41 BỘ ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN THI TOÁN VÀO LỚP 10

bộ ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2016) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1998 – 1999) Câu I (2đ) Giải hệ phương trình: 2x − 3y = −5   −3x + 4y = Câu II (2,5đ) Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 1) Tìm giá trị m để phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phương trình) Câu III (4,5đ) Cho tam giác ABC vuông cân A, cạnh BC lấy điểm M Gọi (O 1) đường tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với AB B, gọi (O2) đường tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đường tròn (O 1) (O2) cắt D (D không trùng với A) 1) Chứng minh tam giác BCD tam giác vuông 2) Chứng minh O1D tiếp tuyến (O2) 3) BO1 cắt CO2 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C nằm đường tròn 4) Xác định vị trí M để O1O2 ngắn Câu IV (1đ) Cho số dương a, b có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  4   1− a2 ÷ 1− b2 ÷    Hướng dẫn-Đáp số: Câu III: a) BDM + CDM = ABC + ACB = 90o => đpcm b) B = C = 45o => O1BM = O2CM = 45o => O1MO2 = 90o => O1DO2 = 90o =>đpcm c) A, D, E nhìn BC góc vng d) (O1O2)2 = (O1M)2 + (O2M)2 ≥ MO1.MO2 ; dấu xảy MO1 = MO2 => O1O2 nhỏ MO1 = MO2 => ∆ BMO1 = ∆ CMO2 => MB = MC Câu IV: Sử dụng đẳng thức x2 – y2 = ( x – y)( x + y) 2 2 Biến đổi biểu thức thành A = ( (1 − )(1 − )(1 + )(1 + ) = + a b a b ab (a + b) ab ≤ = 4/ = => A ≥ , dấu a = b = Vậy AMin = , a = b = ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2016) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000- đợt 1) Câu I Cho hàm số f(x) = x2 – x + x = -3 2) Tìm giá trị x f(x) = f(x) = 23 Câu II Cho hệ phương trình :  mx − y =   x + my = 1) Giải hệ phương trình theo tham số m 2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm giá trị m để x + y = -1 3) Tìm đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m Câu III Cho tam giác ABC vuông B (BC > AB) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, CA P, Q, R 1) Chứng minh tứ giác BPIQ hình vng 2) Đường thẳng BI cắt QR D Chứng minh điểm P, A, R, D, I nằm đường tròn 3) Đường thẳng AI CI kéo dài cắt BC, AB E F Chứng minh AE CF = 2AI CI 1) Tính giá trị hàm số x = Hướng dẫn-Đáp số: Câu II: 1)  mx − y = 2(1)   x + my = 1(2) (2) => x = – my, vào (1) tính y = m−2 2m + => x = 2 m +1 m +1 2m + m−2 + = -1 ⇔ m2 + 3m = ⇔ m = m = -3 m +1 m2 + 1− x 2+ y + y 1− x 3) (1) => m = (2) => m = Vậy ta có = y y x x Câu III: 1) PBIQ có P = B = Q = 90o BI phân giác góc B 2) P,R nhìn BI góc vng, IBR = ADQ = 45o –C/2 3) Đặt AB = c, AC = b, BC = a => a + b + c = 2AP + 2QB + QC = 2AP + 2a b+c−a b+a −c => AP = ; tương tự CR = 2 AI AP b + c − a CI CQ b + a − c = = = = AE AB 2c CF CB 2a 2 AI CI b − (a − c) => = = => đpcm AE CF 4ac -2) x + y = -1 ⇔ ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2016) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999 – 2000 - đợt 2) Câu I 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm (1 ; 2) (-1 ; -4) 2) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng với trục tung trục hồnh Câu II Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – = 1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 3) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2, tìm giá trị m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8 Câu III Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy điểm E, qua E kẻ đường thẳng song song với AB AC chúng cắt AC P cắt AB Q 1) Chứng minh BP = CQ 2) Chứng minh tứ giác ACEQ tứ giác nội tiếp Xác định vị trí E cạnh BC để đoạn PQ ngắn 3) Gọi H điểm nằm tam giác ABC cho HB2 = HA2 + HC2 Tính góc AHC Hướng dẫn-Đáp số: Câu II: 1) ∆ , = (m − 1) + > 2) ac < ⇔ m < 3) m=1 m = Câu III: 1) BP = CQ AE 2) QEB = QAC = 60o nên ACEQ nội tiếp Gọi I giao AE PQ, K hình chiếu P AE AE = 2PI ≥ 2PK Dấu I trùng với K => AE ⊥ PQ APEQ hình thoi => AE ⊥ BC ⇒ EB = EC 3) AHC = 1500 Vẽ tam giác đêù AHI ( I nằm nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa tam giác ABC) Tan AHB = Tan AIC ( c.g.c) => IC = HB => IC2 = HI2 + HC2 => Gc IHC = 900 => AHC = 1500 Chứng minh ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2016) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001- đợt 1) Câu I Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 1) Tìm điều kiện m để hàm số ln nghịch biến 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 3) Tìm m để đồ thị hàm số đồ thị hàm số y = -x + ; y = 2x – đồng quy Câu II Giải phương trình : 1) x2 + x – 20 = 1 + = 2) x− x−1 x 3) 31− x = x − Câu III Cho tam giác ABC vng A nội tiếp đường trịn tâm O, kẻ đường kính AD, AH đường cao tam giác (H ∈ BC) 1) Chứng minh tứ giác ABDC hình chữ nhật 2) Gọi M, N thứ tự hình chiếu vng góc B, C AD Chứng minh HM vng góc với AC 3) Gọi bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác vng ABC r R Chứng minh : r + R ≥ AB.AC Hướng dẫn-Đáp số: Câu I: 1) m < 2) m = 3) Toạ độ giao điểm y = -x+2 y = 2x-1 ( 1;1) Thay vào hàm số cho ⇒ m = Câu II: 1) x = -5 x = 2) ĐK : x ≠ 0; x ≠ 1; x ≠ 3) ĐK : ≤ x ≤ 31 ĐS : x = ± ĐS: x = Câu III: 1) Góc A = B = C = 90o 2) Góc BAO = HMO ( ABH) => HM// AB hay HM ⊥ AC 3) ( Câu vẽ hình riêng) Gọi I tâm đường trọn nội tiếp tam giác ABC, gọi E F tiếp điểm AB AC với (I) Ta có AE = AF = r BE + CF = BC = 2R => (AB + AC)2 = ( r + R)2 ≥ 4AB.AC ⇒ ĐPCM Dấu AB = AC ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) s (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2000 – 2001- đợt 2) Câu I Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 1) Giải phương trình với m = 2) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mãn 5x1 + x2 = Câu II Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số qua điểm (1 ; -4) 3) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m 4) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số tạo với trục tung trục hồnh tam giác có diện tích (đvdt) Câu III Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O, đường phân giác góc A cắt cạnh BC D cắt đường tròn ngoại tiếp I 1) Chứng minh OI vng góc với BC 2) Chứng minh BI2 = AI.DI · · 3) Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh BC Chứng minh : BAH = CAO · µ −C µ =B 4) Chứng minh : HAO Hướng dẫn-Đáp số: Câu I: 1) m = => x = x = -3 2) 5x1 + x2 = với m Câu II: 1) m = -1 2) m = -3 3)Gọi (xo ; yo) điểm cố định đồ thị hàm số => xo = yo = 4) Giao với trục tung A ( 0; m+3) ; giao với trục hoành B ( m+3 ; 0) 1− m S = => OA OB = => m = -1 m = -7 Câu III: 1) I điểm cung BC 2) ∆BID ∆AIB đồng dạng ( góc – góc) 3) Kẻ đường kính AE => góc ABC = góc AEC => Đpcm 4) + AB = AC => ∠B − ∠C = ∠HAO = + AB < AC => ∠HAO = ∠A − 2∠EAC = (180o − ∠B − ∠C) − 2(90o − ∠B) = ∠B − ∠C + AB > AC chứng minh tương tự ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2016) Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2001 – 2002) Câu I (3,5đ) Giải phương trình sau: 1) x2 – = 2) x2 + x – 20 = 3) x2 – x – = Câu II (2,5đ) Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1) 1) Viết phương trình đường thẳng AB 2) Tìm giá trị m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + song song với đường thẳng AB đồng thời qua điểm C(0 ; 2) Câu III (3đ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao kẻ từ đỉnh B đỉnh C cắt H cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC E F 1) Chứng minh AE = AF 2) Chứng minh A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH 3) Kẻ đường kính BD, chứng minh tứ giác ADCH hình bình hành Câu IV (1đ) Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn phương trình: x + y = 3200 Câu I: 1) x = x = -3 Câu II: 1) y = -2x + Hướng dẫn-Đáp số: 2) x = -5 x = 3) x1,2 = ± 2) m = Câu III: 1) Gọi M N chân đường cao hạ từ đỉnh B C Tứ giác BNMC nội tiếp => góc ABE = góc ACF => Đpcm 2) AB trung trực FH, AC trung trực HE => AE = AF = AH => Đpcm 3) Tứ giác ADCH có cạnh đối song song Chứng minh thêm: Trường hợp BAC = 600 Chứng minh: + BC = 2MN + Tam giác AOH cân ( Hay OH = R) ( Lấy trung diểm BC ) Câu IV: x + y = 3200 ⇔ x + y = 10 32 Đặt x = a y = b với a, b số nguyên dương => 3a + 7b = 40 => b< Thử giá trị b = 1,2, 3,4,5 => b = a = => x = y = 32 b = a = 11 => x = 242 y = -6 ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) s (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003- đợt 1) Câu I (3đ) Giải phương trình: 1) 4x2 – = x + x + x2 − 4x + 24 2) − = x− x+ x2 − 3) 4x2 − 4x + = 2002 Câu II (2,5đ)Cho hàm số y = − x 1) Vẽ đồ thị hàm số 2) Gọi A B hai điểm đồ thị hàm số có hồnh độ -2 Viết phương trình đường thẳng AB 3) Đường thẳng y = x + m – cắt đồ thị hai điểm phân biệt, gọi x x2 hồnh độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22 Câu III (3,5đ) Cho tam giác ABC vuông C, O trung điểm AB D điểm cạnh AB (D không trùng với A, O, B) Gọi I J thứ tự tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD BCD 1) Chứng minh OI song song với BC 2) Chứng minh điểm I, J, O, D nằm đường tròn 3) Chứng minh CD tia phân giác góc ACB OI = OJ ( ) Câu IV (1đ) Tìm số ngun lớn khơng vượt 7+ Hướng dẫn-Đáp số: Câu I: 1) x = ± Câu II: 1) HS tự làm 2) ĐK : x ≠ ±2 2) y = ĐS: x = x −1 3) x = 1001 3) ĐK : m x, y nghiệm phương trình X2 - 14X + = Đặt Sn = xn + yn => Sn+2 - 14Sn+1 + S = ( *) => Sn+2 = 14Sn+1 - S S1 = x + y = 14 S2 = x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 194 S3 = 14S2 – S1 = 2702……… Tương tự ta tính S7 = 14S6 – S5 = 96970054 < y < => < yn < => xn + yn - < xn < xn + yn => Sn - < xn < Sn => Phần nguyên xn Sn - Vậy số nguyên cần tìm S7 -1 = 96970053 Ta có ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) Chỳ ý: Biểu thức ( *) chứng minh nhờ điều kiện X2 -14X +1 = ( Xem Toán phát triển thầy Vũ Hữu Bình) -Đề số (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2002 – 2003- đợt 2) Câu I (2,5đ) Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1) Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm (2; 5) 2) Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Tìm điểm cố định 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x = − Câu II (3đ) Cho phương trình : x2 – 6x + = 0, gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình Khơng giải phương trình, tính: 1) x12 + x22 2) x1 x1 + x2 x2 3) x12 + x22 + x1xx ( x1 + x2 ) ( ) ( ) x12 x12 − + x22 x22 − Câu III (3,5đ) Cho đường tròn tâm O M điểm nằm bên ngồi đường trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MP, MQ (P Q tiếp điểm) cát tuyến MAB 1) Gọi I trung điểm AB Chứng minh bốn điểm P, Q, O, I nằm đường tròn 2) PQ cắt AB E Chứng minh: MP2 = ME.MI 3) Giả sử PB = b A trung điểm MB Tính PA Câu IV (1đ)Xác định số hữu tỉ m, n, p cho (x + m)(x2 + nx + p) = x3 – 10x – 12 Hướng dẫn-Đáp số: 2− Câu I: 1) m = 2) xo = - ; y o = − 3) m = 2 2 −1 20 Câu II: 1) A = 34 2) B = 3) C = 559 Câu III: 1) P,I,Q nhìn OM góc vng 2) Góc PIM = góc EPM ( PQM) nên hai tam giác IPM PEM đồng dạng (g-g) MB2 3) ∆APM : ∆PBM(g − g) ⇒ PM = MA.MB = ⇒ MB = 2MP AP PM PB b = ⇒ AP = = PB BM 2 Chứng minh thêm: ( Hình riêng cho ý) 1) OM cắt PQ H, AH cắt (O) K Chứng minh: + Tứ giác AHOB nội tiếp ( MA.MB = MH.MO => Tg đồng dạng =>…… + HP phân giác góc AHB Gc AHB = 2Gc AQB + DK vng góc với HO + góc PBM = góc HBP 2) Đường thẳng qua A vng góc với OP cắt PQ H PB K Chứng minh AH = HK ( Tứ giác AHIQ nội tiếp Gc AHQ = Gc AIQ = QPM => HIA = PBA = PQA => IH //PB 3) Kẻ đường kính PH, HA cắt OM K Chứng minh góc MPH = góc HPB ( Chú ý MPH = MQH… ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) 4) ( Cú nhiều toán tiếp tuyến chung cát tuyến - Xem PP Giải tốn hình học phẳng thầy Vũ Hữu Bình) Câu IV: Nhẩm nghiệm => f(x) = x3 -10x – 12 có nghiệm x = -2 nên x3 -10x – 12 = ( x + 2)( x2 – 2x – 6) Đồng với đa thức dầu ta m =2, n = -2 p = -6 -Đề số 10 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004- đợt 1) Câu I (1,5đ)Tính giá trị biểu thức: − + 18 A = −5 + 2 Câu II (2đ)Cho hàm số y = f(x) = − x ; 2) A B hai điểm đồ thị hàm số có hồnh độ -2 Viết phương trình đường thẳng qua A B Câu III (2đ)Cho hệ phương trình:  x − 2y = 3− m  2x + y = 3(m+ 2) 1) Giải hệ phương trình thay m = -1 2) Gọi nghiệm hệ phương trình (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhấtl Câu IV (3,5đ) Cho hình vng ABCD, M điểm đường chéo BD, gọi H, I K hình chiếu vng góc M AB, BC AD 1) Chứng minh : ∆ MIC = ∆ HMK 2) Chứng minh CM vng góc với HK 3) Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ Câu V (1đ)Chứng minh (m+ 1)(m+ 2)(m+ 3)(m+ 4) số vô tỉ với số tự nhiên m Hướng dẫn-Đáp số: Câu III: 1) ( x; y) = (2; -1) 9 2 2 2) Biến đổi A = x + y = (m + 3) + m = 2(m + ) + ≥ Amin = 9/2 m = -3/2 2 Câu IV: 1) ∆ MIC = ∆ HMK (c-g-c) 2) CM cắt KH E => EKM + EMK = ICM + IMC = 90o 3) Đặt BI = x BC = a Ta có SCHK nhỏ tổng ST = SAKH + SHBC + SKDC lớn 3a a 3a 2ST = x.(a-x) + x.a + a.(a-x) = − (x − ) ≤ 4 a 3a => ST lớn = x = , I trung điểm BC nên M trung điểm BD 5a 2 3a =>SCHK nhỏ = a = M trung điểm BD 8 Câu V : Giả sử số cho số hữu tỉ => (m+1)(m+2)(m+3)(m+4) = k2 , k số nguyên dương ⇔ (m + 5m + 6)(m + 5m + 4) = k ⇔ (a + 1)(a − 1) = k , với a = m2 + 5m + nên a > (1) 2 a – k = ( a-k)(a+k) = (a-k) (a +k) đồng thời -1 => a = ±1 (2) (1) (2) => khơng có giá trị m thoả mãn điều giả sử => đpcm 1) Với giá trị x hàm số nhận giá trị : ; -8 ; - ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) Đề số 11 (Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 2003 – 2004- đợt 2) Câu I (2đ) Cho hàm số y = f(x) = x 1) Hãy tính f(2), f(-3), f(- ), f( ( ) )  3  3 ; ÷ có thuộc đồ thị hàm số không ? 2) Các điểm A  1; ÷, B 2; , C ( −2; − 6) , D  − 4  2  Câu II (2,5đ) Giải phương trình sau : 1 + = 1) x− x+ 2) (2x – 1)(x + 4) = (x + 1)(x – 4) Câu III (1đ) Cho phương trình: 2x2 – 5x + = Tính x1 x2 + x2 x1 (với x1, x2 hai nghiệm phương trình) Câu IV (3,5đ) Cho hai đường trịn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung hai đường trịn phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa B, có tiếp điểm với (O 1) (O2) thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt (O 1) (O2) thứ tự C D Đường thẳng CE đường thẳng DF cắt I Chứng minh: 1) IA vng góc với CD 2) Tứ giác IEBF nội tiếp 3) Đường thẳng AB qua trung điểm EF Câu V (1đ) Tìm số nguyên dương m để m2 + m+ 23 số hữu tỉ Hướng dẫn-Đáp số: Câu III: x1 x2 > nên tính A2 = + => A = Câu IV: 1) ∆IEF = ∆AEE(g − c − g) => AE = EI = EC ⇒ đpcm 2) IEB+IFB = BAC + BAD = 180o => đpcm 3) ∆EJB : ∆AJE ⇒ JE = JB.JA; ∆FJB : ∆AJF ⇒ JF2 = JB.JA Vậy JE = JF Câu V: Đặt m2 + m + 23 = k2 ( k ∈ N) ⇔ 4m + 4m + 92 = 4k ⇔ 4k − (2m + 1) = 91 ⇔ (2k − 2m − 1)(2k + 2m + 1) = 91 Vì 2k + 2m + > 2k – 2m -1 > nên xảy hai trường hợp sau TH 1: 2k + 2m + = 91 2k – 2m – =1 => m = 22 TH 2: 2k + 2m + = 13 2k – 2m – = => m = Nhận xét: đầu yêu cầu m số nguyên 2k + 2m + chưa dương Khi phải xét thêm trường hợp 10 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2016) Và số sách giá thứ hai 210 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + x − = (*) Tính giá trị biểu thức:Q = x13 + x23 Phương trình (*) có ac = -3 < nên (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  x1 + x2 = −5  x1 x2 = −3 Theo Vi - et có  0,25 0,25 Có Q = x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) 0,25 => Q = ( −5 ) − 3(−3)(−5) = −170 0,25 3 F A 0,25 1,00 C E M H B Chứng minh điểm A, E, F, H nằm đường tròn · Từ giả thiết có AEM = 900 => E nằm đường trịn đường kính AM · AFM = 900 => F nằm đường trịn đường kính AM · Theo gt có AHM = 900 => H nằm đường tròn đường kính AM Suy điểm A, E, F, H thuộc đường trịn (đường kính AM) Chứng minh BE.CF = ME.MF ả =C T gi thit suy ME // AC => M 1 => hai tam giác vuông BEM MFC đồng dạng BE MF ⇒ = ME CF BE HB · = Giả sử MAC = 450 Chứng minh CF 0.25 HC Từ giả thiết ta có tứ giác AEMF hình chữ nhật · Mà MAC = 450 nên tứ giác AEMF hình vng => ME = MF Ta có AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC ⇒ 1,00 0,25 0,25 0,25 1,00 => BE.CF = ME.MF 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 AB HB = AC HC 0,25 (1) AB BE = (2) AC ME AB MF = Có hai tam giác vuông BAC MFC đồng dạng nên (3) AC CF AB BE.MF BE = = Từ (2), (3) có (vì ME = MF) (4) AC ME.CF CF 0,25 Có hai tam giác vng BEM BAC đồng dạng nên 38 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2016) Từ (1), (4) có 0,25 BE HB = CF HC Cho hai số dương x, y thay đổi thoả mãn xy = Tìm giá trị nhỏ 1,00 x y 2x + y 2x + y 2x + y M= + = + xy 2x + y 2x + y  2x + y 2x + y = ì + ữ+ ì 2x + y  8 0,25 biểu thức M = + + 2x + y 3 2x + y 3 × + ≥2 × × = Dấu “=” xảy 2x + y 2x + y 2x + y × = 2x + y 2x + y 5 × ≥ xy = Dấu “=” xảy 2x = y xy = Có 8 11 Do M ≥ + = Dấu “=” xảy x = y = 2 4 11 Vậy giá trị nhỏ M x = y = Có 39 0,25 0,25 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP N - Môn toán ( T 1998 n 2016) S GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG THI TUYỂN VÀO 10THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 – 2015 Môn thi: Tốn ( khơng chun ) Thời gian làm bài: 120 phú ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm: 01 trang Câu I ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình: 43 − x = x − 10 x x −3 x +1 − + 2) Rút gọn biểu thức: A = x+3 x −4 x + 1− x ( x ≥ 0; x ≠ 1) Câu II ( 2,0 điểm) Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = (m − 1) x + m + (tham số m) 1) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm (P) (d) 2) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Câu III ( 2,0 điểm)  x + y = 3m + 3 x − y = 11 − m 1) Cho hệ phương trình:  ( tham số m) Tìm m để hệ cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn x2 – y2 đạt giá trị lớn 2) Một ô tô dự định từ A đến B dài 80 km với vận tốc dự định Thực tế nửa quãng đường đầu ô tô với vận tốc nhỏ vận tốc dự định km/h Trong nửa qng đường cịn lại tơ với vận tốc nhanh vận tốc dự định 12 km/h Biết ô tô đến B thời gian định Tìm vận tốc dự định tơ Câu IV ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AM, BN, CP tam giác ABC cắt H Dựng hình bình hành BHCD 1) Chứng minh: Các tứ giác APHN, ABDC tứ giác nội tiếp 2) Gọi E giao điểm AD BN Chứng minh: AB.AH = AE.AC · 3) Giả sử điểm B C cố định, A thay đổi cho tam giác ABC nhọn BAC khơng đổi Chứng minh đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng đổi Câu V ( 1,0 điểm) Cho x; y hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = ( x + y) x2 + y + ( x + y) xy -Hết -Họ tên thí sinh :…………………………………….Số báo danh :……………………… Chữ ký giám thị :……………………… Chữ ký giám thị :………… ………… 40 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - P N - Môn toán ( T 1998 n 2016) SỞ GD& ĐT HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊNNGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn ( khơng chun ) I) HƯỚNG DẪN CHUNG - Thí sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa - Sau cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung I Giải phương trình: 43 − x = x − Điểm 1,00 (1)  x − ≥ 43 − x = x − ⇔  43 − x = ( x − 1) (2) 0,25 (1) ⇔ x ≥ 0,25 x = ⇔  x = −6 (2) ⇔ x − x − 42 = 0,25 Kết hợp nghiệm ta có x = (thỏa mãn), x = −6 ( loại) Vậy tập nghiệm phương trình cho S = { 7} I 10 x x−3 x +1 − + x+3 x −4 x + 1− x 10 x x −3 x +1 − − x +4 x −1 x +4 x −1 Rút gọn biểu thức: A = A= = = ( 10 )( x −( ( ) x −3 ( )( ) ( x −1 − x +4 ) ( )( ) )( x +1 ( x ≥ 0; x ≠ 1) ) ( x − 1) ( x − 1) ( − x ) = − x = x+4 ( x + 4) ( x − 1) ) x+4 = ( 1,00 0,25 ) 0,25 −3 x + 10 x − 0,25 x +4 x −1 10 x − x − x + − x + x + ( 0,25 x +4 )( ) x −1 ( x ≥ 0; x ≠ ) Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng ( d ) : y = (m − 1) x + m + (tham số m) Với m = 2, tìm tọa độ giao điểm (P) (d) m = ta có phương trình đường thẳng (d) là: y = x + Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình 0,25 II 2,00 1,00 0,25 0,25 x2 = x +  x = −2 ⇔ x2 − x − = ⇔  x = * x = −2 ⇒ y = 0,25 41 ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2016) * x=3 ⇒ y=9 II 0,25 Vậy m = (P) (d) cắt hai điểm A ( −2;4 ) B ( 3;9 ) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình x = ( m − 1) x + m + ⇔ x − ( m − 1) x − m − = 1,00 (*) (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu ⇔ 1.( − m − ) < ⇔ m> −4 III 0.25 0,25 0,25 0,25  x + y = 3m + 3 x − y = 11 − m Cho hệ phương trình:  ( tham số m) x = m +  y = 2m − Giải hệ phương trình ta có  0,25 x − y = ( m + 3) − ( 2m − 1) = − 3m + 10m + 1,00 0,25 2 49 5  = − 3 m − ÷ 3  5  Do  m − ÷ ≥ với m; dấu “ = ” xẩy m = 3  49 ⇒ x2 − y2 ≤ , dấu “ = ” xẩy m = 3 49 hay x − y lớn m = 3 III 0,25 0,25 Gọi vận tốc dự định ô tô x (km/h) (x >6 ) Khi thời gian tơ dự định hết qng đường AB 80 ( h) x 40 (h) x−6 40 (h) Thời gian thực tế ô tô nửa quãng đường lại x + 12 40 40 80 + = Theo ta có phương trình: x − x + 12 x Giải phương trình ta x = 24 ( thỏa mãn) 0,25 Thời gian thực tế ô tô nửa quãng đường đầu Vậy vận tốc dự định ô tô 24 (km/h) 42 0,25 0,25 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2016) A Từ giả thiết ta có ·APH = 900 ·ANH = 900 N P H 0,25 E O IV B C M I D ⇒ tứ giác APHN nội tiếp đường tròn (đường kính AH) Ta có : BD// CH ( BDCH hình bình hành) CH ⊥ AB ⇒ BD ⊥ AB ⇒ ·ABD = 900 Tương tự có ·ACD = 900 ⇒ tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn ( đường kính AD ) IV 0,25 0,25 Từ (1) (2) suy tam giác ABE, ACH đồng dạng 0,25 0,25 ⇒ 0,25 Xét tam giác ABE ACH có : ·ABE = ·ACH ( phụ với BAC · ) (1) · · · · phụ với BDA ; BDA (góc nt chắn »AB ) = BCA BAE · · phụ với BCA CAH (2) · · ⇒ BAE = CAH IV 0,25 AB AC = AE AH ⇒ AB AH = AC AE 0,25 Gọi I trung điểm BC ⇒ I cố định (Do B C cố định) · Gọi O trung điểm AD ⇒ O cố định ( Do BAC không đổi, B C cố định, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ) ⇒ độ dài OI khơng đổi ABDC hình bình hành ⇒ I trung điểm HD ⇒ OI = 0,25 0,25 AH ( OI đường trung bình tam giác ADH) ⇒ độ dài AH không đổi Vì AH đường kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH không đổi ⇒ độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác APHN khơng đổi ⇒ đường tròn 0,25 0,25 ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích khơng đổi V Ta có: S = ( x + y) ( x + y) + x2 + y2 xy xy x2 + y = 1+ + +2 x + y2 xy  xy x2 + y  x2 + y = 3+  + ÷+ x + y xy xy   43 0,25 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2016) Do x; y số dương suy xy x2 + y2 xy x + y + ≥2 =2 ;«=» x2 + y2 xy x + y 2 xy x2 + y 2 xy 2 2 2 2 ⇔ = ⇔ x + y = x y ⇔ x − y ( ) ( ) =0 xy x + y2 x = y ⇔ x = y ( x; y > 0) x2 + y2 x + y ≥ xy ⇒ ≥ ;« = » ⇔ x = y xy Cộng bđt ta S ≥ S = ⇔ x = y Vậy Min S = x = y 0,25 44 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2016) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: Ngày 13 tháng năm 2014 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: x ( x + ) =  y = 2x −1  x + y = 11 b) Giải hệ phương trình:  Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: P = y − xy x x − − với x ≥ 0; y ≥ x ≠ y y−x x− y x+ y b) Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 16 mét Hai lần chiều dài năm lần chiều rộng 28 mét Tính chiều dài chiều rộng sân trường Câu (2,0 điểm) a) Cho đường thẳng y = (2m − 3) x − (d) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) qua điểm  2 A − ; ÷  3 b) Tìm m để phương trình x − x − 2m + = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn điều kiện x2 ( x12 − 1) + x12 ( x2 − 1) = Câu (3,0 điểm) Qua điểm C nằm ngồi đường trịn (O), vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D tiếp điểm) Đường thẳng CO cắt đường tròn hai điểm A B (A nằm C B) Kẻ dây DE vng góc với AB điểm H a) Chứng minh tam giác CED tam giác cân b) Chứng minh tứ giác OECD tứ giác nội tiếp c) Chứng minh hệ thức AC.BH = AH.BC Câu (1,0 điểm) c +1 + ≤ a+2 b+4 c+3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = (a + 1)(b + 1)(c + 1) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: 45 ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) HNG DN GII ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN (Ngày 13.7.2014) Câu (2,0 điểm) ý a) Giải phương trình: x ( x + ) = Nội dung x ( x + ) = ⇔ x + x − = Ta có: a + b + c = + – = Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = −3 b)  y = 2x −1  x + y = 11 Giải hệ phương trình:   y = 2x −1  y = 2x −1  y = 2x −1  y = ⇔ ⇔ ⇔   x + y = 11  x + 3(2 x − 1) = 11 7 x = 14 x = 2 (2,0 điểm) a) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 3) Rút gọn biểu thức: P= y − xy x x − − với x ≥ 0; y ≥ x ≠ y y−x x− y x+ y P= y − xy x x − + x− y x− y x+ y = = = b) x ( x + y ) − x ( x − y ) + y − xy ( x + y )( x − y ) x + xy − x + xy + y − xy ( x + y )( x − y ) −x + y y−x =− = −1 x− y y−x Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 16 mét Hai lần chiều dài năm lần chiều rộng 28 mét Tính chiều dài chiều rộng sân trường Gọi chiều dài chiều rộng sân trường hình chữ nhật x(m), y(m), điều kiện x, y >0; x > y  x − y = 16 2 x − y = −28 Theo ta lập hệ phương trình:   x = 36 (thỏa mãn điều kiện)  y = 20 - Giải hpt, được:  Vậy chiều dài chiều rộng sân trường hình chữ nhật 36(m), 20(m) (2,0 điểm) a) Cho đường thẳng y = (2m − 3) x − (d) Tìm giá trị m để đường thẳng (d) qua  2  3 điểm A  − ; ÷  2  3 Để đường thẳng (d) qua điểm A  − ; ÷, ta có: 46  1 = (2m − 3)  ữ 2 b đề thi tuyển sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - M«n to¸n ( Từ 1998 đến 2016) ⇔m= b) Tìm m để phương trình x − x − 2m + = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn 2 2 điều kiện x2 ( x1 − 1) + x1 ( x2 − 1) = Ta có: ∆ ' = 2m Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ∆ ' > ⇔ 2m > ⇔ m >  x1 + x2 = (1)  x1 x2 = − 2m (2) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:  2 2 2 2 Theo bài: x2 ( x1 − 1) + x1 ( x2 − 1) = ⇔ x1 + x2 − x1 x2 + = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 − x12 x2 + = (3) Thay (1), (2) vào (3), ta có: −8m + 12m + = ⇔ 2m − 3m − = ⇒ m1 = − (loại); m2 = (thỏa mãn) Vậy m = - Vẽ hình xác: a) Chứng minh tam giác CED tam giác cân (3,0 điểm) Ta có DH ⊥ AB ⇒ HD = HE ⇒ CH vừa đường cao vừa trung tuyến tam giác CED nên tam giác CED tam giác cân b) Chứng minh tứ giác OECD tứ giác nội tiếp Xét ∆CDO ∆CEO có: AD = CE (do ∆CED cân C), OC: cạnh chung, OD = OE (cùng bán kính (O)) · · ⇒ ∆CDO = ∆CEO (c.c.c) ⇒ CEO = CDO = 900 · · Tứ giác OECD có CEO + CDO = 900 + 900 = 1800 ⇒ OECD tứ giác nội tiếp c) Chứng minh hệ thức AC.BH = AH.BC Ta có CD ⊥ OD, CE ⊥ OE ⇒ CD CE hai tiếp tuyến đường tròn(O) · · » = AE » ⇒D µ1=D µ ⇒ DA phân giác CDE · ⇒ COD = COE ⇒ AD AC DC = (t/c đường phân giác tam giác) (1) AH DH Lại có ·ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) nên BD ⊥ DA ⇒ DB phân giác góc ngồi D ∆ CDH BC DC ⇒ = (t/c đường phân giác tam giác) (2) BH DH AC BC = ⇒ AC.BH = AH BC Từ (1), (2) ⇒ AH BH ⇒ 47 ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2016) (1,0 điểm) c +1 + ≤ a+2 b+4 c+3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = ( a + 1)(b + 1)(c + 1) c +1 + ≤ Cách 1:Do a, b, c > nên từ a+2 b+4 c+3 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mẫn điều kiện ⇒ ( a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 6(a + 2) + 2(b + 4) + 3(c + 3) − - Đặt a + = x, b + = y, c + = z Ta có: Q ≥ x + y + z − -Áp dụng bất đẳng thức Cau-chy (Cô-si), ta có: x + y + z ≥ 3 x.2 y.3 z = 3 36 xyz = 3 36 xyz (1) z−2 ⇒ yz + 3xz + xy ≤ xyz Lại từ giả thiết, ta có: + ≤ x y z - Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: yz + 3xz + xy ≥ 3 6( xyz ) ⇒ xyz ≥ 3 6( xyz ) ⇒ xyz ≥ 3 (2) Từ (1), (2) ⇒ x + y + z ≥ 3 36.3 = 54 Do Q ≥ 54 − = 48  b + = 3(a + 2) 6 x = y = z   ⇒ a = 1, b = 5, c = Dấu “=” xảy  z − ⇔ c + = 2( a + 2) + = x y  z c +1   + = a + b + c + Vậy Qmin = 48 a = 1, b = 5, c = + ≤ 1− a+2 b + c+3 Cách Suy :1 − a+2 ≥ b + + c + ≥ (b + 4)(c + 3) Ta có: ⇔ a +1 ≥2 a+2 (b + 4)(c + 3) (1) Tương tự: 2 b +1 1− ≥ + ≥2 ⇔ ≥2 b + a+2 c + (a + 2)(c + 3) b+4 ( a + 2)(c + 3) c+1 ≥2 (3) c+3 ( a + 2)(b + 4) Từ (1),(2) (3), ta có: a + b + c+1 48 ≥ a + b + c+3 ( a + 2)(b + 4)(c + 3) ⇒ Q ≥ 48 Vậy Qmin = 48 a = 1, b = 5, c = 48 (2) ®Ị thi tuyÓn sinh THPT TỈNH HẢI DƯƠNG - ĐÁP ÁN - Môn toán ( T 1998 n 2016) S GIO DC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: 1) x + = x = − y  y = −1 + x 2)  3) x + x − = Câu II (2,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A = ( a + 2) ( ) ( a −3 − ) a + + 9a với a ≥ 2) Khoảng cách hai tỉnh A B 60 km Hai người xe đạp khởi hành lúc từ A đến B với vận tốc Sau xe người thứ bị hỏng nên phải dừng lại sửa xe 20 phút, người thứ hai tiếp tục với vận tốc ban đầu Sau sửa xe xong, người thứ với vận tốc nhanh trước km/h nên đến B lúc với người thứ hai Tính vận tốc hai người lúc đầu Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị m để phương trình x − 2(m + 1) x + m − = có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Cho hai hàm số y = (3m + 2) x + với m ≠ −1 y = − x − có đồ thị cắt điểm A( x; y ) Tìm giá trị m để biểu thức P = y + x − đạt giá trị nhỏ Câu IV (3,0 điểm) Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định đường kính CD thay đổi khơng trùng với AB Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng BC BD E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF 1) Chứng minh ACBD hình chữ nhật 2) Gọi H trực tâm tam giác BPQ Chứng minh H trung điểm OA 3) Xác định vị trí đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ Câu V (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 + + + + ≥ 89 a1 a2 a3 a2015 Chứng minh 2015 số ngun dương đó, ln tồn số Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: 49 ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2016) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG Câu Ý I I ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016 (Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang) Nội dung Giải phương trình x + = Pt ⇔ x = −1 ⇔x=− Điểm 0,50 0,25 0,25 x = − y Giải hệ phương trình   y = −1 + x x + y = Hệ ⇔  −2 x + y = −1 Tìm x = y = I II Giải phương trình x + x − = Đặt t = x , t ≥ ta t + 8t − = t = Giải phương trình tìm  t = −9 t = −9 < (Loại) t = ⇒ x = ⇔ x = ±1 ) ( a − 3) = a − a + 1) = a + a + a +2 2 Rút gọn biểu thức A = ( a + 2) ( ( II 0,25 0,50 ( ) ( a −3 − ) a + + 9a với a ≥ a −6 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 A = a − a − − (a + a + 1) + a A = −7 Tính vận tốc hai người lúc đầu Gọi vận tốc hai người lúc đầu x km/h (x > 0) 60 Thời gian từ A đến B người thứ hai ( h) x Quãng đường người thứ đầu x (km) ⇒ Quãng đường lại 60 – x (km) 60 − x ⇒ Thời gian người thứ quãng đường lại ( h) x+4 60 60 − x 20' = ( h ) Theo ta có: = 1+ + x x+4 50 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TỈNH HẢI DNG - P N - Môn toán ( T 1998 đến 2016) ⇔ 60.3 ( x + ) = 4.x ( x + ) + 3.x ( 60 − x ) III III  x = 20 ⇔ x + 16 x − 720 = ⇔   x = −36 Do x > nên x = 20 Vậy vận tốc hai người lúc đầu 20 km/h Tìm m để x − 2(m + 1) x + m − = có nghiệm kép Tìm nghiệm kép ∆ ' = (m + 1) − ( m − 3) = 2m + Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = 2m + = ⇔ m = −2 Nghiệm kép x1 = x2 = m + Vậy m = −2 phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = −1 Cho hai hàm số y = (3m + 2) x + y = − x − có đồ thị cắt điểm A( x; y ) Tìm m để biểu thức P = y + x − đạt giá trị nhỏ  −2  ; − 1÷ Với m ≠ −1 hai đồ thị cắt điểm A   m +1 m +1  0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25    −2  P = y + 2x − =  − 1÷ +  ÷−  m +1   m +1 Đặt t = ta P = t − 4t − = (t − 2) − ≥ −6, ∀t m +1 P = −6 ⇔ t = ⇒ =2⇔m=0 m +1 Vậy m = biểu thức P = y + x − đạt giá trị nhỏ Chứng minh ACBD hình chữ nhật IV 0,25 0,25 0,25 1,00 B B D D O O C C A E H P A Q Hình vẽ ý Hình vẽ ý Vẽ hình ý ·ACB = ·ADB = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · CAD = CBD = 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) IV Suy Chứng minh ACBD hình chữ nhật Chứng minh H trung điểm OA Tam giác BEF vng B có đường cao BA nên AB2 = AE AF ⇒ AE AB AE AB AE AB = ⇒ = ⇒ = ; AB AF 2OA AQ OA AQ 51 F 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 ®Ị thi tun sinh THPT TNH HI DNG - P N - Môn toán ( Từ 1998 đến 2016) · · EAO = BAQ = 900 ⇒ ∆AEO đồng dạng với ∆ABQ 0,25 · ⇒ ·AEO = ·ABQ Mặt khác HPF = ·ABQ (góc có cạnh tương ứng vng góc) nên ·AEO = HPF · Hai góc vị trí đồng vị nên PH // OE P trung điểm EA ⇒ H trung điểm OA IV Ta có S ∆BPQ ≥ Xác định vị trí CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ AB.PQ R = = R.PQ = R ( AP + AQ ) = ( AE + AF ) 2 R AE.AF S ∆BPQ = R ⇔ AE = AF = R AB = R AB = R ⇔ ∆BEF vuông cân B ⇔ ∆BCD vuông cân B ⇔ CD ⊥ AB Vậy S ∆BPQ đạt giá trị nhỏ 2R2 CD ⊥ AB Cho 2015 số nguyên dương a1 , a2 , a3 , , a2015 thỏa mãn điều kiện: 1 1 + + + + ≥ 89 Chứng minh 2015 số ngun dương a1 a2 a3 a2015 đó, tồn số Giả sử 2015 số ngun dương cho khơng có số Khơng tính tổng qt, ta xếp số sau: a1 < a2 < a3 < < a2015 ⇒ a1 ≥ 1, a2 ≥ 2, a3 ≥ 3, , a2015 ≥ 2015 ⇒ 1 1 1 1 + + + + ≤ + + + + a1 a2 a3 a2015 2015 = 1+ 2 + 2 ( = 1+ 2( 0,25 + + 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 2 2015 1 1   < 1+ 2 + + + + ÷ 3+ 2014 + 2013 2015 + 2014   2+ = 1+ 0,25 1,00 0,25 V 0,25 − + − + + 2014 − 2013 + 2015 − 2014 ) 0,25 ) 2015 − < 89 1 1 ⇒ + + + + < 89 Vơ lý Do 2015 số nguyên dương a1 a2 a3 a2015 cho, tồn số 52 0,25