Thác triển khai toán tử ngẫu nhiên trong không gian banach khả ly

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Cường THÁC TRIỂN TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN BANACH KHẢ LY Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: HDC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG HDP: PGS.TS PHAN VIẾT THƯ Hà Nội - 2011 Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu v Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 12 Tính quy biểu diễn chuỗi toán tử 1.1 Định nghĩa toán tử ngẫu nhiên ví dụ 1.2 Các tính chất quy 1.3 Biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên ngẫu nhiên 22 22 23 34 Thác triển toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.1 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển 2.2 Thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian có sở Schauder 2.2.1 Miền tác động mở rộng toán tử ngẫu nhiên tuyến tính 2.2.2 Trường hợp ảnh sở biến ngẫu nhiên độc lập 40 40 Thác triển toán tử ngẫu nhiên 3.1 Phương pháp thác triển theo dãy 3.2 Phương pháp thác triển theo chuỗi 61 61 72 iii 48 49 55 MỤC LỤC Kết luận kiến nghị Kết luận Kiến nghị nghiên cứu Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 86 86 86 87 Tài liệu tham khảo 88 Chỉ dẫn 91 iv Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực P Độ đo xác suất E Kỳ vọng LX (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị LX p (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X - giá trị khả tích cấp p C[a, b] Khơng gian hàm liên tục [a, b] L2 [a, b] Khơng gian hàm bình phương khả tích [a, b] p-lim Hội tụ theo xác suất P − X Xn hội tụ theo xác suất đến X Xn → F(u) σ-trường sinh biến ngẫu nhiên u F(Φ) σ-trường sinh họ biến ngẫu nhiên {Φx, x ∈ X} h.c.c Hầu chắn L(X, Y ) Tập tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y v Mở đầu Trong vài kỷ qua, với cơng lao đóng góp nhiều hệ nhà tốn học, giải tích tốn học trở thành lâu đài đồ sộ với nhà tráng lệ: phép tính vi tích phân, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết tốn tử tuyến tính, Nó cung cấp cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật công cụ đắc lực để xử lý tính tốn mơ hình tất định Tuy nhiên, giới sống giới ngẫu nhiên Mọi phần tử giới ln bị tác động, can thiệp nhân tố ngẫu nhiên Phần lớn hệ động lực, trình tự nhiên hệ động lực trình ngẫu nhiên Thành thử, nhu cầu tất yếu đặt cần có mơ hình ngẫu nhiên để phản ánh thực tế đắn, sinh động Giải tích ngẫu nhiên đời từ nhu cầu Hầu hết mơ hình ngẫu nhiên ngẫu nhiên hố mơ hình tất định biết Tốn tử ngẫu nhiên khơng nằm ngồi quy luật Cho X, Y khơng gian Banach khả ly, (Ω, F, P) không gian xác suất sở Trong giải tích tất định, ta hiểu ánh xạ f từ X vào Y quy tắc cho tương ứng phần tử x ∈ X phần tử y ∈ Y Tuy nhiên, có tác động nhiễu ảnh x qua ánh xạ f chưa phần tử tất định f (x) ∈ Y mà giá trị Như vậy, thay xem f (x) phần tử tất định Y ta coi biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Khi đó, ánh xạ f gọi tốn tử ngẫu nhiên (random operator) hay ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y Như ta trình bày trên, tốn tử ngẫu nhiên Φ từ E ⊂ X vào Y quy tắc cho tương ứng phần tử tất định x ∈ E biến ngẫu nhiên Y - giá trị Φx Tuy nhiên có nhiều tốn dẫn đến nhu cầu mở rộng miền tác động tốn tử ngẫu nhiên như: • Khi có nhiễu đầu vào đầu vào khơng phải phần tử tất định mà biến ngẫu nhiên E - giá trị Khi đó, ta cần định nghĩa Mở đầu tác động Φ lên phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị E • Khi ta muốn định nghĩa hợp toán tử ngẫu nhiên Φ Ψ từ X vào X theo cách (Ψ ◦ Φ)(x) = Ψ(Φ(x)) ta cần định nghĩa ảnh biến ngẫu nhiên Φ(x) qua toán tử ngẫu nhiên Ψ • Một tốn mà ta quen thuộc tốn mở rộng tích phân ngẫu nhiên Wiener x(t)dW (ω, t) thành tích phân ngẫu nhiên x(t, ω)dW (ω, t) mà hàm lấy tích phân hàm ngẫu nhiên x(t, ω) thay hàm tất định x(t) Tích phân ngẫu nhiên Ito dạng mở rộng Vậy mục tiêu ta thác triển toán tử ngẫu nhiên miền tác động rộng tốt giữ số tính chất tốt ánh xạ Φ Có thể có nhiều cách định nghĩa ảnh Φu biến ngẫu nhiên E - giá trị u qua toán tử ngẫu nhiên Φ trước hết cần thoả mãn điều kiện sau: • Φu(ω) biến ngẫu nhiên Y - giá trị • Nếu tốn tử ngẫu nhiên Ψ toán tử ngẫu nhiên Φ Φu(ω) = Ψu(ω) h.c.c Dường ta định nghĩa Φu phép trực tiếp Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) Tuy nhiên, ví dụ sau cho thấy khơng phải lúc ta làm việc trực tiếp vi phạm điều kiện vừa nêu Ví dụ 0.0.1 Lấy Ω = X, F = B(X) P độ đo xác suất không atom Cho a, b hai phần tử khác Y D tập không Borel X Xét toán tử ngẫu nhiên Φ từ X vào Y xác định   a ω = x ∈ D, Φ(ω, x) =  b ngược lại Khi đó, với u ∈ LX (Ω) xác định u(ω) = ω ta có {ω : Φ(ω, u(ω)) = a} = {ω : Φ(ω, ω) = a} = D ∈ / F Mở đầu Vậy Φu(ω) không đo hay nói khác Φu khơng biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Trong ví dụ điều kiện thứ không thoả mãn, tức Φu không biến ngẫu nhiên nhận giá trị Y Ví dụ sau cho thấy Φu biến ngẫu nhiên Y - giá trị lại phụ thuộc vào việc chọn Φ Ví dụ 0.0.2 Cho (Ω, A, P) = ([0; 1], B, µ) µ độ đo Lebesgue X = Y = R Ta xác định hai toán tử ngẫu nhiên Φ Ψ R sau   x.ω x = ω, Φ(ω, x) =  1 x = ω Ψ(ω, x) = xω ∀ω ∈ Ω ∀x ∈ X Rõ ràng Φ Ψ Xét biến ngẫu nhiên u(ω) cho u(ω) = ω ∀ω ∈ Ω Ta có Φu(ω) = Φ (ω, u(ω)) = 1; Ψu(ω) = Ψ (ω, u(ω)) = ω Do Φu(ω) = Ψu(ω) ∀ω = Như vậy, phép trực tiếp ta định nghĩa Φu cách đắn Bài toán đặt cách định nghĩa tác động toán tử ngẫu nhiên Φ lên biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E cho Φ giữ số tính chất tốt Bài toán thác triển toán tử ngẫu nhiên tác giả Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Thịnh nghiên cứu đạt số kết cho trường hợp tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính cơng bố [15] Trong luận án ngồi tính chất quy, biểu diễn chuỗi toán tử ngẫu nhiên, chúng tơi trình bày chi tiết phương pháp thác triển tốn tử ngẫu nhiên (khơng thiết tuyến tính) Ngồi phần mở đầu phần kiến thức chuẩn bị (chương 0), luận án gồm ba chương Chương 1: Trình bày tốn tử ngẫu nhiên, tính chất quy tốn tử ngẫu nhiên, quan hệ tính chất quy Mở đầu số điều kiện cần, đủ để có tính chất quy Các kết Nguyễn Thịnh trình bày luận án tiến sĩ (xem [8]) Ngồi ra, chương cịn trình bày biểu diễn chuỗi tốn tử ngẫu nhiên Các kết đăng báo [3] (xem Danh mục công trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Chương 2: Trình bày số kết việc thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính, tức tốn tử ngẫu nhiên có tính chất tuyến tính ngẫu nhiên liên tục ngẫu nhiên, từ X vào Y hai trường hợp Chương gồm hai phần: Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính thác triển Thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính khơng gian có sở Schauder Các kết phần đầu tác giả Đặng Hùng Thắng Nguyễn Thịnh công bố [15] Trong phần thứ hai, chúng tơi xét tốn ∞ tử ngẫu nhiên Φ có khai triển chuỗi dạng Φx = (x, e∗n )Φen n=1 e = (en ) sở Schauder X (e∗n ) sở liên hợp (en ) Khi chúng tơi định nghĩa biến ngẫu nhiên u nhận giá trị X thuộc ∞ miền tác động mở rộng Φ chuỗi (u, e∗n )Φen hội tụ LY0 (Ω) n=1 tổng tương ứng gọi ảnh u qua Φ Chúng tơi tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động mở rộng Φ, điều kiện cần đủ để thác triển tốn tử ngẫu nhiên Φ lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên nhận giá trị X Ngồi chúng tơi cịn đưa số kết trường hợp đặc biệt biến ngẫu nhiên Φei , i = 1, 2, độc lập Các kết phần công bố báo [1] (xem Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Chương 3: Trình bày kết thác triển tốn tử ngẫu nhiên Trong chương này, đưa hai thủ tục để thác triển toán tử ngẫu nhiên phương pháp thác triển theo dãy phương pháp thác triển theo chuỗi ngẫu nhiên Các kết công bố báo [2] (xem Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án) Theo phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo dãy, ta định nghĩa tác động Φ lên biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị E ⊂ X sau nhờ vào việc xấp xỉ biến ngẫu nhiên E-giá trị u dãy biến ngẫu nhiên rời rạc un ta định nghĩa ảnh u qua tốn tử ngẫu nhiên Φ Phần mở rộng kết chương 2, mục 2.1 Theo cách này, chúng tơi tìm số điều kiện đủ để biến ngẫu nhiên u thuộc miền tác động Φ theo kiểu thác triển dãy 10 Mở đầu tìm số điều kiện cần, đủ để thác triển ánh xạ Φ lên tồn không gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Với phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo chuỗi, chúng tơi ∞ xét tốn tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi dạng Φx = αn fn x n=1 αn biến ngẫu nhiên thực (tương ứng biến ngẫu nhiên Y -giá trị) fn ánh xạ đo từ E ⊂ X vào Y (tương ứng đo từ E ⊂ X vào R) Như vậy, Φ tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính X khơng gian Banach có sở Schauder Φ có khai triển chuỗi dạng Biến ngẫu nhiên u nhận giá trị E thuộc miền tác động toán tử ngẫu nhiên ∞ Φ chuỗi αn fn u hội tụ LY0 (Ω) Chúng tìm n=1 số điều kiện đủ để u thuộc miền tác động mở rộng Φ số điều kiện cần, đủ để thác triển tốn tử ngẫu nhiên Φ lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Đây mở rộng kết chương 2, phần 2.2 Trong số trường hợp đặc biệt, nghiên cứu mối quan hệ hai kiểu thác triển Hà Nội, ngày 31 tháng năm 2010 Nghiên cứu sinh Trần Mạnh Cường 11 ... Trình bày kết thác triển tốn tử ngẫu nhiên Trong chương này, đưa hai thủ tục để thác triển toán tử ngẫu nhiên phương pháp thác triển theo dãy phương pháp thác triển theo chuỗi ngẫu nhiên Các kết... 25 thác triển tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính, 40 tốn tử ngẫu nhiên, 23, 25 toán tử ngẫu nhiên mở rộng, 62, 68 tốn tử ngẫu nhiên tuyến tính, 24, 68 tuyến tính ngẫu nhiên, 24 bị chặn, 25 bị chặn ngẫu. .. kiện cần, đủ để thác triển ánh xạ Φ lên tồn khơng gian biến ngẫu nhiên E-giá trị Với phương pháp thác triển toán tử ngẫu nhiên theo chuỗi, chúng tơi ∞ xét tốn tử ngẫu nhiên có khai triển chuỗi dạng