Khi đó phương trình (8) trở thành:.[r]
(1)MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
A, Tóm Tắt Lý Thuyết - Dạng 1: + Phương trình trùng phương dạng:
az4+bz2+c=0 , a≠ ;a , b , c∈C (1) + Phương pháp giải: Đặt t=z2 , phương trình (1) trở thành
at2
+bt+c=0
- Dạng 2: + Phương trình dạng: az4
+bz3+cz2+bz +a=0 , a ≠ 0; a , b , c∈C (2)
+ Phương pháp giải: Nhận thấy z=0 khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z2 ta : a(z2+1
z2)+b(z +
z)+c=0 Đặt t=z+1
z Khi dó phương trình (2) trở thành: at2+bt+c −2 a=0
- Dạng 3: + Phương trình dạng: az4
+bz3+cz2− bz +a=0 , a ≠ 0; a , b , c∈C (3)
+ Phương pháp giải: Nhận thấy z=0 nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z2 ta :
a(z2+1
z2)+b(z −
1
z)+c=0
Đặt t=z −1
z Khi dó phương trình (3) trở thành: at2+bt+c +2 a=0
- Dạng 4: + Phương trình dạng: az4
+bz3+cz2+dz+e=0 , a≠ ;a , b , c , d ,e∈C ;e a=(
d b)
2
(4) + Phương pháp giải: Nhận thấy z=0 nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z2 ta :
(az2+ e
z2)+(bz +
d
z)+c=0
Đặt t=z+ d
bz Khi dó phương trình (4) trở thành: abt2+b2t+cb −2 ad=0
- Dạng 5: + Phương trình dạng: z+b¿
4
=c ;a , b ;c∈ C z +a¿4+¿
¿
(5) + Phương pháp giải:
Đặt t=z+a+b
2 Khi dó phương trình (5) trở thành: 2t4+12
(a− b2 )
2
t2+2
(a− b2 )
4
=c Đặt u=t2⇒ 2u2
+12(a − b )
2
u+2(a −b )
4
(2)- Dạng 6: + Phương trình dạng: z+b¿
2
=0 ; a ,b ; c∈C z2+a¿2+¿
¿
(6) + Phương pháp giải: Phương trình (6) tương đương với:
z+b¿2⇔ ¿ z2+a=i(z+b)
¿ z2
+a=−i(z +b) ¿
z2− iz+a − bi=0
¿
z2+iz+a+bi=0 ¿
¿ ¿ ⇔¿
¿ z2
+a¿2=i2¿ ¿ ¿
- Dạng 7: + Phương trình dạng:
z+b¿4 ¿ ¿
(z2
+a)4 ¿
(7)
+ Phương pháp giải: Phương trình (7) tương đương với:
z+b¿4⇔ ¿ z+b¿2
¿ z+b¿2
¿ ⇔ z2
+a¿2=¿ ¿ z2
+a¿2=i2¿ ¿ ¿ z2
+a¿4=i4¿ ¿ ¿
z2− iz+a − bi=0 ¿
z2+iz+a+bi=0 ¿
z2− z +a − b=0
¿ z2+z +a+b=0
¿ ¿ ¿ ¿
- Dạng 8: + Phương trình dạng:
(z+a)(z +b)(z+c)(z +d )=e ;a , b , c d , e∈C ;a+b=c +d (8) + Phương pháp giải:
(3)[z2
+(a+ b)z +ab][z2+(c+ d) z+cd]=0
Đặt t=z2+(a+b)z +ab Khi phương trình (8) trở thành: t (t+cd −ab)=0⇔t2+(cd − ab)t −e=0
B, Các Ví Dụ Mẫu
Ví dụ 1: Giải phương trình: z4−(2− i)z2−2 i=0 (1) Giải : Đặt t=z2 , phương trình (1) trở thành
t2−(2− i)t −2 i=0⇔ t=2
¿ t=− i
¿ z=±i√2
¿ z=±√2
2 (−1+i) ¿
¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
Vậy phương trình có nghiệm: z=± i√2; z=±√2
2 (− 1+i) Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 z4− z3+9 z2− z+2=0 (2)
Giải : Nhận thấy z=0 khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z2 ta được:
2(z2+
z2)−7(z+
1
z)+9=0
Đặt t=z+1
z Khi dó phương trình (2) trở thành:
2t2−7 t+5=0⇔ t=1
¿ t=5
2 ¿ z=1 ±i√3
2 ¿ z=2
¿ z=1
2 ¿ ¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là: z=2 ; z=1 2; z=
1 ± i√3
(4)4(z2+
z2)−(6+10 i)(z −
z)+15 i− 8=0 Đặt t=z −1
z Khi dó phương trình (3) trở thành:
4 t2−(6+10 i)t+15 i=0⇔
t=3 ¿ t=5
2i ¿ z=2
¿ z=−1
2 ¿ z=2 i
¿ z =1
2i ¿ ¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là: z=2 ; z=−1 2; z=
i
2; z=2 i Ví dụ 4: Giải phương trình: z4−(3+i) z3+(4 +3 i) z2−2(3+i) z+ 4=0 (4)
Giải : Nhận thấy z=0 nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho z2 ta được:
(z2+4
z2)−(3+i)(z +
2
z)+4 +3 i=0
Đặt t=z+2
z Khi dó phương trình (4) trở thành:
t2−(3+i)t+3i=0⇔ t=3
¿ t=i
¿ z=1
¿ z=2
¿ z =−i
¿ z=2 i
¿ ¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
(5)Ví dụ 5: Giải phương trình : z+6¿
4
=82 z +4¿4+¿
¿
(5) Giải : Đặt t=z+5 Khi dó phương trình (5) trở thành:
t4+6 t2− 40=0⇔
t2=4 ¿ t2=± i√10
¿ z=− 3
¿ z=− 7
¿ z=−5 ± i√10
¿ ¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là: z=−3 ; z=− ; z=−5 ± i√10 Ví dụ 6: Giải phương trình: z +3¿
2
=0 z2+1¿2+¿
¿
(6)
Giải : Phương trình (6) tương đương với:
z+3¿2⇔ ¿ z2+1=i(z+3)
¿
z2+1=−i(z +3) ¿
⇔ ¿
z2− iz+1− 3i=0 ¿
z2
+iz+1+3i=0 ¿
z=1+2i ¿ z=−1 −i
¿ z=1 −i
¿ z =−1+2 i
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿ z2
+1¿2=i2¿ ¿ ¿
(6)
Ví dụ 7: Giải phương trình:
z −1¿4 ¿ ¿
(z2−1)4
¿
(7)
Giải : Phương trình (7) tương đương với:
z − 1¿4⇔ ¿ z − 1¿2
¿ z − 1¿2
¿
z2−1=2 iz−2 i
¿
z2−1=−2 iz+2 i
¿ z2− 1=2 z −2
¿ z2− 1=− z +2
¿ ¿ ¿ ⇔¿ z2−1¿2=4¿
¿ z2− 1
¿2=4 i2¿ ¿ ¿ z2−1¿4=16¿
¿ ¿
⇔
z2−2 iz −1+2 i=0 ¿
z2+2 iz −1 −2 i=0
¿ z2− z +1=0
¿ z2+2 z −3=0
¿ z=± 1
¿ z=2 i−1
¿ z=− 2i+1
¿ z=−3
¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình là: z=1 −2 i; z=−1+2 i ;z =±1 ; z=−3
Ví dụ 8: Giải phương trình: z (z+2)(z −1)(z+3)=10 (8)
Giải : Ta có:
z (z+2)(z −1)(z+3)=10⇔ (z2+2 z )(z2+2 z − 3)=0 Đặt t=z2
(7)
t2−3 t − 10=0⇔ t=−2
¿ t=5
¿ z=− 1± i
¿ z =−1 ±√6
¿ ¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
Vậy nghiệm phương trình : z=−1 ± i; z=− 1±√6