Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BO cắt AC tại M.. Vẽ hình vuông MNPQ.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm trang)
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN Ngày thi : 20 tháng năm 2008
Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu : (1,5đ) Rút gọn biểu thức P = 2009 502 2009 502
Câu : (1,5đ) Cho α góc nhọn Rút gọn biểu thức M = sin6α + cos6α + 3sin2αcos2α Câu : (1,5đ) Tìm giá trị lớn biểu thức Q = –3x 6x 272
Câu : (1,5đ) Giải hệ phương trình
2
4x + 9y = 72 xy =
Câu : (1,5đ) Giải phương trình (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12.
Câu : (1,5đ) Tam giác ABC vng A có BC = 2AB Gọi O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, BO cắt AC M Chứng minh: BM = ( 3+1).OM
Câu : (1đ) Chứng minh hai số nguyên dương a b thỏa mãn hệ thức a b 2 a b 5ab – 2
hai số gấp đơi số lại
Câu : (1,5đ) Gọi S, p r diện tích, nửa chu vi bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : S = pr
Câu : (1,5đ) Cho ba số không âm a, b c Chứng minh : a + b + c ab+ bc+ ca
Câu 10 : (1,5đ) Cho tam giác ABC cân A (A <90o), đường cao AD BE cắt tại H, biết DH = 2cm, BC = 8cm Tính diện tích tam giác ABC
Câu 11 : (1đ ) Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH (HBC) Vẽ hình vng MNPQ
cạnh a thỏa mãn M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC P, Q thuộc cạnh BC Chứng minh :
1 1
AH BC a
Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 a – 73 số phương. Câu 13 : (1,5đ) Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(x) + 3f(
1
x) = 5x với số thực x khác Gọi
M điểm thuộc trục hoành với hoành độ Chứng minh M thuộc đồ thị hàm số f(x) Câu 14 : (1,5đ) Gọi AB dây cố định đường tròn (O; R) M điểm thuộc đường tròn Chứng minh M di động đường trịn (O) trọng tâm G tam giác ABM di động đường tròn cố định
- HẾT
(2)(3)1 : (1,5đ) P = 2009 2008 2009 2008 0,25đ =
2
2008 1 2008 1
= 2008 1 2008 1 0,75đ
= 2008 1 2008 1 = 2008 1 2008 1 = 2 0,5đ Câu : (1,5đ)
M = sin6α + cos6α + 3sin2αcos2α
= (sin2α)3 + (cos2α)3 + 3sin2αcos2α 0,25đ = (sin2α + cos2α)(sin4α – sin2αcos2α + cos4α) + 3sin2αcos2α 0,25đ = sin4α + 2sin2αcos2α + cos4α (vì sin2α + cos2α = 1) 0,5đ
= (sin2α + cos2α)2 = 12 = 1 0,5đ
Câu : (1,5đ) Q = –3(x2 – 2x – 9) 0,25đ
= –3(x2 – 2x + – 10) = –3[(x – 1)2 – 10] 0,75đ = –3(x – 1)2 + 30 30 Vậy max Q = 30 x = 1 0,5đ
Câu : (1,5đ)
2
4x + 9y = 72 (1) xy = (2)
Từ (1) 4x2 – 12 xy + 9y2 = 72 – 12xy kết hợp với (2)
(2x – 3y)2 = 72 – 12.6 = 2x – 3y =0 2x = 3y 0,75đ 2x2 = 3xy = 3.6 = 18 x2 = 9
x = y =
x = y =
Vậy hệ có hai nghiệm (3; 2) (–3; –2) 0,75đ Câu : (1,5đ) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) = 12
Đặt x2 + x + = t t(t+1) = 12 t2 + t –12 = 0 0,5đ
2
2
4
t = x + x + = x= ; x = t = x + x + = (voâ nghieäm)
1,0đ
Câu : (1,5đ) Kẻ OHAB
BM BA
OM HA (định lý Talet) =
BH HA HA = BH
HA 0,75đ
Chứng minh HAO 45 o HA = HO; 0,25đ
Chứng minh HBO 30 o
o
BH
cotg30
HA = 0,25đ
Vậy
BM
3
OM BM = ( 1 ).OM (đpcm) 0,25đ
Câu : (1,0đ)
(a + b)2 + (a – b)2 = 5ab a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 5ab 0,25đ 2a2 + 2b2 – 5ab = 2a2 – 4ab + 2b2 – ab = 0 0,25đ 2a(a – 2b) + b(2b – a) = 2a(a – 2b) – b(a – 2b) = 0 0,25đ
45 30 H O M C B A
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÂM ĐỒNG KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊNNgày thi : 20 tháng năm 2008 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(4) (a – 2b)(2a – b) = a = 2b b = 2a (đpcm) 0,25đ Câu : (1,5đ)
Gọi O tâm đường tròn nội tiếp
SABC= SOAB + SOBC+ SOCA =
1r.AB+ r.BC+ r.CA1
2 2 0,75đ
= 1 r(AB+BC+CA)2 = 1 r.2p2 = pr (đpcm) 0,75đ Câu : (1,5đ) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
a b ab ; b c bc ; c a ca 0,5đ Công vế theo vế bất đẳng thức ta được:
ab + bc+ ca
a b b c c a
2 2
ab bc ca a b c
(đpcm) 1,0đ
Câu 10 : (1,5đ)
Chứng minh DEH đồng dạng DAE 0,5đ
DE2 = DA DH mà DE = 4
(trung tuyến ứng cạnh huyền BEC) 0,5đ
DA = SABC =
1
2AD.BC =
28.8 = 32 (cm2) 0,5đ
Câu 11 : (1,0đ )
Gọi K giao điểm AH MN
Chứng minh
AK MN= AH BC
AH KH MN=
AH BC
0,5đ
AH a= a AH BC
1=
a a BC AH
1 1
a BC AH (đpcm) 0,5đ Câu 12 : (1,5đ) Tìm số tự nhiên a biết a + 16 a – 73 số phương.
Vì a + 16 a – 73 số phương Đặt a + 16 = m2, a – 73 = n2
với m, n N. 0,25đ
m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 0,25đ
Vì 89 số nguyên tố m – n < m + n nên
m n m n 89
m 45 n 44 0,75đ
a +16 = 452 a = 2009 0,25đ
Câu 13 : (1,5đ)
Lấy x = f( 3) + 3f(
1
3 ) = 5 3 (1) 0,5đ
Lấy x =
1
3 f(
1
3 ) + 3f( 3) = 5
3 3f(
1
3 ) + 9f( 3) = 15
3 = 5 3 (2) 0,5đ
Trừ vế với vế (2) cho (1) 8f( 3) = f( 3) = 0
đồ thị hàm số f(x) qua điểm M( 3; 0) (đpcm) 0,5đ Câu 14 : (1,5đ)
AB cố định trung điểm D AB cố định 0,25đ
Lấy I thuộc đoạn OD cho DI = DO/3
I cố định 0,5đ
Chứng minh IG = OM/3 0,5đ
(5) G thuộc đường tròn (I, R/3) 0,25đ Chú ý: Nếu HS giải cách khác giám khảo phân bước tương ứng điểm.