Phep chia het lop 9 chuyen

PHÉP CHIA TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Bài Cho a, b số nguyên Chứng minh a) Nếu a + 2b chia hết cho b + 2a chia hết cho b) Nếu 2a + 3b chia hết cho 17 9a + 5b chia hết cho 17 c) Nếu 5a2 + 15ab − b2 chia hết cho 49 3a + b chia hết cho d) Nếu 2a + b chia hết cho 3a2 + 10ab − 8b2 chia hết cho 49 e) Nếu a2 + b2 − ab chia hết cho 8a3 − 6b3 chia hết cho Bài Cho số tự nhiên a b thỏa mãn ab + chia hết cho 24 Chứng minh a + b chia hết cho 24 Bài Chứng minh a) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho b) Tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho c) Tích bốn số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 d) Tích năm số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 Bài Chứng minh với số nguyên m, n thì: a) n3 − n chia hết cho d) mn(m2 − n2 ) chia hết cho e) n3 − 9n2 + 2n chia hết cho f) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48, với n chẵn h) n6 − n4 − n2 + chia hết cho 128, với n lẻ i) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 j) n3 + 11n chia hết cho (Ams 2010, vòng 2) Bài 5.(HSG Hà Nội 2001) Chứng minh số nguyên tùy ý ln có ba số mà tổng chúng chia hết cho Bài 6.(Ams 2014, vòng 2) Chứng minh n số nguyên dương 5n (5n + 3n ) − 2n (9n + 11n ) chia hết cho 21 Bài 7.(Ams 2014, vòng 2) Chứng minh n số nguyên dương 25n + 7n − 4n (3n + 5n ) chia hết cho 65 Bài 8.(Ams 2015, vòng 2) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố Chứng minh (n4 − 1) chia hết cho 40 Bài Chứng minh với số nguyên dương n 5n (5n + 1) − 6n (3n + 2n ) chia hết cho 91 Bài 10 Chứng minh vợi số tự nhiên n a) n2 + n + khơng chia hết cho b) n2 + n + không chia hết cho 15 c) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Bài 11 Cho số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 = c2 + d2 Chứng minh số a + b + c + d hợp số Bài 12 Cho a, b, c, d số nguyên cho a − c ước ab + cd Chứng minh a − c ước ad + bc Bài 13 Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh p2 − chia hết cho 24 Bài 14 Chứng minh n5 n có chữ số tận giống Bài 15 Chứng minh với số tự nhiên n, phân số sau tối giản 21n + 15n2 + 8n + a) b) 14n + 30n2 + 21n + 13 Bài 16 Tìm số nguyên dương n để phân số sau tối giản 18n + 3n + b) a) 2n + 21n + Bài 17.(SP vịng 2) Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 128 Bài 18 Cho a, b, c, d số nguyên Chứng minh (a−b)(a−c)(a− d)(b − c)(b − d)(c − d) chia hết cho 12 Bài 19 Chứng minh A = n(n2 + 1)(n2 + 4) chia hết cho với số nguyên n Bài 20.(Ams 2005, vòng 2) Chứng minh số A = 1.2.3 2003.2004(1 + 1 1 + + + + ) 2003 2004 chia hết cho 2005 Bài 21 Chứng minh a) 3327 + 2733 chia hết cho 36 b) 3105 + 4105 chia hết cho 13 c) 32010 + 52010 chia hết cho 13 d) 55552222 + 22225555 chia hết cho Bài 22.(Dự bị KHTN 2009, vòng 1) Chứng minh 72041 +32041 −10 chia hết cho 70 Bài 23 Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a5 + b5 = 4(c5 + d5 ) Chứng minh A = a + b + c + d chia hết cho Bài 24 Cho a, b, c số tự nhiên cho a + b + c chia hết cho Chứng minh a3 + b3 + c3 chia hết cho Bài 25 Cho bốn số nguyên a, b, c, d có tổng Chứng minh a5 + b5 + c5 + d5 chia hết cho 15 Bài 26 Cho a, b, c số nguyên chẵn lẻ Chứng minh A = (a + b + c)3 − (a3 + b3 + c3 ) chia hết cho 24 Bài 27 Cho a, b, c, d số nguyên lẻ cho a5 + b5 + c5 + d5 chia hết cho 120 Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 120 Bài 28.(Ams 2004, vòng 2) Cho hai số tự nhiên a b Chứng minh a2 + b2 chia hết cho a b chia hết cho Bài 29.(KHTN 2001, vòng 2) Cho f (x) = ax2 + bx + c thỏa mãn f (x) ∈ Z, ∀x ∈ Z Hỏi a, b, c có thiết số ngun hay khơng? Vì sao? Bài 30.(SP vịng 2) Cho đa thức f (x) = ax3 + bx2 + cx + d a) Chứng minh f (x) nhận giá trị nguyên với x nguyên bốn số: 6a, 2b, a + b + c d số nguyên b) Nếu bốn số 6a, 2b, a + b + c, d nguyên f (x) có nhận giá trị ngun với x ngun hay khơng? Vì sao? Bài 31.(KHTN 2008, vịng 1) Với a, b số nguyên dương cho a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh 4a + a + b chia hết cho Bài 32 Cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = c2 Chứng minh a.b.c chia hết cho 60 Bài 33.(Ams 2006, vòng 2) Cho P = (a + b)(b + c)(c + a) − abc, với a, b, c số nguyên Chứng minh a + b + c chia hết cho P chia hết cho Bài 34.(Ams 2011, vịng 2) Tìm tất số nguyên dương n cho n2 − 9n − chia hết cho n − 11 Bài 35 Cho a, b, c số nguyên Chứng minh A = abc(a3 − b3 )(b3 − c3 )(c3 − a3 ) chia hết cho Bài 36 Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + c2 = d2 Chứng minh abc chia hết cho Bài 37.(HSG HN 2001) Tìm tất số thự nhiên n cho 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho Bài 38.(KHTN 2015, vịng 1) Tìm số ngun x, y không nhỏ cho xy − chia hết cho (x − 1)(y − 1) Bài 39*.(KHTN 2008, vịng 2) Tìm số ngun dương a, b, c (ab − 1)(bc − 1)(ca − 1) cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên S = abc Bài 40*.(Ams 2008, vòng 2) Với số tự nhiên n ta đặt an = 3n2 + 6n + 13 Chứng minh hai số , ak khơng chia hết cho chia cho có số dư khác (ai + ak ) chia hết cho Bài 41* Cho a, b, c số nguyên thỏa mãn (a − b)(b − c)(c − a) = a + b + c Chứng minh a + b + c chia hết cho 27 Bài 42 Nếu viết liên tiếp 9999 số 2016 ta số A = 20162016 2016 Tìm số dư phép chia A cho 9999 Bài 43*.(Dự bị KHTN 2008, vòng 2) Chứng minh với (a, b) = ước số chung lớn a + b a2 + b2 Bài 44.(HSG Hà Nội 2002) Gọi A tích 2002 số tự nhiên khác Ta chia A cho 1, 2, , 2002, thương A1 , A2 , , A2002 Chứng minh tổng A1 + A2 + + A2002 chia hết cho 2003 Bài 45*.(Ams 2007, vịng 2) Tìm số nguyên dương nhỏ có tận 2008 chia hết cho 2007 Bài 46*.(Ams 1996, vòng 2) Viết số liên tiếp 111, 112, 113, , 887, 888, ta số A = 111112113 887888 Chứng minh A chia hết cho 1998 Bài 47*.(SP 2001, vòng 2) Cho n số nguyên dương Chứng minh Tn = 15 + 25 + 35 + + n5 chia hết cho An = + + + + n Bài 48 Tìm số tự nhiên n có ba chữ số khác nhau, biết xóa chữ số ta số ước n Bài 49 Cho a, b hai số nguyên dương thỏa mãn a + 20 b + 13 chia hết cho 21 Tìm số dư phép chia A = 4a + 9b + a + b cho 21 Bài 50 Cho số nguyên dương a, b, c, d, e, g thỏa mãn a2 + b2 + c2 = d2 + e2 + g Chứng minh a + b + c + d + e + g hợp số Bài 51 Cho số tự nhiên N = 20152016 Viết N thành tổng k số tự nhiên n1 , n2 , , nk Đặt S = n31 + n32 + + n3k Tìm số dư phép chia S cho Bài 52 Cho số nguyên dương n1 , n2 , , n2016 thỏa mãn: n21 + n22 + + n22015 = n22016 Chứng minh có hai số chẵn số cho Bài 53 Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + c2 + d2 chia hết cho Chứng minh a, b, c, d số chẵn Bài 54 Cho x, y, z số nguyên thỏa mãn x3 + y + z chia hết cho 27 Chứng minh ba số x, y, z chia hết cho hai ba số có tổng chia hết cho Bài 55 (Ams 2017, chuyên Toán) Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh 2017 − p2 chia hết cho 24 Bài 56 (Ams 2017, chuyên Tin) Cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = c2 Chứng minh ab chia hết cho a + b + c Bài 57.(Ams 2016, chuyên Tin) Tìm tất cặp số nguyên dương (m; n) cho (2m − 1) n (2n − 1) m Bài 58.(Ams 2013, chun Tốn) Tìm số tự nhiên n để số 72013 +3n có chữ số hàng đơn vị Bài 59.(HSG Hà Nội 2017) Cho n số nguyên dương Chứng minh A = n5 + 5n3 − 6n chia hết cho 30 Bài 60.(HSG HN 2012) Cho số nguyên dương a, b, c Chứng minh A = (a2012 + b2012 + c2012 ) − (a2008 + b2008 + c2008 ) chia hết cho 30 Bài 61.(SP 2001, vịng 2) Tìm tất ba số tự nhiên lớn cho tích hai số ba số cộng với chia hết cho số thứ Bài 62.(Ams 2002, vòng 2) Trong tập hợp N∗ , xét số P = 1.2.3 n S = 1+2+3+ +n Hãy tìm số n(n ≥ 3) cho P chia hết cho S ... Chứng minh a + b + c chia hết cho 27 Bài 42 Nếu viết liên tiếp 99 99 số 2016 ta số A = 20162016 2016 Tìm số dư phép chia A cho 99 99 Bài 43*.(Dự bị KHTN 2008, vòng 2) Chứng minh với (a, b) = ước...6n (3n + 2n ) chia hết cho 91 Bài 10 Chứng minh vợi số tự nhiên n a) n2 + n + khơng chia hết cho b) n2 + n + không chia hết cho 15 c) n2 + 11n + 39 không chia hết cho 49 Bài 11 Cho số nguyên... 2004 chia hết cho 2005 Bài 21 Chứng minh a) 3327 + 2733 chia hết cho 36 b) 3105 + 4105 chia hết cho 13 c) 32010 + 52010 chia hết cho 13 d) 55552222 + 22225555 chia hết cho Bài 22.(Dự bị KHTN 20 09,