c) Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một hình vuông. d) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP luôn di động trên một đường cố định [r]
(1)20 download here
Bài 21: (LHP 2003 - 2004) Cho tam giác ABC vng A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB D, cắt AC tại E (D khác E khác điểm A).
a) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.
b) Chứng và
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn (O) Tứ giá AMOH hình gì?
d) Cho Tính diện tích tam giác HEC theo a. Hướng dẫn giài
a) Ta có nên DE đường kính đường trịn (H; HA) Suy D, H, E thẳng hàng
b) Tam giác HAD cân H nên
(2)Hơn ( phụ với góc ABC) Từ ta có:
Suy
c) Theo câu b ta có
Suy tứ giác BECD nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh góc vng) Gọi O tâm đường trịn qua điểm B, E, C, D
Vì M, H trung điểm DE BC nên Mà
Suy AM // OH OM // AH, suy tứ giác OMAH hình bình hành d) Trong tam giác vng AHC có:
Tam giác AHE cân H có nên tam giác đều, suy AE = AH = a, suy EC = AC - AE = a
Vậy
Bài 22 (LHP 2003 - 2004) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD bằng đáy lớn AB M trung điểm CD Cho biết Tính góc của hình thang.
(3)Ta có AC = BD nên ABCD hình thang cân, suy $latex \widehat{DAB} =\widehat{ABC}
Mà Nên ta có:
Gọi N trung điểm AD, ta có MN đường trung bình tam giác DAC, suy
Từ ta có tứ giác NABM tứ giác nội tiếp, suy
Mặt khác tam giác ADB cân B có BN đường trung tuyến nên đường cao, đó:
Suy
Tam giác AMN vng M có MA = MB (t/c đối xứng trục hình thang) nên tam giác vng cân, suy
Tam giác ABC cân A, suy
(4)Suy Từ ta có Và
Bài 13:(LHP 2004 - 2005)
Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O; R) Về phía ngồi tam giác dựng tam giác ACD BD cắt đường tròn E cắt đường cao AH tam giác ABC M
a) Chứng minh tứ giác ADCM nội tiếp b) Tính DE theo R
Hướng dẫn giải
a) Ta có AB = AC, OB = OC nên AO đường trung trực BC nên đường cao đường phân giác góc A
Ta có (c.g.c)
(5)Ta có AD = AC (tam giác ACD đều) AC = AB (tam giác ABC cân) suy AD = AB, tam giác ABD cân A, đó:
Từ (1) (2) ta có: tứ giác ADMC nội tiếp ( đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau)
b) Ta có
Xét tam giác AOC tam giác DEC có:
+ (ADCM tứ giác nội tiếp)
+ (cmt)
Suy
Bài 14: (PTNK AB 2006 - 2007)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn tâm O, có AC cắt BD I Biết IA = 6cm, IB = 8cm, ID = 3cm
a) Chứng minh tam giác ABC cân ) Gọi M, N trung điểm AB CD Tính độ dài đoạn MN
(6)a) Xét có:
+ (hai góc nội tiếp chắn cung BC)
+ (đối đỉnh)
Do đó:
Vậy
Khi AC = IA + IC = 10cm
Tam giác IAB vuông I, theo định lý Pytagore ta có:
(7)b) Gọi E trung điểm BC
Vì M, E trung điểm AB, BC nên ME đường trung bình tam giác ABC
Vì N, E trung điểm CD, BC nên NE đường trung bình tam giác BCD
Ta có: Và
Tam giác MEN vuông E, theo định lý Pytagore ta có:
c) IN cắt AB S
Tam giác ICD vuông I, IN đường trung tuyến nên IN = DN, cân N Mà (hai góc nội tiếp chắn cung BC)
Suy Mặt khác
Do đó: cân S
Ta có (liên hệ đường kính dây cung)
Chứng minh tương tự ta có NO // IM
Tứ giác IMON có NO // IM, MO // IN nên hình bình hành P trung điểm MN
Do
(8)a) Chứng minh
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M lưu động đường thẳng (d)
c) Xác định vị trí điểm M đường thẳng (d) cho tứ giác MNOP hình vng d) Chứng minh tâm I đường trịn nội tiếp tam giác MNP di động đường cố định M lưu động (d)
Hướng dẫn giài
a) Ta có (MN tiếp tuyến (O)) Và (MP tiếp tuyến (O))
Suy tứ giác ONMP nội tiếp, ta có
b) Vì tứ giác ONMP nội tiếp nên O thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Vậy M thay đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác MNP qua O cố định
c) Ta có MN = MP (t/ tiếp tuyến) ON = OP (1) suy OM đường trung trực NP, Tứ giác ONMP có hai đường chéo vng góc nên để hình vng hình thơi, (1) nên điều tương đương với MN = OM tam giác MON vuông cân N
d) Gọi I giao điểm OM (O) Ta có MI phân giác (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
(9)Mặt khác (góc tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung đó)
Do NI phân giác góc MNP
Vậy I giao điểm hai đường phân giác tam giác NMP nên tâm đường tròn nội tiếp tam giác I thuộc (O) cố định
Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân B nội tiếp đường trịn tâm O Trên cung AC khơng chứa B lấy hai điểm M K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM BK cắt E, đoạn thẳng KC BM cắt D Chứng minh ED song song với AC
Bài 16 (LHP 04 - 05 Đề chung) Cho tam giác ABC cân B nội tiếp đường trịn tâm O Trên cung AC khơng chứa B lấy hai điểm M K theo thứ tự A, K, M, C Các đoạn thẳng AM BK cắt E, đoạn thẳng KC BM cắt D Chứng minh ED song song với AC
Hướng dẫn giải
Ta có (góc nội tiếp chắn cung AC) (góc nội tiếp chắn cung AB) Mà (tam giác ABC cân B)
(10) download here