Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp 1: Xét số giao điểm của và (C).. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.. Từ đẳng thức này sẽ suy ra được có phải là tiếp tuyến của đ[r]
(1)Phần VEC TƠ
V n đ 1ấ ề : VECT – T NG, HI U VECT , TÍCH VECT V I SƠ Ổ Ệ Ơ Ơ Ớ Ố A- Tóm t t c s lý thuy tắ ở ế : ( GV h th ng l i ki n th c v vect )ệ ố ế ứ ề
I- VECT :Ơ 1- nh ngh aĐị ĩ
2- Vect ph ng, vect h ng, vect ng c h ng.ơ ươ ướ ượ ướ 3-Độ dài vectơ
4- Hai vect b ng – Hai vect đ i – Vect không.ơ ằ ố II- T NG VÀ HI U HAI VECT :Ổ Ệ Ơ
1- nh ngh aĐị ĩ 2- Tính ch tấ 3- Các qui t c c b n:ắ ả 4-Công th c c n nh : + Trung m ứ ầ ể + Trong tâm tam giác II- TÍCH M T S V I VECT :Ộ Ố Ớ Ơ
1- nh ngh aĐị ĩ 2-Tính ch tấ
3- H th c trung mệ ứ ể - H th c tr ng tâm ệ ứ ọ B- Luy n t pệ ậ :
I- Ch ng minh hai vect b ng nhauứ ơ ằ :
Ph ng phápươ :
1- Dùng đ nh ngh a: ị ĩ
a hướng b a b
a b
2- Đưa v hình bình hành r i áp d ng tính ch t hình bình hành.ề ụ ấ
Bài 1: Cho t giác ABCD G i M,N,P,Q l n l t trung m c nh AB, BC, CD, DA Ch ng minh :ứ ọ ầ ượ ể ứ
MN QP.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân t i A, c nh AB l y m M ph n kéo dài c nh AC v phía C l yạ ấ ể ầ ề ấ m N, cho BM = CN o n th ng MN c t BC t i E Ch ng minh: ể Đ ẳ ắ ứ ME EN
Bài 3: Cho tam giác ABC, g i D trung m c a BC, m M, N, E, F l n l t trung m c a AB,ọ ể ủ ể ầ ượ ể ủ AC, CD, DB Ch ng minh: ứ
MF NE.
Bài 4: Cho t giác ABCD G i M, N, P l n l t trung m c a AB, BD, CD Ch ng minh : T giácứ ọ ầ ượ ể ủ ứ ứ ABCD hình bình hành ch ỉ
MN NP
II- Ch ng minh ứ đẳng th c vectứ ơ:
Ph ng phápươ :
1- Bi n đ i v ph c t p đ có v đ n gi nế ổ ế ứ ể ế ả 2- Dùng phép t ng đ ng.ươ ươ
3- Dùng quan h b c c u.ệ ắ ầ
Qui t c mắ ể + T ngổ + Hi uệ
(2)1 Cho ABC Có thể xác định đợc vectơ khác 0 Cho tứ giác ABCD
a/ Cã vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm AB, BC, CD, DA CMR : MQ→ = NP→
3. Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, BC, CA
a/ Xác định vectơ phơng với MN→ b/ Xác định vectơ NP→
1 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF Dựng vectơ EH FG AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG hình bình hành
2 Cho hình thang ABCD có hai đáy AB CD với AB=2CD Từ C vẽ CI→ = DA→ CMR :
a/ I trung điểm AB DI→ = CB→ b/ AI→ = IB→ = DC→
3 Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung ®iĨm cđa BC, CA, AD Dùng MK→ = CP→ vµ KL→ = BN→
a/ CMR : KP→ = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : AL→ = 0 B PhÐp to¸n vÐc tơ
1 Cho điểm A, B, C, D CMR : AC→ + BD→ = AD→ + BC→
2. Cho ®iĨm A, B, C, D, E
CMR : AB→ + CD→ + EA→ = CB→ + ED→
3. Cho ®iĨm A, B, C, D, E, F
CMR : AD→ + BE→ + CF→ = AE→ + BF→ + CD→
4. Cho ®iĨm A, B, C, D, E, F, G, H
CMR : AC→ + BF→ + GD→ + HE→ = AD→ + BE→ + GC→ + HF→
5. Gọi O tâm hình bình hành ABCD CMR :
a/ DO→ + AO→ = AB→ b/ OD→ + OC→ = BC→ c/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
d/ MA→ + MC→ = MB→ + MD→ (víi M lµ ®iÓm tïy ý)
(3)7 Cho ABC Tõ A, B, C dùng vect¬ tïy ý AA '→ , BB '→ , CC '→ CMR : AA '→ + BB '→ + CC '→ = BA '→ + CB '→ + AC '→
8 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB +AD theo a
9. Cho hình chữ nhật ABCD, biÕt AB = 3a; AD = 4a
a/ TÝnh AB→ +AD→ b/ Dùng u = AB→ +AC→ TÝnh u 10.Cho ABC vu«ng t¹i A, biÕt AB = 6a, AC = 8a
a/ Dùng v = AB→ +AC→ b/ TÝnh v
11.Cho tø gi¸c ABCD, biÕt r»ng tồn điểm O cho véc tơ OA OB OC OD, , ,
có độ dài OA OB OC OD
= Chøng minh ABCD lµ hình chữ nhật
12.Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung điểm BC, CA, AB O điểm tùy ý a/ CMR : AM + BN→ + CP→ = 0 b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ +
ON→ + OP→
13.Cho ABC cã träng t©m G Gäi MBC cho BM→ = MC→
a/ CMR : AB→ + AC→ = AM→ b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MG
14.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt trung điểm AB, CD O trung ®iĨm cđa EF
a/ CMR : AD→ + BC→ = EF→ b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = MO→ (víi M tïy ý)
d/ Xác định vị trí điểm M cho MA−→ + MB−→ + MC−→ + MD− → nhỏ
15.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H lần lợt trung điểm AB, BC, CD, DA M ®iĨm tïy ý
a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = 0
b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→ c/ CMR : AB→ +AC→ + AD→ = AG→ (víi G lµ trung ®iĨm FH)
16.Cho hai ABC vµ DEF cã träng tâm lần lợt G H CMR : AD + BE→ + CF→ = GH→
17.Cho h×nh bình hành ABCD có tâmO E trung điểm AD CMR : a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0
(4)19.Cho ®iĨm A, B, C, D, E, F CMR :
a/* CD→ + FA→ - BA→ - ED→ + BC→ - FE→ = 0 b/ AD→ - MB→ - EB→ = MA→ - EA→ - FB→
c/ MA→ - DC→ - FE→ = CF→ - MB→ + MC→
20.Cho ABC Hãy xác định điểm M cho :
a/ MA→ - MB→ + MC→ = 0 b/ MB→ - MC→ + BC→ = 0 c/ MB→ - MC→ + MA→ = 0 d/ MA→ - MB→ - MC→ = 0 e/ MC→ + MA→
-MB→ + BC→ = 0
21.Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a
a/ TÝnh AD→ - AB→ b/ Dùng u = CA→ - AB→ TÝnh u
22.Cho ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC a/ Tính AB→ − AC→ b/ Tính BA→ - BI→
23.Cho ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a TÝnh AB→ − AC→
24.Cho ABC Gọi M, N, P lần lợt trung ®iĨm cđa BC, CA, AB vµ O lµ ®iĨm tïy ý a/ CMR : AM→ + BN→ + CP→ = 0 b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OM→ +
ON→ + OP→
25.Cho ABC cã träng t©m G Gäi M BC cho BM→ = MC→
a/ CMR : AB→ + AC→ = AM→ b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ = MG→
26.Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lợt trung điểm AB, CD O trung điểm cña EF
a/ CMR : AD→ + BC→ = EF→ b/ CMR : OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 c/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = MO→ (víi M tïy ý)
27.Cho tø gi¸c ABCD Gäi E, F, G, H lần lợt trung điểm AB, BC, CD, DA M điểm tùy ý
a/ CMR : AF→ + BG→ + CH→ + DE→ = 0 b/ CMR : MA→ + MB→ + MC→ + MD→ = ME→ + MF→ + MG→ + MH→
c/ CMR : AB→ + AC→ + AD→ = AG (với G trung điểm FH)
(5)29.Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm AD CMR :
a/ OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0 b/ EA→ + EB→ + EC→ = AB→ c/ EB→ + EA→ + ED→ = EC
30.Cho tam giác ABC, Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI, gọi J điểm BC
kéo dài cho 5JB = 2JC
a) TÝnh AI AJ theo AB AC, ,
b) Gäi G trọng tâm tam giác ABC Tính AG
theo AI vµ AJ
31.Cho ABC có M, D lần lợt trung điểm AB, BC N điểm cạnh AC cho AN→ =
2 NC →
Gọi K trung điểm MN a/ CMR : AK→ =
4 AB →
+
6 AC →
b/ CMR : KD→ =
4 AB →
+
3 AC →
32.Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D vµ E cho AD→ = DB→ , CE = EA Gọi M trung điểm DE I trung điểm BC CMR :
a/ AM→ =
3 AB →
+
8 AC →
b/ MI→ =
6 AB →
+
8 AC →
33.Cho ®iĨm A, B, C, D tháa 2 AB→ + AC→ = AD CMR : B, C, D thẳng hàng
34.Cho ABC, lÊy M, N, P cho MB→ = MC→ ; NA→ +3 NC→ = 0 vµ PA→ + PB→ = 0
a/ TÝnh PM→ , PN→ theo AB→ vµ AC→ b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
35.Cho tam giác ABC.Gọi A’ điểm đối xứng với A qua B, B’ điểm đối xứng với B qua C, C’ điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm
36.Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ lần lợt điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh M di động , MN qua trọng tâm G tam giác ABC
37.Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mÃn tng ®tỊu kiƯn sau : a/ MA MB
b/ MA MB MC O
c/ | C
d/ C
-
e/ | - C
C Trục – Toạ độ trục:
38.Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt -2 a/ Tìm tọa độ AB→
(6)c/ Tìm tọa độ điểm M cho MA→ + MB→ = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = -1
39.Trên trục x'Ox cho điểm A, B, C có tọa độ lần lợt a, b, c a/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
b/ Tìm tọa độ điểm M cho MA→ + MB→ - MC→ = 0 c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA→ - NB→ = NC→
40.Trên trục x'Ox cho điểm A, B có tọa độ lần lợt -3 a/ Tìm tọa độ điểm M cho MA - MB =
c/ Tìm tọa độ điểm N cho NA + NB = AB
41.Trên trục x'Ox cho điểm A(-2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR :
AC + AD =
2 AB
b/ Gäi I trung điểm AB CMR : IC ID=IA2
c/ Gọi J trung điểm CD CMR : AC AD=AB AJ
D Toạ độ mặt phẳng:
42.Viết tọa độ vectơ sau : a = i - 3 j , b =
2 i + j ; c = - i +
2 j ; d = i ; e = -4 j
43.ViÕt díi d¹ng u = x i + y j , biÕt r»ng :
u = (1; 3) ; u = (4; -1) ; u = (0; -1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)
44.Trong mp Oxy cho a = (-1; 3) , b = (2, 0) Tìm tọa độ độ dài vectơ : a/ u = a - b
b/ v = a + b c/ w = a - 12 b
45.Trong mp Oxy cho A(1; -2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ Tìm tọa độ vectơ AB→ , AC→ , BC→ b/ Tìm tọa độ trung điểm I AB
c/ Tìm tọa độ điểm M cho : CM→ = AB→ - AC→
d/ Tìm tọa độ điểm N cho : AN→ + BN→ - CN→ = 0
46.Trong mp Oxy cho ABC cã A(4; 3) , B(-1; 2) , C(3; -2) a/ CMR : ABC c©n TÝnh chu vi ABC
b/ Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành c/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
(7)a/ CMR : ABC vu«ng TÝnh diƯn tÝch ABC b/ Gäi D(3; 1) CMR : ®iĨm B, C, D thẳng hàng
c/ Tỡm ta im D tứ giác ABCD hình bình hành
48.Trong mp Oxy cho ABC cã A(-3; 6) , B(9; -10) , C(-5; 4) a/ CMR : A, B, C không thẳng hµng
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G ABC
c/ Tìm tọa độ tâm I đờng trịn ngoại tiếp ABC tính bán kính đờng trịn
49.Trong mp Oxy cho A(-3; 2) , B(4; 3) HÃy tìm trục hoành điểm M cho ABM vuông M
50.Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ HÃy tìm trục hoành điểm C cho ABC cân C b/ TÝnh diƯn tÝch ABC
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành
51.Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(-1; -1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng
b/ Tỡm ta trng tõm G ABC c/ CMR : ABC vuông cân
d/ TÝnh diƯn tÝch ABC
52.Cho ABC víi trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM a/ CMR : IA→ + IB→ + IC→ = 0
b/ Víi ®iĨm O bÊt kú CMR : OA→ + OB→ + OC→ = OI→
53.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC a/ CMR : AI→ = AO→ + AB→
b/ CMR : DG→ = DA→ + DB→ + DC→
54.Cho ABC Lấy cạnh BC điểm N cho BC→ = BN→ TÝnh AN→ theo AB AC
55.Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a/ CMR : AI→ =
2 ( AD →
+ AB→ ) b/ CMR : OA→ + OI→ + OJ→ = 0
c/ Tìm điểm M thỏa : MA - MB + MC = 0
56.Cho ABC điểm M tùy ý
a/ Hãy xác định điểm D, E, F cho MD→ = MC→ + AB→ , ME→ = MA→ + BC→ MF→ = MB→ + CA→ CMR điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M
(8)57.Cho ABC T×m tËp hợp điểm M thỏa điều kiện : a/ MA = MB→
b/ MA→ + MB→ + MC→ = 0
c/ MA→ + MB→ = MA→ - MB→ d/ MA→ + MB→ = MA→ + MB→ e/ MA→ + MB→ = MA→ + MC→
58.Cho ABC có trọng tâm G Gọi D E điểm xác định AD→ = AB→ , AE→ = 52 AC→
a/ TÝnh AG→ , DE→ , DG→ theo AB→ vµ AC→ b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
59.Cho ABC Gọi D điểm xác định AD→ = 52 AC→ M trung điểm đoạn BD
a/ Tính AM theo AB AC b/ AM cắt BC I Tính IB
IC AM AI
60.Trªn mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2)
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm Ox cách điểm A B b/ Tính chu vi diện tích OAB
c/ Tìm ta tõm OAB
d/ Đờng thẳng AB cắt Ox Oy lần lợt M N Các điểm M N chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ?
e/ Phõn giỏc góc AOB cắt AB E Tìm tọa độ điểm E f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC hình bình hành
Phần ii ph ơng trình đ ờng thẳng Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm:
a) A(1;3); B(2;6) b) A(3;2) B(-1;-5) Viết phơng trình đờng thng (d)
a) qua điểm M(1;2) có vtcp u(2; 1) -
b) ®i qua ®iĨm A(3;1) vµ song song víi ®t (α): x-4y-2=0
3 Viết phơng trình đờng thẳng (d)
a ®i qua điểm M(-2;4) có vtpt n(5;2)
b) qua điểm A(3;2) vuông góc víi ®t (α): 2x-3y-9=0
4 Xét vị trí tơng đối cặp đờng thẳng sau a) 2x+3y-1=0 3x+y+2=0 b) 4x-y+2=0
1 3
x t
y t
- c)
2
x t
y t
-
- vµ ' '
x t y t
(9)a) x-2y+5=0 vµ 2x+y-8=0 b) 3x-4y+1=0 vµ
x t
y t
-
c)
1 '
vµ
2 2 '
x t x t
y t y t
-
-
6.Cho ®iĨm A(-3;4), B(-5;-1), C(4;3)
a) Tính độ dài cạnh AB, BC, AC b) Viết pt đờng cao AH
7 Viết phơng trình cạnh tam giác ABC biết toạ độ trung điểm là: M(2;1), N(5;3), P(3;-4)
8 Viết phơng trình đờng thẳng qua A(0;1) tạo với đờng thẳng: x+2y+3=0 góc 450 Cho tam giác ABC, biết cạnh BC có phơng trỡnh: 7x+5y-8=0, cỏc ng cao BI,
CK lần lợt có phơng trình là: 9x-3y-4=0 x+y-2=0 Lập phơng trình cạnh AB, AC đ-ờng cao AH
10Cho hình thoi ABCD A(1;3), B(4;-1) biết AD song song với Ox đỉnh D có hồnh độ âm Tìm tọa độ C, D
11 Viết ptđt qua I(-2;3) cách điểm A(5;-1), B(3;7)
12 Cho tam giác ABC, A(1;1), đờng cao từ B C có phơng trình lần lợt là:-2x+y-8=0 2x+3y-6=0 Viết phơng trình đờng cao AH, tìm tọa độ điểm B C
13.) Cho tam giác ABC phơng trình cạnh AB: 5x-3y+2=0 Các đờng cao từ A B
có phơng trình là: 4x-3y+1=0 7x+2y-22=0 Lập phơng trình cạnh đờng cao cịn li
14 Cho tam giác ABC, M(-1;1) trung điểm cạnh BC, phơng trình
cnh AB, AC lần lợt là: x+y-2=0 2x+6y+3=0 Tìm tọa độ điểm A, B, C lập phơng trình đờng cao AH
15 Viết phơng trình đờng thẳng qua M(-5;13) vng góc với đờng thẳng 2x-3y+3=0 16 Lập phơng trình cạnh tam giác ABC biết C(4;-1) đờng cao trung
tuyến kẻ từ đỉnh có phơng trình lần lợt (d1): 2x-3y+12=0 (d2): 2x+3y=0 17 Cho phơng trình cạnh tam giác ABC là: 5x-2y+6=0; 4x+7y-21=0 Viết phơng
trình cạnh thứ tam giác biết trực tâm tam giác trùng với gốc tọa độ O(0;0) 18 Viết phơng trình đờng thẳng (d) bit:
a) Đi qua điểm A(1;1) có hƯ sè gãc k=2
b) ®i qua ®iĨm B(5;-2) tạo với hớng dơng trục Ox góc 600 c) qua điểm C(3;7) tạo với trục Ox góc 450
19 Viết phơng trình trung trực tam giác ABC biết trung điểm ba cạnh AB, BC, CA lần lợt là: M(2;3), N(4,-1), P(-3;5)
20 Cho A(10;5), B(15;-5), D(-20;0) đỉnh hình thang cân ABCD biết AB song song CD tìm tọa độ C
21 Cho tam giác ABC biết B(-4;5) đờng cao có phơng trình lần lợt là: 5x+3y-4=0 3x+8y+13=0 Lập phơng trình cạnh tam giác
22 Cho tam giác ABC có pt cạnh AB là: x+y-9=0, đờng cao qua đỉnh A B
lần lợt (d1): x+2y-13=0, (d2): 7x-5y-49=0 lập phơng trình AC, BC đờng cao thứ ba, xác định trực tâm H
23 Viết pt cạnh tam giác ABC trung tuyến AM đờng cao AH biết A(1:2), B(3;4), C(-1;5)
24 Viết phơng trình tổng quát đờng thẳng (d) trng hp sau:
a) Đi qua điểm M(-2;-4) cắt Ox, Oy lần lợt A B cho tam giác 0AB vuông cân b) Đi qua điểm M(1;2) cắt Ox, Oy A B cho M trung điểm AB
25 Lập phơng trình đờng thẳng qua M(1;2) chắn hai trục toạ độ đoạn có độ dài
26 Cho tam giác ABC biết AB có phơng trình: 4x+y-12=0 hai đờng cao AH: 2x+2y-9=0, BH: 5x-4y-15=0 Hãy viết pt hai cạnh đờng cao thứ tam giác
27 Cho tam gi¸c ABC cã A (2;1); B(-2;3); C(1;-1)
(10)b) Viết phơng trình đờng cao xác định trực tâm H c) Viết phơng trình trung tuyến xác định trọng tâm G d) CMR điểm H, G ,I thẳng hàng
28 Cho điểm A(2;4) ∆: 2x-4y+3=0 viết phơng trình đờng thẳng đối xứng với ∆ qua A 29 Cho M(5/2;1) đờng thẳng: y=x/2, y-2x=0 Lập ptđt (d) qua M cắt
đờng thẳng điểm A, B cho M trung điểm AB
30 Viết phơng trình cạnh tam giác biết C(4;3), đờng phân giác
đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh tam giác có phơng trình lần lợt là: x+2y-5=0 4x+13y-10=0
31 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2;0), phơng trình AB: x-2y+2=0, AB=2AD Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, D biết A có hồnh độ âm
32Cho tam giác ABC vng cân A, M(1;-1) trung điểm BC, G(2/3;0) trọng tâm tam giác Tìm tọa độ đỉnh
33 Cho A(0;2), B(- 3; 1)- Tìm tọa độ trực tâm tam giác OAB
34 Cho tam giác ABC biết A(-1;0), B(4;0), C(0;m) Tìm tọa độ trọng tâm G theo m, với m=? tam giác GAB vuông G
35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) Tìm điểm C thuộc đờng thẳng x-2y-1=0 cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đờng thẳng d1: x-y=0 d2: 2x+y-1=0
Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 đỉnh B, D thuộc Ox
37 Cho A(-1;2), B(3;4) Tìm C thuộc (d): x-2y+1=0 cho tam giác ABC vuông C
38 Viết ptđt qua M(1;1) t¹o víi (d): 2x+3y+1=0 mét gãc 450
39Cho hình thoi biết đỉnh có tọa độ (0;1), đờng chéo cạnh có
phơng trình lần lợt là: x+2y-7=0 x+3y-3=0 Tìm phơng trình cạnh cịn lại 40 Cho tam giác ABC, A(1;3) Phơng trình đờng cao BH cạnh BC lần
lợt là: 2x-3y-10=05x-3y-34=0 Tìm tọa độ đỉnh B, C
41 trình: x-2y+1=0 y-1=0 Lập phơng trình cạnh tam giác Cho tam giác ABC, A(1;3), đờng trung tuyến từ B C có phơng
42 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, Cho tam giác ABC với
A(3;0) phơng trình hai đờng cao (BB’): 2x+2y-9=0 (CC’): 3x-12y-1=0 Viết phơng trình đờng thẳng AB, AC, BC
43 Cho tam gi¸c ABC, A(1;2), trung tuyến BM phân giác CD tơng ứng có phơng trình 2x+y+1=0 x+y-1=0 Viết phơng trình BC
44 Cho M(5/2;2) đờng thẳng (d1): x-2y=0 (d2): 2x-y=0 Lập ptđt qua M cắt (d1) B, cắt (d2) B cho M trung điểm AB
45 Cho I(-2;0) đờng thẳng (d1): 2x-y+5=0 (d2): x+y-3=0 Viết ptđt (d) qua I cắt (d1) B, cắt (d2) B cho IA2IB
46 Cho đờng thẳng (d1): x+y+5=0, (d2): x+2y-7=0 A(2;3) Tìm B thuộc (d1), C thuộc (d2) cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0)
47 Cho tam giác ABC vuông A, A(-1;4), B(1;-4), đờng thẳng BC qua M(2;1/2) Tìm tọa độ C
48 Cho đờng thẳng ∆:
2 2 -
x t
y t điểm M(3;1)
a) Tìm điểm A cho A cách M khoảng 13 b) Tìm B cho MB ng¾n nhÊt
(11)51 Cho đờng thẳng ∆:
2 v
x -2 - t' µ ' : y t' - x t y t
Viết pt đối xứng với ∆’ qua ∆
52 Xác định phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d) qua đờng thẳng (d2) biết: a) (d): 4x-y-3=0 (d2): x-y=0
b) (d): 6x-3y+4=0 vµ (d2): 4x-2y+3=0 c) (d): x-3y+6=0 vµ (d2): 2x-y-3=0
53 Xác định phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d) qua I, biết: a) (d): 2x-y+4=0 I(-2;1)
b) (d): x-2y-5=0 vµ I(2;1) c) (d): 3x+4y-7=0 vµ I(-3;4)
54 ViÕt ptđt (d1) qua M trờng hợp sau:
a) M(1;2) tạo góc 450 với đờng thẳng (d): x t y t
b) M(2;1) tạo góc 450 với đờng thẳng (d):
3
1
x y
c) M(2;3) tạo góc 300 với đờng thẳng (d): x-y=0 d) M(2;1) tạo góc 450 với đờng thẳng (d): 2x+3y+4=0 e) M(2;5) cách điểm N(4;1) đoạn
f) M(-2;3) cách điểm A(5;-1), B(3;7)
55 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d1): x+y+3=0, (d2): x-y-4=0,
(d3): x-2y=0 Tìm tọa độ điểm M (d3) cho khoảng cách từ điểm M tới (d1) hai lần khoảng cách từ M tới (d2)
56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(2;2) cỏc ng thng d1: x+y-2=0, d2:
x+y-8=0 Tìm điểm B, C lần lợt thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vuông cân A
57 Cho tam giác ABC cân A có trọng tâm G(4/3;-1/3), phơng trình BC, BG lần lợt là: x-2y-4=0 7x-4y-8=0 Tìm tọa độ A, B, C
58 Cho A(0;2) (d): x-2y+2=0 tìm (d) điểm B, C cho tam giác ABC vuông B AB=2BC
59Cho tam gi¸c ABC cã A(-6;-3), B(-4;3), C(9;2) a) Viết phơng trình cạnh tam giác ABC
b) Viết phơng trình đờng phân giác góc A tam giác ABC c) Tìm M cạnh AB, N cạnh BC cho MN//BC AM=CN
60 Cho tam giác ABC phơng trình cạnh AB, BC, CA lần lợt là: 3x+4y-6=0, 4x+3y-1=0, y=0
Viết phơng trình đờng phân giác góc A tính diện tích tam giác ABC 61 Cho đờng thẳng (d): x-2y+2=0
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d) qua đờng thẳng: x-y+1=0 b) Viết phơng trình đờng thẳng (d2) đối xứng với đờng thẳng (d) qua đờng thẳng:
2 x t y t
61 Cho đờng thẳng (d): 2x-y-1=0 Tìm điểm M thuộc (d) cho MA+MB nhỏ nhất, bit A(1;6) v B(-3;-4)
62 Viết phơng trình cạnh tam giác ABC biết A(1;5) hai trung tuyến có phơng trình lần lợt là: 9x-4y-11=0, 3x-5y=0
63 Cho hình bình hành ABCD có A(-2;3) hai cạnh lần lợt có phơng trình: 2x+3y-3=0 x-4y-7=0 Viết phơng trình cạnh cịn lại tính tọa độ giao điểm I hai đờng chéo
64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) cạnh AB, AC có phơng trình lần lợt là: 4x+y+15=0 2x+5y+3=0
a) Tìm tọa độ đỉnh A trung điểm M BC b) Tìm tọa độ đỉnh B viết phơng trình cạnh BC
(12)66 Cho hình vnng ABCD có A(5;-4) phơng trình đờng chéo là: x-7y-7=0 Viết phơng trình cạnh đờng chéo cịn lại
67 Cho tam gi¸c ABC cã A(2;-3), B(3;-2) vµ ABC S
2
.Trọng tâm G nằm đờng thẳng 3x-y-8=0 Viết phơng trình đờng cao CH trung tuyến CD tam giác
68 Cho họ đờng thẳng (dm): (m-3)x+(m+5)y=1 Tìm m để (dm) cách gốc tọa độ O khoảng lớn
69 Cho đờng thẳng (d): -5x+y-1=0 điểm M(1;2)
a) Tìm tọa độ điểm I đối xứng với điểm M qua đờng thẳng (d) b) Tìm đờng thẳng (d1) đối xứng với đờng thẳng (d) qua điểm M
70 Cho đờng thẳng (d): 3x+y-4=0 Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) cho MA+MB nhỏ nhất, biết:
a) A(0;1), B(1;2) b) A(2;2), B(1;3)
71 Cho đờng thẳng (d): x-y+2=0 Tìm điểm M thuộc đờng thẳng (d) cho |MA-MB| lớn nhất, biết:
a) A(0;3), B(1;1) b) A(-1;2), B(2;3)
72 Cho tam giác ABC, biết phơng trình cạnh AB, BC, AC lần lợt là: 3x+4y-6=0, 4x+3y-1=0, y=0 Viết phơng trình đờng phân giác góc A tam giác ABC
73 Cho hai đờng thẳng (d1) (d2) lần lợt có phơng trình là: 2mx-(m+1)y+1-3m=0 (3m+1)x+(m-1)y-6m+2=0
a) CMR hai đờng thẳng cắt điểm I b) Tìm quỹ tích điểm I
Phần ph ơng trình tốn liên quan đ ơng trịn Lập phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm ba đờng
th¼ng sau: 5y x - 2, y x 2, y -8 x
2 Viết phơng trình đờng tròn qua A(2;-1) ttiếp xúc với Ox, Oy Cho họ đờng tròn: x2y2- 2mx- 2(m1)y- 2m-1 0
a) CMR: m thay đổi họ đờng tròn qua điểm cố định
b) CMR: m thay đổi họ đờng trịn ln cắt trục tung hai điểm phân biệt Cho họ đờng trịn x2y2- 2(m1)x- 2(m2)y6m 7
a) Tìm quỹ tích tâm đờng trịn họ
b) Xác định toạ độ tâm đờng tròn thuộc họ cho mà tiếp xúc với trục Oy Cho hai đờng tròn
(C1):
2 4 2 4 0
- -
x y x y vµ (C
2):
2 10 6 30 0
- -
x y x y Có tâm lần lợt lµ I vµ J
a) CM (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) Tìm toạ độ tiếp điểm H
b) Gọi (d) tiếp tuyến chung không qua H (C1) (C2) Tìm toạ độ giao điểm K (d)
và đờng thẳng IJ Viết phơng trình đờng trịn (C) qua K tiếp xúc với hai đờng tròn (C1) (C2) H
6 Cho hai đờng tròn (C1):
2 2 9 2 0
x y - x- y- vµ (C 2):
2 8 9 16 0
x y - x- y a) CMR: hai đờng tròn (C1) (C2) tiếp xúc với b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung (C1) (C2)
7 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(3;0) B(0;4) Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp đờng tròn nội tiếp tam giác OAB Cho họ đờng tròn (Tm):
2 2(1 ) 2 0 (m 1) x y - - m x- m y m a) Tìm quỹ tích tâm họ đờng trịn m thay đổi
(13)9 Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn: x2y2- 6x- 2y 8 Viết phơng trình tiếp tuyến đờng trịn, biết tiếp tuyến có hệ số góc k=-1
10 Cho họ đờng trịn (Cm):
2 (2 5) (4 1) 2 4 0
- - -
x y m x m y m
a) CMR: (Cm) qua điểm cố định với m b) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Oy
11 Viết phơng trình đờng trịn nội tiếp tam giác ABC, biết A(-1;7), B(4;-3), C(-4;1)
12 Trong mặt phẳng Oxy cho đờng tròn (C): x2y212x- 6y44 0 a) Tìm tâm bán kính đờng trịn (C)
b) Lập phơng trình tiếp tuyến với đờng trịn (C), biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ 13 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, biết A(3;-7), B(9;-5), C(-5;9)
Qua điểm M(-2;-7) viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tìm toạ độ tiếp điểm
14 Trong mặt phẳng Oxy cho họ đờng cong (Cm):
2 2 6 4 0
x y mx- y - m
a) CMR: (Cm) đờng trịn với m Tìm tập hợp tâm đờng tròn (Cm) m thay đổi b) Khi m=4 viết phơng trình đờng thẳng vng góc với đờng thẳng (d): 3x-4y+10=0 cắt
đờng tròn hai điểm A, B cho độ dài AB=6
15 Cho đờng trịn có phơng trình x2y28x- 4y- 0 Viết phơng trình tiếp tuyến đờng trịn qua A(0;-1)
16 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC, biết A(-1;2), B(2;0), C(-3;1) a) Xác định tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Tìm điểm M đờng thẳng BC cho ABM ABC
1
S S
3
17 Trong mặt phẳng Oxy, xét đờng thẳng (d): 2x my -1 0 hai đờng tròn (C1):
2 2 4 4 0
x y - x y- vµ (C 2):
2 4 4 56 0
x y x- y-
a) Gọi I tâm đờng trịn (C1) Tìm m cho (d) cắt (C1) hai điểm phân biệt A B Với giá
trị m thi diện tích tam giác IAB lớn tính giá trị lớn
b) Chøng minh (C1) tiÕp xóc víi (C2) ViÕt ph¬ng trình tổng quát tất tiếp tuyến chung
của (C1) (C2)
18 Trong mặt phẳng Oxy
a) Viết phơng trình đờng trịn tâm Q(-1;2), bán kính R= 13, gọi đờng trịn (Q)
b) Tìm toạ độ giao điểm đờng trịn (Q) đờng thẳng (d): x-5y-2=0, gọi giao điểm
A B Tìm toạ độ điểm C cho tam giác ABC tam giác vuông nội tiếp đờng tròn
(Q)
19 Trong hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(1;0), B(2;1) đờng thẳng (d): 2x-y+3=0
a) Tìm phơng trình đờng trịn có tâm A tiếp xúc với đờng thẳng (d) Hãy xét xem điểm B nằm phía hay phía ngồi đờng trịn tìm
b) Tìm đờng thẳng (d) điểm M cho MA+MB nhỏ 20 Trong mặt phẳng Oxy cho họ đờng tròn (Cm):
2 2 4 5 1 0
(14)b) Tìm m để (Cm) cắt đờng tròn (C):
2 1
x y hai điểm phân biệt A B CMR đ-ờng
thẳng AB có phng khụng i
21 Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;0), B(0;2)
a) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với điểm O qua đờng thẳng AB b) Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABM
22 \ Trong mặt phẳng Oxy cho A(8;-1) đờng tròn (C):x2 y2- 6x- 4y 4 a) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) kẻ từ A
b) Gọi M, N tiếp điểm Tính độ dài đoạn MN 23 Trong mặt phẳng Oxy cho đờng cong (Cm):
2 2( 1) 4( 1) 5 0
x y - m x- m- y - m a) Tìm m để (Cm) đờng trịn
b) Khi (Cm) đờng tròn, xác định m để đờng thẳng x-y+2=0 tiếp tuyến (Cm) 24Cho họ đờng tròn (Cm):
2 (2 5) (4 1) 2 4 0
x y - m x m- y- m a) CMR (Cm) qua điểm cố định với m
b) Xác định tất giá trị m để (Cm) tiếp xúc với Oy
25 Tam giác ABC vuông A, phơng trình đờng thẳng BC là: 3x- y- 30
các đỉnh A , B thuộc trục hoành bán kính đờng trịn nội tiếp Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC
26 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): (x- 1)2 (y- 2)2 4 đờng
thẳng d: x-y-1=0 Viết phơng trình đờng trịn (C’) đối xứng với đờng trịn (C) qua đờng thẳng d Tìm tọa độ giao điểm (C) (C’)
27 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(0;2) B(- 3;-1) Tìm tọa độ trực tâm tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB
28 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2y22x- 4y0 đờng thẳng d: x-y+1=0
a) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc với d tiếp xúc với đờng trịn
b) Viết phơng trình đờng thẳng song song với d cắt đờng tròn hai điểm M, N cho độ dài MN
c) Tìm tọa độ điểm T d cho qua T kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với (C) điểm A, B
vµ gãc ATB 600
29 Cho tam giác ABC, hai cạnh AB, AC theo thứ tự có phơng trình
x+y-2=0 2x+6y+3=0, cạnh BC có trung điểm M(-1;1) Viết phơng trình đờng trịn ngoại tiếp
tam gi¸c ABC
30 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) B(6;4) Viết phơng trình đờng trịn (C) tiếp xúc với Ox A khoảng cách từ tâm cua (C) đến B 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đờng thẳng d: 2x-y-5=0 hai điểm A(1;2),
B(4;1) Viết phơng trình đờng trịn có tâm thuộc đờng thẳng d qua hai điẻm A, B 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1;2), B(2;3), C(2;-1) Tìm tọa độ
tâm I đờng tròn qua điẻm A, B, C
33 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn
(C):x2y22x- 4y- 200 Viết phơng trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng x+y=0
34 Lập phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng tròn (C1) (C2), biết: (C1):
2
4
x y - x- y vµ (C 2):
2 2( 1) 2( 2) 6 7 0
- -
x y m x m y m
35 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phơng trình đờng trịn (C) qua
(15)phơng trình đờng thẳng d qua điểm K cho d cắt (C) theo dây cung AB nhận K làm trung điểm
36 Cho tam giác ABC, biết phơng trình cạnh AB, BC, CA lần lợt
l: 2x+y-5=0, x+2y+2=0, 2x-y+9=0 Tìm tọa độ tâm đờng trịn nội tiếp tam giác ABC 37.) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4;2), B(1;-1) Viết phơng
trình đờng trịn qua điểm A, B có tâm nằm đờng thẳng 2x-y=0 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đờng tròn (C): x2y2- 2x- 6y 6
điểm M(-3;1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ đến (C) Viết phơng trình đờng thẳng T1T2
39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2), C(4;-2) Gọi
H chân đờng cao kẻ từ B; M, N lần lợt trung điểm cạnh AB BC Viết phơng trình đờng trịn qua điểm H, M, N
40 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): (x-1)2(y2)2 9
đờng thẳng d: 3x-4y+m=0 Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ đợc tiếp tuyến PA, PB tới (C)(A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB
41 Cho đờng tròn (C): x2 y2 - 2x- 8y- 80
b) ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(4;0) c) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) qua điểm N(4;6)
42 Cho đờng tròn (C):x2y2 80 Viết phơng trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(-4;-8) 43 Cho đờng tròn (C): x2 y2 - 2x- 6y 9 Viết phơng trinh tiếp tuyến trờng hợp
sau:
a) TiÕp tuyÕn song song víi (d): 3x-4y=0 b) TiÕp tun vu«ng gãc víi (d): 2x-y+2=0
44 Cho đờng tròn (C): x2 y2 4x4y-170 Viết phơng trình đờng tiếp tuyến (C), biết: a) Tiếp tuyến tiếp xúc với (C) M(2;1)
b) Tiếp tuyến vng góc với đờng thẳng (d’): 3x-4y+1=0 c) Tiếp tuyến qua A(2;6)
45 Cho đờng tròn (C): x2 y2 2x- 4y- 40 điểm A(3;5) a) Hãy tìm tiếp tuyến kẻ từ A tới (C)
b) Giả sử tiếp điểm M N tính độ dài MN 46 Cho đơng tròn (C): (x-1)2(y- 3)2 4 điểm M(2;4)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua M cắt (C) A B cho M trung điểm AB b) Viết phơng trình tiếp tuyến đờng trịn có hệ số góc k=-1
47 Cho đờng trịn (C): (x-1)2(y- 2)2 9 Viết phơng trình đờng thẳng qua M(1;2) cắt đờng tròn hai điểm A B cho M trung điểm AB
48 Cho đờng tròn (C): (x- 2)2(y- 4)2 9 điểm M(3;4)
a) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến qua M
b) Viết phơng trình tiếp tuyến (C) cho tiếp tuyến hợp với chiều dơng Ox góc 450
49 Cho đờng tròn (C): x2+y2-2x-4y-4=0 điểm A(-2;2) viết phơng trình tiếp tuyến (C) qua A Giả sử hai tiếp điểm M, N tính diện tích tam giác AMN 50 Cho hai đờng tròn (C1):
2
4 11
x y - x- y vµ (C 2):
2
2 2
(16)b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung hai đờng tròn PHƯƠNG TRèNH LÀ PHƯƠNG TRèNH ĐƯỜNG TRềN Phương phỏp giải
Cách 1:
- Đưa phương tŕnh đă cho dạng: (C) : x2 + y2-2ax -2by + c = (1) - Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 – c
+ Nếu P > (1) phương trình đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R = a2b2- c + Nếu P (1) khơng phải phương trình đường trịn
Cách 2: Đưa phương trình dạng: (x-a)2 + (y-b)2 = P (2).
+ Nếu P > (2) phương trình đường trịn có tâm I(a;b) bán kính R = P + Nếu P (2) khơng phải phương trình đường trịn
2 Các ví dụ.
Ví dụ 1: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường trịn Tìm tâm bán kính có
a) x2 + y2+2x -4y + = 0 b) x2 + y2-6x +4y + 13 = 0 c) 2x2 + 2y2-8x -4y -6 = 0 d) 5x2 + 4y2+x -4y + = 0
Giải: a) Ta có: a2 + b2 – c = -4 < phương trình khơng phải phương trình đường trịn. b) Ta có: a2 + b2 – c = phương trình khơng phải phương trình đường trịn.
c) Ta có: a2 + b2 – c = phương trình phương trình đường trịn tâm I(2/7;-3/7) bán kính R =
7 d) Phương trình cho khơng phải phương trình đường trịn hệ số x2 y2 khác nhau.
Ví dụ 2: Cho đường cong (Cm): x2 + y2-2mx -4(m-2)y + - m = (1) a) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường trịn
b) Nếu (1) phương trình đường trịn tìm toạ độ tâm bán kình theo m Giải: (1) phương trình đường tròn a2 + b2 – c > m2 – 3m + >
2 m m
(17)Ví dụ 3: Cho (C): x2 + y2-2xcos -2y sin + cos = 0 a) CMR: (C) đường tròn
b) Xác định để (C) có bán kính Max c) Tìm quỹ tích tâm I thay đổi
Giải:
a) a2 + b2 – c = – cos2 0 với
Khi a2 + b2 – c = coi đường trịn có bán kính 0. c) Có R2 = sin2 R
max = anpha = /2 + k d) Toạ độ tâm I:
os sin x c y
Khử anpha từ hệ ta toạ độ tâm I thoả mãn phương trình đường trịn: x2 + y2 = 1.
VẤN ĐỀ 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Dạng 1: Lập phương trình đường trịn qua điểm Cách 1:
- Tìm toạ độ tâm I(a;b) đường trịn (C) - Tìm bán kính R đường trịn (C)
- Viết phương trình (C) theo dạng (x-a)2 + (y-b)2 = R2.
Cách 2: Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0. - Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c - Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường trịn (C) Chú ý: :
*) Đường tròn (C) qua điểm A, B IA2 = IB2 = R2
*) Trong dạng có tốn hay gặp "Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC", tốn tốn viết phương trình đường trịn qua ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng cho trước Giải ta làm theo cách
Ví dụ : Lập phương trình đường trịn trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) qua O(0;0)
(18)c) Đi qua điểm: A( -2;4); B( 5;5); C(6; -2) Giải: 1252 = 26
a) Đường tròn có bán kính OI = 1252 = 26
phương trình đường trịn có dạng (x-1)2 + (y+5)2 = 26
b) Đường trịn có tâm I trung điểm AB: I(4; 3), bán kính AB/2 = 13
13 Phương trình đường trịn: (x-4)2 + (y-3)2 = 13
d) Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x2 + y2-2ax -2by + c = 0.
Từ điều kiện đề ta có hệ phương trình:
2 16
1 25 25 10 10
2
36 12 20
a a b c
a b c b
a b c c
- -
- -
-
-
- Vậy phương trình đường trịn có dạng: x2 + y2+ 4x +y -20 = 0
Dạng 2: Lập phương trình đường trịn tiếp xúc với đường thẳng Chú ý:
- Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng d(I, ).= R
- Đường tròn (C) qua A tiếp xúc với đường thẳng : A d(I, ) = IA.= R - Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 d(I, 1 ) = d(I, 2 ) = R Ví dụ 5: Lập phương trình đường trịn (C) trường hợp sau:
a) (C)có tâm I(2;3) tiếp xúc với 0x
b) (C)có tâm I(-1;2) tiếp xúc với đường thẳng : x – 2y + = Giải:
a) Đường thẳng Ox có phương trình: y = ( )
Ta có: R = d(I;; ) =
3 1
Vậy phương trình đường trịn (C) có dạng: (x-2)2 + (y – 3)2 = 9
b) Ta có: R = d(I;; ) =
1
1
- - -
(19)Ví dụ 6: Viết phương trình đường trịn qua A(2;-1) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox Oy
Giải: Vì điểm A nằm góc phần tư thứ tư,, nên đường trịn cần tìm góc phần tư thứ tư Do tâm đường trịn có dạng: I(R; -R), với R bán kính đường trịn
R = IA (2 – R)2 + (-1+ R)2 = R2 R2 – 6R + =
1 R R
Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu là: (x-1)2 + (y+1)2 =
(x-5)2 + (y+5)2 = 25
Ví dụ 7: Cho hai đường thẳng d1 : 3x + 4y + = d2 : 4x – 3y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d: x – 6y – 10 = tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d2
Giải:
Đường trịn cần tìm có tâm I nằm đường thẳng d toạ độ tâm I có dạng (6a +10; a)
- Vì đường trịn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bán kính R
3(6 10) 4(6 10)
5
a a a - a -
0 22 35 21 35 70
33 a
a a
a
- *) Với a = I(10;0) R = ptđt: (x-10)2 + y2 = 49
*) Với a = -70/33 I ( -30/11; -70/33) R = 97/33
phương trình đường trịn: (x+ 30/11)2 + (y+70/33)2 = (97/33)2
Ví dụ 8: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – – = ; x + y + 13 = với hai đường thẳng M(1;2)
Giải:
(20)
2
7 13
(1)
5 2
13
(1 ) (2 ) (2)
x x y
x y
x y
- -
-
-
Từ (1)
3 35 5 65
3 15 x y
x y x y
y x
- -
- -
*) Với x = 3y + 35, thay vào (2) ta đươc: y2 + 4y + = y = -2 x = 29; R = 20 Phương trình đường trịn có dạng: (x-29)2 + (y+2)2 = 800
*) Với y = -3x-15 thay vào (2) ta được: x2 + 12x + 36 = x = -6 y = ; R = 5 Phương trình đường trịn có dạng: (x+6)2 + (y-3)2 = 50
Ví dụ 9: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc với ba đường thẳng: 3x + 4y -35; 3x-4y – 35; x – =
Giải: Gọi I(x; y) tâm hai đường trịn cần tìm, ta có khoảng cách từ I đến ba đường thẳng cho nhau:
3 35 35 (1)
5
1 35
(2)
5
x y x y
x x y
- -
-
-
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x-4)2 + (y-3)2 = 25
b) Diện tích tam giác OAB S = ½ 8.6 = 24 Cạnh huyền AB = 10
Nửa chu vi p = 12 r = S p=2
Vì đường trịn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm J(r;r) = (2;2)
(21)Giải: Gọi ABC tam giác cho Từ (1)
35 x y
Thay vào (2) ta được
35 40 32
, ,
3 3
25, 16
5,
x y R
x R
y
x R
-
Vậy có bốn phương trình đường tròn thoả mãn đầu bài: (x+25)2 + y2 = 256
(x-5)2 + y2 = 16
(x-35/3)2 + (y+40/3)2 =(32/3)2 (x-35/3)2 + (y-b=40/3)2 = (32/3)2
Ví dụ 10: Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng x = tiếp xúc với hai đường thẳng: d1: 3x – y + = 0, d2 = x – 3y + =
Giải: Tâm I đường tròn nằm đường thẳng x = nên toạ độ tâm I có dạng I (5;b).Gọi R bán kính đường tròn
Khoảng cách từ I đến d1 là: R =
15 10
b -
Khoảng cách từ I đến d2 là: R =
5 10
b -
2 40
18 14
8 10
b R
b b
b R
-
- -
Vậy có hai đường tròn thoả mãn yêu cầu đề là: (x-5)2 + (y+2)2 = 40
(x-5)2 + (y-8)2 = 10
(22)- Tính diện tích tam giác cạnh tam giác để suy bán kính đường trịn nội tiếp tam giác: r = S
p
- Gọi I(x;y) tâm đường tròn nội tiếp tam giác Khoảng cách từ tâm I đến ba cạnh r Từ thành lập hệ phương trình hai ẩn x y
- Giải hệ phương trình tìm x, y từ có phương trình đường trịn phải tìm Cách 2:
- Viết phương trình đường phân giác hai góc tam giác - Tìm giao điểm hai đường phân giác ta toạ độ tâm I
- Tính kho ng cách t tâm I đ n m t ba c nh c a tam giác ta đ c bán kính đ ng tròn n i ti pả ế ộ ủ ượ ườ ộ ế tam giác
Ví dụ 11: Cho hai điểm A(8; 0) B(0; 6)
a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác 0AB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB
(Đại học Mỹ thuật công nghiệp 1998) Giải:
a) Nhận xét: Tam giác OAB vng O nên tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền AB I(4;3)
Bán kính R = IA = 5với cạnh là: AB: 4x-3y-65 = 0;
BC: 7x-24y+55 = CA: 3x+ 4y – 5=
A(11;-7); B(23;9); C( -1;2) dễ thấy tam giác ABC vuông A AB = 20; BC = 25; CA = 15
Diện tích tam giác là: S = 150
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác là: r =
Gọi tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC I(x;y) khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng cho r = nên ta có:
4 65 24 5
5 25
x- y- x- y x y
(23)Giải hệ ta tìm I(10;0)
Vậy phương trình đường trịn cần tìm : (x-10)2 + y2 = 25
VẤN ĐỀ 3: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN Dạng 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng đường trịn Tìm toạ độ giao điểm
Cho đường thẳng : Ax + By + C = (1) (A2 + B2 0)
đường tròn (C): x2 + y2-2ax -2by + c = (2) (C) có tâm I(a;b) bán kính R. Để xét vị trí tương đối đường thẳng đường trịn ta có hai phương pháp:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm (C) Số giao điểm (C) số nghiệm hệ phương trình:
2
Ax
2ax By C
x y by c
- -
- Nếu hệ vơ nghiệm (C) khơng có giao điểm khơng cắt đường trịn
- Nếu hệ có nghiệm (C) có giao điểm tiếp xúc với đường trịn
- Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt (C) có hai giao điểm cắt đường tròn hai điểm phân biệt Nhận xét: (C) có điểm chung cắt tiếp xúc với (C)
Phương pháp 2: So sánh khoảng cách từ tâm I đến với bán kính R Bước 1: Tìm toạ độ I(a;b); R
Bước 2: Tính khoảng cách từ I đến h = 2 Ax By C
A B
TH1: h> R không cắt đường trịn (C) khơng có giao điểm TH2: h = R tiếp xúc với đường trịn (C) có giao điểm TH3: h< R cắt đường tròn hai điểm phân biệt (C) có giao điểm Nhận xét:
Nếu tốn u cầu xét vị trí tương đối (C) d mà không cần quan tâm đến toạ độ giao điểm ta làm theo phương pháp
Ví dụ 13: Cho d: x – 5y – = (C) có tâm I(-1;2) bán kính R = 13 a) Viết phương trình đường trịn
(24)Phương trình đường trịn là: (x+1)2 + (y-2)2 = 13. Để tìm toạ độ giao điểm (C) d ta sủ dụng cách
Toạ độ giao điểm (C) d nghiệm hệ phương trình:
2
5
( 1) ( 2) 13 x y
x y
- -
-
Giải hệ ta tìm hai giao điểm A(2;0) B(-3;-1) Ví dụ 14: Biện luận số giao điểm (C) d đó:
d: mx-y-3m-2=0 (C): x2 + y2 -4x-2y = 0
Giải: Vì tốn khơng phải toạ độ giao điểm nên ta sử dụng phương pháp để giải Tâm bán kính đường trịn là: I(2;1) R =
Khoảng cách từ tâm I đến d h =
1 m
m
TH1:
1 m
m
< 5 (m+3)2 <5(m2 + 1) 4m2 – 6m-4>
1 2 m m
-
h < R d (C) có giao điểm
TH2:
1 m
m
= 5 (m+3)2 =5(m2 + 1) 4m2 – 6m-4=
1 2 m m
-
h = R d (C) có giao điểm hay d tiếp xúc với (C)
TH3:
1 m
m
> 5 (m+3)2 >5(m2 + 1) 4m2 – 6m-4< -1/2 < m< 2 h > R d (C) giao điểm
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn hai điểm phân biệt Giải:
Ví dụ 15: Cho (C): x2 + y2 -4x + 6y – 12 = điểm D(1;1).
1) Viết phương trình đường thẳng 1 qua D cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho
AB đạt giá trị lớn
(25)Đường trịn có tâm I(2;-3) bán kính R =
Ta có ID = 17< D nằm đường tròn đường thẳng qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt
a) 1 qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B cho ABmax AB đường kính đường tròn 1 qua D I phương trình có dạng: 4x+y-5 =
b) 2 qua D cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B cho ABmin d(I;AB)max = ID AB ID D 1 qua D nhận ID làm vectơ pháp tuyến phương trình có dạng: x-4y+3 =
c) Ta có: Phương tích điểm D đường trịn (C) là: P = DA DB =-2DA2 mà P = ID2 – R2 = 17 – 25 = -8 DA2 = 4
(xA – 1)2 + (yA – 1)2 =4 (1)
mà A (C) xA2 + yA2 -4xA + 6yA – 12 = (2) Từ (1) (2) A(-1;1) A(115/17;33/17)
Vậy có hai đường thẳng thoả mãn là: y = 98x-15y-83=0 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn
Cho đường trịn (C): (x-a)2 + (y-b)2 = R2 (C) có tâm I(a;b) bán kính R Bài tốn 1:Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C) điểm M(x0;y0) (C)
Giải: Gọi tiếp tuyến với đường trịn (C) Vì tiếp xúc với (C) M qua M nhận IM
(x0 – a; y0 – b) làm vecctơ pháp tuyến phương trình có dạng: (x0 – a)(x- x0) + (y0 – a)(y- y0) = (1)
Chú ý:
+ Phương trình (*) biến đổi dạng sau: (x0 – a)(x- a) + (y0 – a)(y- b) = R2 (1a)
+ Nếu phương trình đường trịn cho dạng : x2 + y2-2ax -2by + c = tiếp tuyến đường trịn điểm M(x0,y0) có dạng: xx0 + yy0 – (x+x0)a- (y+y0)b + c = (1b) (Phương trình suy trực tiếp từ (1a))
Cách thành lập phương trình tiếp tuyến dạng(1a) (1b)gọi "phương pháp phân đơi toạ độ" Bài tốn 2: Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn kẻ từ điểm M(x0;y0) khơng thuộc đường trịn Bài tốn có hai cách giải sau:
Cách 1:
(26) tiếp tuyến đường tròn d(I; ) = R Từ đẳng thức suy có phải tiếp tuyến đường trịn hay khơng
+/ Xét đường thẳng qua M có hệ số góc k Phương trình có dạng: y = k(x-x0) + y0 tiếp xúc với (C) d(I; ) = R Giải điều kiện ta tìm k
Chú ý: Để chứng minh điểm M nằm đường trịn ta làm sau: - Tính IM
- So sánh IM với R: + Nếu IM > R M nằm ngồi đường trịn + Nếu IM < R M nằm đường trịn + Nếu IM = R M nằm đường trịn Cách 2:
- Đường thẳng qua M có phương trình: a(x-x0) + b(y-y0) = a2 + b2 - tiếp tuyến với đường tròn (C) d(I; ) = R (*)
- Từ điều kiện (*), tìm mối liên hệ a b Vì a b khơng đồng thời nên chọn a giá trị thích hợp suy b ngược lại
Bài tốn 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đường trịn biết tiếp tuyến có hệ số góc k Giải:
- Phương trình đường thẳng có hệ số góc k có dạng: y = kx + m - tiếp xúc với (C) d(I; ) = R Giải điều kiện ta tìm m Chú ý:
- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng: ax+ by+ c = phương trình có dạng: ax+by + c' = (c' c)
- Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ax+ by+ c = phương trình có dạng: -bx+ay + c' = (c' c)
Ví dụ 16: Cho đường trịn (C) có phương trình x2 + y2-6x +2y + = điểm A (1;3) a) Chứng minh điểm A ngồi đường trịn
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A Giải:
Đường trịn (C) có tâm I(3; -1) bán kính R =
(27)Cách 1: Phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp tuyến (a; b) có dạng: a(x – 2) + b( y – 6) = (a2 + b2 0)
Đường thẳng tiếp tuyến đường tròn d(I,d) = R
2
(3 1) ( 3)
a b
a b -
- =2 (a - 2b)2 = (a2 + b2) 3b2 -4ab =
4 b
b a
.
*) Nếu b = 0, a chọn a = phương trình tiếp tuyến có dạng: x =
*) Nếu b=
3a Chọn a = 3, b = 4
phương trình tiếp tuyến có dạng: 3x -4y-15=0 Vậy qua A kẻ hai tiếp tuyến với (C) là: x =
3x – 4y – 15 = Cách 2:
*) Xét qua A vng góc với Ox phương trình : x = hay x – =
tiếp tuyến (C) d(I; ) = R
1
-=2 Đẳng thức nên x = tiếp tuyến (C)
*) Xét qua A có hệ số góc k Phương trình là: y = k(x – 1) + hay kx – y + – k =
tiếp xúc với (C) d(I; ) = R 3
1
k k
k
- =2 (k+2)2 = k2 + k
=-3
4 ta tiếp tuyến: y = -3
4(x–1) + 3x + 4y – 15 = 0
Nhận xét: Trong cách giải 2: ta phải xét hai trường hợp lời giải trường hợp lại ngắn gọn đơn giản Phù hợp với đối tượng học sinh mà kỹ tính tốn cịn hạn chế Một sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải theo cách không xét trường hợp thứ tức tiếp tuyến vng góc với Ox (đường thẳng khơng có hệ số góc) tốn nghiệm
Ví dụ 17: Cho đường trịn có phương trình là: x2 + y2+4x +4y -17 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d đường trịn trường hợp sau:
(28)c) d song song với đường thẳng 3x-4y -2008 = Giải:
Đường trịn có tâm I(-2;-2), bán kính R = a) Đây toán tiếp tuyến thứ
Theo phương pháp phân đơi toạ độ Phương trình tiếp tuyến với đường tròn M(2;1) là: 2x +1.y +2(x + 2) + 2(y+1) -17 =
4x + 3y-11 =
b) Đây tốn tiếp tuyến thứ hai
Phương trình đường thẳng qua A có vectơ pháp tuyến (a; b) có dạng: a(x – 2) + b( y – 6) =
Đường thẳng tiếp tuyến đường tròn d(I,d) = R
2
( 3) ( 6)
a b
a b - -
- =5 (5a + 8b)2 = 25(a2 + b2) 39 b2 +80ab = 0. *) Nếu b = 0, a chọn a = phương trình tiếp tuyến có dạng: x = *) Nếu b 0: a = -39/80.b Chọn a = -39, b = 80
phương trình tiếp tuyến có dạng: -39x + 80y-402=0 Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu
c) Đây toán tiếp tuyến thứ ba
Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng 3x- 4y – 2008 = có dạng: 3x – 4y + c =
Đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn d(I;d3) = R
2
3.( 2) 4( 2)
c - - -
=5 2 c =25 c = 23 c = -27
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: 3x – 4y + 23 = 3x – 4y – 27 =
Ví dụ 18: Cho đường tròn x2 + y2-2x -6y + = điểm M(2;4).
a) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm A, B cho M trung điểm đoạn thẳng AB
(29)Đại học Tài kế tốn- 1997 Giải:
Đường trịn có tâm I(1;3) bán kính R =
a) Ta có: IM = 2< = R M nằm đường tròn Vậy đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm phân biệt
Đường thẳng qua M cắt đường tròn hai điểm A B cho M trung điểm AB IM AB nhận IM (1;1) làm vectơ pháp tuyến phương trình :
x-2+y-4 = x + y – =
b) Phương trình có hệ số góc k=-1: y = -x+m hay x + y – m =
tiếp xúc với (C) d(I; ) = R
1 m
- =2
(4-m)2 =
4 2 2 m
m -
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn đầu là: x + y -4+2 2= x + y -4-2 2=
Ví dụ 19: Cho đường trịn (C): x2 + y2+2x -4y -4 = điểm A(2; 5).
Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ A tới đường tròn Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với đường trịn hai điểm M, N Hãy tính độ dài MN
Đại học Ngoại thương- 1997 Giải:
Qua A ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là: x = y = Toạ độ điểm M nghiệm hệ phương trình:
2
2
2 6 x
x y x y
- -
2 x y
M(2; 2) Toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình:
2
5
2 6 y
x y x y
- -
1 x y
-
(30) MN =
2 2
1 (5 2) - - -
Ví dụ 20: Cho (C): x2 + y2-2x +2y -3 = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox, Oy A B cho ABC có diện tích
Giải: (C)có tâm I(1;-1) bán kính R =
Giả sử A(a;0), B(0; b) a > b>
Phương trình đường thẳng AB có dạng: x y
a b bx + ay – ab = 0
SAOB =
2 ab =4 ab = 8.
AB tiếp xúc với (C) d(I,AB) = R 2 b a ab
a b -
- = 5 b – a = -2
4 a b
Vậy phương trình AB: x + 2y – =
Dạng 4: Một số toán khác vị trí tương đối đường thẳng đường trịn.
Ví dụ 21: Cho đường thẳng d: x – y + = đường tròn (C): x2 + y2 + 2x – 4y = Tìm điểm M d cho qua M vẽ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) A B cho góc AMB = 600
Giải:
(C): (x+1)2 + (y-2)2 = 5.
Đường trịn có tâm I(-1;2) có bán kính Từ góc AMB 600 AMI = 300 MI = 2AI = 2R =
Gọi toạ độ M(x;y)
Ta có hệ phương trình 2
( 1) ( 2) 20 x y
x y
-
-
Giải hệ ta được: x = -3, y = -2 x = 3, y =
Vậy có hai điểm M thoả mãn M1 (-3;-2) M2 (3;4)
(31)Dạng 1: Xét vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2-2a
1x -2b1y + c1 = (C2): x2 + y2-2a
2x -2b2y + c2 =
Để xét vị trí tương đối (C) (C) ta có hai phương pháp sau:
Phương pháp 1: Xét số giao điểm (C1) (C2) Số giao điểm (C1) (C2) số nghiệm hệ
phương trình:
2
1 1
2
2 2
2a x 2a x
x y b y c
x y b y c
- -
- -
- Nếu hệ vơ nghiệm (C1) (C2) khơng có giao điểm (C1) không cắt (C2)
- Nếu hệ có nghiệm (C1) (C2) có giao điểm (C1) tiếp xúc với (C2) - Nếu hệ có hai nghiệm phân biệt (C1) (C2) có hai giao điểm
- Nếu hệ có vơ số nghiệm (C1) trùng (C2) Phương pháp 2:
- (C1) có tâm I1 (a1; b1) bán kính R1 - (C2) có tâm I2 (a2; b2) bán kính R2 - Tính I1I2 = d
- Biện luận vị trí tương đối:
+ Nếu R1- R2 d R1R2 (C1) (C2) cắt hai điểm phân biệt
+ Nếu d R1R2 (C1) (C2) tiếp xúc ngồi
+ Nếu d R1- R2 (C1) (C2) tiếp xúc
+ Nếu d R1R2 (C1) (C2)
+ Nếu d R1- R2 (C1) (C2) chứa
Nhận xét:
- Đối với phương pháp ta hai đường trịn có cắt hay khơng toạ độ giao điểm hai đường tròn trường hợp hai đường tròn tiếp xúc khơng tiếp xúc hay
(32)Tuỳ toán cụ thể để lựa chọn phương pháp giải phù hợp phải phối hợp hai phương pháp
Ví dụ 22: Xét vị trí tương đối hai đường tròn sau: (C) x2 + y2-2x -6y +-15 = 0 (C) x2 + y2-6x -2y -3 = 0
Giải:
(C1) có tâm I1(1;3) bán kính R1 = (C2) có tâm I2(3;1) bán kính R2 = 13 I1I2 = 2
Ta thấy: R1- R2 I I1 2 R1R2 hai đường tròn cắt
Ví dụ 23: Cho hai đường trịn: (C): x2 + y2 = (Cm): x2 + y2-2(m+1)x +4my -5 = 0 Xác định m để (Cm) tiếp xúc với (C)
Giải:
(C) có tâm O(0;0) bán kính R =
(Cm) có tâm I(m+1; -2m) bán kính R' = (m1)24m25
Ta thấy OI = (m1)24m2 < R' điểm O nằm đường tròn tâm I (C) (Cm) tiếp xúc
Điều kiện để hai đưòng tròn tiếp xúc R' – R = OI (m1)24m25-1 = (m1)24m2
Giải phương trình ta được: m = -1 m = 3/5
Chú ý: Để chứng minh hai đường tròn tiếp xúc thông thường ta phải xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn
(33)*) Xét : y = ax+ b
Đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường tròn khoảng cách từ I1 đến = R1
khoảng cách từ I2 đến = R2
1
2
( ; ) ( ; )
d I R
d I R
Giải hệ ta tìm a b
Ví dụ 24: Tìm toạ độ giao điểm hai đường trịn:
(C1): x2 + y2-8x -2y + = , (C2): x2 + y2-3x -7y + 12 = viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn
Giải:
Toạ độ giao điểm hai đường trịn nghiệm hệ phương trình:
2 2
8 7 12
x y x y
x y x y
- - - -
Giải hệ ta x y
3 x y
Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn *) Xét đường thẳng x = m x – m =
Đường thẳng tiếp tuyến chung hai đường tròn
4 10 2 m m - -
hệ vô nghiệm
đường thẳng dạng x = m tiếp tuyến chung hai đường tròn *) Xét đường thẳng có dạng: y = ax + b ax – y + b =
tiếp tuyến chung hai đường tròn
2
2
1 10
7
1
2 2
a b a
a b a
(34)Giải hệ ta được:
3
1 17 a b a b
-
-
có tiếp tuyến thoả mãn là: y = -3x + y = -1/3 x + 17/3 VẤN ĐỀ 5: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỌ ĐƯỜNG TRÒN
Trong vấn đề ta thường gặp số tốn liên quan đến họ đường trịn sau: Cho họ đường tròn (Cm) : f(x, y, m) =
Bài tốn 1: Tìm tập hợp tâm đường tròn (Cm) Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện để phương trình cho phương trình đường trịn
- Tìm toạ độ tâm I đường tròn cho (theo m)
( ) ( ) I
I
x f m y g m
.
- Từ hệ khử m để tìm mối liên hệ xI yI
- Kết hợp với điều kiện tìm để giới hạn quỹ tích tìm Bài tốn 2: Tìm điểm cố định mà họ đường trịn ln qua với m Phương pháp giải:
- Giải sử A(x0;y0)) điểm cố định mà họ đường trịn ln qua với m phương trình f(x0, y0, m) = với m
- Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m kể hệ số tự
- Giải hệ ta tìm x0 y0
Bài tốn 3: Tìm điểm mà họ đường trịn khơng qua với m Phương pháp giải:
- Giải sử A(x0;y0)) điểm mà họ đường tròn không qua với m phương trình f(x0, y0, m) = vơ nghiệm m
- Viết phương trình dạng phương trình ẩn m sau cho tất hệ số m hệ số tự khác
(35)Ví dụ 26: Cho (Cm): x2 + y2+2mx -2(m-1)y + = 0
a) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng: : x + y + + 2=
b) Tìm m để từ điểm A(7;0) kẻ tiếp tuyến với (Cm) vng góc với c) Tìm m để từ điểm A(7;0) kẻ tiếp tuyến với (Cm) tạo với góc 600. Giải:
Điều kiện để (Cm) đường tròn là: m2 + (m-1)2 – >
1 m m
Với điều kiện đường trịn có tâm I(-m; m-1) bán kính R = 2m2- 2m
a) (Cm) tiếp xúc với d(I; ) = R
2
1 2
2 1
m m
m m
- -
-
2 m m
- (tm) b) Từ giả thiết AHIK hình vng AI = R
m = 4 41
c) Từ giả thiết
0
0
5 60
3 25 120
3 m m HAK
m HAK
m
-
- (tm)
Ví dụ 27: Cho đường cong: (Cm) có phương trình: x2 + y2+(m+2)x –(m+4)y + m+1 = 0 a) Chứng minh (Cm) ln đường trịn với giá trị m
b) Tìm tập hợp tâm đưòng tròn m thay đổi
c) Chứng minh m thay đổi họ đường trịn (Cm) ln qua hai điểm cố định d) Tìm điểm mặt phẳng mà họ (Cm) không qua dù m lấy giá trị
Giải: a)Ta có : a2 + b2 – c =
2 4 8
2 m m
> m (Cm) đường tròn với m
I
(36)b) Toạ độ tâm I đường tròn 2 m x m y -
Khử m từ hệ ta x + y – = Giới hạn quỹ tích: khơng có
Vậy tập hợp tâm I đường tròn đường thẳng x + y – = c) Gọi M(x0;y0) điểm cố định mà họ (Cm) qua Khi ta có:
x02 + y02+(m+2)x0 –(m+4)y0 + m+1 = m (x0 – y0 + 1) m + x02 + y02 + 2x0 – 4y0 + = m
0 0
2
0 0 0
0
1
2 1
2 x y x y
x y x y x
y - - -
Vậy có hai điểm cố định mà họ (Cm) qua m d) (Cm) không qua điểm (x1;y1) với m
phương trình ẩn m:
(x1 – y1 + 1) m + x12 + y12 + 2x1 – 4y + = vô nghiệm m
0 1
2
1
0 0
1
1
x y y x
x
x y x y
- -
Vậy tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ mà học (Cm) không qua với giá trị m đường thẳng có phương trình y = x + 1, bỏ hai điểm M1 ( -1;0) M2 (1;2)
B BÀI TẬP CỦNG CỐ KIẾN THỨC Bài 1: Đại học cao đẳng khối D năm 2003
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): (x-1)2 + (y – 2)2 = đường thẳng d: x – y – = 0. Viết phương trình đường trịn (C) đối xứng với (C) qua d Tìm toạ độ giao điểm (C) (C)
Giải: Đường trịn (C) có tâm I(1; 2) bán kính R = Khi (C) đường trịn có tâm I' điểm đối xứng I qua d cững có bán kính
*) Tìm I'
Gọi H hình chiếu I d dễ dàng tìm toạ độ H H(2;1) Toạ độ I' (3;0) phương trình (C) là: (x – 3)2 + (y2 = 4
M1
(37)*) Giao (C) (C) giao d với (C)
Xét hệ phương trình: 2
( 1) ( 2) x y
x y
- -
- -
Giải hệ ta tìm hai giao điểm là: (1;0) (3; 2)
Bài 2: Đại học Cao đẳng khối B năm 2005
Trong mặt phẳng toạ độ cho A(2;0) B(6;4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với trục hoành điểm A khoảng cách từ tâm (C) đến B
Giải: Đường tròn (C) tiếp xúc với Ox A(2;0) nên tâm I(x0;y0) nằmg trnên đường thẳng x = Do ta có x = 2, Vậy I(2; y0)
Vì IB = IB2 = 25 (x
0 – 6)2 + (y0 – 4)2 = 25 y02 – 8y0 + = y0 = y0 = Vậy có hai đường tròn thoả mãn là: (C): (x – 2)2 + ( y – 7)2 = 49
(x – 2)2 + ( y – 1)2 =1 Bài 3: Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): x2 + y2-2x -2y + = 0
và đường thẳng d: x – y + = tìm toạ độ M d cho đường trịn tâm M có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C) tiếp xúc ngồi với (C)
Giải: (C) có tâm I(1;1) bán kính R = Gọi M(x ; y) d M(x; x+3) bán kính đường tròn tâm M phải Để đường tròn tiếp xúc ngồi với IM = IM2 = 9
Giải điều kiện ta M(1;4) M (-2;1) Bài 4: Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường tròn (C): x2 + y2-2x -6y + = điểm M(3;1) Gọi T
1, tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đén (C) Viết phương trình đường thẳng T1 T2
Giải: (C) có tâm I(1; 3) bán kính R =
Giả sử T1(x1; y1) T2(x2;y2) tiếp điểm tiếp tuyến MT1 MT2 Phương trình tiếp tuyến MT1 có dạng: (x – 1)(x1 – 1) + (y – 3)(y1 – 3) = Phương trình tiếp tuyến MT2 có dạng: (x – 1)(x2 – 1) + (y – 3)(y2 – 3) =
Do hai tiếp tuyến qua điểm M(-3;1)
1
2
4(1 ) 2(3 ) 4(1 ) 2(3 )
x y
x y
- -
- -
(38)Đây phương trình đường thẳng cần tìm
Nhận xét: Trong cách giải khơng tính tới tiếp điểm, địi hỏi phải thuộc cơng thức phương trình tiếp tuyến với đường trịn điểm M thuộc đường trịn
Với tốn ta có cách giải khác sau:
Dựa vào điểm M(-3; 1) đường trịn có tâm I( 1; 3) bán kính R = nên thấy đường thẳng y = tiếp tuyến đường tròn qua M tiếp điểm T2 (1;1) Tiếp điểm T1 đối xứng với T2 qua đường MI nên nằm đường thẳng qua T2 vng góc với MI phương trình T1 T2 là: 2x + y – =
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(8; 0), B(0;6), C(9; 3) Chứng minh ABC tam giác vng viết phương trình đường trịn nội, ngoại tiếp tam giác
Bài 2: Trong mặt phẳng toạ độ viết phương trình đường trịn qua A(2;4) tiếp xúc với đường tròn: (C): x2 + y2-2x -4y + 4= 0
Đáp số: x = 3x – 4y + 10 =
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ cho đuờng tròn (C): (x – 1)2 + (y – 3)2 = đường thẳng d: x – 3y – =
1/ Tìm điểm A, B giao d với (C)
2/ Tìm C để tam giác ABC tam giác vuông nội tiếp (C) Đáp số: 1/ A(1;0), B(-4/5; -3/5)
2/ C(14/5; -27/5) C(1;-6)
Bài 4: Cho đuờng tròn (C) x2 + y2-2x +6y + = Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ
Bài 5: Trong mặt phẳng toạ độ cho hai điểm A(1; 2), B(4; 1) đường thẳng (d): 2x – y – = Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d qua A, B
Đáp số: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 6: Ba đường thẳng d: x – 2y + = 0, d: 2x – y + = 0, d : y = tạo thành tam giác ABC 1/Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
(39)2/ (x+5- 5)2 + (y+1- 5)2 = ( 5-1)2
Bài 7: Cho hai đường tròn (C) : x2 + y2-x -6y + = 0và (C) : x2 + y2-2mx -1 = Tìm m để (C) tiếp xúc với (C) Nói rõ loại tiếp xúc
Đáp số: (C) tiếp xúc với (C): m = m = -11/2 - Khơng có tiếp xúc
Bài 8: Có tiếp tuyến chung với hai đường tròn (C1) (C2) sau: (C1): x2 + y2-4x -6y + = 0
(C2): x2 + y2-16x + 44 = 0
Đáp số: (C1) tiếp xúc ngồi với (C2) nên có tiếp tuyến chung
Bài : Cho hai họ đường thẳng phụ thuộc tham số m: d: mx – y – m = 0, d': x + my + = Chứng minh m thay đổi giao điểm I hai đường thẳng nằm đường tròn Đáp số: I nằm đường tròn: (x – 3)2 + y2 = 4
Bài 10: Cho đường tròn (C): x2 + y2-2x -4y + = lập phương trình đường trịn (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x – =