Sự tồn tại nghiệm của mô hình phản ứng belousov zhabotinskii với điều kiện biên neumann

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ LÝ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MƠ HÌNH PHẢN ỨNG BELOUSOV-ZHABOTINSKII VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN NEUMANN Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ HUY CHUẨN Hà Nội – Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian Hăolder 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Bộ ba không gian 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Các định nghĩa 1.2.2 Toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.3 Tốn tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính 1.2.4 Tốn tử quạt không gian L2 1.2.5 Toán tử quạt khơng gian tích 1.3 Bài toán Cauchy 1.3.1 Phương trình tiến hóa tuyến tính 1.3.2 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Mơ hình Field-Noyes 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương khơng âm 2.2 Nghiệm tồn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục Mơ hình Keener-Tyson 3.1 Nghiệm địa phương 3.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 3.1.2 Nghiệm địa phương khơng âm 3.2 Nghiệm tồn cục 3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 3.2.2 Sự tồn nghiệm toàn cục KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 6 10 10 13 14 15 18 18 18 19 28 29 29 32 35 35 37 38 39 39 42 44 44 46 47 48 MỞ ĐẦU Vào năm 1968, lần giới biết phản ứng hóa học kỳ lạ biểu tính tự tổ chức hai nhà khoa học Nga, Belousov Zhabotinsky thực Đây thí nghiệm hóa học thú vị, hấp dẫn đầy thách thức khơng dẫn đến cân hóa chất Khi trộn lẫn số hóa chất bao gồm axit malonic CH2 (CO2 H)2 (công thức cấu tạo HOOC-CH2 -COOH), kali bromat KBrO3 chất oxi hóa mạnh, kali bromua KBr (hoặc natri bromat NaBrO3 , natri bromua NaBr), cerium amonium nitrate (NH4 )2 Ce(NO3 )6 , axit sulfuric H2 SO4 axit vô manh, chất thị màu Ferroin nước bình chứa Lúc nhiệt độ tăng cao tới mức đó, xuất cấu trúc gồm dao động tuần hoàn di chuyển theo vòng đồng tâm hay xoắn ốc, tồn bền vững phản ứng không ngừng tác động, tiếp tục phát sinh nhiều dao động thêm Vào năm 1974, Field-Noyes trình bày mơ hình tốn học mơ tả phản ứng Belousov-Zhabotinskii sau  ∂u   = a∆u + (qw − uw + u − u2 ) Ω × (0, ∞),   ε   ∂t ∂v = b∆v + u − v Ω × (0, ∞),  ∂t      ∂w = d∆w + (−qw − uw + cv) Ω × (0, ∞), ∂t δ u mật độ HBrO2 , v mật độ Ce4+ w mật độ Br− bình miêu tả Ω Với a, b, d số khuếch tán dương Các số dương δ, ε, q, c tham số, đặc biệt δ, ε, q xét nhỏ Phát triển từ mơ hình Field-Noyes, Keener-Tyson đưa mơ hình tốn đơn giản cách giả sử δ đủ nhỏ so với ω sử dụng vài tỉ lệ thích hợp Trong luận văn, ta nghiên cứu mơ hình Field-Noyes mơ hình KeenerTyson với điều kiện biên Neumann MỞ ĐẦU Luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương cung cấp lý thuyết sở cho hai chương sau Bao gồm không gian bản, định nghĩa toán tử quạt, cách chuyển dạng nửa song tuyến tính tốn tử quạt, cuối tốn Cauchy cho phương trình tiến hóa nửa tuyến tính Chương Mơ hình Field-Noyes Chương trình bày mơ hình tốn học mà Field-Noyes đưa để mơ tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii Ta chứng minh tồn địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm chứng minh tồn nghiệm toàn cục tốn Chương Mơ hình Keener-Tyson Tương tự Chương 2, nội dung Chương chứng minh tồn nghiệm tồn cục mơ hình KeenerTyson Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [5] Trong có dựa đóng góp tác giả tài liệu [1], [2], [3] [4] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Lê Huy Chuẩn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy tham gia giảng dạy khóa cao học 2012- 2014, lời cảm ơn sâu sắc cơng lao dạy dỗ suốt q trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà Nội, tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Lý Bảng kí hiệu Rn = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n , Rn+ = x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, n − 1, xn > , C([a, b]; X) = f : [a, b] → X, f liên tục [a, b] , C m ([a, b]; X) = f : [a, b] → X, f khả vi liên tục đến cấp m , L(X, Y ) = f : X → Y : f tuyến tính liên tục , |f (x)|p dx < +∞ , p ≥ 1, f đo Ω : Lp (Ω) = Ω L∞ (Ω) = f đo Ω : ess sup|f | < +∞ Ω với ess sup|f | = inf {k : µ {x ∈ Ω : f (x) > k} = 0} , µ độ đo Lebesgue Ω, Ω Lploc (Ω) = f đo Ω : f ∈ Lp (Ω ), ∀Ωcompact ⊂ Ω Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm c bn 1.1.1 Khụng gian Hă older nh ngha 1.1 Cho tập mở Ω ⊂ Rn < γ ≤ a) Hàm số u : Ω → R c gi l liờn tc Hă older bc nu tồn số C > cho |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ Ω Khi γ = 1, hàm số u gọi liên tục Lipschitz b) Nếu u : Ω → R bị chặn liên tục, ta định nghĩa u C() = sup |u(x)| x c) Na chun Hăolder bậc γ u : Ω → R [u]C 0,γ (Ω) = sup x=y |u(x) − u(y)| |x − y| x,y v chun Hăolder bc l u C 0,γ (Ω) = u C(Ω) + [u]C 0,γ (Ω) nh ngha 1.2 Khụng gian Hă older C k, () gồm tất hàm số u ∈ C k (Ω), mà chuẩn u C k,γ (Ω) Dα u = C(Ω) |α|≤k [Dα u]C 0,γ (Ω) + |α|=k hữu hạn Chương Kiến thức chuẩn bị Như vậy, không gian C k,γ (Ω) gồm tất hàm số u cho đạo hàm riêng cấp k ca nú b chn v liờn tc Hăolder bc Hn na, khụng gian Hăolder C k, () l không gian Banach với chuẩn C k,γ (Ω) Khụng gian hm liờn tc Hă older cú trng F β,σ ((a, b]; X) Cho X không gian Banach, với hai số mũ < σ < β ≤ 1, định nghĩa không gian hàm F β,σ ((a, b]; X) gồm hàm F (t) : (a, b] → X liên tục (a, b] (tương ứng [a, b]) < β < (tương ứng β = 1) thỏa mãn ba tính chất sau: Khi β < 1, (t − a)1−β F (t) có giới hạn hữu hạn t → a F liên tc Hăolder vi s m v vi trng (s − a)1−β+σ , nghĩa (s − a)1−β+σ F (t) − F (s) (t − s)σ a≤s 0, ta thu bất đẳng thức u2 + ξv + w2 dx + µ Ω u2 + ξv + w2 dx ≤ C, Ω 36 C ≥ Chương Mơ hình Field-Noyes Giải bất đẳng thức vi phân ta u20 + ξv02 + w02 dx + Cµ−1 u2 + ξv + w2 dx ≤ e−µt Ω Ω Suy u(t) L2 + ξ v(t) L2 + w(t) L2 ≤ e−µt u0 L2 + ξ v0 L2 + w0 L2 + Cµ−1 với ≤ t ≤ TU Khi U (t) L2 ≤ e−µt U0 L2 + Cµ−1 , ≤ t < TU (2.7) Từ ta có U (t) 2.2.2 X ≤ C( U0 X + 1), ≤ t ≤ TU Sự tồn nghiệm toàn cục Định lý 2.3 (Tồn nghiệm toàn cục) Với U0 ∈ X , toán (2.2) tồn nghiệm tồn cục khơng gian ≤ U ∈ C((0, ∞); H2N (Ω)) ∩ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ C ((0, ∞); L2 (Ω)), thỏa mãn đánh giá U (t) L2 ≤ e−µt U0 L2 + Cµ−1 , ≤ t < ∞, U0 ∈ K, (2.8) với số mũ µ > số C > Chứng minh Theo Định lý 2.1 tồn U nghiệm địa phương toán (2.2) [0, TU0 ] Với < T1 < TU0 , xét phương trình   dV + AV = F (V ), < t < ∞, dt  V (0) = U (T1 ) Theo Định lý 2.1 phương trình tồn nghiệm địa phương [0, δ), δ phụ thuộc U (T1 ) Từ Định lý 2.2 U (t) ≤ C U0 suy δ số phụ thuộc vào U0 Đặt  U (t) với t ∈ [0, T1 ] U˜ (t) = V (t − T ) với t ∈ [T1 , T1 + δ] U˜ (t) nghiệm toán (3.2) khoảng [0, T1 + δ] Thay T1 T1 + δ , lặp lại trình ta có điều phải chứng minh Ngồi ra, đánh giá (2.8) suy trực tiếp từ (2.7) 37 Chương Mơ hình Keener-Tyson Năm 1986 Keener-Tyson đơn giản mơ hình tốn Field-noyes cv sử dụng vài tỉ lệ u+q không gian tham số cho tán xạ u, v tương ứng εa εb Khi cách giả sử δ đủ nhỏ so với w, nghĩa w = mơ hình cho    ∂u = εa∆u + [u(1 − u) − cv u − q ] Ω × (0, ∞) ∂t ε ∂v   = εb∆v + u − v ∂t u+q Ω × (0, ∞) kí hiệu u mật độ HBrO2 v mật độ Ce4+ bình miêu tả Ω Với a, b hệ số khuếch tán dương Các số dương ε, q, c tham số, đặc biệt ε, q xét nhỏ Xét toán giá trị biên ban đầu  ∂u u−q   = a∆u + [u(1 − u) − cv ] Ω × (0, ∞),   ∂t ε u+q       ∂v = b∆v + (u − v) Ω × (0, ∞), ∂t ε  ∂u ∂v   = =0   ∂n ∂n     u(x, 0) = u (x) ; v(x, 0) = v (x) 0 (3.1) ∂Ω × (0, ∞), Ω, miền Ω bị chặn, ba chiều C lồi Cố định a > 0, b > 0, c > 0, < q < < ε ≤ Ta viết lại toán (3.1) toán với u v mơ hình ngun Kener-Tyson Sau đó, tương tự mơ hình Field-Noyes,để chứng minh nghiệm tốn (3.1), ta cững đưa toán dạng toán Cauchy gồm hai toán tử: tốn tử tuyến tính A tốn tử quạt 38 Chương Mơ hình Keener-Tyson tốn tử khơng tuyến tính F thỏa mãn điều kiện Lipschitz Khi sử dụng Định lý 1.9 nghiệm địa phương toán Cauchy Chương ta tồn nghiệm địa phương (0, T ] Tiếp theo chứng minh nghiệm địa phương không âm Cuối ta tồn nghiệm tồn cục tốn đưa đánh giá chuẩn nghiệm tồn cục Bằng cách đặt t = εT , dt = εdT ta có  ∂u u−q   = a∆u + [u(1 − u) − cv ] Ω × (0, ∞),   ε∂T ε u+q       ∂v = b∆v + (u − v) Ω × (0, ∞), ε∂T ε  ∂u ∂v   = =0   ∂n ∂n     u(x, 0) = u (x) ; v(x, 0) = v (x) 0  u−q ∂u   = εa∆u + [u(1 − u) − cv ]   ∂T ε u+q       ∂v = εb∆v + u − v ⇔ ∂T  ∂u ∂v   = =0   ∂n ∂n   ∂Ω × (0, ∞), Ω, Ω × (0, ∞), Ω × (0, ∞), ∂Ω × (0, ∞),   u(x, 0) = u (x) ; v(x, 0) = v (x) 0 Ω Thay T t đưa phương trình mơ hình ngun Keener-Tyson 3.1 3.1.1 Nghiệm địa phương Sự tồn nghiệm địa phương Viết lại hệ (3.1) dạng  ∂u u−q   − a∆u + u = u + [u(1 − u) − cv ] Ω × (0, ∞),   ∂t ε u+q       ∂v − b∆v + v = u + (1 − )v Ω × (0, ∞), ∂t ε ε  ∂u ∂v   = =0   ∂n ∂n      ∂Ω × (0, ∞), u(x, 0) = u0 (x) ; v(x, 0) = v0 (x) Ω Đặt X = L2 (Ω) = f g 39 : f, g ∈ L2 (Ω) Chương Mơ hình Keener-Tyson Tốn tử ma trận đường chéo X A= A1 0 A2 A1 , A2 tốn tử liên kết với −a∆ + 1, −b∆ + L2 (Ω) thỏa mãn điều kiện biên Neumann ∂Ω Khi A1 , A2 tốn tử quạt tự liên hợp xác định dương L2 (Ω) với miền xác định (Ω) D(A1 ) = D(A2 ) = HN Hơn theo Định lý 1.6 ta có D(Aθ1 ) = D(Aθ2 ) =   H 2θ (Ω)  H 2θ (Ω) N 0≤θ< , < θ ≤ Do A tốn tử quạt tự liên hợp xác định dương X D(A) = H2N (Ω) = [HN (Ω)]2 , D(Aθ ) = Với η cố định cho   H2θ (Ω)  H2θ (Ω) N 0≤θ< , < θ ≤ < η < 1, toán tử F : D(Aη ) → X xác định  u−q  u + ε2 u(1 − u) − cv |u| + q  F (U ) =   1 u + (1 − )v ε ε     ,   U ∈ D(Aη ) Từ (1.4) ta có HN2η (Ω) ⊂ H 2η (Ω) ⊂ C(Ω) suy D(Aη ) ⊂ C(Ω) Đặt K= u0 v0 : ≤ uo , v0 , ∈ L2 (Ω) Khi tốn biên giá trị ban đầu (3.1) có dạng tốn Cauchy X với phương trình   dU + AU = F (U ), < t < ∞, dt  U (0) = U0 40 (3.2) Chương Mơ hình Keener-Tyson Định lý 3.1 (Tồn nghiệm địa phương) Với giá trị ban đầu U0 ∈ K , toán (3.2) tồn nghiệm địa phương U không gian U ∈ C((0, TU0 ]; D(A)) ∩ C([0, TU0 ]; X) ∩ C ((0, TU0 ]; X), TU0 > phụ thuộc vào U0 X Chứng minh Ta có A toán tử quạt Để áp dụng Định lý 1.9, ta cần kiểm tra hàm F thỏa mãn điều kiện Lipschitz Ta có u2 − u˜2 L2 = (u + u˜)(u − u˜) ≤( u + u˜ H 2η L2 u − u˜ H 2η ) 2η u, u˜ ∈ HN (Ω) , L2 Và có uv u˜v˜ − |u| + q |˜ u| + q q(uv − u˜v˜) + uv|˜ u| − |u|˜ uv˜ (|u| + q)(|˜ u| + q) = L2 u(v − v˜) + (u − u˜)˜ v (|u| + q)(|˜ u| + q) ≤q ≤C v − v˜ L2 + v H2η + L2 + v˜ uv|˜ u| − |u|˜ uv˜ (|u| + q)(|˜ u| + q) H2η u − u˜ L2 L2 2η u, v, u˜, v˜ ∈ HN (Ω) Vì D Aη1 = D Aη2 = HN2η (Ω) nên F (U ) − F (U˜ ) X   u˜ − q ) + cv u − q − c˜ (u − u ˜ ) − (u − u ˜ v +  ε2 ε2 |u| + q |˜ u| + q  =   1 (u − u˜) + − (v − v˜) ε ε X u − q u ˜ − q − c˜ v = + (u − u˜) − (u − u˜2 ) + cv ε ε |u| + q |˜ u| + q L2 1 + (u − u˜) + − (v − v˜) ε ε L2 ≤ Cε ( u H 2η + v ≤ Cε ( U H 2η + U˜ ≤ Cε ( Aη U X H 2η + u˜ H 2η + Aη U˜ H 2η + v˜ + 1) U − U˜ X H 2η + 1)( u − u˜ L2 + v − v˜ X + 1) U − U˜ X Suy F (U ) − F (U˜ ) X ≤ Cε ( Aη U X + Aη U˜ Như F thỏa mãn điều kiện Lipschitz (1.29) 41 X + 1) U − U˜ X L2 ) Chương Mơ hình Keener-Tyson Áp dụng Định lý 1.9 (với G(t) = 0) ta với giá trị ban đầu U0 ∈ K , tốn Cauchy (3.2) có nghiệm địa phương không gian U ∈ C((0, TU0 ]; D(A)) ∩ C([0, TU0 ]; X) ∩ C ((0, TU0 ]; X), với TU0 > phụ thuộc vào U0 3.1.2 X Nghiệm địa phương không âm Với U0 ∈ K , cho U = u nghiệm địa phương toán (3.2) với v < t ≤ TU0 Ta chứng minh U không âm Xét toán phụ   dU˜ + AU˜ = F˜ (U˜ ), < t < ∞, dt  U˜ (0) = U , F˜ xác định  u−q  u + ε2 |u|(1 − u) − c|v| |u| + q  F˜ (U ) =    1 |u| + (1 − )v ε ε    ,   U ∈ D(Aη ) Tương tự trước, ta chứng minh tồn nghiệm địa phương U˜ = u˜ v˜ phương trình [0, T˜U0 ] Nghiệm U˜ (t) giá trị thực, liên hợp phức U˜ (t) U˜ (t) nghiệm địa phương toán phụ với giá trị ban đầu Theo tính nghiệm suy U˜ (t) = U˜ (t) Ta chứng minh u˜(t) ≥ v˜(t) ≥ với < t ≤ T˜U0 Trước tiên chứng minh v˜(t) ≥ Xét hàm cắt H(˜v ) thuộc C 1,1   v˜2 với − ∞ < v˜ < H(˜ v) = 0 với ≤ v˜ < ∞ 42 Chương Mơ hình Keener-Tyson Khi hàm ϕ(t) = Ω H(˜ v (t))dx khả vi liên tục với đạo hàm ϕ (t) = H (˜ v (t)).˜ v (t)dx Ω 1 u| − v˜ dx H (˜ v (t)) b∆˜ v + |˜ ε ε Ω H (˜ v )∆˜ v dx + H (˜ v )(|˜ u| − v˜)dx =b ε Ω Ω = Theo cơng thức Green ta có H (˜ v )∆˜ v dx = − ∇H (˜ v )∇˜ v dx Ω Ω =− ∇H (˜ v ) dx ≤ Ω Ta có   v˜2 H (˜ v) = 0 = v˜ với − ∞ < v˜ < 0, với ≤ v˜ < ∞, suy H (˜v ) ≤ Và có H (˜ v )˜ v=  v˜2 với − ∞ < v˜ < 0, 0 với ≤ v˜ < ∞, H (˜v )˜v ≥ Khi ϕ (t) ≤ hay ϕ(t) ≤ ϕ(0) với < t ≤ T˜U0 Ta có ϕ(0) = H(˜ v (0))dx = Ω H(˜ v0 )dx = (do v˜0 ≥ 0) Ω Do ϕ(t) hàm không âm, điều ϕ(t) ≡ với ≤ t ≤ T˜U0 Từ suy H(˜ v (t))dx = hay H(˜ v (0)) = Ω Để có điều v˜(t) ≥ với ≤ t ≤ T˜U0 Tiếp theo chứng minh u˜(t) ≥ Ta đặt φ(t) = H(˜ u(t))dx Ω 43 Chương Mơ hình Keener-Tyson Tương tự ta có φ (t) = H (˜ u(t))˜ u (t)dx Ω = H (˜ u(t)) a∆˜ u+ Ω =a ε2 H (˜ u(t))∆˜ udx + Ω |˜ u|(1 − u˜) − c|˜ v| ε2 u˜ − q |˜ u| + q H (˜ u) |˜ u|(1 − u˜) − c|˜ v| Ω dx u˜ − q dx |˜ u| + q Và H (˜ u)∆˜ udx ≤ 0, H (˜ u) ≤ 0, H (˜ u)˜ u ≥ Ω Suy φ (t) ≤ hay φ(t) ≤ φ(0) với < t ≤ T˜U0 Do φ(0) = φ(t) ≡ 0, u˜(t) ≥ với ≤ t ≤ T˜U0 Ta u˜(t) ≥ 0, v˜(t) ≥ 0, với ≤ t ≤ T˜U0 Theo thành phần không âm U˜ (t) suy F˜ (U˜ (t)) = F (U˜ (t)) với ≤ t ≤ T˜U0 Nghĩa U˜ (t) nghiệm địa phương tốn (3.2) Bởi tính nghiệm (3.2) suy U˜ (t) = U (t) với ≤ t ≤ TU0 , , TU0 = TU0 , T˜U0 Do U (t) ≥ với ≤ t ≤ TU0 Vì u(t) ≥ nên |u(t)| = u(t), điều có nghĩa nghiệm địa phương U toán (3.2) nghiệm địa phương toán (3.1) 3.2 Nghiệm toàn cục 3.2.1 Đánh giá tiên nghiệm u Định lý 3.2 Giả sử U0 ∈ K U = nghiệm địa phương toán v (3.2) [0, TU ] không gian ≤ U ∈ C((0, TU ], H2N (Ω)) ∩ C([0, TU ], L2 (Ω)) ∩ C ((0, TU ], L2 (Ω)) Khi ta có đánh giá sau U (t) ≤ C U0 , ≤ t ≤ TU , số C > khơng phụ thuộc vào TU Chứng minh Ta có 1 u−q ∂u − a∆u + u = u + u(1 − u) − c v ∂t 2 ε u+q Nhân hai vế với u lấy tích phân u Ω ∂u − au∆u + u2 ∂t dx = Ω u−q u + u2 (1 − u) − cuv ε u+q 44 dx Chương Mơ hình Keener-Tyson Suy 1d dt |∇u|2 dx + u2 dx + a Ω Ω u2 dx Ω 1 1 + u2 − u3 dx − c ε ε ε = Ω uv Ω u−q dx u+q Nếu u > q − u−q ≤ cuv ε u+q Nếu ≤ u ≤ q − 1 u−q ≤ cuv ≤ cqv cuv ε u+q ε ε Nên ta có 1d dt u2 dx + Ω 1 1 + u2 − u3 dx + cq ε ε ε u2 dx ≤ Ω Ω vdx Ω Mặt khác 1 ∂v − b∆v + v = (u − v) + v ∂t ε Nhân hai vế với v lấy tích phân ta v Ω 1 uv + − v dx ε ε dx = Ω u2 v u2 v ≤ + nên ε2 ε2 ε Vì uv = 1d dt ∂v − bv∆ + v ∂t |∇v|2 dx + v dx + b Ω Ω v dx ≤ Ω Ω u + − v dx ε2 ε Suy 1d dt v dx + Ω 2 u + − v dx ε ε v dx ≤ Ω Ω Từ ta có đánh giá sau 1d dt u2 + v dx + Ω u2 + v dx Ω ≤ Ω 1 + u2 − u3 + cqv + − v ε ε ε ε Với ≤ u < ∞ ta có u3 u3 + u =3 ε2 2ε2 2ε2 27 u3 u3 ≤ 2+ 2+ 2ε 2ε 27 ε2 +2 ε2 +2 45 ε2 u3 = + 2 ε ε 27 ε2 +2 ε2 dx Chương Mơ hình Keener-Tyson Và − 3ε 1 v c2 q ≤ 4ε − 3ε ε cqv = ε 1 − v + c2 q ε 4 − 3ε ε Ta nhận bất dẳng thức sau 1d dt u2 + v dx+ Ω u2 + v dx Ω ε2 2+ 27 ≤ Ω · 1 c2 q dx + ε 4−3 ε Hay d dt u2 + v dx ≤ Cε−3 u2 + v dx + Ω Ω Giải bất đẳng thức vi phân ta có u2 + v ≤ e−t u20 + v02 dx + Cε−3 Ω Suy u(t) L2 + v(t) −t L2 ≤ e U (t) L2 u0 L2 + v0 L2 + Cε−3 , ≤ t ≤ TU Khi ≤ e−t U0 L2 ≤ X + Cε−3 , ≤ t < TU , từ ta có U (t) 3.2.2 X U0 + Cε−3 , ≤ t ≤ TU Sự tồn nghiệm toàn cục Định lý 3.3 Với U0 ∈ X , toán (3.2) tồn nghiệm tồn cục khơng gian ≤ U ∈ C((0, ∞); H2N (Ω)) ∩ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ C ((0, ∞); L2 (Ω)), thỏa mãn đánh giá U (t, U0 ) X ≤ e−t U0 X + Cε−3 , ≤ t < ∞, U0 ∈ K số C > Chứng minh Định lý tương tự chứng minh Định lý 2.3 46 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số vấn đề sau: - Sự tồn nghiệm tốn Cauchy phương trình tiến hóa nửa tuyến tính - Sự tồn nghiệm mơ hình mơ tả phản ứng Belousov-Zhabotinskii Mặc dù cố gắng hết mình, khả thời gian có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức lỗi tả soạn thảo LaTex Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 47 Tài liệu tham khảo [1] M Aida, M Efendiev and A Yagi (2005), Quasilinear abstract parabolic and exponential attractor, Osaka J Math., 42, p 101-132 [2] J.P Keener and J.J Tyson (1986), Spiral waves in the Belousov-Zhabotinskii reaction, Physica D., 21, p 307-324 [3] K Osaki and A Yagi (2002), Global existence for a chemotaxis-growth system in R2 , Adv Math Sci Appl 12, p 587-606 [4] M.X Wang, S.L Xiong, Q.X Ye (1994), Explicit wave front solution of Noyes-Field systems for the Belousov-Zhabotinskii reaction, J Math Anal Appl 182, p 705-717 [5] Atsushi Yagi (2010), Abstract parabolic evolution equations and their applications, Springer, Berlin 48 ... Mơ hình Field-Noyes Chương trình bày mơ hình tốn học mà Field-Noyes đưa để mơ tả phản ứng Belousov - Zhabotinskii Ta chứng minh tồn địa phương, xây dựng đánh giá tiên nghiệm chứng minh tồn nghiệm. .. tiên nghiệm 2.2.2 Sự tồn nghiệm tồn cục Mơ hình Keener-Tyson 3.1 Nghiệm địa phương 3.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 3.1.2 Nghiệm địa phương không âm 3.2 Nghiệm toàn cục ... Mô hình Field-Noyes 2.1 Nghiệm địa phương 2.1.1 Sự tồn nghiệm địa phương 2.1.2 Nghiệm địa phương không âm 2.2 Nghiệm toàn cục 2.2.1 Đánh giá tiên nghiệm 2.2.2 Sự