on tap dai so va giai tich 11

C¸c c«ng thøc cã liªn quan ®Æc biÖt.. a.[r]

Chơng I: Hàm số lợng giác A Các công thức cần nhớ

1 Công thức b¶n

1 sin x1 cos x1

sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos; tan( +k) = tan; cot( + k) = cot * Hµm sè ysinx cã TX§: D ;

TGT: 1;1;

Tuần hoàn với chu kì: T hàm số lẻ * Hàm số ycosx có TXĐ: D ;

TGT: 1;1;

Tuần hoàn với chu kì: T ; hàm số chẵn

* Hàm số ytanx cã TX§:

\ ;

2

D  k k  

 

 

; TGT: ;

Tuần hoàn với chu kì: T ; hàm số lẻ

* Hàm sè ycosx cã TX§: D\k k;  ; TGT: ;

Tuần hồn với chu kì: T  ; hàm số lẻ Giá trị lợng giác cung đặc biệt

 

0 0o

30 

6

o



45 

4

o



60 

3

o



90 

2

o



 

2 120

o



 

3 135

o



 

5 150

o

 180o



sin 12

2

3

2

3

2

1

2

cos

2

2

1

2

1



2



2

 -1

tan

3

3

  -1

3



cot  1

3

1

 -1  

2 Các đẳng thức lợng giác bản

2

sin cos  1 tan cot  1

2

1

1 tan cos    

2

1

1 cot sin     3 Các cơng thức có liên quan đặc biệt

a Cung đối nhau

sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan cot(-) = -cot

b Cung bï nhau

sin( - ) = sin cos( - ) = - cos tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot

c Cung phô nhau

sin cos

2 

 

 

 

 

  cos sin



 

 

 

 

 

tan cot

2 

 

 

 

 

  cot tan



 

 

 

 

 

d Cung h¬n kÐm 

 

sin   sin cos   cos

 

tan   tan cot cot

e Cung h¬n kÐm 2



sin cos

2 

 

 

 

 

  cos sin



 

 

 

 

 

tan cot

2 

 

 

 

 

  cot tan



 

 

 

 

 

3 C«ng thøc céng  

cos a b cos cosa b sin sina b

 

cos a b cos cosa bsin sina b

 

sin a b sin cosa bcos sina b

 

sin a b sin cosa b cos sina b

4 Công thức nhân đôi sin 2x2sin cosx x

2 2

cos 2xcos x sin x2cos x1 2sin  x

2

2 tan tan

1 tan x x

x 

5 Công thức hạ bậc

2 cos

sin

2 x

x  cos2 cos

2 x x  6 Công thức nhân ba

3

sin 3x3sinx 4sin x

3

cos 3x4cos x 3cosx

 

2

3 tan tan tan

1 3tan

x x

x

x 

  7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng

   

1

cos cos cos cos

2

x y  x y  x y 

   

1

sin sin cos cos

2

x y  x y  x y 

   

1

sin cos sin sin

2

x y  x y  x y  8 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2cos cos

2

x y x y

x y   tan tan sin 

cos cos x y

x y

x y



 

cos cos 2sin sin

2

x y x y

x y   tan tan sin 

cos cos x y

x y

x y



 

sin sin 2sin cos

2

x y x y

x y   cot t sin 

sin sin x y x co y

x y 

 

sin sin 2cos sin

2

x y x y

x y   cot t sin 

sin sin y x x co y

x y 

 

9 C«ng thøc rót gän: asin x + bcos x

   

2 2

sin cos sin cos

a x b x a b x  a b x 

   

2 2

sin cos sin cos

a x b x a b x   a b x

Đặc biệt:

sin cos sin cos

4

x x x  x  

sin cos sin cos

4

x x x   x 

   

Më réng:

2 cot tan

sin

x x

x

 

cotx tanx2 cot 2x

10 Công thức tình sin ; cos; tan theo tan

2

Đặt tan

2 t 

ta cã:

2

2 sin

1 t

t  



2

1 cos

1 t t   



2 tan

1 t

t  

 B phÇn tập

I Hàm số lợng giác: Các dạng tập bản

1 Dạng 1: Tìm TXĐ hàm số lợng giác * Phơng pháp giải: Sử dông tÝnh chÊt:

- Các hàm số ysin ,x ycosx xác định với x  

- Hàm số: ytanx xác định với

,

x k k  

- Hàm số: ycotx xác định với x k k ,

Ví dụ: Tìm TXĐ hàm số:

1 sin

4 y

x  

 



 

Lời giải:

Hàm số có nghĩa

sin ,

4 4

x  x  k x  k k

 

          

  

VËy TX§ cđa hµm sè lµ:

\ ,

4

D  k k  

 

Ví dụ 2: Tìm TXĐ hàm sè:

sin cos cot

x x

y

x  



Lêi gi¶i:

Hàm số xác định khi:

, cot

4 x k x k

k

x x k

 

    

 

 

 

  

 



Vậy TXĐ hàm số là:

\ | ,

4

D x x k x k k   

 

 vµ 

Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau:

1)

1 2cos y

x 

 2) tan2

x y 

3)

2 sin

2 x y

x 



4) ycot 2x 5)

1 cos

1 y

x 

 6) y cosx1

2.D¹ng 2: Xét tính chẵn lẻ hàm sốyf x :

Định nghĩa: Cho hàm sốyf x có TXD là: D * Hàm số f x chẵn   

x D x D

f x

    

   

 



(D tập đối xứng) f -x

* Hµm sè f x  lỴ    

x D x D

f x

    

   

 

* Ph ơng pháp giải:

Bớc 1: Tìm TXĐ D hàm số

 Nếu D khơng tập đối xứng ta kết luận hàm số yf x không chẵn, không lẻ

 Nếu D tập đối xứng ta thực tiếp bớc 2:

Bíc 2: Víi mäi x D , nÕu

 NÕu f x f x hàm số yf x hàm chẵn Nếu f x f x hàm số yf x hàm lẻ

Nếu f x f x hàm số yf x hàm không chẵn, không lẻ L

u ý tÝnh chÊt:

*  x : sinx sinx *  x : cos x cosx *

 

\ , : tan tan

2

x  k k  x x

       

 

 

*  x \k k,  : cotx cotx

VÝ dô: XÐt tính chẵn lẻ hàm số: ysin 3x

Lời gi¶i:

TXĐ: D  tập đối xứng  x   x 

Ta cã: f x sin 3x sin 3 x sin 3x f x  Vậy hàm số hàm số lẻ

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:

1) ysin 2x 2) ycos3x 3) ytan 2x 4) yxsinx 5) y cos x 6) y x  sinx

3 Dạng 3: Tìm chu kì hàm số lợng giác:

* Phng phỏp gii: Khi tỡm chu kì hàm số lợng giác, ta cần biến đổi biểu thức hàm số

đã cho biểu thức tối giản lu ý rằng:

1) Hàm số ysin ,x ycosx có chu kì T 2) Hàm số ytan ,x y cotx có chu kì T 

3) Hµm sè ysinax b y , cosax b  víi a 0 cã chu k× T

a  

4) Hµm sè ytanax b y , cotax b  víi a 0 cã chu k× T

a  

5) Hàm số f1 có chu kì T1, hàm số f2 có chu kì T2 hàm số f f1 f2 cã chu k×

 1, 2

T BCNN T T

VÝ dơ: T×m chu k× cđa hµm sè

3 cos 2

y x

Lời giải

Hàm sè

3 cos 2

y x

có chu kì

2 T

Bài 3: Tìm chu kì hàm số sau:

1) y2cos 2x 2) ysin 2x2cos3x

* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Phơng pháp: Dựa vào TGT hàm số lợng giác

Chú ý: * Hµm sè ysin ,x ycosx cã TGT lµ: 1;1

VÝ dơ: T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè: y 3 cos x

Lêi gi¶i:

Ta cã  1 cosx 1 cos  x 2 0 cos x  2 0 cos x 3  cos x 3

Vậy Maxy 3 đạt đợc  cosx 1 x k , k 

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè:

1) y 3 sinx 2)

cos cos y x x  

 

3)

2

cos 2cos

y x x 3) y 2cosx1 5) y sinx II Phơng trình lợng giác

1 Ph ơng trình l ợng giác bản

* Dạng 1: sin x a  a 1 nghiƯm tỉng qu¸t:

arcsin

; arcsin

x a k

k

x a k



 

 



 

Đặc biÖt:

2

sin sin ;

2

x k

x k

x k

 



  

  

   

  





Tỉng qu¸t:

           

2

sin sin ;

2 f x g x k

f x g x k

f x g x k



 

 



   

  





* D¹ng 2: cos x a  a 1 nghiƯm tỉng quát: xarccosa k ; k

Đặc biệt: cosxcos  x  k2 ; k 

Tæng qu¸t: cos f x cosg x   f x g x k2 ; k 

* D¹ng 3: tan x a

;

x  k k

 

  

 

 nghiƯm tỉng qu¸t: x  k k; Đặc biệt: tanxtan x k k;  

Tỉng qu¸t: tan f x tang x  f x g x k k;  

* D¹ng 4: cot x a x k k ;  nghiƯm tỉng qu¸t: x  k k;  

Đặc biệt: cotxcot x k k; 

Tỉng qu¸t: cot f x  cotg x   f x g x k k;   Ví dụ minh hoạ: Giải phơng trình sau:

1)

1 cos

2 x 

2) sin 3xcos 2x 3)

cos sin

4

x  x 

   

   

   

   

4) tan 3xcotx 5)

1 cot

4 x



 

 

 

  6) cosx sinx

Lêi gi¶i

1) Ta cã

2

1

cos cos cos ,

2

2

3

x k x k

x x k

x k x k

 

 



 

 

 

   

 

       

     

 

 

Vậy phơng trình có hai họ nghiệm 2) Ta cã:

3 2

2 sin cos sin sin

2 3 2 2

2

x x k

x x x x

x x k



 



 



  



 



     

 

      

 

  

2 10 5 ,

2

k x

k

x k

 

  

 



  

   



3) Ta cã:

cos sin cos sin

4 4

x  x  x  x 

       

       

       

       

2

4

cos cos

4

2

4

x x k

x x

x x k

 



  

 

 



   



   

        



        



,

6

x k

k k x

 

 

  



 

   



4) §iỊu kiƯn:

cos3

,

6

2 sin

k

x x k x

k x

x k x k

 

 

 

 

    

  

  

  



    





Ta cã:

tan cot tan tan ,

2

k x x x   x x  x k   x   k

 

Ta thấy nghiệm thoả mÃn điều kiện Vậy phơng trình có họ nghiệm

5) Điều kiÖn:

sin ,

4 x x k x k k

  

 

 

        

 

   (*)

Ta cã:

1

cot cot cot ,

4 x x x k x 12 k k

     

 

   

            

   

    

tho¶ mÃn điều kiện (*)

Vậy phơng trình có hä nghiÖm 6) Ta cã:

cos sin cot cot ,

6

x x x    x k k   VËy ph¬ng trình có họ nghiệm

Bài tập tơng tự: giải phơng trình sau:

1) cos 2x  1 2) sinxcos3x 3)

cos sin

3

x  x 

   

   

   

   

4)

tan cot x x 

  5) sinx cosx 6)

2

tan

3 x



 

  

 

 

2 Ph ơng trình bậc hai hàm số l ợng giác.

* Định nghĩa: Là phơng trình có dạng

2 0 0

at bt c  a

t bốn hàm số lợng giác: sin , cos , tan ,cotx x x x

* Cách giải:

Bớc 1: Đặt t hàm số lợng giác có phơng trình; Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;

Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mÃn điều kiện);

Bớc 4: Với t thoả mÃn ta có phơng trình lợng giác nghiệm x

Ví dụ minh hoạ: Giải phơng trình sau:

1) 2cos2 x 5cosx 3 2) 5sin x2cos2x0

3) cot2 x 4cotx 0 4)

4 tan cos x x

1) Đặt tcosx, điều kiện: t 1

Ta có phơng trình trở thành:

2

1

2 3

1 t t t

t   

   

  

 (lo¹i)

VËy t =  cosx 1 x k , k Phơng trình có hä nghiÖm

2) Ta cã:

 

2 2

1 5sin x2cos x  0 5sinx2 sin x  0 2sin x5sinx 0

sin

1

sin ,

1

5

sin 2

2

6

x x k

x k

x x k

  

 

  

 



     

   

 



 (lo¹i)

(Chú ý: ta khơng cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lợng giác nh n nh vớ

dụ này)

3) Điều kiện: sinx 0 x k k ,  

Đặt cot x t , phơng trình trở thành:

2

3 cot

6

3 1 1 ,

cot

3 3

t x x k

t t k

t x x k

  

 

     



 

         

    

 

  



Ta thấy hai họ nghiệm thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có hai họ nghiệm 4) Điều kiện:

cos ,

2

x  x k k   Ta cã:

 

2

3

4 tan tan tan 3tan tan

cos x x    x  x   x x 

tan

tan tan 4

,

1

1

tan tan tan (tan )

3 3

x x k

x

k

x x x k



 

   



  

  



 

    

   

   

 





Ta thấy hai họ nghiệm thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có họ nghiệm Bài 1: Giải phơng trình sau

1) cos 2xsin2 x2cosx 1 2) cos 2x5sinx 2

Bài 2: (Các phơng trình đa phơng trình bậc nhất, bậc hai) Giải phơng trình 1) cos cos 2x x 1 sin sin 2x x 2) 4sin cos cos 2x x x 1

3) sin 7x sin 3xcos 5x 4) cos2x sin2xsin 3xcos 4x

5)

23

cos cos 2sin

x x x

6)

1 sin sin sin sin

4

x x x x

7)

4

sin cos cos

2

x x x

8) 3cos2x 2sinx 2 9) sin6 xcos6 x4cos 22 x 10) tanx 3cotx 0 11) cos 3xcos 2xcosxsin 3xsin 2xsinx

3 Ph ơng trình bậc sin x cos x:

* Dạng phơng trình: asinx b cosx c a b c ( , , 0) (*) * Cách giải:

Cách 1:

2 sin 2 cos 2

a b c

x x

a b  a b  a b (**)

V×:

2

2 2

a b

a b a b

   

 

   

 

   

Nên ta đặt

2

2

cos

sin a

a b b a b



 

 

  

 

 



Khi phơng trình (**) trở thành: 2 sin cosx cos sinx c

a b

   



  2 2

sin x c

a b 

  

 phơng trình lợng giác biết cách giải!

Chú ý: Điều kiện đề phơng trình có nghiệm là: a2b2c2

Cách 2: Chia hai vế cho a đặt

tan b

a  

(Tù lµm) Cách 3: Sử dụng công thức tính sin ,cosx x theo

tan x t 

(tù làm) Ví dụ: Giải phơng trình sau:

1) sinx cosx1 2) 5cos 2x12sin 2x13 Lêi gi¶i:

1) Ta cã:  

2

2 12 3 2

a b   

Chia hai vế phơng trình cho ta đợc phơng trình:

1 1

sin cos sin cos cos sin sin sin

2 x x x x x

     

        

 

2

3 6 ,

2

3

x k x k

k

x k x k

  

 

  

  

 

    

 

    

       

 





VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiƯm

2) Ta cã: 5cos 2x12sin 2x13 12sin 2x5cos 2x13

Cã:  

2

2 12 52 169 13

a b     

Chia hai vế phơng trình cho 13 ta đợc ph-ơng trình :

12

sin cos

13 x 13 x

  

V×

2

12

1

13 13

   

  



Đặt

12

cos ; sin

13  13 

  

ta đợc phơng trình:  

sin cos cos sin sin

2 x   x    x   x  k 

2 ,

x   k  k

     

VËy phơng trình có họ nghiệm Bài tập tự giải: Giải phơng trình sau:

* Dạng phơng trình: asin2x b sin cosx x c cos2x0 (*)

* Cách giải: Cách 1:

Bớc 1: NhËn xÐt cosx 0 hay

,

x k k  

không nghiệm phơng trình; Bớc 2: Chia hai vế phơng trình cho cos2x 0 ta đợc phơng trình”

2

tan tan

a x b x c 

Bớc 3: Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình cho

Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc đa phơng trình trình bậc sin 2x cos 2x (Học sinh tự gii cỏch ny)

Chú ý: Nếu phơng trình có dạng tổng quát:

2

sin sin cos cos ( 0)

a x b x x c x d d  (**)

Ta biến đổi nh sau: (**)

2 2

sin sin cos cos (sin cos )

a x b x x c x d x x

    

a dsin2x bsin cosx x c dcos2 x 0

     

Đây phơng trình có dạng (*)

Ví dụ: Giải phơng trình:

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2x0 2) 2sin2x 5sin cosx x cos2x2 Lêi gi¶i

1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2 x0

NhËn xÐt: nÕu

2

cos

0 Vt x

Vp  

   



 cos x = không thoả mãn phơng trình Chia hai vế cho cos2x 0 ta đợc phơng trình:

2

tan

4

2 tan tan 3 ,

3 tan

arctan

2

x x k

x x k

x

x k

 

 

  

 



      

 

  







VËy phơng trình có hai họ nghiệm

2)

2 2 2

2sin x 5sin cosx x cos x2 2sin x 5sin cosx x cos x2 sin xcos x

2

4sin x 5sin cosx x cos x

    (*)

NhËn xÐt:

4

cos cos

0 Vt

x x

Vp  

    



 khơng thoả mãn phơng trình. Chia hai vế cho cos2x 0 ta đợc phơng trình:

2

tan

4

4 tan tan 1 ,

1

tan arctan

4 4

x x k

x x k

x x k

 

 

  

 



       

   

 



Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Bài tập tự giải: Giải phơng trình sau

1) 4sin2x3 sin 2x 2cos2x4 2) 2sin2x3cos2x5sin cosx x 3) sin2x 3sin cosx x1

4) cos2x2sin cosx x5sin2x2 5) 2cos2x 3sin 2xsin2x1

5 Ph ơng trình đối xứng sinx cosx

* Cách giải:

Đặt

sin cos sin t x x x

 ; ®iỊu kiƯn: t 

2

2 1 2sin cos sin cos

2 t

t x x x x 

    

Phơng trình trở thành:

2

2

1

2

2 t

at b   c bt  at b c

Giải phơng trình tìm t thoả mÃn điều kiện, với t ta có phơng trình :

2 sin sin

4

t

x  t x 

   

    

   

    bit cỏch gii

Ví dụ: Giải phơng trình : 3 sin xcosx4sin cosx x 3

Lêi gi¶i:

Đặt

sin cos sin ;

4 t x x x

  ®iỊu kiƯnt 

2 1

sin cos

2 t

x x 

 

Khi phơng trình trở thành:

2

2

1 ( )

3 3 1

2 ( )

2

t tm

t

t t t

t tm

 

 

       

  

* Víi

1

1 sin sin sin

4 4

t  x  x     

     

2

2

4

,

2

4

x k

x k

k

x k x k

 

 



 

   



   

  

 

  



 

        

  





* Víi

1 1

2 sin sin

2 4 2

t  x   x

   

1

arcsin arcsin

4 2 2

,

1

arcsin arcsin

4 2 2

x k x k

k

x k x k

 

 

 

  

     

       

     

   

 

  

     

        

     

   

 



Vậy phơng trình có họ nghiệm Bài tập tự gi¶i:

1) sinxcosx 2sin cosx x 1 2) sin xcosx 4sin cosx x0 6 Ph ơng trình đối xứng sinx cosx

* D¹ng phơng trình: asinx cosxbsin cosx x c

* Cách giải:

Đặt

sin cos sin t x x x  

 ; ®iỊu kiƯn: t 

2 1 2sin cos sin cos

2 t

t x x x x 

    

Phơng trình trở thành:

2

2

1

2

2 t

at b   c bt  at b c 

2 sin sin

4

t

x  t x 

   

    

   

    biết cách giải Bài tập tự giải: Giải phơng trình sau:

1) sin x cosxsin cosx x 6 2) sin3x cos3x1

3) sin x cosx 4sin cosx x 3 4) sinx cosx 4sin 2x1

6) 1 cos x 1 sin x 2