b/ T×m PT mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.[r]
(1)Tr êng THPT sè2 TP- Lào Cai
Hình giảitích
không gian
họ tên: Lu thÞ sưu
đơn vị : Trờng THPT s TP-Lo Cai
Năm học : 2006-2007
hình giải tích không gian
*Tãm t¾t lý thuyÕt *Bài toán áp dụng
A- Tóm tắt lý thuyết
1.Trong hÖ o xyz , nÕu ⃗u=(x ; y ; z),⃗u,
=(x,; y,; z,)
a ⃗u ±u⃗,
(2)b k.u⃗=(kx;ky;kz);k∈R
c
⃗
u=⃗u,⇔
x=x,
y=y,
z=z, ¿{ {
2.Đối với hệ toạ độ o xyz ,cho hai điểm A=(xA; yA; zA) ; B=(xB; yB; zB)
th× :
⃗AB=(xB− xA; yB− yA; zB− zA)
3.§iĨm M chia AB theo tû sè k th× :
¿
xM=xA−kxB
1−k yM=yA−kyB
1− k zM=zA−kzB
1− k
¿{ { ¿
Nếu k=-1 M trung điểm đoạn AB th× :
¿
xM=xA+xB
2
yM=yA+yB
2
zM=zA+zB
2
¿{ { ¿
TÝch v« h íng cđa hai vÐc t¬ :
Đối với hệ toạ độ oxyz,nếu ⃗a=(x1; y1;z1) ; ⃗b=(x2; y2;z2) :
⃗
a.⃗b=x
1x2+y1y2+z1z2
a.Bình ph ơng vô h ớng :
⃗
a2=x12+y12+z12
b Độ dài véc tơ :
|a|=x21+y12+z12
c
⃗
a⊥⃗b⇔ x1x2+y1y2+z1z2=0
5.Khoảng cách hai điểm:
(3)AB=√(xB− xA)2+(yB− yA)2+(zB− zA)2
Gãc hai véc tơ :
Gọi góc hai véc tơ a=(x1; y1;z1) ; ⃗b=(x2; y2;z2) víi
⃗a ,⃗b ≠⃗0 th× :
cosϕ= ⃗a ⃗b
|a⃗|.|b⃗|=
x1x2+y1y2+z1z2
√x12+y12+z12.√x22+y22+z22
TÝch cã h íng cđa hai vÐc t¬ :
a Định nghĩa:Đối với hệ toạ độ oxyz,nếu ⃗a=(x1; y1;z1) ; ⃗b=(x
2; y2;z2)
th× :
y1 z1 y2 z2
¿rli ¿; ¿z1 x1
z2 x2 ¿rli ¿; ¿x1 y1
x2 y2
¿ || ¿[⃗a ,⃗b]=¿
b TÝnh chÊt:
i ; ⃗a//b⃗⇔[⃗a ,⃗b]=⃗0 ii ; [⃗a ,⃗b]⊥a ;⃗ [⃗a ,⃗b]⊥b⃗
iii; [a ,b]=|a|.|b| sin góc hai véc tơ a ;b
c.Diện tích tam giác:
SΔABC=1
2|[⃗AB,⃗AC]|
d Điều kiện đồng phẳng ba véc tơ :
Điều kiện đồng phẳng ba véc tơ ⃗a ;b⃗ ⃗c :
[⃗a ,⃗b].⃗c=0
e ThĨ tÝch h×nh hép:
VABCD A,B,C,D,=|[⃗AB,⃗AD].⃗AA
,|
f.ThÓ tÝch tø diÖn:
VABCD=1
6|[⃗AB,⃗AC].⃗AD|
(4)a Ph ơng trình tổng quát mặt phẳng:
Ax+By+Cz+D=0; A2+B2+C20
b.Nếu mặt phẳng () qua điểm M0(x0; y0;z0) có
véc tơ pháp tuyến n=(A ; B ;C) phơng trình tổng
quát là:
A(x − x0)+B(y − y0)+C(z − z0)=0
C Các tr ờng hợp đặc biệt :
*/ Nếu D=0: Ax+By+Cz=0 phơng trình mặtphẳng qua gốc toạ độ
*/ NÕu A=0, B 0,C : By+Cz+D=0 phơngtrình mặt phẳng// chứa trục 0x
*/Nếu A=0;B=0 ;C 0: Cz+D=0 phơng trình mặt phẳng// chứa mặt 0xy
*/Phơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
x a+
y b+
z c=1
9.Vị trí t ơng đối hai mặt phẳng : (α):Ax+By+Cz+D=0;(1)
(α,):A,x
+B,y+C,z+D,=0;(1,)
a (α) c¾t (α,) ⇔A:B:C ≠ A,:B,:C, b (α)≡(α,)⇔ A
A,=
B B,=
C C,=
D D,
c (α)//(α,)⇔ A A,=
B B,=
C C,≠
D D,
10.Chùm mặt phẳng:
():Ax+By+Cz+D=0;(1) (,):A,x+B,y+C,z+D,=0;(1,)
Giả sử () cắt (,) phơng trình:
(Ax+By+Cz+D)+(A,x
+B,y+C,z+D,)=0
phơng trìnhchùm mặt phẳng qua giao tuyến () (,) 11.Ph ơng trình ® êng th¼ng :
(5)
¿
Ax+By+Cz+D=0
A,x
+B,y+C,z+D,=0 (1)
¿{ ¿
Víi: A2
+B2+C2≠0; A,
2
+B,
2
+C,
2
≠0; A:B:C ≠ A,:B,:C,
b Ph ơng trình tham số đ ờng thẳng :
¿
x=x0+ta
y=y0+tb z=z0+tc
t∈R; (a2
+b2+c2≠0)
¿{ {
c Ph ơng trình tắc đ ờng thẳng :
x x0
a =
y − y0
b =
z− z0 c 12.Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng :
d:x − x0
a =
y − y0
b =
z − z0 c d,:x − x0
,
a, =
y − y0, b, =
z − z0, c,
a.Hai đ ờng thẳng d d’ đồng phẳng : d d’ đồng phẳng ⇔[u ,⃗ ⃗u '].⃗M0M0'=0
b Hai đ ờng thẳng d d c¾t :
d c¾t d’ ⇔[u ,⃗ ⃗u '].⃗M0M0'=0 vµ a :b :c a’ :b’ :c’ c Hai đ ờng thẳng d d song song :
d//d’ ⇔ a :b :c=a’ :b’ :c’ (x0,− x0):(y0,− y0):(z0,− z0)
d Hai đ ờng thẳng d d trùng :
d d’ ⇔ a:b :c=a’ :b’ :c’= (x0,− x0):(y0,− y0):(z0,− z0)
e Hai đ ờng thẳng d d chéo : d chÐo d’ ⇔[u ,⃗ ⃗u '].⃗M0M0' ≠0
13 Vị trí t ơng đối đ ờng thẳng mặt phẳng : d: x − x0
a =
y − y0
b =
z− z0 c ( α ) : Ax+By+Cz+D=0
a Đ ờng thẳng d cắt mặt phẳng : d cắt ( ) ⇔ Aa +Bb +Cc
(6)
d//(α)⇔
A.a+Bb+Cc=0
Ax0+By0+Cz0+D ≠0 {
c Đ ờng thẳng d nằm mặt phẳng :
d()
A.a+Bb+Cc=0
Ax0+By0+Cz0+D=0 ¿{
d § êng thẳng d vuông góc mặt phẳng : d()a:b:c=A:B:C
14 Khoảng cách
a.Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :
d(M0,(α))=|Ax0+By0+Cz0+D| √A2+B2+C2
b Khoảng cách từ điểm đến đ ờng thẳng :
d(M1, Δ)=|[
⃗M0M1,⃗u]| |u⃗|
c Khoảng cách hai đ ờng thẳng chéo :
d(Δ, Δ,)=|[⃗u ,u⃗
,].⃗M 0M0,|
|[u ,⃗ ⃗u ']|
15 Góc
a Góc hai đ ờng th¼ng :
cosϕ=|⃗u.⃗u '|
|u⃗||u '⃗|=
|a.a '+bb'+cc'| √a2
+b2+c2.√a '2+b '2+c '2
b Góc đ ờng thẳng mặt ph¼ng :
sinψ= |Aa+Bb+Cc| √A2
+B2+C2.√a2+b2+c2
;(00≤ ψ ≤900
)
c Góc hai mặt phẳng :
cos=|n.n '|
|n⃗|.|⃗n '|=
|A.A '+BB'+CC'| √A2
+B2+C2.√A '2+B '2+C '2
16.Ph ơng trình mặt cầu a Ph ơng trình mặt cầu :
Mặt cầu (S ) tâm I=(a;b ;c),bán kÝnh R
(7)x2
+y2+z2+2 Ax+2 By+2Cz+D=0; A2+B2+C2 D>0
Mặt cầu (S ) tâm I=(-A ;-B;-C),bán kính R= A2+B2+C2 D
b.Giao mặt cầu mặt phẳng :
Trong hệ 0xyz cho () mặt cầu (S) (α) : Ax+By+Cz+D=0
(S): (x − a)2+(y − b)2+(z −c)2=R2
H lµ hình chiếu vuông góc tâm I=(a ;b ;c) mặt cầu (S) mặt phẳng () IH= d(I, (α) )
d(I ,(α))=|Aa+Bb+Cc+D| √A2+B2+C2
*/Nếu IH<R (α)∩(S) đờng trịn có phơngtrình:
¿
Ax+By+Cz+D=0
(x − a)2+(y − b)2+(z −c)2=R2 ¿{
¿
**/Nếu IH=R () tiếp diện (S)
***/ Nếu IH>R () (S) điểm chung
B- toán th ờng gặp Bài toán 1:
Lập phơng trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
nhËn ⃗n(A ; B ;C) lµm vtpt
Bài toán 2:
Lập phơng trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
có cặp vtcp a(a1;a2;a3) b(b
1;b2;b3)
Bµi to¸n 3:
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 4: Xác định góc hai mặt phẳng
(8)Bài toán 6:
Lập phơng trình mặt phẳng (P) Bài toán 7:
Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0; y0;z0) nhận ⃗a(a1;a2;a3) làm vtcp Bài tốn 8:
Tính khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d)
Bài toán 9: Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng mặt phẳng Bài tốn 10:
Xác định góc đờng thẳng mặt phẳng Bài toán 11:
Lập phơng trình đờng thẳng Bài tốn 12:
Viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) cho trớc Bài tốn 13:
Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) cho trc.
Bài toán 14
Viết phơng trình đờng thẳng qua A , vng góc với
đờng thẳng (d ❑1 ) cắt đờng thẳng (d ❑2 ) cho trớc.
Bài toán 15:
Xỏc định toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Bài toán 16:
Cho hai đờng thẳng phân biệt (d ❑1 ) (d ❑2 ) đồng phẳng Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng
(d ❑1 ) (d 2 ).
Bài toán 17:
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ).CMR: (d ❑1 ) (d
❑2 )
chÐo
Bài toán 18:
Cho hai ng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) chéo nhau.Viết phơng trình đờng vng góc chung hai đờng thng ú
Bài toán 19:
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) chéo nhau.Tính khoảng
c¸ch
hai đờng thẳng Bài tốn 20:
Xác định phơng trình hình chiếu vng góc đờng thẳng lên mặt phẳng cho trc
Bài toán 21:
Tìm toạ độ hình chiếu điểm lên mặt phẳng Bài tốn 22: Tìm điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) Bài tốn 23:
Xác định phơng trình đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng cho trớc qua mặt phẳng cho trớc
Bµi to¸n 24:
Tìm toạ độ hình chiếu điểm lên đờng thẳng Bài tốn 25:
Tìm điểm đối xứng điểm A qua đờng thẳng (d) Bài toán 26:
Cho hai ®iĨm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) mặt phẳng
(P): ax+by+cz+d=0.T×m M (P) cho MA+MB nhá nhÊt Bài toán 27:
(9)Tìm M (d) cho MA+MB lµ nhá nhÊt
Bài toán 28: Lập phơng trình mặt cầu thoả m·n ®iỊu kiƯn cho tríc
Bài toán 29:
Xỏc nh to giao điểm mặt cầu (S) đờng thẳng (d) cho trớc
Bài toán 30: Xác định vị trí tơng đối mặt cầu (S) mặt phẳng (P) cho trớc
C-ph ơng pháp giải
Bài toán 1:
Lập phơng trình mặt phẳng (P)đi qua điểm M0(x0; y0; z0)
nhËn ⃗n(A ; B ;C) lµm vtpt
Bài giải:
(áp dụng công thøc: A(x-x ❑0 )+B(y-y ❑0 )+C(z-z ❑0 )=0)
(P) :
¿
qua M0(x0; y0; z0)
vtpt⃗n(A ; B ;C) ¿{
¿
⇔ (P) : A(x-x ❑0 )+B(y-y ❑0 )+C(z-z ❑0 )=0
Bài toán 2:
Tớnh khong cách từ điểm đến mặt phẳng Bài gii:
Cho điểm M0(x0; y0; z0) mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0
Khong cỏch t M đến (P) đợc tính cơng thức: d(M0,(P))=|Ax0+By0+Cz0+D|
√A2+B2+C2 (1)
*/ Nếu (P) cho dới dạng tổng qt áp dụng cơng thức (1) **/ Nếu (P) cho dới dạng tham số chuyển dạng tổng quát sau áp dụng cụng thc (1)
Bài toán 3:
Xác định góc hai mặt phẳng Bi gii:
Cho mặt phẳng (P):A ❑1 x+B ❑1 y+C ❑1 z+D ❑1 =0 cã vtpt
⃗
n1(A1;B1;C1)
Cho mỈt ph¼ng (Q):A ❑2 x+B ❑2 y+C ❑2 z+D ❑2 =0 cã vtpt
⃗
n2(A2;B2;C2)
(10)cosα= |A1A2+B1B2+C1C2|
√A12+B12+C12√A22+B22+C22
Chý ý : (P)(Q)A1A2+B1B2+C1C2=0
Bài toán 4:
Xác định vị trí tơng đối hai mặt phẳng Bài giải:
Cho mặt phẳng (P):A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 cã vtpt
⃗
n1(A1;B1;C1)
Cho mặt phẳng (Q):A 2 x+B 2 y+C 2 z+D ❑2 =0 cã vtpt
⃗
n2(A2;B2;C2)
1 (P)//(Q) :
(P)//(Q)⇔ A1
A2 =B1
B2 =C1
C2
≠D1 D2
Chú ý : Khoảng cách d hai mặt phẳng song song với nhau: (P):Ax+By+Cz+D ❑1 =0và (Q):Ax+By+Cz+D ❑2 =0 đợc tính cơng thức: d= |D1− D2|
√A2+B2+C2
2.(P) c¾t (Q):
(P) c¾t (Q) ⇔A1:B1:C1≠ A2:B2:C2
3 (P) (Q):
(P)≡(Q)⇔ A1
A2
=B1
B2
=C1
C2
=D1
D2
Bµi
Lập phơng trình tổng qt mặt phẳng (P): - Xác định điểm M0(x0; y0; z0) (P)
-Xác định vtpt ⃗n(A ;B ;C)
-áp dụng công thức: A(x-x ❑0 )+B(y-y ❑0 )+C(z-z ❑0
)=0
3.Phơng trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
Trong không gian 0xyz, mặt phẳng (P) cắt 0x A(a;0;0), B(0;b;0),C(0;0;c)
Thì (P) có phơng trình: x a+
y b+
z c=1
Phơng trình mặt phẳng (P) ®i qua ®iÓm:
A(x ❑1 ;y ❑1 ;z ❑1 ),B(x ❑2 ;y ❑2 ;z ❑2 ),C(x ❑3 ;y ❑3 ;z ❑3 )
(P):
y2 z2
y3 z3
¿rli ¿z2 x2
z3 x3
¿rli ¿x2 y2
x3 y3
¿rli ¿ ¿ || ¿
Bµi to¸n 11:
(11)M0(x0; y0;z0) nhận a(a1;a2;a3) làm vtcp Bài giải:
Đờng thẳng (d) qua điểm M0(x0; y0;z0) vµ nhËn ⃗a(a1;a2;a3) lµm vtcp:
(d):
¿
x=x0+a1t
y=y0+a2t
z=z0+a3t
; t∈R
¿{ { ¿
Ph¬ng trình tắc: (d): x x0
a1
=y − y0 a2
=z − z0 a3
Bài toán 12:
Tỡm vtcp đờng thẳng (d) cho trớc Bài giải:
1.Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tham số:
(d):
¿
x=x0+a1t
y=y0+a2t
z=z0+a3t
; t∈R
¿{ { ¿
th× mét vtcp lµ: ⃗a(a1;a2;a3)
2.Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tắc: (d): x − x0
a1
=y − y0 a2
=z − z0 a3
vtcp là: ⃗a(a1;a2;a3)
2 Nếu đờng thẳng (d) cho dới dạng tổng quát: (d):
¿
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0 ¿{
¿
vtcp ⃗a đờng thẳng đợc xác định công thức:
B1 C1
B2 C2
¿rli ¿, ¿C1 A1
C2 A2 ¿rli ¿, ¿A1 B1
A2 B2
¿ || ¿⃗a=¿
(12)Bài toán 13:
Chuyển phơng trình dạng tổng quát sang phơng trình dạng tham số
Bài giải:
Giả sử đờng thẳng (d) cho dới dạng tổng quát: (d):
¿
A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0 ¿{
¿
; A1:B1:C1≠ A2:B2:C2
C¸ch 1:
*/ Đặt ẩn x,y,z t Chẳng hạn x=t **/ Thay x=t vào hai phơng trình giải hệ với ẩn y,z ***/ Biểu thị x,y,z theo t ta có phơng trình tham sè cđa (d) C¸ch 2:
Chọn hai điểm A,B (d) từ hệ sau viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) ( Chính đờng thẳng qua A B có vtcp : ⃗AB ).
Bµi toán 14:
Chuyển phơng trình tham số sang phơng trình dạng tổng quát
Bài giải:
Gi s ng thẳng (d) cho dới dạng tham số:
(d):
¿
x=x0+a1t(1)
y=y0+a2t(2)
z=z0+a3t(3)
; t∈R
¿{ { ¿
*/ Rút t từ phơng trình (1)
**/ Thay giá trị t vào (2),ta đợc (4) ***/ Thay giá trị t vào (3),ta đợc (5)
****/ HƯ t¹o bëi (4),(5) phơng trình tổng quát (d) Bài toán 15:
Chuyển phơng trình dạng tổng quát sang phơng trình tắc
Bài giải:
Gi s ng thng (d) cho dới dạng tổng quát: (d):
¿
A1x+B1y+C1z+D1=0(1)
A2x+B2y+C2z+D2=0(2) ¿{
¿
; A1:B1:C1≠ A2:B2:C2 C¸ch 1:
*/ Chọn điểm A (d) **/ Xác định vtcp ⃗a (d) ***/ áp dụng công thức : (d): x − xa
1
= y − y0 a2
=z − z0 a3
C¸ch 2:
*/ Chun (d) vỊ d¹ng tham sè **/ Đa dạng tắc:
(d): x − xa
1
= y − y0
a2
=z− z0
(13)Cách 3:
*/ Chọn hai điểm khác A,B (d) từ hệ (1) (2) **/ Viết phơng trình tắc (d) với vtcp: AB
Bài toán 16:
Tính khoảng cách từ điểm M đến đờng thẳng (d) Bài giải:
Tính khoảng cách từ M(x ❑M ;y ❑M ;z ❑M ) đến đờng thẳng (d) ta áp dụng công thức:
d(M1, Δ)=
|[⃗M
0M1,⃗u]|
|u| cách :
*/ Tìm vtcp a(a1;a2;a3) (d) điểm M0(x0; y0;z0) (d)
**/ Khoang cách từ M đến (d) đợc tính cơng thức:
yM− y0 zM− z0
a2 a3
¿rli ¿zM− z0 xM− x0
a3 a1
¿rli ¿xM− x0 yM− y0
a1 a2
¿rli ¿2
¿ ¿|| ¿√❑
¿d(M , d)=¿
Bài toán 17:
Xỏc nh to giao điểm đờng thẳng mặt phẳng Bài giải:
1 Nếu đờng thẳng (d) có phơng trình tham số,mặt phẳng (P có phơng trình tổng quát
*/ Thay (x;y;z) từ phơng trình tham số (d) vào phơng trình tổng quát (P) ta đợc phơng trình ẩn t
**/ BiƯn ln:
- Nếu pt vô nghiệm (d) (P)= ⇔(d)//(P)
- Nếu pt có nghiệm (d) (P)= {A} có toạ độ cách thay t vào phơng trình tham số (d)
- Nếu phơng trình có vơ số nghiệm (d) (P) Nếu đờng thẳng,mặt phẳng có phơng trình tổng
quá tthì:
- Giải hệ ba phơng trình theo Èn x,y,z
- Nếu hệ có nghiệm nghiệm toạ độ giao điểm
Bài toán 18:
Xỏc định góc đờng thẳng mặt phẳng Bài giải:
Cho đờng thẳng (d) có vtcp là: ⃗a(a1;a2;a3) Cho mặt phẳng (P) có vtpt ⃗n(A ;B ;C)
(14)sinα= |A.a1+Ba2+Ca3| √A2+B2+C2√a12+a22+a32
Chú ý: + α=0⇔A.a1+Ba2+Ca3=0 (d)//(P) (d) (P) + (d) (P) a1:a2:a3=A:B:C
Bài toán 19:
Lập phơng trình đờng thẳng Bài giải:
1 Để xác định phơng trình tham số phơng trình tắc đờng thẳng (d) ta thực bớc sau:
*/ Xác định điểm M0(x0; y0; z0) (d)
**/ Xác định vtcp ⃗a(a1;a2;a3) (d) ***/ Khi đó:
Phơng trình tham số (d) có dạng:
(d):
¿
x=x0+a1t
y=y0+a2t
z=z0+a3t
; t∈R
¿{ { ¿
Phơng trình tắc dạng: (d): x xa
1
=y − y0 a2
=z − z0 a3
2.LËp ph¬ng trình tổng quát (d): Cách :
Coi (d) giao tuyến hai mặt phẳng (P) và(Q) Ta xác định phơng trình tổng quát (P)và (Q) Cách :
*/Xác định phơng trình tham số (d) **/ Khử t phơng trình tham số đa phơng trình tổng quát
C¸ch :
*/ Xác định phơng trình tắc (d) **/ Từ phơng trình tắc đa phơng trình tổng quỏt
Bài toán 20:
Viết phơng trình đờng thẳng qua A cắt hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) cho trớc Bài giải:
Cách :
*/ Viết phơng trình mặt phẳng (P):
qua A
(d1)⊂(P) ¿{
¿
**/ ViÕt ph¬ng trình mặt phẳng (Q):
qua A
(d2)⊂(Q) ¿{
¿
***/ KÕt luËn:
+Nếu (P) (Q).Bài toán có vô số nghiÖm
(15)-NÕu :
(d)//(d1) ¿ (d)//(d2)
¿ ¿ ¿ ¿
Bài toán vô nghiệm
- Cũn li kết luận (d) đờng thẳng cần tìm Cỏch :
*/ Viết phơng trình mặt phẳng (P):
qua A
(d1)(P) ¿{
¿
**/Xác định giao điểm B (d ❑2 )và (P).
-Nếu khơng tồn giao điểm.Bài tốn vơ nghiệm -Nếu có vơ số giao điểm.Bài tốn có vơ số nghiệm Đó chùm đờng thẳng (P) qua A ***/ Viết phơng trình đờng thẳng (d):
¿ qua A vtcp ⃗AB
{
Bài toán 21:
Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) cho trớc
Bài giải:
Cách :
*/Viết phơng trình mặt phẳng (P):
qua A
(P)⊥(d1) ¿{
¿
**/ViÕt phơng trình mặt phẳng (Q):
qua A
(Q)⊥(d2) ¿{
(16)C¸ch :
*/ Xác định vtcp ⃗a1,⃗a2 đờng thẳng (d ❑1 ) (d
❑2 ).
**/ Gọi ⃗a vtcp đờng thẳng (d) thì:
¿ ⃗
a⊥⃗a1 ⃗
a⊥⃗a2
⇔⃗a=[⃗a1,⃗a2] ¿{
¿
***/ Viết phơng trình đờng thẳng (d):
¿
qua A vtcp ⃗a
¿{ ¿
Bài toán 22:
Vit phơng trình đờng thẳng qua A , vng góc với
đờng thẳng (d ❑1 ) cắt đờng thẳng (d ❑2 ) cho trớc.
Bài giải:
Cách :
*/ Viết phơng trình mặt phẳng (P):
¿
qua A
(d1)⊥(P) ¿{
¿
**/Viết phơng trình mặt phẳng (Q):
qua A
(d2)∈(Q) ¿{
¿
***/ KÕt luËn:
+/ NÕu (P) (Q).Bài toán có vô số nghiệm
++/ NÕu (P) (Q).Gäi (d) lµ giao tun cđa (P)vµ (Q) -Nếu (d)// (d 2 ).Bài toán vô nghiệm
- Còn lại (d) đờng thẳng cần tìm
C¸ch :
*/ Viết phơng trình mặt phẳng (P):
¿
qua A
(d1)⊥(P) ¿{
¿
**/ Xác định giao điểm B (d ❑2 ) (P)
+/NÕu kh«ng tån giao điểm.Bài toán vô nghiệm ++/ Nếu có vô số giao điểm.Thì có vô số
đờng thẳng (P) qua A cắt (d ❑2 ).
(17)***/ Viết phơng trình đờng thẳng (d):
¿
qua A vtcp AB
{
Bài toán 23:
Xác định toạ độ giao điểm hai đờng thẳng Bài giải:
1.Cả hai phơng trình có dạng tham số
*/ Viết lại phơng trình (d ❑1 ) theo (x ❑1 ;y ❑1 ;z ❑1 ) tham số t 1
phơng tr×nh (d ❑2 ) theo (x ❑2 ;y ❑2 ;z ❑2 ) vµ tham sè t ❑2 .
**/ Tìm t 1 , t 2 cách lập hệ phơng trình theo hai ẩn t
1 , t ❑2 .
***/ Thay t 1 , t 2 vao phơng trình(d 1 ),(d 2 ) t¬ng øng
Nếu x ❑1 = x ❑2 , y ❑1 = y ❑2 , z ❑1 = z ❑2 (x ❑1 ;y ❑1 ;z ❑1 ) toạ độ
giao điểm
2.Một phơng trình có dạng tham số, phơng trình có dạng tổng quát
*/ Thay (x;y;z) từ phơng trình tham số vào phơng trình tổng quát.Ta đợc hệ hai phơng trình theo t
**/ Nếu hệ có nghiệm t hai đờng thẳng cắt ***/ Thay t vào phơng trình tham số ta đợc toạ độ giao điểm 3.Cả hai phơng trình có dạng tổng quát
*/ Lập hệ gồm phơng trình với ẩn x,y,z từ phơng trình hai đờng thẳng
**/ NÕu hÖ có nghiệm (x;y;z) thay vào phơng
trình cịn lại,nếu (x;y;z) nghiệm (x;y;z) to giao im
Bài toán 24:
Cho hai đờng thẳng phân biệt (d ❑1 ) (d ❑2 ) đồng phẳng Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng
(d ❑1 ) vµ (d ❑2 ).
Bài giải:
*/ Chän hai ®iĨm A,B theo thø tù thc(d ❑1 ),(d ❑2 ).
**/ T×m mét vtcp ⃗a1 cđa (d ❑1 ) th× :
(P) :
¿
qua A
cã hai vtcp ⃗a1,⃗AB ¿{
¿
Ta cã ph¬ng trình tham số (P) Hoặc :
(P) :
¿
qua A
cã vtpt ⃗n=[ ⃗a1,⃗AB] ¿{
¿
Ta có phơng trình tổng quát (P)
Đặc biệt :Nếu (d 1 ) (d 2 )=M(x ❑M ;y ❑M ;z ❑M ) th× :
(18)(P):
¿
qua M
Hai vtcp ⃗a1;⃗a2 ¿{
¿
Bài toán 25:
Cho hai ng thng (d ❑1 ) (d ❑2 ).CMR: (d ❑1 ) (d
❑2 )
chÐo Bài giải:
Cách :
*/ Xác định vtcp ⃗a1;⃗a2 (d1);(d2) .
**/ Chän hai ®iĨm A,B theo thø tù thuéc(d ❑1 ),(d ❑2 ).
***/ Chứng minh tích hỗn tạp: [a1,a2]AB0
C¸ch :
*/ Chứng minh hệ tạo hai đờng thẳng vơ nghiệm
**/ Chøng minh hai vtcp cña (d 1 ) (d 2 ) không phơng
Bài toán 26:
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) chéo nhau.Viết phơng
trình đờng vng góc chung hai đờng thẳng Bài giải:
C¸ch 1:
Gọi (d) đờng vng góc chung (d ❑1 ) (d ❑2 ) ,có
vtcp ⃗a
*/ Xác định vtcp ⃗a1;⃗a2 (d1);(d2) **/ Xác định vtcp ⃗a :
¿ ⃗
a⊥⃗a1 ⃗
a⊥⃗a2
⇒a⃗=[⃗a1,⃗a2] ¿{
¿
***/ ViÕt phơng trình nặt phẳng (P 1 ) chứa (d) (d 1 )
****/ Viết phơng trình nặt phẳng (P 2 ) chứa (d) (d 2 )
*****/ KÕt luËn: d =(P ❑1 ) (P ❑2 )
C¸ch : (NÕu (d ❑1 ) vµ (d ❑2 ) cho díi dạng tham số).
*/ Gọi AB đoạn vuông góc chung (d 1 ) (d ❑2 )
( A (d1) ;B (d2) )
Khi toạ đọ A,B theo thứ tự thoả mãn phơng trình
(19)**/ Tõ ®k:
¿ ⃗AB⊥(d1) ⃗AB⊥(d
2)
⇒
¿{ ¿
Toạ đọ A,B
***/ Viết phơng trình (AB) ⇒ (AB) đờng thẳng cần tìm Bài toán 27:
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) chéo nhau.Tính khoảng
c¸ch
hai đờng thẳng Bài giải:
*/ Tìm vtcp ⃗a(a1;a2;a3) đờng thẳng (d ❑1 ) điểm A(x ❑1 ;y ❑1 ;z ❑1 ) (d ❑1 )
**/ T×m vtcp ⃗b(b
1;b2;b3) đờng thẳng (d ❑2 ) điểm B(x ❑2 ;y
❑2 ;z ❑2 ) (d ❑2 ).
***/ Khoảng cách (d ❑1 ) (d ❑2 ) đợc tính cơng thức:
x1− x2y1− y2 z1− z2
a1 a2 a3 b1 b2 b3
¿a2 a3
b2 b3 ¿rli ¿a3 a1
b3 b1 ¿rli ¿a1 a2
b1 b2
¿rli ¿
¿ ¿|| ¿√❑
|||||rli|||
❑
¿ ¿d(d1, d2)=
|[⃗a ,⃗b].⃗AB| |[⃗a ,⃗b]|
=¿
Bài toán 28:
Xỏc nh phng trỡnh hình chiếu vng góc đờng thẳng lên mặt phng cho trc
Bài giải:
Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P)
Viết phơng trình (d 1 ) hình chiếu vuông góc (d) lên (P).
*/Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa (d) vuông góc với (P) **/ Phơng trình (d 1 ) lµ giao tun cđa (P) vµ (Q)
Bài toán 29:
Tỡm to hình chiếu điểm lên mặt phẳng Bài giải:
(20)Xác định hình chiếu vng góc H A lên (P):
*/ Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua A vng góc với (P)
**/ Tìm toạ độ giao điểm H (d) (P) Bài toán 30:
Tìm điểm đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) Bài giải:
Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P):
*/ Tìm toạ độ H hình chiếu vng góc A lên (P) **/ Với điều kiện H trung điểm AA’ ta tìm toạ độ A’ Bài tốn 31:
Xác định phơng trình đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng cho trớc qua mặt phng cho trc
Bài giải:
Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng (P)
Gọi (d ❑1 ) đờng thẳng đối xứng với (d) qua (P).
*/ LÊy hai ®iĨm A,B (d)
**/ Xác định toạ độ điểm A ❑1 ,B ❑1 đối xứng với A,B
qua (P)
***/ (d ❑1 ) đờng thẳng qua A ❑1 ,B 1 .
Bài toán 32:
Tìm toạ độ hình chiếu điểm lên đờng thẳng Bài giải:
Cho điểm A đờng thẳng (d) (A (d)) Xác định hình chiếu H A lên (d)
C¸ch 1:
*/Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với (d) **/ Toạ độ giao điểm H (P) (d) hình chiếu vng góc A lên (d)
C¸ch : ( Khi (d) phơng trình tham số)
*/ Xác định vtcp ⃗a đờng thẳng (d)
**/ H (d) ⇒ Toạ độ H thoả mãn phơng trình tham số (d)
⇒ Toạ độ ⃗AH .
***/ H hình chiếu vuông góc A lªn (d) ⇔⃗AH ⃗a=0 .(1)
4*/ Từ (1) ta xác định đợc tham số, thay vào phơng trình tham số (d) ta có toạ độ H
Bài toán 33:
Tìm điểm đối xứng điểm A qua đờng thẳng (d) Bài giải:
*/ Tìm toạ độ H hình chiếu A lên (d)
**/ Gọi A’ điểm đối xứng A qua (d) H trung điểm AA’ ta xác định đợc toạ độ điểm A’
Bài toán 34:
Cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB) mặt phẳng
(P): ax+by+cz+d=0.Tìm M (P) cho MA+MB nhỏ Bài giải:
C¸ch 1:
*/ Xác định vị trí tơng đối A B mặt phẳng (P) bng cỏch:
Đặt : tA=axA+byA+czA+d vµ tB=axB+byB+czB+d
(21)+ Tìm toạ độ giao điểm N AB (P) ***/ Tìm toạ độ A ❑1 đối xứng A qua (P).
(A,B phía (P))
+ Viết phơng trình tham số đờng thẳng A ❑1 B
+++ Tìm toạ độ giao điểm N A ❑1 B (P).
4*/ Ta chứng minh MA+MB nhỏ M N ( A,B khác phía (P))
+LÊy M (P) ⇒ MA+MB AB=NA+NB Dâú xảy M N
5*/ Ta chứng minh MA+MB nhỏ M N (A,B phía (P))
+LÊy M (P) ⇒ MA+MB=MA ❑1 +MB A ❑1 B=NA
❑1 +NB=MA ❑1 +MB.
Dâú xảy M N C¸ch :
*/ Xác định vị trí tơng đối A B mặt phẳng (P) cách:
Đặt : tA=axA+byA+czA+d tB=axB+byB+czB+d + Nếu: tA.tB<0 A,B khác phía (P) ++ Nếu: tA.tB>0 A,B phía (P)
**/ Tìm toạ độ điểm A ❑1 ,B ❑1 theo thứ tự hình chiếu
vuông góc A,B lên (P)
***/ Tính độ dài AA ❑1 ,BB ❑1 từ suy toạ độ N chia
vÐc t¬
⃗A
1B1 theo tû sè b»ng − AA1 BB1
; (⃗NA1
⃗NB
=−AA1
BB1 )
4*/ Ta chøng minh r»ng MA+MB nhá nhÊt vµ chØ M N Tr êng hỵp 1: tA.tB<0
Vì điểm N chia véc tơ A
1B1 theo tû sè b»ng −
AA1 BB1
A,B,N thẳng hàng: MA+MB AB=NA+NB Dâú xảy M N
Tr êng hỵp 1: tA.tB>0
Gọi A ❑2 đối xứng A qua (P)
Vì điểm N chia véc tơ A1B1 theo tû sè b»ng −AA1 BB1
⇒ A 2 ,B,N thẳng hàng
Ta có:MA+MB=MA ❑2 +MB A ❑2 B=NA+NB
D©ó b»ng xảy M N
Chó ý: T×m M (P) cho |MA−MB| lín làm tơng tự Bài toán 35:
Cho hai điểm A,B đờng thẳng (d)
Tìm M (d) cho MA+MB nhỏ Bài giải:
*/ Tìm toạ độ điểm A ❑1 ,B ❑1 theo thứ tự hình
chiÕu
vuông góc A,B lên (d)
**/ Tính độ dài AA ❑1 ,BB ❑1 từ suy toạ độ N chia véc tơ
⃗A1B1 theo tû sè b»ng −AA1
BB1
; (⃗NA1
⃗NB1=−
AA1
(22)***/ Ta chứng minh MA+MB nhỏ M N Gọi A ❑2 là điểm thuộc mặt phẳng xác định B,(d) khác
phía (d) thoả mãn:
¿
AA1=A1A2
A1A2⊥(d)
⇒AA1
BB1
=A1A2
BB1
⇔⃗NA1
⃗NB1=−
A1A2
BB1
⇒A2, B , N
{
thẳng hàng
VËy :MA+MB=MA ❑2 +MB A ❑2 B=NA+NB
Dâú xảy M N Bài toán 36:
Lập phơng trình mặt cầu thoả mÃn điều kiện cho trớc Bài giải:
Mặt cầu (S ) tâm I=(a;b ;c),bán kính R
(x a)2+(y − b)2+(z −c)2=R2
x2+y2+z2+2 Ax+2 By+2Cz+D=0; A2+B2+C2 D>0 Mặt cầu (S ) tâm I=(-A ;-B;-C),bán kÝnh R= √A2
+B2+C2− D
*/ viết phơng trình dạng(1):
Lập hệ phơng trình ẩn số a,b,c,R **/ viết phơng trình dạng(2):
Lập hệ phơng trình ẩn số A,B,C,D đk: A2
+B2+C2 D>0 Bài toán 37:
Xác định toạ độ giao điểm mặt cầu (S) đờng thẳng (d) cho trớc
Bài giải:
*/ Chuyển phơng trình (d) vỊ d¹ng tham sè theo t
**/ Thay x,y,z (d) vào (S) ta đợc phơng trình bậc hai theo t +Nếu phơng trình vơ nghiệm thì: (S) (d)= φ
++ Nếu phơng trình có nghiệm thì:(d) tiếp xúc (S) Để tìm toạ độ tiếp điểm thay t vào phơng trình tham số (d) +++ Nếu phơng trình có hai nghiệm phân biệt t ❑1 ,t ❑2 thì:
(S) (d)= {A ;B} thay t 1 ,t 2 vào phơng trình tham số (d)
để tìm toạ độ A,B Bài toán 38:
Xác định vị trí tơng đối mặt cầu (S) mặt phẳng (P) cho trc
Bài giải:
*/ Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (S) Tính khoảng cách d từ I đến (P):d(I,(P)) **/ So sánh d với R để đa kết luận
(23)tập áp dụng A.Đề BµI TËP:
Bµi tËp sè :
Trong không gian cho điểm A(1;2;1) ,B(5;3;4) ,C(8;-3;2) a/CMR : Tamgiác ABC tam giác vuông
b/Tỡm to chõn ng phân giác tam giác xuất phát từ B c/ Tính diện tích tam giác ABC
Bµi tËp sè
Cho điểm A(3;2;6) B(3;-1;0) C(0;-7;3) D(-2;1;-1) a/ CMR :A,B,C,D đỉnh tứ diện
b/Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đơí vng góc với c/ Tính góc tạo đờng thẳng AD với đờng cao tam giác ABC kẻ từ đỉnh A
Bµi tËp sè
Viết phơng trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5)
Bài tËp sè
Cho tứ diện ABCD biết toạ độ đỉnh A(2;3;1),B(4;1;-2)
C(6;3;7),D(-5;-4;8).Tính độ dài đờng cao hình tứ diện xuất phát từ D
Bµi tËp sè
Viết phơng trình TQ mặt phẳng (P) chứa gốc toạ độ vng góc với hai mặt phẳng có phơng trình
(P ❑1 ):x-y+z-7=0 vµ (P ❑2 ):3x+2y-12z+5=0.
Bµi tËp sè
Viết phơng trình tắc đờng thẳng (d):
¿
x −2y+3z −4=0
3x+2y −5z −4=0 ¿{
¿
Bài tập số Viết PT tắc đờng thẳng Δ qua điểm M(1;1;2) song song với đờng thẳng (d):
¿
3x − y+2z −7=0
x+3y −2z+3=0 ¿{
¿
Bµi tËp sè
Viết phơng trình tắc đờng thẳng Δ qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P)
vng góc với đờng thẳng (d),biết: (P):x-y-z-1=0; (d): x+1
2 =
y −1
1 =
z −2
Bµi tËp sè 9: Cho hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1) mặt phẳng (P):3x-8y+7z-1=0
a.Tìm toạ độ giao điểm I đờng thẳng qua hai điểm A,B với mặt phẳng (P)
(24)
Bµi tËp sè 10
Trong không gian 0xyz cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;3;2) B(1;2;1),C(1;1;3).Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác
Bµi tËp sè 11
Trong không gian với hệ toạ độ vng góc 0xyz cho điểm A(1;2;1) đờng thẳng (d) có phơng trình: x
3=
y −1
4 =z+3
a Viết phơng trình mặt phẳng qua A chứa đờng thẳng (d) b Tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng (d)
Bµi tËp số 12
Cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P):2x-y+3z+1=0; (Q):x+y-z+5=0
a Tớnh khoảng cách từ M đến (P)
b Viết phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng:3x-y+1=0 Bài tập số 13
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) có phơng trình:
(d1):
x+2y −3z+1=0
2x −3y+z+1=0
; (d2): ¿x=2+at
y=−1+2t
z=3−3t
; t∈R
¿{
a.Với a cho trớc,xác định phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d ❑1 ) song song với (d ❑2 ).
a.Với a cho trớc,xác định phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d ❑1 ) vng góc với (d ❑2 ).
Bµi tËp sè 14
Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng(d):
¿
x −2y=0
3x −2y+z −3=0 ¿{
vuông góc với mặt phẳng (Q):x-2y+z-5=0 Bµi tËp sè 15
Viết phơng trình tắc đờng thẳng qua điểm A(1;5;0) cắt hai đờng thẳng:
(d1):
2x − z −1=0
x+y −1=0
(d2): ¿3x+y −2=0
y − z −2=0 ¿{
Bµi tËp sè 16
Viết phơng trình đờng thẳng qua A(-4;-5;3) cắt hai đờng thẳng:
(d1):x+1
3 =
y+3
−2 =
z −2
−1 ; (d2):
x −2
2 =
y+1
3 =
z −1
(25)Bµi tËp sè 17
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) có phơng trình:
(d1):
x+y+2z=0
x − y+z+1=0
; (d2): ¿x=−2+2t
y=−5t
z=+ 2t
t∈R
¿{
Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A(1;1;1) cắt đồng thời (d ❑1 ) (d ❑2 ).
Bµi tËp sè 18
Viết phơng trình đờng thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P):x+y+z=1 cắt hai đờng thẳng:
(d1): x −1
2 =
y+1
−1 =z (d2):
x −2y+z−1=0
2x − y+2z+1=0 ¿{
Bµi tËp sè 19
Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A(0;1;1) vng góc với hai đờng thẳng:
(d1): x −1
8 =
y+2
1 =z ; (d2):
x+y − z+2=0
x+1=0 ¿{
Bµi tËp sè 20
Viết phơng trình tắc đờng thẳng (d ❑1 ) qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) vng góc với
đờng thẳng (d) biết: (d1):x+1
2 =
y −1
1 =
z −2
3 ; (P):x − y − z −1=0
Bµi tËp sè 21
Viết phơng trình tắc đờng thẳng qua điểm
A(0;1;1) vng góc với đờng thẳng (d ❑1 ) cắt đờng thẳng(d
❑2 )
cho bëi:
(d1): x −1
3 =
y+2
1 =z ; vµ (d2):
x+y − z+2=0
x+1=0 ¿{
Bµi tËp sè 22
(26)
(d1):
x=5+2t
y=1−t
z=5−t
; (d2): ¿x=3+2t1
y=−3−t1
z=1− t1
; t,t1∈R
¿{ {
Chøng tá (d ❑1 ),(d ❑2 ) song song.Viết phơng trình mặt phẳng
chứa
(d ❑1 ),(d ❑2 ).
Bµi tËp sè 23
Cho hai đờng thẳng song song (d ❑1 ),(d ❑2 ) có phơng trình: (d1):x+7
3 =
y −5
−1 =
z −9
4 ; (d2):
x
3=
y+4
−1 =
z+18
4
a.Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d 1 ),(d 2 ).
b.Tính khoảng cách (d 1 ) vµ (d ❑2 ).
Bµi tËp sè 24
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) có phơng trình:
(d1):
2x+y+1=0;(1)
x − y+z −1=0;(2)
(d2):
¿3x+y − z+3=0;(3)
2x − y+1=0;(4) ¿{
a.CMR hai đờng thẳng cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm I chúng
b.Viết phơng trình tổng quát mặt phẳng (P) qua hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 )
Bµi tËp sè 25
Cho hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) có phơng trình:
(d1):
x − y+1=0;(1)
2x+z −2=0;(2)
(d2):
¿4x − y+3=0;(3)
2y −3z −4=0;(4) ¿{
a.CMR hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) chộo nhau.
b.Tính khoảng cách (d ❑1 ) vµ (d ❑2 ).
c Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ).
Bµi tËp sè 26
(27)
(d1):
x+y+z −3=0
y+z −1=0
, (d2): ¿x −2y −2z+9=0
y − z+1=0 ¿{
Chứng tỏ hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) vng góc với
nhau
Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung hai đờng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ).
Bµi tËp sè 27
Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng(P) có phơng trình:
(d):
x − y+z −5=0
3x −2y − z+15=0
(P):x − y − z −1=0 ¿{
H·y viÕt phơng trình hình chiếu (d 1 ) (d) lên (P).
Bµi tËp sè 28
Cho đờng thẳng (d) mặt phẳng(P) có phơng trình: (d): x −2
2 =
y+1
3 =
z−1
5 ; (P):2x+y+z 8=0
a Tìm giao điểm A cđa (d) vµ (P)
b Viết phơng trình đờng thẳng ( Δ ) hình chiếu vng góc (d) lên (P)
Bµi sè 29:
Cho ®iĨm A(0;1;0); B(2;3;1) ,C(-2;2;2) ,D(1;-1;2) a/ CMR :ABCD tứ diện có mặt vuông A b/ Tìm PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Bài số 30:
Tìm PT mặt cầu :
a/ Nhn AB làm đờng kính với A(6;2;-5) ,B(-4;0;7)
b/ Có tâm I(1;1;2) tiếp xúc với mặt phẳng (P): x+2y+2z +3=0 Bµi sè 31:
Cho đờng tròn (C) ,PT :
(28)
B.BàI Giải:
Bài tập số 1:(ĐHCĐ-99)
Viết phơng trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5)
Bài giải:
Cách 1:
Gọi I trung ®iĨm cđa AB ta cã:
¿
xI=xA+xB
2 =
2−1
2 =
1
yI=yA+yB
2 =
1−3 =−1
zI=zA+zB
2 =
4+5
2 =
9 ⇒I(1
2;−1; 2)
¿{ { ¿
⃗AB=(−1−2;−3−1;5−4)=(−3;−4;1)
(29)(P):
qua I
¿
vtpt ⃗AB
⇔−3.(x −1
2)−4 (y+1)+1 (z − 2)=0
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
¿
⇔−3x −4y+z+3
2−4−
2=0⇔3x+4 y − z+7=0
(P):3x+4y-z+7=0 Cách 2:
Gọi (P) mặt phẳng trung trực đoạ AB
M(x;y;z) (P)⇔ AM=BM ⇔ AM ❑2 =BM ❑2
⇔(x −2)2+(y −1)2+(z −4)2=(x+1)2+(y+3)2+(z −5)2
⇔x2−4x
+4+y2−2y+1+z2−8z+16=x2+2x+1+y2+6y+9+z2−10z+25
⇔−6x −8y+2z −14=0⇔6x+8y −2z+14=0⇔3x+4y − z+7=0 (P): 3x+4y-z+7=0
Bµi tËp sè 2:(§HD-99)
Cho tứ diện ABCD biết toạ độ đỉnh A(2;3;1),B(4;1;-2) C(6;3;7),D(-5;-4;8).Tính độ dài đờng cao hình tứ diện xuất phát từ D
Bài giải:
Cách 1:
*/Viết phơng trình mặt phẳng (ABC): AB =(2;-2;-3)
⃗AC =(4;0;6)
−2 -3
¿rli ¿; ¿−3
6
¿rli ¿; ¿2 -2
4
¿ || ¿[⃗AB,⃗AC]=¿
(ABC):
¿
qua A(2;3;1)
vtpt n⃗=[⃗AB,⃗AC]=(−12;−24;8) ¿{
¿
(30)d(D,(ABC)=
−2¿2 ¿
32+62+¿ √¿
|3(−5)+6(−4)−2 8−22|
¿
C¸ch 2:
*/TÝnh SΔABC , VABCD ⃗AB =(2;-2;-3)
⃗AC =(4;0;6) ⃗AD =(-7;-7;7
−2 -3
¿rli ¿; ¿−3
6
¿rli ¿; ¿2 -2
4
¿ || ¿[⃗AB,⃗AC]=¿
−2¿2 ¿
32 +62+¿
SΔABC=1
2|[⃗AB,⃗AC]|= 2√¿
VABCD=1
6|[⃗AB,⃗AC].⃗AD|=
6|3(−7)+6(−7)+(−2) 7|= 77
6
**/ Gọi h đờng cao tứ diện ta có: VABCD =
3 SΔABC h ⇔h=
3VABCD SΔABC
=
3 77
=77
7 =11
Bài tập số 3:(ĐHDL-97)
Vit phng trình tham số phơng trình mặt phẳng (P) chứa góc toạ độ vng góc với hai mặt phẳng có phơng trình (P ❑1 ):x-y+z-7=0và
(P 2 ):3x+2y-12z+5=0 Bài giải:
Gọi n1,n2 theo thứ tự lần lợt lµ vtpt cđa(P ❑1 ),(P ❑2 ) ta cã:
n1=(1;1;1);n2=(3;2;12) (P) mặt phẳng qua góc toạ
vuông góc víi (P ❑1 )vµ(P ❑2 ).
(31)
(P):
qua 0(0;0;0)
cỈp vtcp n⃗1(1;−1;1);⃗n2(3;2;−12)
⇔(P):
¿x=t1+3t2;(1)
y=−t1+2t2;(2)
z=t1−12t2;(3)
,t1,t2R
{
*/ Phơng trình tỉng qu¸t: C¸ch 1:
Khư tham số t 1 ,t 2 từ phơng trình tham sè trªn
+LÊy (1)+(2) ⇒ x+y=5t ❑2 (4)
++ LÊy (2)+(3) ⇒ x+z=-10t ❑2 (5)
+++ Tõ (4)vµ (5) ⇒ x+z=-2(x+y) ⇔ 2x+3y+z=0 C¸ch 2:
Gọi n vtpt mặt phẳng (P) ta có:
−1 -12
¿rli ¿; ¿1
-12
¿rli ¿; ¿1 -1
3
¿ || ¿n⃗=¿
(P):
¿
qua 0(0;0;0)
vtpt n⃗=(2;3;1)
⇔(P):2x+3y+z=0
¿{ ¿
C¸ch 3:
Gäi ⃗n1,⃗n2 theo thø tù lần lợt vtpt của(P 1 ),(P 2 ) ta cã:
⃗n1=(1;−1;1);⃗n2=(3;2;−12) (P) mặt phẳng qua góc toạ độ
(32)
−1 -12
¿rli ¿; ¿1
-12
¿rli ¿; ¿1 -1
3
¿ || ¿[⃗n1,⃗n2]=¿
M(x;y;z) (P) ⇔ ⃗OM,⃗n
1,⃗n2 đồng phẳng ⇔ [⃗n1,⃗n2].⃗OM=0
⇔(2;3;1)(x ; y ; z)=0⇔2x+3y+z=0
Bài tập số 4:(ĐHQG/B-98)
Trong không gian 0xyz.Xét tam giác OAB mặt phẳng (x0y) có cạnh a,đờng thẳng AB song song với trục Oy,điểm A thuộc góc phần t thứ mặt phẳng (x0y).Xét điểm S(0;0; a
3 )
a.Hãy xác định toạ độ điểm A,B trung điểm E đoạn OA sau viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa SE song song với Ox
b Tính khoảng cách từ O đến (P),từ đosuy khoảng cách Ox SE Bài giải:
a.Xác định toạ độ điểm A,B:
*/ Tam giác OAB đều,AB//Oy,điểm A thuộc góc phần t thứ mặt phẳng (x0y):
Ta cã: xA=xB=OM=OA cos(OA;OM)=
a√3
2 (M lµ giao cđa
AB vµ trơc Ox)
− yB=yA=ON=OA sin(OA;OM)=a
2
zA=zB=0 VËy:A( a√2
2 ;
a
2;0¿ ,B(
a√3
2 ;−
a
2;0¿
**/ E trung điểm OA th×: E( a√3
4 ;
a
4;0 )
***/ Mặt phẳng (P) chứa SE vµ song song víi Ox : (P) cã cỈp vtcp ⃗SE=(a√3
4 ;
a
4;−
a
3) ⃗Ox=(1;0;0)
⇒ (P) cã vtpt ⃗n=[SE⃗;⃗Ox]=(0;−a
3;−
a
4)
(P) :
¿
qua S(0;0;a
3) vtpt⃗n(0;−a
3;−
a
4) ⇔(P):4y+3z-a=0
(33)b.Gọi d khoảng cách từ O đến (P): d(O,(P))= |−a| √42
+32 =a
5
Từ suy khoảng cách hai đờng thẳng Ox SE a
5
Bµi tËp sè 5:(§Ị55-B§95)
Viết phơng trình tắc đờng thẳng (d):
¿
x −2y+3z −4=0
3x+2y −5z −4=0 ¿{
¿
Bài giải:
Lấy điểm M(2;-1;0) (d)
Gäi ⃗a lµ mét vtcp cđa (d) ta cã :
−2 -5
¿rli ¿; ¿3
-5
¿rli ¿; ¿1 -2
3
¿ || ¿a⃗=¿
VËy (d):
¿
qua M(2;-1;0)
vtcp ⃗a=(2;7;4)
⇔(d):x-2
2 =
y+1
7 =
z
4
¿{ ¿
Bµi tËp sè 6:(§HIS/B-98)
Viết phơng trình tắc đờng thẳng Δ qua điểm M(1;1;2) song song với đờng thẳng (d):
¿
3x − y+2z −7=0
x+3y −2z+3=0 ¿{
¿
Bài giải:
Ta có: M(1;1;2)(d)
(34)
−1 -2
¿rli ¿; ¿2
-2
¿rli ¿; ¿3 -1
1
¿ || ¿a⃗=¿
Gọi Δ đờng thẳng qua M(1;1;2) song song với đờng thẳng (d)
( Δ ):
¿
qua M(1;1;2)
vtcp ⃗a=(−2;4;5)
⇔(Δ):x-1
-2 =
y −1
4 =
z −2
¿{ ¿
Bµi tËp sè 7:(§HTCKT-99)
Viết phơng trình tắc đờng thẳng Δ qua điểm qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) vng góc với đờng thẳng (d),biết:
(P):x-y-z-1=0; (d): x+1
2 =
y −1
1 =
z −2
Bµi giải:
Gọi a ,b ,n lần lợt theo thø tù lµ vtcp cđa (d),vtcp cđa ( Δ ) vµ
vtpt
cđa (P),ta cã: ⃗a=(2;1;3) n⃗=(1;−1;−1)
Theo gi¶ thiÕt:
( Δ ):
¿ (Δ)//(P) (Δ)⊥(d)
⇔
¿b⃗⊥⃗n ⃗
b⊥⃗a
1 -1 -1
¿rli ¿; ¿3
-1
¿rli ¿; ¿2
1 -1
¿ || ¿ ⇔b⃗=¿{
¿
(35)( Δ ):
¿
qua A(1;1;-2)
vtcp ⃗b=(2;5;−3)
⇔(Δ):x-1
2 =
y −1
5 =
z+2
−3
¿{ ¿
Bµi tËp sè 8:(HVNH-2000)
Cho hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1) mặt phẳng (P):3x-8y+7z-1=0 a.Tìm toạ độ giao điểm I đờng thẳng qua hai điểm A,B với mặt phẳng (P)
b.Tìm toạ độ điểm C nằm mặt phẳng (P) cho tam giác ABC tam giác
Bài giải:
a.Phng trỡnh ng thng (AB) xác định bởi:
(AB):
¿
qua A(0;0-3)
vtcp ⃗AB=(2;0;2)
⇔(AB): ¿x=2t
y=0
z=-3+2t
t∈R
¿{ ¿
Thay giá trị x,y,z phơng trình tham số (AB) vào phơng trình (P) ta cã: 3.2t-8.0+7(-3+2t)-1=0 ⇔t=11
10
Thay t=11
10 vào phơng trình (AB) ta đợc giao điểm I( 11
5 ;0;−
5 )
b.Gi¶ sư C(x ❑0 ;y ❑0 ;z ❑0 ) (P) ⇔3x0−8y0+7z0−1=0 (1)
Tam giác ABC khi:
¿
AC=BC
AC=AB
⇔
¿AC2=BC2
AC2=AB2
⇔
¿x02+y02+(z0+3)
=(x0−2)
+y02+(z0+1)
x20+y20+(z0+3)2=(2)2+(−1+3)2 ¿{
¿
⇔ x0+z0+1=0;(2)
x0
+y02+z20+6z0+1=0;(3) ¿{
Gi¶i hƯ (1),(2),(3):
Từ (2) ta có: z0=−1− x0 , (4) Thay (4) vào (1) ta đợc :
3x0−8y0+7(−1− x0)−1=0⇔y0=−1
2x0−1;(5)
(36)
(1+1
4+1)x0
+(1+2−6)x0+1+1−6+1=0⇔
9 4x0
2−3x
0−3=0⇔
x0=2 ¿
x0=−2
3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
*/ Víi x0=2⇒y0=−2; z0=−3⇒C(2;−2;−3)
**/ Víi x0=−2
3⇒y0=−
2
3; z0=−
1
3⇒C(− 3;−
2 3;−
1 3)
Vậy có hai điểm C (P) để tam giác ABC Bài tập số 9:(ĐHKTQD-2000)
Tìm tập hợp tất điểm P không gian cách ba điểm A(1;1;1),B(-1;2;0) C(2;-3;2)
Bµi gi¶i:
Gi¶ sư P(x;y;z) ta cã:
¿
PA=PB
PA=PC
⇔
¿(x −1)2+(y −1)2+(z−1)2=(x+1)2+(y −2)2+z2 (x −1)2+(y −1)2+(z −1)2=(x −2)2+(y+3)2+(z−2)2
¿{ ¿
⇔
2x − y+z+2=0
x −2y+z+7=0 ¿{
Vậy tập hợp điểm P thuộc đờng thẳng (d) có phơng trình:
¿
2x − y+z+2=0
x −2y+z+7=0 ¿{
¿
Bài tập số 10:(ĐH Huế-99)
Trong khụng gian 0xyz cho mặt phẳng (P) qua ba điểm A(1;3;2) B(1;2;1),C(1;1;3).Viết phơng trình tham số đờng thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ú
Bài giải:
(37)
¿
xG=xA+xB+xC
3
yG=yA+yB+yC
3
zG=zA+zB+zC
3
⇔
¿xG=1
yG=2
zG=2
⇔G(1;2;2)
¿{{ ¿
Gọi ⃗a vtcp đờng thẳng (d) :
¿ ⃗
a⊥⃗AB(0;−1;−1) ⃗
a⊥⃗AC(0;−2;1)
−1 -1 -2
¿rli ¿; ¿−1
¿rli ¿; ¿0 -1
0 -2
¿ || ¿⇒a⃗=¿{
¿
Đờng thẳng (d) qua trọng tâm G Δ ABC vng góc với mặt phẳng chứa Δ ABC đợc xác định bởi:
(d):
qua G(1;2;2)
vtcp ⃗a=(−1;0;0)
⇔(d):
¿x=1−t
y=2;
z=2
t∈R
¿{
Bµi tËp sè 11:(§HKTróc-97)
Trong khơng gian với hệ toạ độ vng góc 0xyz cho điểm A(1;2;1) đờng thẳng (d) có phơng trình: x
3=
y −1
4 =z+3
a Viết phơng trình mặt phẳng qua A chứa đờng thẳng (d) b Tính khoảng cách từ A đến đờng thẳng (d)
Bµi gi¶i:
a.Gọi ⃗a=(3;4;1) vtcp đờng thẳng (d).Lấy điểm B(0;1;-3)
(38)(P):
¿
qua A(1;2;1) (d)⊂(P)
⇔(P):
¿qua A(1;2;1)
hai vtcp ⃗a=(3;4;1) ⃗BA=(1;1;4)
¿{ ¿
⇔(P):
x=1+3t1+t2
y=2+4t1+t2
z=1+t1+4t2
t1,t2∈R ¿{ {
C¸ch 2:
⃗a=(3;4;1)
⃗BA=(1;1;4)
4 1
¿rli ¿; ¿1
4
¿rli ¿; ¿3
1
¿ || ¿⃗n=[⃗a ,⃗BA]=¿
(P):
¿
qua A(1;2;1)
vtpt n⃗=(15;−11;−1)
⇔15(x −1)−11(y −2)−1(z −1)=0
¿{ ¿
⇔15x −11y − z+8=0
Cách 3:
Gọi (P) mặt phẳng ®i qua A vµ chøa (d) ⇒ (P) thuéc chùm mặt phẳng tạo (d)
Từ phơng trình (d)
4x 3y+3=0
x −3z −9=0 ¿{
VËy (P) thuéc chïm mặt phẳng tao (d) có dạng:
(P): 4x −3y+3+m(x −3z −9)=0⇔(P):(4+m)x −3y −3 mz+3−9m=0 (1)
§iĨm A (P)⇔(4+m)−3 2−3m+3−9m=0⇔m=
11
Thay m=
11 vào (1) ta đợc phơng trình mặt phẳng (P):15x-11y-z+8=0
(39)
d(A , d)=|[⃗BA,⃗a]|
|⃗a| =
√152+(−11)2+(−1)2 √32+42+12 =√
347 26
Bài tập số 12:(ĐHCS-97)
Cho điểm M(1;0;5) hai mặt phẳng (P):2x-y+3z+1=0; (Q):x+y-z+5=0
a Tính khoảng cách từ M đến (P)
b Viết phơng trình mặt phẳng qua giao tuyến (d) (P) (Q) đồng thời vng góc với mặt phẳng:3x-y+1=0 Bài giải:
a.Khoảng cách từ M đến (P): d(M ,(P))=|2 1−1 0+3 5+1|
√22+12+32
=18 14
b.Phơng trình giao tuyến (d) (P) (Q) có dạng:
(d):
2x − y+3z+1=0
x+y − z+5=0 ¿{
Gọi (R) mặt phẳng cần tìm.Ta có:
*/ (R) (d) ⇒ (R) thuộc chùm mặt phẳng xác định (d)
(R):2x-y+3z+1+m(x+y-z+5)=0 ⇔ (2+m)x-(1-m)y+(3-m)z+1+5m=0.(1) ⇒ (R) cã vtpt ⃗n =(2+m;-1+m;3-m)
(R) vuông góc với mặt phẳng:3x-y+1=0 (2+m).3+(1+m).(1)+(3 m) 0=0m=7
2
Thay m=−7
2 vào (1) ta đợc phơng trình (R) :3x+9y-13z+33=0
Bài tập số 13:(ĐHNNI-96)
Cho hai ng thẳng (d ❑1 ) (d ❑2 ) có phơng trình:
(d1):
x+2y −3z+1=0
2x −3y+z+1=0
; (d2): ¿x=2+at
y=−1+2t
z=3−3t
; t∈R
¿{
a.Với a cho trớc,xác định phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d ❑1 )
vµ song song víi (d ❑2 )
a.Với a cho trớc,xác định phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d ❑1 )
vuông góc với (d 2 ).
Bài giải:
Gọi ⃗a =(a;2;-3) lµ mét vtcp cđa (d ❑2 ).(P) (d ❑1 ) ⇒
(P) :x+2y-3z+1+m(2x-3y+z+1)=0
⇔ (P) :(1+2m)x+(2-3m)y+(m-3)z+1+m=0;(1) Khi (P) có vtpt ⃗n1=(1+2m;2−3m ;m−3)
a.(P)//(d ❑2 ⇔⃗n1⊥⃗a⇔a(1+2m)+2(2−3m)−3(m−3)=0
⇔m=13+a
9−2a Thay m=13+a
(40)b.(P) (d2)⇔⃗n1//⃗a⇔1+2m
a =
2−3m
2 =
m−3
−3 ⇒m=0
Thay m=0 vào (1) ta đợc (P):x+2y-3z+1=0 Bài tập số 14:(ĐHIL-94)
Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng(d):
¿
x −2y=0
3x −2y+z −3=0 ¿{
¿
vuông góc với mặt phẳng (Q):x-2y+z-5=0 Bài giải:
Gọi (P) mặt phẳng cần tìm,ta có:
(d)(P) (P)(Q)
{
(P) chứa đờng thẳng (d) ⇒ (P) thuộc chùm mặt phẳng xác định (d) (P) có dạng :3x-2y+z-3+m(x-2y)=0 ⇔ (3+m)x-(2+2m)y+z-3=0;(1) Khi (P) có vtpt ⃗n=(3+m;−2−2m ,1)
Gäi ⃗n1=(1;−2;1) lµ métvtpt cđa (Q)
(P) (Q) ⇔n⃗.⃗n1=0⇔(3+m) 1+(−2−2m).(−2)+1 1=0⇔m=−8
5
Thay m=-
5 vào (1) ta đợc (P):7x+6y+5z-15=0
Bài tập số 15:(ĐHBK-95)
Cho họ mặt phẳng (P m ):2x+y+z-1+m(x+y+z+1)=0,m tham
s a.CMR với m,mặt phẳng (P ❑m ) qua đờng thẳng (d)
cố định
b Tìm mặt phẳng (P m ) vuông góc với mặt phẳng (P 0 ).Tính
khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng (d) Bài giải:
a.Gäi (d):
¿
2x+y+z −1=0
x+y+z+1=0 ¿{
¿
Ta thấy mặt phẳng (P ❑m ) thuộc chùm mặt phẳng tạo (d).Vậy (P ❑m ) qua đờng
thẳng (d) cố định
b Mặt phẳng (P 0 ):2x+y+z-1=0 có vtpt n0=(2;1;1)
Chuyển phơng trình (P ❑m ) vỊ d¹ng:
(P ❑m ):(2+m)x+(1+m)y+(1+m)z-1-m=0.Khi (P ❑m ) có
vtpt ⃗nm=(2+m ;1+m;1+m) V× (P ❑m ) (P ❑0 ) ⇔ ⃗
nm⊥⃗n0
⇔ 2(2+m)+1+m+1+m=0 ⇔ m= −3
2
Thay m= −3
2 vài (1) ta đợc (P
❑
−32 ):x-y-z-5=0
(41)Gäi ⃗a lµ mét vtcp cđa (d),ta cã:
1 1
¿rli ¿;
¿1
1
¿rli ¿;
¿2
1
¿ || ¿⃗a=¿
LÊy ®iĨm A(2;0;-3) (d) ⇒⃗OA=(2;0; −3)
0 -3
−1
¿rli ¿−3
1
¿rli ¿2
0 -1
¿rli ¿2
¿ ¿ || ¿√❑
¿d(0, d)=|[
⃗OA ⃗a]|
|a| =
Bài tập số 16:(ĐHXD-94)
Viết phơng trình tắc đờng thẳng qua điểm A(1;5;0) cắt hai đờng thẳng:
(d1):
2x − z −1=0
x+y −1=0
(d2): ¿3x+y −2=0
y − z −2=0 ¿{
Bài giải:
(42)
¿ ¿ ¿{
¿
¿ ¿ ¿{
¿
(43)
+ Hoạt động3(5phút) : Tìm hiểu đơn vị cờng độ điện trờng
Hoạt động học sinh Sự trợ giúp giáo viên + Nêu đơn vị E
+ Đ/n: V/m + Nêu lại đơn vị E? Dựa vào công
thøc E = U
d đ/n đơn vị E + Hoạt động (15phút) : Vận dụng giải BT CĐ ĐT điện trờng
Hoạt động học sinh Sự trợ giúp giáo viên + So sánh với BT: CĐ vật ném theo
ph-¬ng ngang + Híng dÉn h/s t×m hiĨu BT VD sgk
+Hoạt động 5(5phút): Giao nhiệm vụ nhà : Làm BT2 (sgk-58) , BT 4.31; 4.33 Tiết 25: Bài tập
Ngày soạn : 31-10-2006 Ngày giảng : 11-2006 A.Mơc tiªu
1 Kiến thức :Cơng lực điện trờng , điện , hiệu điện , mối liên hệ cờng độ điện trờng hiệu điện th
2 Kĩ : Biết áp dụng công thøc : A = qEd ; U = A
q ; E = U
d vào giải BT
B.ChuÈn bÞ :
+ GV : BT2(sgk-58) ; BT 4.31 ; 4.33 (sbt-32)
(44)