Về dãy lặp lùi của hàm chỉnh hình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM KIM PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2012 Về dãy lặp lùi hàm chỉnh hình Ngày 22 tháng 11 năm 2012 Lời cảm ơn Lời cảm ơn Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình Thầy TS Ninh Văn Thu Thầy hết lòng giúp đỡ, dạy bảo, động viên em suốt trình học tập làm luận văn Em xin gửi tới Thầy lời cảm chân thành sâu sắc Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy PGS.TS Nguyễn Đình Sang, Thầy cho em nhiều ý kiến đóng góp quý báu để em hoàn thành tốt luận văn Em muốn bày tỏ cảm ơn chân thành đến tất thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội bảo tận tình suốt thời gian em học tập trường Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập thực luận văn Do thời gian có hạn trình độ cịn hạn chế nên luận văn em tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2012 Học viên Phạm Kim Phượng Danh mục kí hiệu Danh mục kí hiệu Cn khơng gian phức n - chiều Hol(X, X) tập ánh xạ chỉnh hình từ X vào X ∆ := {z ∈ C |z| < 1} đĩa đơn vị mặt phẳng phức k C (Ω) không gian hàm khả vi liên tục đến cấp k miền Ω kết thúc chứng minh Mục lục Lời cảm ơn Danh mục kí hiệu Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi 1.3 Trắc địa phức 1.4 Ánh xạ Elliptic mạnh 1.5 Mặt cực hạn, hệ số co giãn 11 Về dãy lặp lùi hàm chỉnh hình 19 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 19 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn 26 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Lời nói đầu Lời nói đầu Cho f : X → X hàm chỉnh hình Dãy lặp lùi f {xn }n∈N ∈ X thỏa mãn điều kiện f (xn+1 ) = xn , ∀n ∈ N Một vấn đề đặt miền lồi mạnh, bị chặn, với ánh xạ chỉnh hình f hyperbolic, parabolic elliptic mạnh dãy lặp lùi hội tụ nào? Vào năm 2003, Poggi - Corradini giải vấn đề X = ∆, (∆: đĩa đơn vị C) Cụ thể, họ chứng minh dãy lặp lùi hội tụ tới điểm biên ∆ Điểm điểm đẩy, điểm parabolic cố định f Năm 2010, O.Ostapyuk mở rộng kết Poggi - Corradini việc xét hình cầu đơn vị B d ∈ Cd cho kết tương tự Còn bây giờ, ta xét dãy lặp lùi miền D lồi mạnh, bị chặn ánh xạ f : D → D thu kết sau : Định lý Cho D ⊂⊂ Cd miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) ¯ dãy lặp lùi hyperbolic, parabolic elliptic mạnh với điểm Wolff τ ∈ D {zn } ∈ D f với bước nhảy Kobayashi bị chặn Khi i Dãy {zn } hội tụ tới điểm đẩy điểm biên parabolic cố định σ ∈ ∂D; ii.Nếu f elliptic mạnh hyperbolic σ điểm đẩy; iii.Nếu σ = τ f parabolic; iv.Tồn M > cho zn ∈ Kp (σ, M ) với p điểm thuộc D Định lý mô tả rõ ràng giới hạn điểm dãy lặp lùi Mục đích luận văn nghiên cứu tính lặp lùi hàm chỉnh hình Nội dung luận văn gồm chương : Chương bao gồm kiến thức chuẩn bị hàm chỉnh hình, khoảng cách Kobayashi, Elliptic mạnh, mặt cực hạn, hệ số co giãn tính chất Chương luận văn tập trung vào chứng minh kết định lý nêu trên, đồng thời tác giả nghiên cứu thêm tính hội tụ dãy lặp lùi miền Lời nói đầu khơng bị chặn Do thời gian trình độ có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong thầy bạn đọc đóng góp ý kiến lượng thứ Hà Nội, ngày tháng 12 năm 2012 Phạm Kim Phượng Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình Giả sử Ω tập mở Cn , ta đồng Cn với R2n Xét hàm f : Ω → C, f ∈ C1 (Ω), zj = xj + iyj , j = 1, 2, , n n df = j=1 n = j=1 ∂f dxj + ∂xj ∂f dzj + ∂zj n j=1 n j=1 ∂f dyj ∂yj ∂f dz¯j , ∂ z¯j ∂f = ∂zj ∂f ∂f −i ∂xj ∂yj , ∂f = ∂ z¯j ∂f ∂f +i ∂xj ∂yj Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (z) = u (x, y) + iv (x, y), z = x + iy xác định Ω với x, y ∈ Rn Hàm f gọi R2n - khả vi z0 = x0 + iy0 hàm u (x, y) v (x, y) khả vi (x0 , y0 ) Định nghĩa 1.1.2 Hàm f gọi Cn khả vi z0 ∈ Ω f R2n khả vi z0 thoả mãn phương trình Cauchy - Rieman ∂f (z0 ) = 0, ∀j = 1, 2, , n, ∂ z¯j 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi tức n df = j=1 ∂f dz¯j ∂ z¯j Định nghĩa 1.1.3 Hàm f gọi chỉnh hình z0 ∈ Ω Cn khả vi lân cận z0 Hàm f gọi chỉnh hình Ω chỉnh hình z0 ∈ Ω 1.2 Giả khoảng cách Kobayashi Định nghĩa 1.2.1 (Khoảng cách) Khoảng cách k tập X hàm k :X ×X →R (x, y) → k (x, y) thoả mãn điều kiện sau với x, y thuộc X i k (x, y) ≥ 0; k (x, y) > ∀x = y; ii k (x, y) = k (y, x); iii k (x, y) ≤ k (x, z) + k (z, y); Nếu k thoả mãn ii, iii k (x, y) ≥ k gọi giả khoảng cách X Định nghĩa 1.2.2 (Khoảng cách Bergman - Poincare) Giả sử ∆ = {z ∈ C : |z| < 1} đĩa đơn vị mở mặt phẳng phức C Trên ∆ ta xét ρ (0, z) = log + |z| , ∀z ∈ ∆ − |z| gọi khoảng cách Bergman - Poincare Định nghĩa 1.2.3 (Giả khoảng cách Kobayashi) Giả sử X không gian phức, p, q hai điểm tuỳ ý X Ta gọi dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q tập hợp {a1 , a2 , , an ∈ ∆; f1 , f2 , , fn ∈ Hol (∆, X)} 1.5 Mặt cực hạn, hệ số co giãn 17 Chứng minh Theo bổ đề 1.5.3, suy tồn τ ∈ ∂D cho f k (Ez0 (τ, R)) ⊂ Ez0 (τ, R) Ta cần chứng minh f k → τ Lấy h ∈ Hol(D, Cn ) điểm giới hạn f k Ta chứng minh h ≡ τ Chọn dãy f kν hội tụ đến h Theo [định lý 2.4.20,2] h (D) ⊂ ∂D Theo bổ đề 1.5.3 trên, với z0 ∈ D, R > ta có f kν (Ez0 (x, R)) ⊂ Ez0 (x, R) Cho ν → +∞ ta h (Ez0 (τ, R)) ⊂ Ez0 (τ, R) ∩ ∂D = {τ } Vậy h ≡ x Định nghĩa 1.5.3 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn f ∈ Hol(D, D) khơng có điểm cố định Điểm τ ∈ ∂D định lý gọi điểm Wolff f Định lý 1.5.4 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn f ∈ Hol(D, D) khơng có điểm cố định Với τ ∈ ∂D, khẳng định sau tương đương (i) τ điểm biên cố định với < βτ ≤ 1; (ii) f (Ep (τ, R)) ⊆ Ep (τ, R), ∀R > 0, p ∈ D; (iii) τ điểm Wolff f Chứng minh i → ii : Từ mệnh đề 1.5.3 suy điều phải chứng minh ii → iii : Theo chứng minh định lý 1.5.5, ta suy dãy lặp f hội tụ đến τ nên τ điểm Wolff f iii → i : Vì f khơng có điểm cố định nên theo bổ đề 1.5.3 suy tồn τ ∈ ∂D cho f Ep τ , R ⊂ Ep τ , R nên τ điểm Wolff f f có K-giới hạn τ τ Mà τ điểm Wolff f nên τ ≡ τ 1.5 Mặt cực hạn, hệ số co giãn 18 Vậy f có K-giới hạn τ τ hay τ điểm cố định bị chặn f Lấy cố định p ∈ ∂D ϕ ∈ Hol(∆, D) trắc địa phức với ϕ (0) = p, ϕ (1) = τ Gọi p˜ϕ nghịch đảo trái ϕ Đặt f˜ = p˜ϕ · f · ϕ ∈ Hol(∆, ∆) Suy f˜ (E0 (1, R)) ⊂ E0 (1, R) với R > Khi đó, f˜ ánh xạ đồng f˜ khơng có điểm cố định Xét f˜ ánh xạ đồng βτ = Xét f˜ khơng có điểm cố định : Vì f˜ có điểm Wolff ∈ ∂∆, theo bổ đề [2,1.2.16] hệ số co giãn β f˜ nằm (0,1] Mà β = βτ nên βτ ∈ (0,1] Định nghĩa 1.5.4 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn f ∈ Hol(D, D) khơng có điểm cố định với điểm Wolff τ ∈ ∂D Ta nói f hyperbolic < βτ < 1; parabolic βτ = Chương Về dãy lặp lùi hàm chỉnh hình 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn Trong phần này, ta chứng minh định lý sau - kết quan trọng dãy lặp lùi hàm chỉnh hình Định lý 2.0 Cho D ⊂⊂ Cd miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) ¯ dãy lặp lùi hyperbolic, parabolic elliptic mạnh với điểm Wolff τ ∈ D {zn } ∈ D f với bước nhảy Kobayashi bị chặn Khi i Dãy {zn } hội tụ tới điểm đẩy điểm biên parabolic cố định σ ∈ ∂D; ii.Nếu f elliptic mạnh hyperbolic σ điểm đẩy; iii.Nếu σ = τ f parabolic; iv.Tồn M > cho {zn } ∈ Kp (σ, M ) với p điểm thuộc D Trước hết, ta đưa vài khái niệm sau Định nghĩa 2.1.1 Cho ánh xạ f : X → X, dãy lặp lùi f dãy {xn }n∈N ∈ X cho f (xn+1 ) = xn , với n ∈ N Định nghĩa 2.1.2 X đa tạp hyperbolic Dãy {zn } ∈ X có bước nhảy Kobayashi bị chặn a = sup kX (zn+1 , zn ) < +∞ Số a gọi bước nhảy Kobayashi dãy Ta chứng minh định lý 2.0 trường hợp f hyperbolic parabolic 19 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 20 Bổ đề 2.1.1 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Dãy zn dãy lặp lùi cho parabolic hyperbolic f ∈ Hol(D, D) Khi đó, zn → ∂D n → +∞ Chứng minh Giả sử ngược lại, zn không hội tụ đến ∂D n → +∞ Khi đó, tồn dãy znk hội tụ tới w0 ∈ D Ta có kD (w0 , znk ) → 0, k → +∞ Lại có kD (f nk (w0 ), f nk (znk )) ≤ kD (w0 , znk ) → 0, k → +∞ Vì znk dãy lặp lùi nên f nk (znk ) = z0 , ∀k Gọi τ điểm Wolff nên f nk (w0 ) → τ k → +∞ Lại có khoảng cách kD đầy đủ nên lim kD (f nk (ω0 ) , f nk (znk )) = +∞, k→∞ vô lý Bổ đề 2.1.2 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Dãy {zn } ∈ D có bước nhảy Kobayashi bị chặn a > 0, hội tụ dần biên miền D Khi tồn σ ∈ ∂D cho zn → σ n→∞ Chứng minh Vì {zn } hội tụ ∂D nên tồn dãy znj → σ ∈ ∂D Ta chứng minh dãy hội tụ tới σ Nếu với k ∈ N, dãy znj +k hội tụ tới σ ta có điều phải chứng minh Giả sử ngược lại, tồn số k nhỏ cho znj +k−1 → σ ∈ ∂D znj +k → σ ˜ ∈ ∂D Đặt nj + k − = mj , ⇒ nj + k = mj + Khi đó, zmj +1 zmj → σ ∈ ∂D → σ ˜ ∈ ∂D Theo [2, Bổ đề 2.3.55] với ε > K > cho zmj − σ < ε zmj +1 − σ ˜ < ε ta có K− 1 log d(zmj , ∂D) − log d(zmj +1 , ∂D) ≤ kD zmj , zmj +1 ≤ a 2 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 21 Cho j → +∞ suy ∞ ≤ a vô lý Bổ đề 2.1.3 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn, cố định điểm p ∈ D Lấy f ∈ Hol(D, D) dãy {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhẩy Kobayashi a = log α, hội tụ tới σ ∈ ∂D Khi đó, σ điểm biên cố định f βσ ≤ α Chứng minh Trước hết, ta có log βσp = lim inf [kD (ω, p) − kD (f (ω) , p)] ≤ lim inf [kD (zn+1 , p) − kD (zn , p)] ω→σ n→∞ ≤ lim inf kD (zn+1 , zn ) ≤ a = logα n→∞ Vì zn → σ f (zn ) = zn−1 n → +∞ nên f (Ep (σ, R)) ⊆ Ep (σ, αR),∀R > Theo mệnh đề 1.5.3, suy f có K-giới hạn σ σ nên σ điểm biên cố định f Bổ đề 2.1.4 D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) hyperbolic parabolic với điểm Wolff τ ∈ ∂D hệ số co giãn < βτ ≤ Cho {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhảy Kobayashi bị chặn α, hội tụ đến σ ∈ ∂D \ {τ } Khi ≥ βτ ¯ D) ¯ trắc địa Chứng minh Với cặp điểm τ, σ ∈ ∂D, tồn ϕ ∈ Hol(∆, βσ ≥ phức cho ϕ (−1) = σ, ϕ (1) = τ Từ mệnh đề 1.5.3, với p ∈ Ep (σ, 1) f (p) ∈ Ep (σ, βσ ), với p ∈ Ep (τ, 1) f (p) ∈ Ep (τ, βτ ) Suy Ep (σ, βσ ) ∩ Ep (τ, βτ ) = ∅ Đặt p˜ϕ : D → ∆ nghịch đảo trái ϕ Khi đó, ∅ = p˜ϕ Ep (σ, βσ ) ∩ Ep (τ, βτ ) ⊆ p˜ϕ Ep (σ, βσ ) ∩ p˜ϕ Ep (τ, βτ ) = E0 (−1, βσ ) ∩ E0 (1, βτ ) Do E0 (1, βτ ) đĩa Euclidean bán kính đĩa Euclidean bán kính βσ βσ +1 βτ βτ +1 tiếp xúc ∂∆ E0 (−1, βσ ) tiếp xúc ∂∆ -1 Hai đĩa giao nên − (−1) ≤ 2βτ 2βσ + , βτ + βσ + 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 22 βτ βσ ≥ Ta chứng minh phần iv định lý 2.0 dựa vào bổ đề 2.1.5 sau Bổ đề 2.1.5 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn.Lấy f ∈ Hol(D, D) hyperbolic parabolic với điểm Wolff τ ∈ ∂D.Lấy {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = log α, hội tụ đến σ ∈ ∂D Khi đó,∀p ∈ D, tồn M > cho zn ∈ K (σ, M ) Chứng minh Ta có log βσp = lim inf [kD (p, z) − kD (p, f (z))] z→σ ≤ lim inf [kD (zn+1 , p) − kD (zn , p)] n→∞ Vì f hyperbolic parabolic nên < βτ ≤ nên theo bổ đề trên, suy βσ ≥ Khi đó, tồn n0 ≥ 0, ∀n ≥ n0 kD (zn+1 , p) − kD (zn , p) ≥ log βσ1/2 Suy 1/2 kD (zn+1 , p) − kD (zn , p) − kD (zn+1 , zn ) ≥ 21 log βσ − 12 log α > ∞, nên kD (p, zn+2 ) − kD (p, zn , ) − kD (zn+2 , zn ) ≥ kD (p, zn+1 ) − kD (zn+2 , zn+1 ) − kD (p, zn , ) − kD (zn+2 , zn ) , 1/2 βσ ≥ kD (p, zn+1 ) − kD (p, zn ) − kD (zn+1 , zn ) ≥ log α Với m > n ≥ n0 , ta có 1/2 βσ kD (p, zm ) − kD (p, zn ) − kD (zn , zm ) ≥ log α Nên −1/2 βσ kD (zn , zm ) − kD (p, zm ) + kD (p, zn ) ≤ log α 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 23 Suy lim [kD (zn , ω) − kD (p, ω)] + kD (p, zn ) ω→σ = lim [kD (zn , zm ) − kD (p, zm )] + kD (p, zn ) m→∞ ≤ log αβσ−1/2 < +∞ ∀n ≥ n0 Tiếp theo, ta chứng minh ý iii định lý 2.0 dựa vào bổ đề sau Bổ đề 2.1.6 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn điểm p cố định thuộc D Lấy f ∈ Hol(D, D) hyperbolic parabolic với điểm Wolff τ ∈ ∂D hệ số co giãn < βτ = 1, {zn } ∈ D dãy lăp lùi f Khi ∀n ∈ N , ta có hτ p (zn ) ≥ βτ n hτ p (z0 ) Chứng minh Đặt tn = hτ p (zn ) ⇒ zn ∈ ∂Ep (τ, tn ) Theo mệnh đề 1.5.3, zn+1 ∈ Ep (τ, R) zn ∈ Ep (τ, βτ R) Vì zn ∈ / Ep (τ, tn ) nên f (zn ) = zn+1 ∈ / Ep (τ, βτ−1 tn ) Suy tn+1 ≥ tn βτ Do tn+1 ≥ 1 tn ≥ tn−1 ≥ ≥ n t0 βτ βτ βτ Từ đó, ta có hệ sau Hệ 2.1.7 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) ¯ dãy {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với hyperbolic với điểm Wolff τ ∈ D bước nhảy Kobayashi α > 0, hội tụ đến σ ∈ ∂D Khi σ = τ Chứng minh Theo bổ đề 2.1.5 zn ∈ Kp (σ, M ), (p ∈ D) Mà theo bổ đề 2.1.6 zn ∈ / Ep (τ, hτ p (zn )) nên σ = τ 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 24 Tiếp theo, ta chứng minh định lý 0.1 với trường hợp f ánh xạ elliptic mạnh Bổ đề 2.1.7 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) elliptic mạnh với điểm Wolff p ∈ D Khi đó, với R0 > 0, tồn < c = c (R0 ) < cho kD (f (z) , p) − kD (z, p) ≤ log c < 0, với z ∈ D, kD (z, p) ≥ R0 Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử với c < 1, tồn z (c) ∈ D với kD (z (c) , p) ≥ R0 cho kD (f (z (c)) , p) − kD (z (c) , p) > log c Chọn c = − n1 Giả sử z∞ điểm giới hạn dãy z − n Nếu z∞ ∈ D ta có kD (f (z∞ ) , p) − kD (z∞ , p) ≥ log = 0, mâu thuẫn với bổ đề 1.4.1, z∞ ∈ ∂D Lại có lim inf [kD (z, p) − kD (f (z) , p)] ≤ z→z∞ nên < βz∞ p ≤ Theo mệnh đề 1.5.3 suy f (Ep (z∞ , R)) ⊆ Ep (z∞ , R) ∀R > Chọn R < cho p ∈ / Ep (z∞ , R) ω ∈ Ep (z∞ , R) điểm cho kD (x, ω) Vì f (ω) ∈ Ep (z∞ , R) suy kD (f (ω) , p) ≥ kD (ω, p) Do ω = p, f elliptic mạnh nên mâu thuẫn với bổ đề 1.4.1 Bổ đề 2.1.8 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) elliptic mạnh với điểm Wolff p ∈ D, dãy {zn } ⊂ D dãy lặp lùi f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = điểm biên cố định f với βσ ≤ α log α Khi đó, zn → σ ∈ ∂D σ 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 25 Chứng minh Đặt − 21 log sn = kD (zn , p) Khơng tính tổng qt giả sử z0 = p Đặt R0 = kD (z0 , p) Theo bổ đề 2.1.8, ta có c = c (R0 ) < kD (zn , p) − kD (zn+1 , p) ≤ log c < Nên kD (zn+1 , p) > kD (zn , p) ≥ R0 , Và −1 1 log sn + log sn+1 ≤ log c 2 Suy sn+1 ≤ c.sn Vì sn+k ≤ ck sn , ∀n, k ∈ N Vậy sn → n → ∞ tức kD (zn , p) → nên zn → σ ∈ ∂D Theo bổ đề 2.1.2 2.1.3 suy σ điểm biên cố định f với βσ ≤ α Bổ đề 2.1.9 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn Lấy f ∈ Hol(D, D) elliptic mạnh với điểm Wolff p ∈ D Nếu σ ∈ ∂D điểm biên cố định βσ > Chứng minh Theo bổ đề 2.1.8, với < c < ta có 1 log βσ = lim inf [kD (z, p) − kD (f (z) , p)] ≥ − log c > zn→∞σ 2 Suy βσ > Từ bổ đề 2.1.8 2.1.9 ta chứng minh ý i, ii định lý 2.0 với trường hợp f elliptic mạnh Bổ đề 2.1.10 Cho D ⊂⊂ Cn miền C lồi mạnh, bị chặn.Lấy f ∈ Hol(D, D) elliptic mạnh với điểm Wolff τ ∈ D dãy lặp lùi {zn } ∈ D có bước nhảy Kobayashi bị chặn, hội tụ đến σ ∈ ∂D Khi đó, với p ∈ D tồn M > cho zn ∈ Kp (σ, M ) 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn 26 Chứng minh Theo bổ đề 2.1.7, tồn < c < cho lim [kD (zn , τ ) − kD (f (zn ) , τ )] ≥ n→∞ −1 log c > 0, Nên lim [kD (zn , τ ) − kD (zn+1 , τ )] ≥ n→∞ 1 log > c Sau đó, ta áp dụng chứng minh tương tự bổ đề 2.1.5 ta có điều phải chứng minh 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn Cho D miền hyperbolic đầy Cn Với τ ∈ ∂D ∪ {∞}, p ∈ D, phần này, ta xét hàm hτ,p : D → R+ xác định sau log hτ,p = lim inf [kD (z, w) − kD (p, w)] w→τ Định nghĩa 2.2.1 Cho D miền hyperbolic đầy Cn Cố định p ∈ D, x ∈ ∂D ∪ {∞} R > Khi đó, mặt cực hạn nhỏ EpD (x, R) mặt cực hạn lớn FpD (x, R) tâm x, cực p, bán kính R định nghĩa sau EpD (x, R) = {z ∈ D| lim sup[kD (z, w) − kD (p, w)] < log R}, FpD (x, R) = {z ∈ D| lim inf [kD (z, w) − kD (p, w)] < log R}, D w→x D w→x kD khoảng cách Kobayashi D Chú ý Trong công thức trên, limsup liminf hữu hạn Thật vậy, p, z, ω ∈ D, ta có |kD (z, ω) − kD (p, ω)| ≤ kD (p, z) Do đó, ∀x ∈ ∂D −∞ < −kD (p, z) ≤ lim inf D kD (p, w)] ≤ kD (z0 , z) < +∞ w→x [kD (z, w)−kD (p, w)] ≤ lim supD w→x [kD (z, w)− 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn 27 Định nghĩa 2.2.2 Cho f ∈ Hol(D, D) với D ⊂ Cn tập hữu hạn σ ∈ ∂D ∪ {∞} Hệ số co giãn βσ,p ∈ (0, +∞] f σ ∈ ∂D ∪ {∞} với cực p ∈ D xác định sau log βσ,p = lim inf [kD (p, z) − kD (p, f (z))], z→σ Hơn nữa, σ ∈ ∂D ∪ {∞} điểm biên cố định f f có K-giới hạn σ σ Bằng việc chứng minh tương tự bổ đề phần trên, ta thu kết sau: Mệnh đề 2.2.1 Cho D miền hyperbolic đầy Cn , ∂D biên C ∞ - trơn, hữu hạn f ∈ Hol(D, D) Lấy σ ∈ ∂D p ∈ D cho hệ số co giãn βσ,p hữu hạn Khi đó, tồn τ ∈ ∂D ∪ {∞} cho ∀R > f (Fp (σ, R)) ⊂ Fp (τ, βσ,p R), f có K-giới hạn τ σ Bổ đề 2.2.1 Cho D miền hyperbolic đầy Cn với ∂D thuộc lớp C ∞ trơn, hữu hạn Lấy {zn } ∈ D dãy lặp lùi f ∈ Hol(D, D) với điểm Wolff τ ∈ ∂D ∪ {∞} Khi đó, zn → ∂D ∪ {∞} n → ∞ Bổ đề 2.2.2 Cho D miền hyperbolic đầy Cn với ∂D thuộc lớp C ∞ trơn, hữư hạn dãy lặp lùi {zn } ∈ D với bước nhảy Kobayashi bị chặn, hội tụ đến ∂D ∪ {∞} Khi đó, tồn σ ∈ ∂D ∪ {∞} cho zn → σ n → +∞ Bổ đề 2.2.3 Cho D miền hyperbolic đầy Cn , p ∈ D Giả sử ∂D C ∞ - trơn, hữu hạn Lấy f ∈ Hol(D, D) {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = 12 log α hội tụ đến σ ∈ ∂D ∪ {∞} Khi đó, σ điểm biên cố định f βσ,p ≤ α Bổ đề 2.2.4 Cho D miền hyperbolic đầy Cn p ∈ D Giả sử ∂D thuộc lớp C ∞ - trơn, hữu hạn Lấy f ∈ Hol(D, D) có điểm Wolff τ ∈ ∂D ∪ {∞}, {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhảy Kobayashi bị chặn a = 21 log α 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn 28 hội tụ đến σ ∈ ∂D ∪ {∞} Khi đó, với p ∈ D tồn M > cho zn ∈ Kp (σ, M ) Chứng minh Lấy p ∈ D, ta có lim inf [kD (p, zn+1 ) − kD (p, zn )] ≥ n→∞ log βσ,p ; Vì tồn n0 ≥ cho kD (p, zn+1 ) − kD (p, zn ) ≥ 1 log βσ,p − log 2 với n ≥ n0 Vì kD (p, zn+1 ) − kD (p, zn ) − kD (zn+1 , zn ) ≥ 1 log βσ,p − log − log α > −∞, 2 Lại có kD (p, zn+2 ) − kD (p, zn ) − kD (zn+2 , zn ) ≥ kD (p, zn+1 ) − kD (zn+2 , zn+1 ) − kD (p, zn ) − kD (zn+2 , zn ) ≥ kD (p, zn+1 ) − kD (p, zn ) − kD (zn+1 , zn ) ≥ βσ,p log 2α Vậy với m > n ≥ n0 kD (p, zm ) − kD (p, zn ) − kD (zm , zn ) ≥ βσ,p log , 2α nên kD (zm , zn ) − kD (p, zm ) + kD (p, zn ) ≤ −1 log(2αβσ,p ) Khi đó, lim inf [kD (zn , w) − kD (p, w)] + kD (p, zn ) w→σ ≤ lim [kD (zn , zm ) − kD (p, zm )] + kD (p, zn ) m→∞ ≤ với n ≥ n0 −1 ) < +∞, log(2αβσ,p 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn 29 Bổ đề 2.2.5 Cho D miền hyperbolic đầy Cn p ∈ D Giả thiết ∂D thuộc C ∞ - trơn, hữư hạn Lấy f ∈ Hol(D, D) hyperbolic parabolic có điểm Wolff τ ∈ ∂D ∪ {∞} hệ số co giãn < βτ,p ≤ {zn } ∈ D dãy lặp lùi f Khi ∀n ∈ N hτ,p (zn ) ≥ ( n ) hτ,p (z0 ) βτ,p Từ đó, ta có hệ sau Hệ 2.2.1 Cho D miền hyperbolic đầy Cn , cố định điểm p ∈ D Giả sử ∂D thuộc C ∞ - trơn hữu hạn Lấy f ∈ Hol(D, D) hyperbolic có ¯ ∪ {∞}, {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhảy điểm Wolff τ ∈ D Kobayashi bị chặn a > hội tụ đến σ ∈ ∂D ∪ {∞} Khi σ = τ Từ hệ suy τ = σ f parabolic Như vậy, việc xét dãy lặp lùi hàm chỉnh hình miền khơng bị chặn, ta thu kết sau: Cho D miền hyperbolic đầy Cn Giả thiết ∂D thuộc lớp C ∞ - trơn, hữư hạn Lấy f ∈ hol(D, D) có điểm Wolff τ ∈ ∂D ∪ {∞} {zn } ∈ D dãy lặp lùi f với bước nhảy Kobayashi bị chặn Khi i {zn } hội tụ đến điểm biên cố định σ ∈ ∂D ∪ {∞}; ii Nếu τ = σ f parabolic; iii Tồn M > cho zn ∈ Kp (σ, M ) với p ∈ D Kết luận 30 KẾT LUẬN Luận văn trình bày thu : - Trong miền bị chặn, ánh xạ f hyperbolic, parabolic elliptic mạnh dãy lặp lùi hội tụ đến điểm đẩy điểm parabolic cố định σ ∈ ∂D tồn M > để dãy lặp lùi nằm miền Kp (σ, M ) Nếu f hyperbolic elliptic mạnh σ điểm đẩy Nếu điểm σ trùng với điểm Wolff f f parabolic - Trong miền khơng bị chặn, dãy lặp lùi hội tụ đến điểm biên cố định σ ∈ ∂D ∪ {∞} tồn M > cho dãy lặp lùi nằm miền Kp (σ, M ) với p ∈ D Nếu điểm σ trùng với điểm Wolff f f parabolic Tài liệu tham khảo [1] Đỗ Đức Thái, Cơ sở lý thuyết hàm hình học, NXB Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Marco Abate, Jasmin Raissy (2011), Backward iteration in strongly convex domains, Advances in Mathematics 2837-2854 [3] Marco Abate, Iteration theory of horomorphic maps on taunt manifolds Mediterranean Press, Cosenza,1989 [4] Marco Abate, Horospheres and iterations of horomorphic maps, Math.Z.198 (1988)) 225 - 238 [5] P.Poggi - Corradini, Backward iteration sequences with bounded hyperbolic steps for analytic self-maps of the disk, Rev Mat Iberoamericana 19 (2003) 943-970 [6] O.Ostapyuk,Backward iteration in the unit ball, Perprint, arXiv: 0910.5451, 2010, Illinois J.Math ,in press ... 1; parabolic βτ = Chương Về dãy lặp lùi hàm chỉnh hình 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn Trong phần này, ta chứng minh định lý sau - kết quan trọng dãy lặp lùi hàm chỉnh hình Định lý 2.0 Cho D ⊂⊂... PHƯỢNG VỀ DÃY LẶP LÙI CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NINH VĂN THU Hà Nội - Năm 2012 Về dãy lặp lùi hàm chỉnh hình. .. Mặt cực hạn, hệ số co giãn 11 Về dãy lặp lùi hàm chỉnh hình 19 2.1 Dãy lặp lùi miền bị chặn 19 2.2 Dãy lặp lùi miền không bị chặn 26 Kết luận