Các bài toán về tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc, diện tích hình

Xét từ giác MAIE có 2 góc vuông là A , và E (đối nhau) nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI.. Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường tròn đường kính IN.[r]

Mức độ 2: THÔNG HIỂU

Câu 1: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácAHE

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn

3 Chứng minh ED = BC DE tiếp tuyến đường trịn (O) Tính độ dài đoạn thẳng DE biết DH 2cm AH; 6cm

Hướng dẫn giải

1 Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp

Xét tứ giác CEHD, ta có: CEH 900; CDH 90

90

CEH CDH

  

Do đó, tứ giác CEHD nội tiếp

2 Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn

Ta có:

90

BEABDA  E D nhìn đoạn AB góc vng Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn

3 Chứng minh

2

ED  BCvà DE tiếp tuyến đường tròn

 

O

+ Tam giác ABC cân A nên D trung điểm BC  ED đường trung tuyến tam giác vuông BEC 

2

ED  BC

+ Ta có

2

ED  BC DEDB DBE cân D  E3 B1

 

1 + Dễ thấy: AOE cân O A1 E1

 

2

Mà A1 B1 (do phụ với BCA)

 

3

Từ

 

1

 

2

 

3 , ta có: E1E3 E2E3 E2E190

Do đó:

90

DEO Vậy DE tiếp tuyến đường trịn

 

O

4 Tính độ dài đoạn thẳng DE biết DH 2cm AH; 6cm

Theo giả thiết AH6cm =>

3 ;

OH OE cm DH  cmOD cm Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vng E ta có 2–

ED OD OE 

2 5 –  2

ED   ED4cm

Câu 2: Cho đường tròn (O) điểm A cho OA3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O),với P Q tiếp

điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N giao điểm thứ đường thẳng AM đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K

2

H

1

3 2 1 1

O

E

D C

B

1 Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp Chứng minh KA2 KN KP

3 Kẻ đường kính QS đường trịn (O).Chứng minh tia NS tia phân giác góc PNM

4 Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK.Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R

Hướng dẫn giải Xét tứ giác APOQ có

0

90

APO (Do AP tiếp tuyến (O) P)

90

AQO (Do AQ tiếp tuyến (O) Q)

180

APO AQO ,mà hai góc góc đối nên tứ giác APOQ tứ giác nội tiếp

2 Xét

Δ

AKN ΔPAK có AKP góc chung APN AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP) Mà NAK AMP(so le PM //AQ

 

~

AKN PKA gg

AK NK

AK NK KP

PK AK (đpcm)

3 Kẻ đường kính QS đường trịn (O) Ta có AQ QS (AQ tt (O) Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM QS

Đường kính QS PM nên QS qua điểm cung PM nhỏ

sd PS sd SM PNS SNM (hai góc nt chắn cung nhau)

Hay NS tia phân giác góc PNM

5 Chứng minh

Δ

AQO vng Q, có QG AO(theo Tính chất tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng tam giác vuông ta có 2

2

3

1

3

3

OQ R

OQ OI OA OI R

OA R

AI OA OI R R R

Do ΔKNQ ~ΔKQP (gg) KQ2 KN KP mà

AK NK KPnên AK=KQ Vậy ΔAPQ có trung tuyến AI PK cắt G nên G trọng tâm

2 16

3 3

AG AI R R

Câu 3: Cho hình thang vng ABCD



AD 90 0



có ABBC8, DC 12 Tính số đo

các góc Bvà C hình thang ABCD

G

K

N

S

M I

Q P

A

Hướng dẫn giải Kẻ BK CD K



CD



Ta có: A D K 90   nên tứ giác ABKDlà hình chữ nhật DKAB8 Mà CD 12 suy CK 1BC

2

 cos C C 60 0

2

    Từ ta tính

0

ABC 120 

Mức độ 3: VẬN DỤNG

Câu 4: Cho hình thang cân ABCD



AB CD



có

60



C , DB tia phân giác ADC Biết AB4, tính chu vi diện

tích hình thang ABCD

Hướng dẫn giải

Ta có: DB tia phân giác ADC  ADBBDC Mà  ABDBDC (so le trong)

Do ABDADB ABDcân A AD4

Kẻ BE AD E



CD



Suy ABED hình thoi ABBEEDDA4 Tam giác BECđều CEEBBC4 Từ tính chu vi hình thang

ABCD 20

Diện tích hình thang 12 3



dv td



Câu 5: Cho tam giác ABC



ABAC



có ba góc nhọn Đường trịn tâm O đường kính BC cắt cạnh AC, AB E, F Gọi H giao điểm BE CF D giao điểm AH BC

a Chứng minh: ADBC AH AD AE AC b Chứng minh EFDOlà tứ giác nội tiếp

c Trên tia đối tia DE lấy điểm L choDL  DF Tính số đo góc BLC

Hướng dẫn giải

a Do FC AB BE,  ACH trực tâm AHBC Ta có tứ giác HDCE nội tiếp

Xét tam giác đồng dạng EAH DAC (2 tam giác vng có A chung)

C B

A

F

E

L R

S

D O

Q N

AH AE

AC AD

  AH AD AE AC (đpcm)

b Do AD phân giác FDE nênFDE2FBE2FCEFOE Vậy tứ giác EFDO nội tiếp (cùng chắn cung EF) c Vì AD phân giác FDE

 DB phân giác FDL

 F, L đối xứng qua BC  L đường tròn tâm O

Vậy BLC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O

90

BLC

 

Câu 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB2R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến đường tròn

 

O hai điểm A B Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn

 

O (E không trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1, d2 M, N

a Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp b Chứng minh ENIEBI góc

MIN  90

c Chứng minh AM.BNAI.BI

d Gọi F điểm cung AB khơng chứa E đường trịn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R ba điểm E, I, F thẳng hàng

Hướng dẫn giải

a Xét từ giác MAIE có góc vng A , E (đối nhau) nên chúng nội tiếp đường trịn đường kính MI

b Tương tự ta có tứ giác ENBI nội tiếp đường trịn đường kính IN Vậy góc ENIEBI (vì chắn EI)

Tương tự EMI EAI (vì chắn EI)

Mà góc EAI EBI 900 (EAD vng E) 





0 0

MIN180  EMIENI 180 90 90

c Xét tam giác vng MAI IBN Ta có NIBIMA (góc có cạnh thẳng góc)

 MAI ∽IBN

 AM AI

IB BN  AM.BNAI.BI (1)

d Gọi G điểm đối xứng F qua AB Ta có AM BN 2OG 2

 

(Vì tứ giác AMNB hình thang cạnh OG cạnh trung bình AM BN)

Ta có: AI R, BI 3R

2

 

Từ (1) (2)  AM + BN = 2R AM.BN =

3R

M E

I

A O B

F G

Vậy AM, BN nghiệm phương trình

2

2

X – 2RX    0

4 R

   AM R

 hay

3

BN R

2



Vậy ta có tam giác vuông cân MAI cân A NBI cân B

 MI = R R

2  NI =

3R 3R

2 

 S(MIN) =

2 R 3R 3R

2 2 

Mức độ 4: VẬN DỤNG CAO

Câu 7: Cho ABC nhọn có A700



CACB



nội tiếp đường tròn

 

O Các đường cao

AE, CFcắt H Vẽ đường thẳng d vng góc với OF F, d cắt CA Q

Tính số đo FHQ

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm d

 

O M, N (Mthuộc

cung AC không chứa B), CF kéo dài cắt

 

O

I, BI cắt MN K

Theo toán bướm ta chứng minh Flà

trung điểm KQ

Chứng minh Hvà I đối xứng qua ABnên HKIQ hình bình hành

Suy FHQFIK mà

FIKCAB70 Vậy

0 FHQ70

Câu 8: Cho đường trịn



O; R có đường kính BC 10cm



 Lấy A

 

O cho AB 6cm Tia phân giác BAC cắt BC D cắt

 

O E Tính độ dài AD, AE

ABC vuông A suy AC 8cm Tính DB, DC:

Có DB AB

DC AC (tính chất phân giác)

DB DB DC DB DC 10

DC 4 7



     

30 40

DB ; DC

7

  

Từ DF DC

AB BC tính

30 DF

7

 Rồi suy AD DF 24

7

 

Ta có: ADB ∽ACEvà AD AB

AC AE, ta tính A 2

Câu 9: Cho tam giác ABC , M điểm nằm tam giác ABC Gọi A' AMBC, '

B BMAC, C' CMAB Tính AM' BM' CM'

AA BB CC

Hướng dẫn giải

Kẻ AH MK vuông góc với BC



H, KBC



Ta có:

'

' '

MBC '

MBC ABC

ABC A M MK

S A M A A AH

S

MK A A S

AH S



 

 

  



Tương tự:

' '

AMC AMB

' '

ABC ABC

S S

B M C M

;

B B S C C  S

' ' '

' ' '

A M B M C M

1

AA BB CC

   

Mặt khác:

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

AM BM CM AA A M BB B M CC C M

AA BB CC AA BB CC

  

    

' ' '

' ' '

A M B M C M

1 1

AA BB CC

      

3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

LOẠI 1: TÍNH SỐ ĐO GĨC Bài Cho hình thang ABCD có

A D 90, AB AD 1CD

2

vng góc với MD, Mxcắt BC N Tính số đo góc MDN MND Bài Cho ABC đều, cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N

sao cho BMCN Trung trực đoạn MN cắt tia phân giác BAC I Tính số đo AIC

Bài Cho



O; R tam giác ABC nội tiếp đường tròn, gọi BE, CF đường cao



ABC Cho biết EF R

2

 , tính số đo BAC LOẠI 2: TÍNH ĐỘ DÀI VÀ DIỆN TÍCH

Bài Cho tam giác ABC vuông A



ABAC



Tia phân giác ABC cắt AC M Đường trịn đường kính MC cắt tia BM điểm thứ hai H, AB cắt CH D Biết AB 3 CD4 Tính độ dài BC

Bài Cho tứ giác ABCD nội đường tròn (O;R) đường kính AC.Gọi AC cắt BD E,, gọi K,M chân đường vng góc kẻ từ A C xuống BD ( biết K thuộc đoạn BE,

E K B

K  ;  ).Đường thẳng qua K song song với BC cắt AC P

1.Cứng minh tứ giác AKPD nội tiếp 2.Chứng minh KPPM

3 Biết

ABD60 AKx.Tính BD theo R x

Bài Cho tam giác ABC nhọn có

BAC60 , BC 10cm Đường trịn tâm O, đường kính BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn dây DE DE

LOẠI 3: TÍNH CÁC TỈ SỐ

Bài Cho hình vng ABCD, E điểm thuộc cạnh CD Tia AE cắt BC F, vẽ tia

Axvng góc với AE cắt CD K Gọi I trung điểm KF Tính tỉ số ID

CF

Bài Cho tam giác ABC nhọn có

A60 AB AC Vẽ đường cao BF, CF tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, K trung điểm EF Tính tỉ số

AK

AI

Bài Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp

 

O , đường cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt

 

O ' ' '

A , B , C Tính

' ' '

AA BB CC