Đang tải... (xem toàn văn)
C¸c c«ng thøc cã liªn quan ®Æc biÖt.. a.[r]
(1)Chơng I: Hàm số lợng giác A Các công thức cần nhớ
1 Công thức b¶n
1 sin x1 cos x1
sin( + k2) = sin; cos( + k2) = cos; tan( +k) = tan; cot( + k) = cot * Hµm sè ysinx cã TX§: D ;
TGT: 1;1;
Tuần hoàn với chu kì: T hàm số lẻ * Hàm số ycosx có TXĐ: D ;
TGT: 1;1;
Tuần hoàn với chu kì: T ; hàm số chẵn
* Hàm số ytanx cã TX§:
\ ;
2
D k k
; TGT: ;
Tuần hoàn với chu kì: T ; hàm số lẻ
* Hàm sè ycosx cã TX§: D\k k; ; TGT: ;
Tuần hồn với chu kì: T ; hàm số lẻ Giá trị lợng giác cung đặc biệt
0 0o
30
6
o
45
4
o
60
3
o
90
2
o
2 120
o
3 135
o
5 150
o
180o
sin 12
2
3
2
3
2
1
2
cos
2
2
1
2
1
2
2
-1
tan
3
3
-1
3
cot 1
3
1
-1
2 Các đẳng thức lợng giác bản
2
sin cos 1 tan cot 1
2
1
1 tan cos
2
1
1 cot sin 3 Các cơng thức có liên quan đặc biệt
a Cung đối nhau
sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan cot(-) = -cot
b Cung bï nhau
sin( - ) = sin cos( - ) = - cos tan( - ) = - tan cot( - ) = - cot
c Cung phô nhau
sin cos
2
cos sin
tan cot
2
cot tan
d Cung h¬n kÐm
sin sin cos cos
(2)
tan tan cot cot
e Cung h¬n kÐm 2
sin cos
2
cos sin
tan cot
2
cot tan
3 C«ng thøc céng
cos a b cos cosa b sin sina b
cos a b cos cosa bsin sina b
sin a b sin cosa bcos sina b
sin a b sin cosa b cos sina b
4 Công thức nhân đôi sin 2x2sin cosx x
2 2
cos 2xcos x sin x2cos x1 2sin x
2
2 tan tan
1 tan x x
x
5 Công thức hạ bậc
2 cos
sin
2 x
x cos2 cos
2 x x 6 Công thức nhân ba
3
sin 3x3sinx 4sin x
3
cos 3x4cos x 3cosx
2
3 tan tan tan
1 3tan
x x
x
x
7 Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos cos
2
x y x y x y
1
sin sin cos cos
2
x y x y x y
1
sin cos sin sin
2
x y x y x y 8 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos cos
2
x y x y
x y tan tan sin
cos cos x y
x y
x y
cos cos 2sin sin
2
x y x y
x y tan tan sin
cos cos x y
x y
x y
sin sin 2sin cos
2
x y x y
x y cot t sin
sin sin x y x co y
x y
sin sin 2cos sin
2
x y x y
x y cot t sin
sin sin y x x co y
x y
9 C«ng thøc rót gän: asin x + bcos x
2 2
sin cos sin cos
a x b x a b x a b x
2 2
sin cos sin cos
a x b x a b x a b x
Đặc biệt:
sin cos sin cos
4
x x x x
(3)sin cos sin cos
4
x x x x
Më réng:
2 cot tan
sin
x x
x
cotx tanx2 cot 2x
10 Công thức tình sin ; cos; tan theo tan
2
Đặt tan
2 t
ta cã:
2
2 sin
1 t
t
2
1 cos
1 t t
2 tan
1 t
t
B phÇn tập
I Hàm số lợng giác: Các dạng tập bản
1 Dạng 1: Tìm TXĐ hàm số lợng giác * Phơng pháp giải: Sử dông tÝnh chÊt:
- Các hàm số ysin ,x ycosx xác định với x
- Hàm số: ytanx xác định với
,
x k k
- Hàm số: ycotx xác định với x k k ,
Ví dụ: Tìm TXĐ hàm số:
1 sin
4 y
x
Lời giải:
Hàm số có nghĩa
sin ,
4 4
x x k x k k
VËy TX§ cđa hµm sè lµ:
\ ,
4
D k k
Ví dụ 2: Tìm TXĐ hàm sè:
sin cos cot
x x
y
x
Lêi gi¶i:
Hàm số xác định khi:
, cot
4 x k x k
k
x x k
Vậy TXĐ hàm số là:
\ | ,
4
D x x k x k k
vµ
Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau:
1)
1 2cos y
x
2) tan2
x y
3)
2 sin
2 x y
x
4) ycot 2x 5)
1 cos
1 y
x
6) y cosx1
2.D¹ng 2: Xét tính chẵn lẻ hàm sốyf x :
Định nghĩa: Cho hàm sốyf x có TXD là: D * Hàm số f x chẵn
x D x D
f x
(D tập đối xứng) f -x
* Hµm sè f x lỴ
x D x D
f x
(4)
* Ph ơng pháp giải:
Bớc 1: Tìm TXĐ D hàm số
Nếu D khơng tập đối xứng ta kết luận hàm số yf x không chẵn, không lẻ
Nếu D tập đối xứng ta thực tiếp bớc 2:
Bíc 2: Víi mäi x D , nÕu
NÕu f x f x hàm số yf x hàm chẵn Nếu f x f x hàm số yf x hàm lẻ
Nếu f x f x hàm số yf x hàm không chẵn, không lẻ L
u ý tÝnh chÊt:
* x : sinx sinx * x : cos x cosx *
\ , : tan tan
2
x k k x x
* x \k k, : cotx cotx
VÝ dô: XÐt tính chẵn lẻ hàm số: ysin 3x
Lời gi¶i:
TXĐ: D tập đối xứng x x
Ta cã: f x sin 3x sin 3 x sin 3x f x Vậy hàm số hàm số lẻ
Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:
1) ysin 2x 2) ycos3x 3) ytan 2x 4) yxsinx 5) y cos x 6) y x sinx
3 Dạng 3: Tìm chu kì hàm số lợng giác:
* Phng phỏp gii: Khi tỡm chu kì hàm số lợng giác, ta cần biến đổi biểu thức hàm số
đã cho biểu thức tối giản lu ý rằng:
1) Hàm số ysin ,x ycosx có chu kì T 2) Hàm số ytan ,x y cotx có chu kì T
3) Hµm sè ysinax b y , cosax b víi a 0 cã chu k× T
a
4) Hµm sè ytanax b y , cotax b víi a 0 cã chu k× T
a
5) Hàm số f1 có chu kì T1, hàm số f2 có chu kì T2 hàm số f f1 f2 cã chu k×
1, 2
T BCNN T T
VÝ dơ: T×m chu k× cđa hµm sè
3 cos 2
y x
Lời giải
Hàm sè
3 cos 2
y x
có chu kì
2 T
Bài 3: Tìm chu kì hàm số sau:
1) y2cos 2x 2) ysin 2x2cos3x
* Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Phơng pháp: Dựa vào TGT hàm số lợng giác
Chú ý: * Hµm sè ysin ,x ycosx cã TGT lµ: 1;1
(5)VÝ dơ: T×m GTLN, GTNN cđa hµm sè: y 3 cos x
Lêi gi¶i:
Ta cã 1 cosx 1 cos x 2 0 cos x 2 0 cos x 3 cos x 3
Vậy Maxy 3 đạt đợc cosx 1 x k , k
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè:
1) y 3 sinx 2)
cos cos y x x
3)
2
cos 2cos
y x x 3) y 2cosx1 5) y sinx II Phơng trình lợng giác
1 Ph ơng trình l ợng giác bản
* Dạng 1: sin x a a 1 nghiƯm tỉng qu¸t:
arcsin
; arcsin
x a k
k
x a k
Đặc biÖt:
2
sin sin ;
2
x k
x k
x k
Tỉng qu¸t:
2
sin sin ;
2 f x g x k
f x g x k
f x g x k
* D¹ng 2: cos x a a 1 nghiƯm tỉng quát: xarccosa k ; k
Đặc biệt: cosxcos x k2 ; k
Tæng qu¸t: cos f x cosg x f x g x k2 ; k
* D¹ng 3: tan x a
;
x k k
nghiƯm tỉng qu¸t: x k k; Đặc biệt: tanxtan x k k;
Tỉng qu¸t: tan f x tang x f x g x k k;
* D¹ng 4: cot x a x k k ; nghiƯm tỉng qu¸t: x k k;
Đặc biệt: cotxcot x k k;
Tỉng qu¸t: cot f x cotg x f x g x k k; Ví dụ minh hoạ: Giải phơng trình sau:
1)
1 cos
2 x
2) sin 3xcos 2x 3)
cos sin
4
x x
4) tan 3xcotx 5)
1 cot
4 x
6) cosx sinx
Lêi gi¶i
1) Ta cã
2
1
cos cos cos ,
2
2
3
x k x k
x x k
x k x k
Vậy phơng trình có hai họ nghiệm 2) Ta cã:
3 2
2 sin cos sin sin
2 3 2 2
2
x x k
x x x x
x x k
(6)2 10 5 ,
2
k x
k
x k
3) Ta cã:
cos sin cos sin
4 4
x x x x
2
4
cos cos
4
2
4
x x k
x x
x x k
,
6
x k
k k x
4) §iỊu kiƯn:
cos3
,
6
2 sin
k
x x k x
k x
x k x k
Ta cã:
tan cot tan tan ,
2
k x x x x x x k x k
Ta thấy nghiệm thoả mÃn điều kiện Vậy phơng trình có họ nghiệm
5) Điều kiÖn:
sin ,
4 x x k x k k
(*)
Ta cã:
1
cot cot cot ,
4 x x x k x 12 k k
tho¶ mÃn điều kiện (*)
Vậy phơng trình có hä nghiÖm 6) Ta cã:
cos sin cot cot ,
6
x x x x k k VËy ph¬ng trình có họ nghiệm
Bài tập tơng tự: giải phơng trình sau:
1) cos 2x 1 2) sinxcos3x 3)
cos sin
3
x x
4)
tan cot x x
5) sinx cosx 6)
2
tan
3 x
2 Ph ơng trình bậc hai hàm số l ợng giác.
* Định nghĩa: Là phơng trình có dạng
2 0 0
at bt c a
t bốn hàm số lợng giác: sin , cos , tan ,cotx x x x
* Cách giải:
Bớc 1: Đặt t hàm số lợng giác có phơng trình; Bớc 2: Đặt điều kiện với ẩn phụ t;
Bớc 3: Giải phơng trình tìm t (thoả mÃn điều kiện);
Bớc 4: Với t thoả mÃn ta có phơng trình lợng giác nghiệm x
Ví dụ minh hoạ: Giải phơng trình sau:
1) 2cos2 x 5cosx 3 2) 5sin x2cos2x0
3) cot2 x 4cotx 0 4)
4 tan cos x x
(7)1) Đặt tcosx, điều kiện: t 1
Ta có phơng trình trở thành:
2
1
2 3
1 t t t
t
(lo¹i)
VËy t = cosx 1 x k , k Phơng trình có hä nghiÖm
2) Ta cã:
2 2
1 5sin x2cos x 0 5sinx2 sin x 0 2sin x5sinx 0
sin
1
sin ,
1
5
sin 2
2
6
x x k
x k
x x k
(lo¹i)
(Chú ý: ta khơng cần đặt ẩn phụ mà coi hàm số lợng giác nh n nh vớ
dụ này)
3) Điều kiện: sinx 0 x k k ,
Đặt cot x t , phơng trình trở thành:
2
3 cot
6
3 1 1 ,
cot
3 3
t x x k
t t k
t x x k
Ta thấy hai họ nghiệm thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có hai họ nghiệm 4) Điều kiện:
cos ,
2
x x k k Ta cã:
2
3
4 tan tan tan 3tan tan
cos x x x x x x
tan
tan tan 4
,
1
1
tan tan tan (tan )
3 3
x x k
x
k
x x x k
Ta thấy hai họ nghiệm thoả mãn điều kiện Vậy phơng trình có họ nghiệm Bài 1: Giải phơng trình sau
1) cos 2xsin2 x2cosx 1 2) cos 2x5sinx 2
Bài 2: (Các phơng trình đa phơng trình bậc nhất, bậc hai) Giải phơng trình 1) cos cos 2x x 1 sin sin 2x x 2) 4sin cos cos 2x x x 1
3) sin 7x sin 3xcos 5x 4) cos2x sin2xsin 3xcos 4x
5)
23
cos cos 2sin
x x x
6)
1 sin sin sin sin
4
x x x x
7)
4
sin cos cos
2
x x x
8) 3cos2x 2sinx 2 9) sin6 xcos6 x4cos 22 x 10) tanx 3cotx 0 11) cos 3xcos 2xcosxsin 3xsin 2xsinx
3 Ph ơng trình bậc sin x cos x:
* Dạng phơng trình: asinx b cosx c a b c ( , , 0) (*) * Cách giải:
Cách 1:
(8)2 sin 2 cos 2
a b c
x x
a b a b a b (**)
V×:
2
2 2
a b
a b a b
Nên ta đặt
2
2
cos
sin a
a b b a b
Khi phơng trình (**) trở thành: 2 sin cosx cos sinx c
a b
2 2
sin x c
a b
phơng trình lợng giác biết cách giải!
Chú ý: Điều kiện đề phơng trình có nghiệm là: a2b2c2
Cách 2: Chia hai vế cho a đặt
tan b
a
(Tù lµm) Cách 3: Sử dụng công thức tính sin ,cosx x theo
tan x t
(tù làm) Ví dụ: Giải phơng trình sau:
1) sinx cosx1 2) 5cos 2x12sin 2x13 Lêi gi¶i:
1) Ta cã:
2
2 12 3 2
a b
Chia hai vế phơng trình cho ta đợc phơng trình:
1 1
sin cos sin cos cos sin sin sin
2 x x x x x
2
3 6 ,
2
3
x k x k
k
x k x k
VËy ph¬ng tr×nh cã hai hä nghiƯm
2) Ta cã: 5cos 2x12sin 2x13 12sin 2x5cos 2x13
Cã:
2
2 12 52 169 13
a b
Chia hai vế phơng trình cho 13 ta đợc ph-ơng trình :
12
sin cos
13 x 13 x
V×
2
12
1
13 13
Đặt
12
cos ; sin
13 13
ta đợc phơng trình:
sin cos cos sin sin
2 x x x x k
2 ,
x k k
VËy phơng trình có họ nghiệm Bài tập tự giải: Giải phơng trình sau:
(9)* Dạng phơng trình: asin2x b sin cosx x c cos2x0 (*)
* Cách giải: Cách 1:
Bớc 1: NhËn xÐt cosx 0 hay
,
x k k
không nghiệm phơng trình; Bớc 2: Chia hai vế phơng trình cho cos2x 0 ta đợc phơng trình”
2
tan tan
a x b x c
Bớc 3: Giải phơng trình ta đợc nghiệm phơng trình cho
Cách 2: Dùng cơng thức hạ bậc đa phơng trình trình bậc sin 2x cos 2x (Học sinh tự gii cỏch ny)
Chú ý: Nếu phơng trình có dạng tổng quát:
2
sin sin cos cos ( 0)
a x b x x c x d d (**)
Ta biến đổi nh sau: (**)
2 2
sin sin cos cos (sin cos )
a x b x x c x d x x
a dsin2x bsin cosx x c dcos2 x 0
Đây phơng trình có dạng (*)
Ví dụ: Giải phơng trình:
1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2x0 2) 2sin2x 5sin cosx x cos2x2 Lêi gi¶i
1) 2sin2x 5sin cosx x3cos2 x0
NhËn xÐt: nÕu
2
cos
0 Vt x
Vp
cos x = không thoả mãn phơng trình Chia hai vế cho cos2x 0 ta đợc phơng trình:
2
tan
4
2 tan tan 3 ,
3 tan
arctan
2
x x k
x x k
x
x k
VËy phơng trình có hai họ nghiệm
2)
2 2 2
2sin x 5sin cosx x cos x2 2sin x 5sin cosx x cos x2 sin xcos x
2
4sin x 5sin cosx x cos x
(*)
NhËn xÐt:
4
cos cos
0 Vt
x x
Vp
khơng thoả mãn phơng trình. Chia hai vế cho cos2x 0 ta đợc phơng trình:
2
tan
4
4 tan tan 1 ,
1
tan arctan
4 4
x x k
x x k
x x k
Vậy phơng trình có hai họ nghiệm Bài tập tự giải: Giải phơng trình sau
1) 4sin2x3 sin 2x 2cos2x4 2) 2sin2x3cos2x5sin cosx x 3) sin2x 3sin cosx x1
4) cos2x2sin cosx x5sin2x2 5) 2cos2x 3sin 2xsin2x1
5 Ph ơng trình đối xứng sinx cosx
(10)* Cách giải:
Đặt
sin cos sin t x x x
; ®iỊu kiƯn: t
2
2 1 2sin cos sin cos
2 t
t x x x x
Phơng trình trở thành:
2
2
1
2
2 t
at b c bt at b c
Giải phơng trình tìm t thoả mÃn điều kiện, với t ta có phơng trình :
2 sin sin
4
t
x t x
bit cỏch gii
Ví dụ: Giải phơng trình : 3 sin xcosx4sin cosx x 3
Lêi gi¶i:
Đặt
sin cos sin ;
4 t x x x
®iỊu kiƯnt
2 1
sin cos
2 t
x x
Khi phơng trình trở thành:
2
2
1 ( )
3 3 1
2 ( )
2
t tm
t
t t t
t tm
* Víi
1
1 sin sin sin
4 4
t x x
2
2
4
,
2
4
x k
x k
k
x k x k
* Víi
1 1
2 sin sin
2 4 2
t x x
1
arcsin arcsin
4 2 2
,
1
arcsin arcsin
4 2 2
x k x k
k
x k x k
Vậy phơng trình có họ nghiệm Bài tập tự gi¶i:
1) sinxcosx 2sin cosx x 1 2) sin xcosx 4sin cosx x0 6 Ph ơng trình đối xứng sinx cosx
* D¹ng phơng trình: asinx cosxbsin cosx x c
* Cách giải:
Đặt
sin cos sin t x x x
; ®iỊu kiƯn: t
2 1 2sin cos sin cos
2 t
t x x x x
Phơng trình trở thành:
2
2
1
2
2 t
at b c bt at b c
(11)2 sin sin
4
t
x t x
biết cách giải Bài tập tự giải: Giải phơng trình sau:
1) sin x cosxsin cosx x 6 2) sin3x cos3x1
3) sin x cosx 4sin cosx x 3 4) sinx cosx 4sin 2x1
6) 1 cos x 1 sin x 2