Lý thuyết chuỗi fourier và ứng dụng

ức Anh Vũblack5 Lời Nói Đầu Trong tốn học vật lý thường hay bắt gặp phương trình dạng y = sin(ωx + ϕ) nghiệm số phương trình vi phân có dạng y = c1 sin(x) + c2 cos(x), (c1 , c2 ) ∈ (R)2 Rất nhiều dạng vậy, hàm sin, cos có tính chất đặc biệt liên tục, tuần hoàn chu kỳ 2π, v.v Nên việc tạo nên chuỗi hàm từ hàm sin, cos công cụ mạnh để nghiên cứu chuỗi hàm có ứng dụng nhiều thực tế Vào năm 1811, Joseph Fourier1.1 cơng bố cơng trình chuỗi Fourier đặc biệt sử dụng để giải phương trình truyền nhiệt, chuỗi Fourier ông nhắc đến "Théorie analytique de la chaleur" công bố vào năm 1822 Theo quan điểm toán học đại, kết chuỗi Fourier có số phần chưa hồn chỉnh vào đầu kỷ XIX Vì Dirichlet Riemann diễn đạt lại cơng trình Fourier cách xác hồn chỉnh Tuy vậy, Fourier người phát xây dựng lý thuyết cho chuỗi hàm, mà đặt theo tên ông "Chuỗi Fourier " Chuỗi Fourier có dạng ∞ a0 [an cos (nx) + bn sin (nx)], a0 ∈ R, (an , bn ) ∈ (R)2 + n=1 Chuỗi Fourier đời bước ngoặc vĩ đại toán học ứng dụng, đặc biệt vật lý Ngay nội toán học chuỗi Fourier khơng thể thiếu vào việc nghiên cứu tính chất hàm số liên tục thơng qua chuỗi hàm, hội tụ chuỗi số hàm tuần hoàn cos, sin, v.v Ngay lĩnh vực phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Hơn nữa, kỹ thuật ngày chuyên gia xử lý tín hiệu số (lĩnh vực âm hình ảnh) người hiểu hết vai trò quan trọng chuỗi Fourier Có thể nói rằng, hầu hết thiết bị điện tử liên quan đến hình ảnh âm mà sử dụng hôm "chip" làm nhiệm vụ chuyển đổi hệ số Fourier thành hàm số (tín hiệu số) đơi kiêm ln chức khử nhiễu hay hiệu chỉnh tín hiệu dựa phép biến đổi Fourier Tuy đóng vai trò quan trọng chuỗi Fourier giới thiệu mảng nhỏ nằm chuỗi hàm mà chưa giảng dạy sâu vào tính chất quan trọng ứng dụng rộng rãi thời gian chương trình giảng dạy Để làm rõ chuỗi Fourier nghiên cứu đề tài "Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng" 1.1 Jean Baptiste Joseph Fourier (21 tháng măn 1768 - 16 tháng năm 1830) nhà toán học nhà vật lý người Pháp Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng Lớp DH10A Tuy nỗ lực cố gắng cịn nhiều thiếu sót hạn chế nên tơi mong đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc An Giang, ngày 01 tháng 07 năm 2012 Người nghiên cứu Dương Giao Kỵ Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng Lớp DH10A Lời Cảm Ơn Trước hết xin chân thành gửi lởi cảm ơn đến Ban giám hiệu khoa Sư phạm trường Đại học An Giang tạo điều kiện cho thực nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn ThS Võ Thành Tài hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt trình nghiên cứu Tơi gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS Phạm Thị Thu Hường anh Nguyễn Quốc Hưng đóng góp ý kiến cho nghiên cứu hồn chỉnh Và cuối tơi xin gửi lời cảm ơn đến tập thể lớp DH10A, nơi học suốt ba năm đại học ủng hộ tin thần cho thực nghiên cứu An Giang, ngày 01 tháng 07 năm 2012 Người nghiên cứu Dương Giao Kỵ Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng Lớp DH10A Phần Tóm Tắt Đề tài "Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng" từ việc xây dựng lại định nghĩa chuỗi Fourier hàm f khả tích [−π; π], sau nghiên cứu hội tụ, tính chất quan trọng ứng dụng chuỗi Fourier vào lĩnh vực khác Sau phần mở đầu phần nội dung gồm chương: Chương 1: Trình bày cách xây dựng chuỗi Fourier, cách xác định chuỗi Fourier hàm f khả tích [−π; π] nghiên cứu hội tụ chuỗi Fourier Chương 2: Nghiên cứu sâu vào tính chất chuỗi Fourier, chuỗi Fourier tích hai hàm f, g có chuỗi Fourier cho trước, định lý Parseval’s, xấp xỉ hàm f chuỗi lượng giác đa thức phần quan trọng nghiên cứu chuỗi Fourier hàm f dựa vào chuỗi Fourier hàm f Chương 3: Là phần ứng dụng chuỗi vào việc tính giá trị số chuỗi số, tính tích phân, tìm tổng chuỗi hàm, giải số toán truyền nhiệt, lọc điện, xử lý tín hiệu âm nhạc Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng Lớp DH10A MỤC LỤC Mục lục I Chuỗi Fourier 11 Chuỗi lượng giác - Đa thức lượng giác 11 Định nghĩa chuỗi Fourier 12 2.1 Cơ sở trực chuẩn lớp hàm khả tích đoạn [−π; π] 12 2.2 Định nghĩa chuỗi Fourier 15 2.3 Chuỗi Fourier với hệ số phức 18 Chuỗi Fourier hàm f khả tích đoạn [a; b] 20 3.1 Chuỗi Fourier hàm khả tích f đoạn [−l; l] 20 3.2 Chuỗi Fourier hàm f khả tích đoạn [a; b] 22 Thác triển thành hàm tuần hoàn 23 4.1 Chuỗi Fourier hàm số chẵn, hàm số lẻ khả tích [−π; π] 23 Thác triển chẵn, lẻ hàm số f khả tích [0; π] 25 Sự hội tụ chuỗi Fourier 27 Tính chất chuỗi Fourier 38 4.2 II Phép toán chuỗi Fourier - Định lý Parseval’s 38 1.1 Tổng hiệu chuỗi Fourier 41 1.2 Tích hai chuỗi số 42 1.3 Xấp xỉ đa thức 46 Đạo hàm - Tích phân chuỗi Fourier 47 III Phần ứng dụng 63 Xấp xỉ đa thức lượng giác 63 Sự hội tụ chuỗi Fourier 69 2.1 Tìm tổng chuỗi số 69 2.2 Xét hội tụ chuỗi hàm 73 2.3 Tìm đạo hàm chuỗi Fourier 75 Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng Lớp DH10A MỤC LỤC 2.4 Tính tích phân thông qua chuỗi 77 2.5 Tìm tổng chuỗi hàm 80 Cực trị hình học 85 Phương trình truyền nhiệt 88 4.1 Nhiệt lượng ngang với hai đầu giữ không độ 89 Nhiệt lượng trụ với hai đầu giữ nhiệt độ 92 Nhiệt lượng trụ với hai đầu có nhiệt độ thay đổi theo thời gian 94 Bộ lọc điện 95 Ứng dụng tín hiệu 97 Chuỗi Fourier với âm nhạc 4.2 4.3 100 IV KẾT LUẬN 103 Kết đạt 103 Hướng mở rộng 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 Nghiên cứu khoa học: Lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng Lớp DH10A MỤC LỤC Danh mục ký hiệu N - Tập số tự nhiên N∗ - Tập số tự nhiên khác không Z - Tập số nguyên Z∗ - Tập số nguyên khác không Q - Tập số hữu tỉ R - Tập số thực R∗+ - Tập số thực dương R∗ - Tập số thực khác không C - Tập số phức C∗ - Tập số phức khác không ℘ - Tập hàm khả tích [−π; π] ℘∗ - Tập hàm khả tích [−π; π] tuần hoàn chu kỳ 2π f (x+ ) = lim f (u) u→x u>x f (x− ) = lim f (u) u→x u