Phương pháp giải bài toán cực trị hình học - Toán cấp 2

C là tiếp điểm). c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.. Tương tự ta chứng minh được MKP  MPI. Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ [r]

BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Bài tập Cho nửa đường trịn đường kính BC = 2R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH BC Nửa đường trịn đường kính BH, CH có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự D E

a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn

c) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác DEO1O2 đạt giá trị lớn Tính giá trị Hướng dẫn giải:

a) Ta có BAC = 900 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) Tương tự có BDHCEH = 900

Xét tứ giác ADHE có A ADH AEH  = 900 => ADHE hình chữ nhật Từ DE = AH mà AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) hay AH2 = 10 40 = 202 (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 b) Ta có:BAH = C (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAHADE (1)

(Vì ADHE hình chữ nhật) => CADE C BDE = 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường trịn

c) Vì O1D = O1B =>O1BD cân O1 => BBDO1 (2) Từ (1), (2) =>ADEBDO1 B BAH = 900 => O1D //O2E Vậy DEO2O1 hình thang vng D E

Ta có Sht =

1 2

1 1

(O D O E).DE O O DE O O

2  2 2

(Vì O1D + O2E = O1H + O2H = O1O2 DE < O1O2 ) 2

2 ht

1 BC R

S O O

2

  

Dấu "=" xảy DE =O1O2

 DEO2O1 hình chữ nhật

 A điểm cung BC Khi max

1 2O

DEO S =

2

2 R

Bài tập Cho đường trịn (O), đường kính AB, d1, d2 các đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng AB M, N điểm thuộc d1, d2 cho MON = 900 1) Chứng minh đường thẳng MN tiếp tuyến đường tròn (O)

2) Chứng minh AM AN =

4

2 AB

3) Xác định vị trí M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải:

O1 O2

D

O

B C

H A

1) Gọi H hình chiếu O đường thẳng MN Xét tứ giác OAMH

0

A H 180 (do A   H 90 )

=> OAMH tứ giác nội tiếp đường tròn Tương tự tứ giác OANH nội tiếp

=> A1M , B1 1 N1 (2 góc nội tiếp chắn cung)

1 1 A B M N 90

     => AHB = 900 => MN tiếp tuyến

2) Ta có AM = MH, BN = NH, theo hệ thức lượng tam vng, ta có:

AM BN = MH NH = OH2 =

4

2 AB

(đpcm)

3

2

 MON

S OH MN >

2

OH AB (Vì AMNB hình thang vuông) Dấu “=” MN = AB hay H điểm cung AB

M, N song song với AB AM = BN = AB

Vậy SMON nhỏ AM = BN =

AB

Bài tập ChoABC có góc nhọn, trực tâm H nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính AK a) Chứng minh tứ giác BHCK hình hình hành

b) Vẽ OM BC (M  BC) Chứng minh H, M, K thẳng hàng AH = 2.OM

c) Gọi A’, B’, C’ chân đường cao thuộc cạnh BC, CA, AB củaABC Khi BC cố định xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn

Hướng dẫn giải:

N

M

O

A B

H

H O

(vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên CK AC mà BH AC (vì H trực tâm) => CK // BH tương tự có CH // BK

=> Tứ giác BHCK hbh (đpcm) b) OM BC => M trung điểm BC

(định lý đường kính dây cung) => M trung điểm HK (vì BHCK hình bình hành) => đpcm AHK có OM đường trung bình => AH = 2.OM

c) Ta có AC C BB C = 900=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC B  = ACBmà ACBBAx (Ax tiếp tuyến A) => Ax // B’C’

OA Ax => OA  B’C’ Do SAB’OC’ =

2

R.B’C’

Tương tự: SBA’OC’ =

2

R.A’C’; SCB’OA’ =

2

R.A’B’

ABC S =

2

R(A’B’ + B’C’ + C’A’)=

2

AA’.BC <

2

(AO + OM).BC

 A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn A, O, M thẳng hàng  A đỉểm cung lớn BC

Bài tập Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2

3AO Kẻ dây

MN vng góc với AB I, gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E

1) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp 2) Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC

3) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ

Hướng dẫn giải:

O1

E I

C O

N M

B A

1 Theo giả thiết MN AB I

0

ACB = 90 hay ECB = 90 EIB + ECB = 180



mà hai góc đối tứ giác IECB nên tứ giác IECB tứ giác nội tiếp

góc nội tiếp chắn hai cung nhau) hay AME = ACM , lại có CAM góc chung tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM AM = AE

AC AM

  AM2 = AE.AC

3 Theo AMN = ACM  AM tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp ECM Nối MB ta có AMB= 900, tâm O1 đường trịn ngoại tiếp ECM phải nằm BM

Ta thấy NO1 nhỏ NO1 khoảng cách từ N đến BMNO1 BM Gọi O1 chân đường vng góc kẻ từ N đến BM ta O1 tâm đường tròn ngoại tiếp  ECM có bán kính O1M

Do để khoảng cách từ N đến tâm đường trịn ngoại tiếp  ECM nhỏ C phải giao điểm đường trịn (O1), bán kính O1M với đường trịn (O) O1 hình chiếu vng góc N BM

Bài tập Cho đường tròn ( O; R ) điểm A nằm ngồi đường trịn cho OA = R Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Lấy D thuộc AB; E thuộc AC cho chu vi tam giác ADE 2R

a) Chứng minh tứ giác ABOC hình vng

b) Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn (O; R) c) Tìm giá trị lớn diện tích ∆ADE

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

ABOACO90 (tính chất tiếp tuyến) (1) AB = AC  OA2OB2 = R = OB = OC (2)

Từ (1) (2) suy ABOC hình vng b) Theo ta có: AD + DE + AE = 2R (3) Suy ra: DE = BD + CE (4)

Vẽ OM  DE (MDE) (5)

Trên tia đối tia CA lấy điểm F cho CF = BD; suy ∆BDO = ∆COF (c-g-c) OD = OF; lại có DE = FE nên ∆ODE = ∆OFE (c-c-c)

OM = OC = R

R

F M

y

x E

D

C B

Vì AD + DE + AE = 2R 2 x + y + x y

  = 2R (6) Áp dụng BĐT – Cơsi cho hai số khơng âm ta có:

2

x + y 2 xy x + y  2xy (7) Dấu “=” xảy x = y

Từ (6) (7) suy ra: xy 2xy2R  xy 2  22R  2R 

xy

2+

  xy

2 2R 2



 SADE  

2

2 ADE

R

S - 2 R 2

  



Vậy max SADE = 3 2 R  x = y∆ADE cân A

Bài tập Cho đường (O, R) đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm A, B Lấy điểm M tia đối tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D tiếp điểm) Gọi H trung điểm AB

1) Chứng minh điểm M, D, O, H nằm đường tròn

2) Đoạn OM cắt đường tròn I Chứng minh I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD 3) Đường thẳng qua O, vng góc với OM cắt tia MC, MD thứ tự P Q Tìm vị trí điểm M d cho diện tích tam giác MPQ bé

Hướng dẫn giải:

1) Vì H trung điểm AB nên OH AB hay OHM 900 Theo tính chất tiếp tuyến ta lại có ODDM hay ODM 900 Suy điểm M, D, O, H nằm đường trịn 2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD MCD cân M  MI đường phân giác của CMD Mặt khác I điểm cung nhỏ CD nên

2

DCI  sđDI =

2sđCI = MCI

 CI phân giác MCD Vậy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD

3) Ta có tam giác MPQ cân M, có MO đường cao nên diện tích tính:

1

2 ( )

2

OQM

S  S  OD QM R MDDQ Từ S nhỏ  MD + DQ nhỏ Mặt khác, theo hệ thức lượng tam giác vng OMQ ta có DM DQ OD2 R2 không đổi nên MD + DQ nhỏ  DM = DQ = R Khi OM = R hay M giao điểm d với đường trịn tâm O bán kính R

d

I B A

O M

C

D H

Bài tập Cho hai đường tròn (O) và(O ) cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O )

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn(O ) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn

c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) và(O ) thứ tự M N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn

Hướng dẫn giải:

a) Ta có ABC ABDlần lượt góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O) (O/)

ABC ABD 90

  

Suy C, B, D thẳng hàng

0 CFD CED 90

   suy CDEF tứ giác nội tiếp c) Ta có

CMADNA90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn); suy CM // DN hay CMND hình thang

Gọi I, K thứ tự trung điểm MN CD Khi IK đường trung bình hình thang CMND Suy IK // CM // DN (1) CM + DN = 2.IK (2)

Từ (1) suy IK  MN  IK  KA (3) (KA số A K cố định)

Từ (2) (3) suy ra: CM + DN 2KA Dấu “ = ” xảy IK = AKd  AK A

Vậy đường thẳng d vng góc AK A (CM + DN) đạt giá trị lớn 2KA Bài tập Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,

C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MIAB, MKAC (IAB,KAC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn

b) Vẽ MPBC (PBC) Chứng minh: MPKMBC

c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải:

d

K I

N

M

F E

O/ O

C

D B

A

b) Xét tứ giác CDEF có:

CFDCFA90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

a) Ta có:

AIMAKM90 (gt), suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM b) Tứ giác CPMK có MPCMKC900(gt) Do CPMK tứ giác nội tiếpMPKMCK (1) Vì KC tiếp tuyến (O) nên ta có: MCK MBC (cùng chắn MC ) (2) Từ (1) (2) suy MPKMBC(3)

c) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI tứ giác nội tiếp Suy ra: MIPMBP(4) Từ (3) (4) suy MPKMIP Tương tự ta chứng minh MKPMPI

Suy ra: MPK ~ ∆MIP MP MI

MK MP

MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3

Do MI.MK.MP lớn MP lớn (4)

- Gọi H hình chiếu O BC, suy OH số (do BC cố định)

Lại có: MP + OH  OM = R MP  R – OH Do MP lớn R – OH O, H, M thẳng hàng hay M nằm cung nhỏ BC (5) Từ (4) (5) suy max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm cung nhỏ BC

Bài tập Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D Các đường thẳng AD BC cắt N

1) Chứng minh AC + BD = CD 2) Chứng minh COD = 90 3) Chứng minh AC BD = 4) Chứng minh OC // BM

5) Chứng minh AB tiếp tuyến đường trịn đường kính CD 6) Chứng minh MN  AB

7) Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải:

H

O P

K I

M

C B

A

4

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

1 Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900

2 Theo COD = 900 nên tam giác COD vng O có OM  CD ( OM tiếp tuyến ) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có OM2 = CM DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD =

3 Theo COD = 900 nên OC  OD(1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM  OD(2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vng góc với OD)

4 Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB

IO // AC, mà AC  AB => IO  AB O => AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD

5 Theo AC // BD => , mà CA = CM; DB = DM nên suy => MN // BD mà BD  AB => MN  AB

6 Ta có chu vi tứ giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi tứ giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đổi nên chu vi tứ giác ACDB nhỏ CD nhỏ nhất, mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB

Bài tập 10 (Sở Thái Bình 2015 – 2016) Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển nửa đường tròn (M khác A B) C trung điểm dây cung AM Đường thẳng d tiếp tuyến với nửa đường tròn B Tia AM cắt d điểm N Đường thẳng OC cắt d E a) Chứng minh: tứ giác OCNB nội tiếp

b) Chứng minh: ACAN = AO.AB c) Chứng minh: NO vng góc với AE

d) Tìm vị trí điểm M cho (2.AM + AN) nhỏ Hướng dẫn giải:

/ /

y x

N C

D I

M

B O

A

4

2 AB



BD AC BN CN 

6

a) Phần đường kính OC qua trung điểm C AM  OC  AM  OCN90o BN tiếp tuyến (O) B  OB  BN  OBN90 o

Xét tứ giác OCNB có tổng hai góc đối: o o o OCNOBN90 90 180 Do tứ giác OCNB nội tiếp

b) Xét ACO ABN có: A chung; ACOABN90o

ACO ~ ABN (g.g)

 AC AO

AB AN

Do ACAN = AO.AB (đpcm) c) Theo chứng minh trên, ta có:

OC  AM  EC  AN  EC đường cao ANE (1) OB  BN  AB  NE  AB đường cao AME (2)

Từ (1) (2) suy O trực tâm ANE (vì O giao điểm AB EC)

 NO đường cao thứ ba ANE Do đó; NO  AE (đpcm)

d) Ta có: 2.AM + AN = 4AC + AN (vì C trung điểm AM) 4ACAN = 4AO.AB = 4R.2R = 8R2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: 4AC + AN  4AC.AN2 8R2  2R

 Tổng 2.AM + AN nhỏ = 2R 4AC = AN

 AN = 2AM  M trung điểm AN

ABN vng B có BM đường trung tuyến nên AM = MB

 AM BM  M điểm nửa đường trịn đường kính AB

Vậy với M điểm nửa đường trịn đường kính AB (2.AM + AN) nhỏ =

4 2R

Bài tập 11 (Sở Hải Dương 2015 – 2016) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh ACBD hình chữ nhật;

2) Gọi H trực tâm tam giác BPQ Chứng minh H trung điểm OA; 3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ

1

E N

C

O

A B

Hướng dẫn giải:

a) Có

90

ACBCBD ADB ( Các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tứ giác ACBD hình chữ nhật ( Tứ giác có ba góc vng) b) Có PO đường trung bình tam giác AEB PO // EB mà EB  BF POBF

Xét tam giác PBF có BA PF; POBF nên BA PO đường cao tam giác PBF mà BA PO căt O nên O trực tâm tam giác PBFFO đường cao thứ ba tam giác PBF hay FOPB (1)

Lại có H trực tâm tam giác PBQ nên QH  PB (2)Từ (1) (2)  QH // FO Xét tam giác AOF có Q trung điểm AF; QH // FO nên H trung điểm AO

c) ( ) ( )

2

BPQ

S  AB APAQ  AB AEAF (3)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm AE AF ta có: AE + AF 2 AE AF (4)

( Dấu “=” xảy AE =AF) Từ (3) (4)

2

BPQ

S AB AE AF

  (5)

Lại có: Áp dụng hệ thức tam giác vng EBF ta có: AE.AF = AB2 (6) Từ (5) (6) ta có SBPQ

2

2

AB  Xảy dấu AE = AF

 Tam giác EBF vuông cân B

ACBD hình vng nên CD vng góc AB

Vậy: Khi đường kính CD vng góc với đường kính AB tam giác PBQ có diện tích nhỏ

Bài tập 12 (Sở Vĩnh Phúc năm 2009 – 2010) Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P ( P khác I)

a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn, rõ đường tròn b) Chứng minh CIPPBK

c) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI lớn

Hướng dẫn giải:

K

y

I x

P

O H

Q P

F E

D C

Do By  AB nên CBK 900

Suy ra: CPK CBK 1800hay tứ giác CPKB nội tiếp đường trịn đường kính CK

b) Ta có: CIPPCK (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây chắn cung); (1)

Mặt khác tứ giác PCBK nội tiếp nên: PCK PBK (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh

c) Từ giả thiết suy tứ giác AIKB hình thang vng, gọi s diện tích AIKB, ta có: 1( )

2

s AI KB AB Dễ thấy s lớn KB lớn (do A, B, I cố định) Xét tam giác vng AIC BKC có: KCCI KBCA suy ra: BKC  ACI (góc có cạnh tương ứng vng góc) hay ACI đồng dạng với BKC(g-g)

Suy ra: AC AI BK AC BC

BK  BC   AI , đó: BK lớn ACBC lớn

Theo BĐT Cơsi có:

2 2

2

AC CB AB

AC CB   

  , dấu “=” xảy C trung

điểm AB Vậy diện tích tứ giác AIBK lớn C trung điểm AB Bài tập 13 (Sở Đà Nẵng 2009) Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm A O

sao cho AI = 2

3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn MN cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆AME ∆ACM AM2 = AE.AC

c) Chứng minh AE.AC - AI.IB = AI2

d) Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ

Hướng dẫn giải:

a) * EIB900 (giả thiết)

* ECB900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) * Kết luận: Tứ giác IECB tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

* sđcungAM = sđcungAN *AME ACM

*GócAchung,suyra∆AME ∆ACM

A B

M

E

C

I O1

* Do đó: AC AM

AM  AE AM2 = AE.AC

c) * MI đường cao tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB * Trừ vế hệ thức câu b) với hệ thức

* Ta có: AE.AC - AI.IB = AM2 - MI2 = AI2

d) * Từ câu b) suy AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CME Do tâm O1 đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nằm BM Ta thấy khoảng cách NO1 nhỏ NO1BM.)

* Dựng hình chiếu vng góc N BM ta O1 Điểm C giao đường tròn cho với đường tròn tâm O1, bán kính O1M

Bài tập 14 (Sở Phú Yên 2009 – 2010) Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm đường trịn đường kính AB = 2R Hạ BN DM vng góc với đường chéo AC

a) Chứng minh tứ giác: CBMD nội tiếp b) Chứng minh rằng: DBDC = DN.AC

c) Xác định vị trí điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn tính diện tích trường hợp

Hướng dẫn giải:

a Góc ADB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) mà AD//BC (gt) => DBBC

Xét tứ giác DMBC có góc DMC = góc DBC =900 => Tứ giác nội tiếp b Ta có DBN đồng dạng với CAD

( DACDBN, BDNBANDCA) =>

DC

DN DB AC

 => DBDC = DN.AC c SABCD = DH.AB

Do AB không đổi = 2R

=> SABCD max DH max  D nằm cung AB

Bài tập 15 (Sở Hải Dương 2009 – 2010) Cho đường tròn (O), dây AB không qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy điểm M (M không trùng với A, B) Kẻ dây MN vng góc với AB H Kẻ MK vuông

H M

N

O D

C

Xác định vị trí điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn Hướng dẫn:

Chú ý: Kể trường hợp đặc biệt MN qua O 1) Từ giả thiết: AKM900, AHM900 Bốn điểm A, K, H, M thuộc đường tròn

2) NAHNMK = 1

2sđKH (1)

NAHNMB = 1

2sđNB (2)

Từ (1) (2) NMKNMB

 MN phân giác góc KMB 3) MAB MNB 1

2

  sđ MB ; MAB MKH 1 2

  sđMH

MNB MKH

  K,M,E,Ncùng thuộc đường tròn

0

MEN MKN 180 ME NB

    

MAN MNB AMBN

1 1 1

S MK.AN; S ME.NB; S MN.AB

2 2 2

MK.AN ME.BN MN.AB

    

  

MK.NA ME.NB

  lớn  MN.AB lớn MN lớn (Vì AB= const )  M AB

Bài tập 16 (Sở Bắc Giang 2009 – 2010) Cho đường trịn tâm O đường kính AB cố định H thuộc đoạn thẳng OA( H khác A;O trung điểm OA) Kẻ dây MN vng góc với AB H MN cắt AK E

1 Chứng minh tứ giác HEKB nội tiếp

2 Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác AKM

3 Cho điểm H cố định, xác định vị trí K để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MKE nhỏ

Hướng dẫn: O

N K

H

E

B A

1/ AHI vuông H (vì CAHB) AHI nội tiếp đường trịn đường kính AI AKI vng H (vì CKAB)

AKI nội tiếp đường trịn đường kính AI

Vậy tứ giác AHIK nội tiếp đường trịn đường kính AI Ta có CAHB( Gt)

CADC( góc ACD chắn nửa đường trịn) => BH//CD hay BI//CD (1)

Ta có ABCK( Gt)

ABDB( góc ABD chắn nửa đường trịn) => CK//BD hay CI//BD (2)

Từ (1) (2) ta có Tứ giác BDCI hình bình hành( Có hai cặp cạnh đối song song) Mà DI cắt CB M nên ta có MB = MC

=> OMBC( đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây đó)

2/

Vì BD tia phân giác góc B tam giác ABC; nên áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

AB BC

BC AB BC

AB DC AD

2

2   

 

Vì ABC vng A mà BC = 2AB nên ACB = 300; ABC = 600

Vì B1 = B2(BD phân giác) nên ABD = 300

Vì ABD vng A mà ABD = 300 nên BD = 2AD = 2 = 4cm =>   16412

AD BD

AB

Vì ABC vng A => BC AC2  AB2  36124

Vì CH tia phân giác góc C tam giác CBD; nên áp dụng tính chất đường phân giác ta có: DH

DH

DC

A

B

C

D M I

O H

K

D A

B

C

E H

1

) ( 2 ) ( ) (      

BH Vậy BH 2 3( 31)cm

Bài tập 17 Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D Các đường thẳng AD BC cắt N

1 Chứng minh AC + BD = CD Chứng minh COD = 900 Chứng minh

2

4

AC BD AB Chứng minh OC // BM

5 Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Chứng minh MN  AB

7 Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải:

/ / y x N C D I M B O A

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà AOM BOM hai góc kề bù => COD = 900

Theo COD = 900 nên tam giác COD vng O có OM  CD ( OM tiếp tuyến ) áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta có OM2 = CM DM, Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD =

4

2 AB

Theo COD = 900 nên OC  OD(1)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM  OD(2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vng góc với OD) Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => tứ giác ACDB hình thang Lại có I trung điểm CD; O trung điểm AB => IO đường trung bình hình thang ACDB

=> IO // AC, mà AC  AB => IO  AB O => AB tiếp tuyến O đường trịn đường kính CD

6 Theo AC // BD =>

BD AC BN CN 

, mà CA = CM; DB = DM nên suy

DM CM BN CN  => MN // BD mà BD  AB => MN  AB

nhất, mà CD nhỏ CD khoảng cách giữ Ax By tức CD vng góc với Ax By Khi CD // AB => M phải trung điểm cung AB

Bài tập 18 Cho (O),dây cung AB Từ điểm M cung AB(MA MB),kẻ dây cung MN vng góc với AB H.Gọi MQ đường cao tam giác MAN

1 C/m điểm A;M;H;Q nằm đường tròn C/m:NQ.NA=NH.NM

3 C/m Mn phân giác góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vng góc với BN;xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn

Hướng dẫn giải: Có hình vẽ,cách c/m tương tự Sau C/m hình 9-a

1/ C/m:A,Q,H,M nằm đường trịn.(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng phương pháp sau:-Cùng làm với hai đàu …mot goc vuong

-Tổng hai góc đối

2/C/m: NQ.NA=NH.NM

Xét hai vuông NQM NAH đồng dang

3/C/m MN phân giác góc BMQ Có hai cách:

Cách 1: Gọi giao điểm MQ AB I.C/m tam giác MIB cân M Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH)

Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm

4/ xác định vị trí M cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn Ta có 2SMAN=MQ.AN

2SMBN=MP.BN

2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2

2

MN AB

=ABMN Vậy: MQ.AN+MP.BN=ABMN

Mà AB khơng đổi nên tích ABMN lớn MN lớn nhấtMN đường kính

4 Xác định vị trí P để tam giác AQB có diện tích lớn Hướng dẫn giải:

1 Ta có OI = OA – IA mà OA IA bán kính đường trịn (O) đường trịn (I) Vậy đường tròn (O) đường tròn (I) tiếp xúc A

2 OAQ cân O ( OA OQ bán kính ) => A1 = Q1

IAP cân I ( IA IP bán kính ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà hai góc đồng vị nên suy IP // OQ

H

I O

Q

P

B A

1

1

3 APO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP  AQ => OP đường cao OAQ mà OAQ cân O nên OP đường trung tuyến => AP = PQ

4 (HD) Kẻ QH  AB ta có SAQB =

2ABQH mà AB đường kính khơng đổi nên SAQB lớn

nhất QH lớn QH lớn Q trùng với trung điểm cung AB Để Q trùng với trung điểm cung AB P phải trung điểm cung AO

Thật P trung điểm cung AO => PI  AO mà theo PI // QO => QO  AB O => Q trung điểm cung AB H trung với O; OQ lớn nên QH lớn Bài tập 20 (Sở Hà Tĩnh 2009 – 2010) Cho đường trịn tâm O có đường kính CD, IK (IK không

trùng CD)

1 Chứng minh tứ giác CIDK hình chữ nhật

2 Các tia DI, DK cắt tiếp tuyến C đường tròn tâm O thứ tự G; H a Chứng minh điểm G, H, I, K thuộc đường tròn

b Khi CD cố định, IK thay đổỉ, tìm vị trí G H diện tích tam giác DIJ đạt giá trị nhỏ

Hướng dẫn giải: Ta có CD đường kính, nên:

CKD = CID = 900 (T/c góc nội tiếp) Ta có IK đường kính, nên:

KCI = KDI = 900 (T/c góc nội tiếp) Vậy tứ giác CIDK hình chữ nhật a Vì tứ giác CIDK nội tiếp nên ta có:

ICD = IKD (t/c góc nội tiếp)

Mặt khác ta có: G = ICD (cùng phụ với GCI)  G = IKD

Vậy tứ giác GIKH nội tiếp b Ta có: DC GH (t/c)

Mà GH = GC + CH nhỏ GC = CH

Khi GC = CH ta suy ra: GC = CH = CD IK CD

Bài tập 21 (Sở Khánh Hòa 2009 - 2010) Cho đường trịn (O; R) Từ điểm M nằm ngồi (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B hai tiếp điểm) Lấy điểm C cung nhỏ AB (Ckhác với A B) Gọi D, E, F la hình chieu vuong goc cua C AB, AM, BM

a Chứng minh AECD tứ giác nội tiếp b Chứng minh: CDECBA

c Gọi I giao điểm AC ED, K giao điểm CB DF Chứng minh IK//AB

d Xác định vị trí điểm C cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ Tính giá trị nhỏ OM = 2R

Hướng dẫn giải: a Chứng minh AECD l tứ gic nội tiếp

Xét tứ giác AECD ta có:

- Hai góc đối

90 ( ; )

AEC ADC  CD AB CE AM  Nn tổng chng b

Do tứ giác AECD nội tiếp đường trịn b Chứng minh: CDECBA

Tứ giác AECD nội tiếp đường trịn

 ( )

CDE CAE chắn cung CE Điểm C thuộc cung nhỏ AB nên:

 ( )

CAE CBA chắn cung CA Suy ra: CDECBA

c Chứng minh IK//AB

1 2

0

Xeùt DCE BCA ta có:

D ( )

DCE KCI

E ( )

EAD IDK( ; )

EAD DCE 180 ( nội tiếp)

KCI IDK 180

B cmt

A cùngchắncungCD

maø A D A D FBC

tứ giác AECD 

  

 

 

   

 

  

Suy tứ gic ICKD nội tiếp => CIK CDK cùngchắn  CK M CAB CDK cùngchắn  CBF Suy CIK CBA ở  vị trí đồng vị  IK//AB (đpcm)

d Xác định vị trí điểm C cung nhỏ AB để (AC2 + CB2) nhỏ Tính giá trị nhỏ A

B M

C

D E

F

I K

A

D D A

AB2/2 ko đổi => CA2 + CB2 đạt GTNN CN đạt GTNN  C giao điểm ON với cung nhỏ AB => C điểm cung nhỏ AB

Khi OM = 2R OC = R hay C trung điểm OM => CB = CA = MO/2 = R Do đó: Min (CA2 + CB2 ) = 2R2

Phần II BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập (Sở Quảng Ngãi 2015 – 2016) Cho nửa đường trịn đường kính AB C điểm nằm giữa hai điểm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ AB chứa nửa đường trịn, vẽ hai tia Ax By tiếp xúc với nửa đường tròn cho Trên tia Ax lấy điểm I (với I khác A); đường thẳng vng góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt tia IK E

1 Chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp đường tròn Chứng minh AI BK AC CB

3 Chứng minh điểm E nằm nửa đường tròn đường kính AB

4 Cho điểm A; B; I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang ABKI lớn

Bài tập (Tỉnh Hải Dương 1998 – 1999) Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với AB B, gọi (O2) đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn (O1) (O2) cắt D (D không trùng với A) 1) Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông

2) Chứng minh O1D tiếp tuyến (O2)

3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C nằm đường trịn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn

Bài tập (Đề Hải Dương 1999 – 2000) Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB AC chúng cắt AC P cắt AB Q

1) Chứng minh BP = CQ

2) Chứng minh tứ giác ACEQ tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E cạnh BC để đoạn PQ ngắn

3) Gọi H điểm nằm tam giác ABC cho HB2 = HA2 + HC2 Tính góc AHC Bài tập (Đề Hải Dương 2003-2004) Cho hình vng ABCD, M điểm đường chéo BD, gọi

H, I K hình chiếu vng góc M AB, BC AD 1) Chứng minh:MIC = HMK

2) Chứng minh CM vng góc với HK

3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ

Bài tập (Đề Hải Dương 2005 - 2006) Cho nửa đường tròn đường kính MN Lấy điểm P tuỳ ý nửa đường tròn (P  M, P  N) Dựng hình bình hành MNQP Từ P kẻ PI vng góc với đường thẳng MQ I từ N kẻ NK vng góc với đường thẳng MQ K

1) Chứng minh điểm P, Q, N, I nằm đường tròn 2) Chứng minh: MP PK = NK PQ

3) Tìm vị trí P nửa đường tròn cho NK.MQ lớn

Bài tập (Đề Hải Dương 2006 - 2007) Cho điểm A ngồi đường trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC (MB, MC) Gọi D, E, F tương ứng hình chiếu vng góc M đường thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF; K giao điểm MC EF

1) Chứng minh:

a) MECF tứ giác nội tiếp b) MF vng góc với HK

Bài tập (Đề Hà Nội năm 2006 - 2007) Cho đường trịn tâm 0, đường kính AB = 2R, C trung điểm OA, kẻ dây cung MN vng góc với OA C Lấy điểm K tuỳ ý thuộc cung BM nhỏ Gọi H giao điểm AK MN

a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp b) Tính AH AK theo R

c) Xác định vị trí điểm K để tổng KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn

Bài tập Cho tam giác ABC nội tiếp (O; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN

a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN

c) MN cắt BC K Chứng minh DK vng góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn

Bài tập Hai đường tròn tâm O tâm I cắt hai điểm A B Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) (I) P, Q Gọi C giao điểm hai đường thẳng PO QI a) Chứng minh tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp

b) Gọi E, F trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đường thẳng d quay quanh A K chuyển động đường nào?

c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn

Bài tập 10 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A

a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành

b Gọi N E điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H, E thẳng hàng

c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn

Bài tập 11 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với (O)

a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đường tròn b Chứng minh góc AOC=góc BIC

c Chứng minh BI//MN

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài tập 12 Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đường tròn cắt MA, MB điểm thứ hai C, D

a Chứng minh CD//AB

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ

4 Tìm vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài tập 14 Cho đường trịn (O; R), Với kí hiệu có hình chứng minh: a)Tứ giác CAIM, BDMI nội tiếp

b)Tam giác CID vuông c)EF // AB

d)Khi M cố đinh I thay đổi AO, tìm vị trí I để ACBD lớn e) Cho biết OI =

3

R

AM = R Hãy tính độ dài đoạn thẳng CD diện tích tam giác CID theo R

Bài tập 15 Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn.Từ A vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD (nằm giũa A D )

1) Chứng minh AB2 = ACAD

2) Gọi H trung điểm CD Chứng minh tứ giác ABOE có bốn điểm thuộc đường trịn 3) Vẽ tia Bx // CD cắt (O) I, IE cắt (O) K.Chứng minh AK tiếp tuyến (O)

4) Đường thẳng BH cắt (O) F.Chứng minh KF // CD

5) Tím vị trí cát tuyến ACD đề diện tích tam giác AID lớn

Bài tập 16 Cho đường tròn ( O,R ), đường thẳng d không qua O cắt đường tròn hai điểm A B Từ điểm C d (C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM CN ( M N thuộc (O) ) Goi H trung điểm AB,đường thẳng OH cắt tia CN K Đoạn thẳng CO cắt (O) I Chứng minh:

1) C,O,H,N thuộc đường tròn 2) KN.KC= KH.KO

3) I cách CM, CN, MN

4) Một đường thẳng qua O song song MN cắt tia CM CN E F.Xác định vị trí C d để diện tích tam giác CEF nhỏ

Bài tập 17 Cho tam giác ABC vng A có M trung điểm BC Có hai đường thẳng lưu động vng góc với M cắt đoạn AB AC D E Xác định vị trí D E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ

Bài tập 18 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB điểm C thuộc đoạn AB, M điểm nửa đường tròn Đường thẳng qua M vng góc MC cắt tiếp tuyến qua A B nửa đường tròn E F

1) Khi M cố định,C di động.Tìm vị trí C để AE.BF lớn 2) Khi C cố định,M di động.Tìm vị trí M để SCEF lớn

Bài tập 19 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB=2R,M điểm nửa đường tròn(khác A B).Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến A B nửa đường tròn (O) C D 1)Tìm giá trị nhỏ của:

a)Độ dài đoạn thẳng CD diện tích tam giác COD b) Diện tích chu vi tứ giác ACDB

c)Tổng diện tích tam giác ACM BDM 2) Tìm giá trị lớn của:

a) Diện tích chu vi tam giác MAB b) Tích MAMB

Bài tập 20 (Đề thi tuyển vào lớp 10, 95 - 96 Thành phố Hồ Chí Minh) Cho hình vng ABCD cố định cạnh a Điểm E di chuyển cạnh CD ( E D ) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC F, đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD K

2) Gọi I trung điểm FK.Chứng minh làtâm đường tròn qua A,C, F,K I di chuyển đường thẳng cố định E di động CD

3) Chứng minh tứ giác ABFI nội tiếp

4) Cho DE = x (0 < x a).Tính độ dài cạnh AEK theo a x

5) Hãy vị trí E để EK ngắn

Bài tập 21 Cho hai đường tròn (O; R ) (O; R’) cắt A B Một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) (O’) C D

1) Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng CD qua điểm cố định Xác địmh điểm cố định

2) Với vị trí đường thẳng (d) tam giác BCD có diện tích lớn

Bài tập 22 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC).Lấy điểm D thuộc cạnh AC Vẽ đường trịn đường kính CD cắt BD E cắt AE F

a) Chứng minh A, B, C, E thuộc đường tròn b) Chứng minh BĈA = AĈ F

c) Gọi M, N điểm đối xứng D qua AB BC Chứng minh tứ giác BNCM nội tiếp