Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học : 2008 – 2009
Mơn : Tóan
Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) Ngày thi : 13 / 12 / 2008
Câu 1 : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số
M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( điểm ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình
phương đa thức khác
Câu : ( điểm ) Cho biểu thức :
P = ( x
2
x3−4x+
6 6−3x+
1
x+2):(x −2+ 10− x2
x+2 )
a) Rút gọn p
b) Tính giá trị biểu thức p /x / = 34
c) Với giá trị x p =
d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên
Câu 4 : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥
Câu 5 : ( 3điểm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm)
Câu 6 : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển
động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ
(2)-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học : 2008 – 2009
Mơn : Tóan
Câu : ( điểm ) Ta có M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
= ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ đ )
= xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ đ )
= ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ )
Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ đ )
Câu 2 :( điểm )
Ta viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + = ( x2 – 3x + k )2
= x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx ( 1/2ñ )
= x4 – 6x3 + ( + 2k )x2 – 6kx + k2 ( 1/2 ñ )
Đồng vế ta có :
a = + 2k (1) ( 1/2ñ ) b = - 6k (2)
1 = k2 (3)
Từ (3) ta suy : k = ± ( 1/2 ñ )
Nếu k = - ; b = a = ( ½ đ )
Ta có : A = x4 – x3 + x2 + x + = ( x2 – x – )2 ( ½ ñ )
Nếu k = ; b = - ; a = 11 ( ½ đ )
Ta có : A = x4 – x3 + 11 x2 – 6x + = ( x2 – 3x + )2 ( ½ đ )
Câu 3 :( ñieåm )
a) p = ( x
(x+2)(x −2)−
2
x −2+
x+2):
6
x+2
= x −2(x+2)+x −2
(x −2)(x+2) :
6
x+2=−
1
x −2=
2− x ( ½ đ )
b) Với x ≠ ; x ≠ ± biểu thức p xác định ( 1/4 ñ )
/x/ = 34 nên x = 34 x = - 34
( 1/4 ñ )
+ Nếu x = 34 p =
1 2−3
4
=4
5
(3)+ Nếu x = - 34 p =
1 2+3
4
=
11
( ½ đ )
c) Với p = 2− x1 =7 x = 13
7 ( thỏa mãn điều kiện x ) ( ½
đ )
d) Để p có giá trị ngun - x phải ước ( ½ đ )
Từ ta có : x = ; x = ; ( ½ ñ )
Vậy để p nguyên lúc x = ; x = ; ( ½ đ )
Câu 4 : ( điểm ) Vì a2 + b2 + c2 = nên - ≤ a , b , c ≤ 1
a + ≥ ; b + ≥ ; c + ≥ ( ¼ đ )
Do : ( a + ) ( b + ) ( c + ) ≥ ( ¼ đ )
+ a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ (1) ( 1/2 ñ )
Cộng vế (1) cho + a + b +c + ab + bc + ca Ta có :
abc + ( + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 ñ )
Ta biết : + a + b + c + ab + bc + ac =
1
2 ( + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + ab + bc + ac ) = ( 1/2
ñ )
1
2 ( + a + b + c )2 ≥ ( a2 + b2 + c2 = ) ( 1/2 ñ )
Vậy abc + ( + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ ( 1/2 ñ )
Câu : ( 3điểm )
A M
K G
B C N
ta có : GKBK =1
3; BG BK=
2
3 ( ¼ đ )
Do MN // AC nên AMAB =CN
BC= GK BK =
1
3 ( ¼ đ )
Mà AMAB+NC
+BC =
1
(4)vì AM + NC = 16 (cm) AB + BC = 75 – AC ( 3/4 ñ )
Do : 1675−AC=1
3 AC = 27 (cm) ( 3/4 đ )
Ta lại có : MNAC =2
3⇒ MN 27 =
2
3⇒MN=18 (cm) ( 3/4ñ )
Câu : ( điểm ) A
Q
( 1/2 ñ )
p H
N B M C
Gọi p Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB
Ta có tam giác ANQ vng Q có góc A = 600
ANQ = 300 ( 1/2 ñ )
AQ = 12 AN ( 1/2 ñ )
Tương tự tam giác MpB ta có pB = 12 BM ( 1/2 đ )
Do : AQ + pB = 12AN+1
2BM=
2 (AN + NC ) =
1
2AC ( 1/2 ñ )
Kẻ MH QN Tứ giác MpQH hình chữ nhật ( 1/4 ñ )
Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB - 12AC=1
2AB ( 1/2 ñ )
Vậy đọan MN có độ dài nhỏ 12 AB ( 1/4 ñ )