Đang tải... (xem toàn văn)
Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số .Tập hợp số hữu tỉ và tập hợp số vô tỉ và ta đã biết được rằng : Nếu x là số hữu tỉ thì x không phải là số vô tỉ[r]
(1)XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VƠ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN
Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng: 1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ số hữu tỉ
Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số Tập hợp số hữu tỉ tập hợp số vô tỉ ta biết :Nếu x số hữu tỉ x số vô tỉ và ngược lại, x số vơ tỉ x khơng phải số hữu tỉ.Từ ta có nhận xét sau
2.tổng số hữu tỉ số vơ tỉ số vơ tỉ 3.tích số hữu tỉ số vô tỉ số vô tỉ.
Thật vậy, x Q y R\Q mà x+y Q x+y+(-x) =y Q Vơ lí
Cũng vậy, x Q y R\Q mà xy Q xy(x -1) =y Q Vơ lí Áp dụng
nhận xét ta giải số tốn có liên quan, sau ví dụ minh họa Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ cho nghiệm bằng
√3−√5
√3+√5
Giải
Gỉả sử x2+px+q (p,q số hữu tỉ )là phương trình phải tìm
Do số √3−√5 √3+√5 =
√3−√5¿2 ¿
√5¿2
√3¿2−¿ ¿ ¿ ¿
= -4+ √15 nghiệm phương trình nên
(-4+ √15¿2 +p(-4+ √15 ) +q = 0, tức (31-4p+q)+(p-8) √15 =0 Ta thấy:vì p,q
số hữu tỉ √15 số vô tỉ nên với nhận xét phương trình cuối tồn đồng thời có
31-4p+q=0 p-8=0 Suy p=8,q=1.Vậy phương trình bậc hai phải tìm là: x2 +8x -1 = 0 Bài 2: tìm nghiệm hữu tỉ phương trỉnh: √y√3 - √z√3 = √2√3−3 .
Giải
Giả sử y z hai nghiệm hữu tỉ phương trình trên.Sau bình phương hai vế ta được: y √3 +z √3 -2 √3 yz =2 √3 -3 hay (y+z-2) √3 =2 √3 yz -3 (1) Từ (1) ta thấy (x+z-2)2.3 = 9+12yz -12
(2)thưc: y+z=2 yz= 34 hay chúng nghịêm phương trình x2 -2x +
4 =0 Do y>z
nên phương trình có nghiệm (y=3
2:z=
2) Đó nghiệm hữu tỉ
Bài Tìm tất số nguyên dương x,y,z thỏa mãn phương trình: √x+2√3 = √y + √z
Gỉải
Giả sử x,y,z nghiệm nguyên dương phương trình cho:
√x+2√3 = √y + √z Bình phương hai vế ta x+2 ❑
√3 = y+z+2 √yz ⇔ x-(y+z) +2 ❑
√3 = √yz tiếp tục bình phương hai vế ta
[x-(y+z) ]2 + 4
√3 [x-(y+z)] +12=4yz (1)
từ (1) suy x=y+z x ≠ y+z √3 = −[x −(y+z)]
2
−12+4 yz
4[x −(y+z)] số hữu tỉ,vơ lí
Vậy x=y+z ⇒ yz=3 ⇒ y=3,z=1 y=1 ,z=3 *Với y = 3, z = ta x =
*Với y=1, z = ta x=4
Thử lại ta (4,3,1) (4,1,3) nghiệm
Bài Chứng minh u,v Q mà s = u
√3 + v ¿ √9∈
¿
Q u = v = 0 Giải
Nếu v = ta suy u =s =0 (vì
√3 số vơ tỉ) Nếu v ≠ ta có
√9 = p + q
√3 (1) ( p,q số hữu tỉ) Nhân hai vế (1) cho
√3 ta được: = p
√3 + q
√9 (2) thay
(3)= p √3 + q(p + q √3 ) = p √3 + pq + q √3 = pq +( p+q )
3 √3
Từ suy :3= pq +( p+q2)
√3 Để đẳng thức sảy ta phải có
Pq = và P+q2 =0 p = -q2 nên = -q3 ⇔ q3 = -3 hay
q = -
√3 Điều khơng xảy (vì
√3 số vô tỉ mà q số hữu tỉ) tức giả xử v ≠ không xảy đươc Vậy v = u = 0.
Bài 5: Tìm đa thức f(x) với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ mà f(
√3+√39 ) = +
√3 giải
Xét f(x) = ax +b với a,b số hữu tỉ.Ta có f(
√3+√39 ) = +
√3 ⇔ a(
√3+√39 ) +b =3 +
√3 ⇔ (a-1) √3 +a
3
√9 = 3-b Q.
Theo bài 4 ta có : a-1=0 vơ nghiệm Vậy khơng có đa thức bậc thỏa a=0 mãn
Xét f(x) = ax2+bx +c ta có f(
√3+√3 ) = 3+ √33
⇔ a(
√3+√39 )2+b( √33+√39 )+c=3+ √33
⇔ (a+b)
√9 + (3a+b-1)
√3 = 3-6a-c Đến áp dụng kết ta có:
a+b=0 a=
2
3a+b-1=0 b= - 12 Vậy f(x)= 12 x2 -
2 x đa thức
phải tìm
3-6a-c=0 c=0
(4)Giải
Giả sử f(x) = (x2-3).h(x) + r(x) Vì x2 -3 bậc hai nên r(x) = ax + b Ta phải chứng minh
r(x)=0
Thật ,ta có f( √3 ) = ((√3)2−3) h( √3 ) + a √3 + b ⇒ = a √3 + b (a,b Q)
Do √3 số vô tỉ từ a √3 + b = ta có a=b=0 ⇒ r(x) =0 vây f(x) chia hết cho x2-3
Bài Hãy biểu thị
√2+√5 dạng a+b √5 với a,b số hữu tỉ Giải
Giả sử
√2+√5 = a+b √5 với a,b Q ,b≠0
Lập phương hai vế ta được:
2+ √5 =a3 + 3a2b √5 +15ab2 +5b3 √5 ⇔ (1-3a2b-5b3) √5 = a3+15ab2-2 Biểu thức c=(1-3a2b-5b3) số hữu tỉ, c≠0 c
√5 số vô tỉ, mâu thuẫn với vế phải số hữu tỉ
Vậy : 3a2b+5b3=1 a3+15ab2 =2
Suy 6a2b+10b3 = a3 + 15ab2 ⇔ a3 - 6a2b + 15ab2 -10b3 =0 Do b 0 nên chia hai vế cho b3 ta được:
(ab)
3
- 6 (a
b)
2
+ 15 (a
b) -10 =0
⇔ a
b =1 ⇔ a=b Thay vào hệ ta a = b =
1
Vậy
√2+√5 = 1+√5
2
(5)1.Cho a,b,c số hữu tỉ cho a + b √2 + c √3 = Chứng minh a = b = c = 0
2 Cho a,b,c số hữu tỉ cho a + b
√2 + c √34 = 0
chứng minh a = b = c = 0.
3 Chứng minh a,b,c √a+√b+√c số hữu tỉ thì
√a ,√b ,√c số hữu tỉ
4 Cho a,b hai số hữu tỉ Xác định đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + Biết
rằng đa thức có nghiệm + √3
5.Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ cho nghiệm bằng
2−√3 2+√3
6 Chứng minh đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận √5 làm nghiệm chia hết cho x2-5
7 Chứng minh biểu diễn
√2 dạng p+q √r trong
p , q ,r Q, r >0
8.Cho a b số hữu tỉ, c d số hữu tỉ dương,khơng phải bình phương số hữu tỉ khác.chứng minh :
a + √c = b + √d a=b c=d TRẦN THANH HƯNG