:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta:
A = (x + 2) +
4
x
b) B =
4 3x
(vì
1
) 3x 22 c) C =
2 2 1 x x
Min C = - x =
Bài toán 13:
Tìm GTNN biểu thức A = 2 2000 ;( 0) x x x x Gợi ý: A =
2 2
2
2000 2000 2000 ( 2000) 1999
2000 2000
x x x x
x x = 2
( 2000) 1999 1999 2000 2000 2000
x x
Vậy Min A = 1999
2000 Khi x = 2000
Bài tốn 14:
Tìm GTNN biểu thức:
P =
4
2
4 16 56 80 356
2
x x x x
x x
Gợi ý:
Biểu diễn P =
2 256
( 5) 64
2
x x
x x
(áp dụng BĐT Côsi)
=> Min P = 64 x = x = -3
Bài tốn 15:
(25)Tìm GTNN A =
2 4 4
x x
x
với x >
B =
1
x
x với x >
C = 2 x x x x D = (1 x)
x
với x > 0
E =
5
x xx
với < x <
F = 2 x x
với x >
Gợi ý:
A = x+
4
4 x
x x (vì x > 0)
=> Min A = x =
B =
2 1 1 1
2 ( 1) 2
1 x x x x
(vì x > 1)
=> Min B = <=> x =
C =
2
2
( 1)
2
1
x x x x
x x x x
D = (1 + x)
1
1 x.2
x x
(vì x > 0)
E =
5
5 5
5 5
1 1
x x
x x x x x
x x x x x x
F =
1 2 1
2
2 2 2
x x x
x x x
=
2 2 => Min F =
2 x = 3.
Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: P =
2
2 8x 6xy
x y
(26)P = -
2
2 ( )
1
y x x y
P = -
2
2 ( )
9
x y x y
Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN biểu thức S =
1
x y
Gợi ý: S = 1x+ y =
10 (10 )
x y
xy x x
S có GTNN <=> x(10-x) có GTLN <=> x =
=> GTNN S =
5 x = y = 5.
Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: E = x2 x x2 x1
Gợi ý:
Ta có E > với x
Xét E2 = (x2 + + x4x21) 4
=> Min E = x =
Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a3 ; a + b 5
Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2
Gợi ý:
a+ b 5 2a2b103a2b13 (vì a3) => 132
2 2 2
3a 2b 13 a b
=> Min S = 13
Bài 20:
(27)Tìm m x1 x2 đạt GTNN
Gợi ý:
' (2m 1)2 1 0
phương trình ln có nghiệm phân biệt x
1; x2
Theo định lý vi-ét ta có:
1 2
2
x x m
x x m m
Do
2
1 4
x x m mR
GTNN x1 x2 m =
Bài 21:
Tìm giá trị nhỏ của:
y = x1x x1998
Gợi ý:
y = 1x1 x1998 x 2 x1997+ …+ x 998 x 999 Ta có: x1 x1998 nhỏ 1997 x 1;1998
x x1997 nhỏ 1995 x 2;1997 x 998 x1999 nhỏ x 999;1000 Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997
Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 x 1000
Bài 22:
Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2
Với x, y, z, t số ngun khơng âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng:
2 2
2 2
21
3 101
x y t
x y z
Gợi ý:
Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21
x2 + 3y2 + 4z2 = 101
(28)=> 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122
=> 2M = 122 + t2
Do 2M 122M 61 Vậy Min M = 61 t =
Từ (1) => x > y 0 x y x y 0
Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 101y2 33 0 y
Ta chọn x = ; y = => z =
Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t =
Bài 23:
Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1)
Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN
b) Đạt gía trị lớn
Gợi ý:
Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2)
Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = 0
Để tồn a '
0
Giải điều kiện m4 - m2 0 <=> m(m – 1) 0 0 m1
Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2
Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t =
2 2
1
x x
x
Gợi ý: Vì x2 + > với x
Đặt a =
2 2
1
x x
x
(29)a giá trị hàm số <=> (1) có nghiệm
- Nếu a = (1) <=> x =
- Nếu a 1 (1) có nghiệm <=> '
Min A =
2
với x =
1 3+
; ax A =
2 M
với x =
2
Bài 25:
Tìm GTNN, GTLN A =
2
2
x xy y x xy y
Gợi ý: Viết A dạng sau với y 0
(
2
2
2
1
1 1
x x
y y a a
A
a a
x x
y y
(đặt
x a y )
Giải tương tự 24 được:
3 3 A Còn với y = A =
Do đó: Min A =
3 với x = y ; max A = với x = - y
Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab
Gợi ý:
Với Q dạng Q = (a + b)
3
a b ab ab
= – 2ab = – 2a (1 – a)
=> Q = 2a2 – 2a +
1
Do đó: Min Q =
2 a = b = Kết luận :
(30)Trong q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tài liệu hoàn thiện
Đức Hòa, ngày 20 tháng 10 năm 2008
NGƯỜI VIẾT