Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD). 12/ Baøi 12 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình choùp S[r]
(1)BAØI 1:
TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN
I/ Tọa độ véctơ 1.Định nghĩa:
→a = (a1;a2;a3) →a = a1. i
+a2 j
+a3 k
2 Tính chất: Cho →a =(a1;a2;a3) ; b→ =(b1;b2;b3) k R ,ta có:
a →
= b →
⇔
1
2
3
a b
a b
a b
→a ± b→ =(a1 ± b1;a2 ± b2;a3 ± b3) k →a =(ka1;ka2;ka3)
III/ Tọa độ điểm
1.Định nghĩa:Cho hệ tọa độ Oxy Với điểm M tùy ý ,tọa độ véctơ OM gọi tọa độ điểm M ;ký hiệu M=(x;y;z) hay M (x;y;z)
2 Tính chất : Cho A(x1 ;y1;z1) B(x2;y2;z2) : a/ AB❑
=(x2-x1 ; y2-y1; z2-z1)
b/ Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
(tức là:MA = k.MB ) thì:
1
1
1
1 1
M
M
M
x kx x
k y ky y
k z kz z
k c/Tọa độ trung điểm I đoạn AB :
1
1
1 2 2
M
M
M
x x x
y y y
(2)BÀI 2
TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG
I/Tích vơ hướng véc tơ: 1/Định nghĩa:
Cho hai véc tơ a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3) tích vơ hướng véc tơ a, b kí hiệu a.b định nghĩa: a.b = a b a b a b1 1 2 2 3 3
2/Hệ quả:
2 2
1
a a a →a
2=
a
→
=
2 2
1
a a a
1 2 3
2 2 2
1 3
cos( , )a b a b a b a b
a a a b b b
a
b
a b a b a b1 1 2 3=0
I
I/Tích có hướng véc tơ:
1/Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho véc tơ tuỳ ý →a =(a1;a2;a3); b→ =(b1;b2;b3) Tích có hướng củ véc tơ a b véc tơ kí hiệu: a b,
định nghĩa:a b,
=
2 3 1
2 3 1
, ,
a a a a a a
b b b b b b
2/Tính chất: a
, b phương chæ a b,
=0 a b,
a
, a b,
b
a b,
= a bsin( , )a b
III/Một số ứng dụng cuả tích có hướng: 1/Diện tích tam giác :
SABC=
1 , AB AC
2/Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD=
, AB AC
3/Điều kiện đồng phẳng véc tơ:
Điều kiện cần đủ để véc tơ a, b, c đồng phẳng : a b,
.c = 4/Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’:
VABCDA’B’C’D’ =
, '
AB AD AA
5/Thể tích hình tứ diện ABCD: VABCD =
1
,
(3)BÀI 5:
PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG
1/Định nghóa:
n 0 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) n
nằm đường thẳng vng góc với(P) 2/Chú ý:
Cho vétơ a
, b không phương chúng nằm đường thẳng song song với mặt phẳng (P)hoặc nằm (P) Thì n
=[a,b ] véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Khi đó hai véc tơ a, b gọi cặp véc tơ phương mặt phẳng (P).
Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cặp AB
, AC cặp véc tơ phương mặt phẳng (ABC), n
=[AB ,AC
] véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) 3/Định nghóa phương trình mặt phẳng:
Trong khơng gian phương trình: Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C20 gọi phương trình tổng quát mặt phẳng (hay đơn giản phương trình mặt phẳng)
Chú ý:
Mặt phẳng có phương trình: Ax+By+Cz+D = n
=(A;B;C) véc tơ pháp tuyến
Mặt phẳng qua M(x;y;z) có véc tơ pháp tuyến n
=(A;B;C) có phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =
Mặt phẳng () song song với mp(') có phương trình: Ax+By+Cz+D = phương trình mặt phẳng () có dạng : Ax+By+Cz+D’ = 0
Mặt phẳng qua điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) phương trình là:
1
x y z
a b c Phương trình gọi phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng
BÀI 6:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG
II/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng :
( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α' ) : A’x + B’y + C’z + D’ =
a/ ( α ) caét ( α' ) A : B : C A’:B’:C’ b/ ( α ) ( α' ) A
A'= B B'=
C C'=
D D' c/ ( α ) // ( α' ) A
A'= B B'=
C C'≠
(4)BÀI 7:
CHÙM MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng :
( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α' ): A’x + B’y + C’z+ D’= 1/- Định lý :
Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến ( α ) ( α' ) có phương trình dạng : (Ax + By+ Cz + D)+ μ (A’x + B’y + C’z + D’) = (2) ( λ2+μ2≠0 )
Ngược lại phương trình dạng (2) phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của( α )và( α' )
2/- Định nghóa :
Tập hợp mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( α' ) gọi chùm mặt phẳng , phương trình (2) phương trình chùm mặt phẳng
BÀI 8: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I/ Phương trình tổng quát đường thẳng
Đường thẳng xem giao tuyến của hai mặt phẳng cắt ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α' ) : A’x + B’y + C’z + D’ =
Nên phương trình tổng quát đường thẳng : Ax+By+Cz+D=0
A'x+B'y+C'z+D'=0
với A2 + B2 + C2
; A’2 + B’2 + C’2 A : B : C A’ :B’ : C’ II/ Phương trình tham số đường thẳng
1/- Véctơ phương đường thằng Véctơ a
→
được gọi véctơ phương đường thẳng d đường thẳng chứa a song song trùng với d
2/ Phương trình tham số đường thẳng
Đường thẳng d qua điểm Mo (xo;yo;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) phương trình tham số :
o
2 2
o 2
o x=x +a t
y=y +a t (2) (a +a +a 0) z=z +a t
, t tham số
III/ Phương trình tắc đường thẳng
(5)o o
1
x-x =y-y =z-z
a a a
(3) với a1
2
+a22+a32≠0 Chú ý :
i/ Trường hợp số a1, a2, a3 ta viết phương trình (3) với quy ước : mẫu số tử số
ii/ Phương pháp chuyển phương trình từ dạng : a- Tham số tổng quát
* Chuyển tham số dạng tắc
* Từ cặp tỷ lệ rút phương trình mặt phẳng có mặt phẳng có phương trình đường thẳng dạng tổng qt
b- Tổng quát tham số :
* Cho x = t (hoặc y = t, z = t)
Giải hệ phương trình theo ẩn lại theo t , ta có hệ x, y, z theo t phương trình tham số cần tìm
BÀI 9:
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
I/ Vị trí tương đối hai đường thẳng : Cho đường thẳng:
d1 :
1 1
1
x-x =y-y =z-z
a a a coù véctơ phươnga
=(a1;a2;a3) d2 :
2 2
1
x-x =y-y =z-z
b b b có véctơ phương b→ =(b1;b2;b3) M1 (x1, y1, z1) d1 ; M2 (x2, y2, z2) d2
1/- d1, d2 đồng phẳng [a
, b →
].M M1
=
* d1 caét d2
1
1 3
[ , ].M M : : : : a b
a a a b b b
* d1 // d2
1
1 3 2
[ , ].M M
: : : : ( ) : ( ) : ( ) a b
a a a b b b x x y y z z
* d1 d2
1
1 3 2
[ , ].M M
: : : : ( ) : ( ) : ( ) a b
a a a b b b x x y y z z
2/- d1 cheùo d2 [a
, b →
].M M1
(6)II/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d :
0 0
1
x-x =y-y =z-z
a a a
vaø mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 1/- d caét ( α ) Aa1 + Ba2 + Ca3 (a
n
) 2/- d // α
1
o o o
A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D
3/- d α
1
o o o
A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D=0
4/- d α a1 : a2 : a3 = A : B : C
BAØI 10: KHOẢNG CÁCH
I/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cho Mo (xo;yo;zo) mp α : Ax + By + Cz + D =
o 2 o 2 o2
Ax +By +Cz +D d M , =
A +B +C
II/Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm Mo (xo, yo, zo)(), () có véctơ phương a
điểm M1 Ta có :
[M M , ]
d M , a
a
III/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo : Cho hai đường thẳng :
Đường thẳng qua Mo có véctơ phương a Đường thẳng'qua M1 có véctơ phương b→
[ , ].M M0
d , '
[ , ] a b
a b
(7)BAØI 11: GĨC I/ Góc hai đường thẳng :
Cho hai đường thẳng ,' có véctơ phương : a
=(a1;a2;a3), b→ =(b1;b2;b3) ; = ( Δ, Δ' )
Ta coù :
1 2 3
2 2 2
1 3
cos
a b a b a b a b
a b a a a b b b
Δ '
a
b→ = a1b1 + a2b2 + a3b3 = II/ Góc đường thẳng mặt phẳng :
Cho mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = có véctơ pháp tuyến n =(A; B;C) đường thẳng () có véctơ phương a
=(a1; a2; a3) Gọi góc () Ta có :
1
2 2 2
1
Aa +Ba +Ca sin =
A +B +C a +a +a
// α α Aa1 + Ba2 + Ca3 = III/ Góc hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng ( α ):Ax+By+Cz+D=0có véctơ pháp tuyến n =(A;B;C) ( α' ):A’x+B’y+C’z+D’=0 có véctơ pháp tuyến
/
n
=(A’;B’;C’) gọi ϕ góc ( α ) ( α' ) ta có :
cos ϕ = 2 2 2 AA +BB +CC A +B +C A +B +C
BAØI 12: MẶT CẦU
I/ Phương trình mặt cầu :
1/- Phương trình mặt cầu (S) tâm I (a;b;c), bán kính R : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2
* Neáu I phương trình mặt cầu :
(8)2/- Phương trình : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+d= 0
với a2 + b2 + c2 –d > phương trình mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R=
2 2
a +b +c -d
II/ Giao mặt cầu mặt phẳng :
Cho mặt caàu (S) : (x – a)2 +(y – b)2 +(z– c)2 = R2 tâm I(a;b;c) mặt phẳng ( α ) :
Ax+By+Cz+D = 0Goïi H =Ch I :
IH = d (I, ) = Aa+Bb+Cc+D
√A2
+B2+C2
+ Neáu IH < R (S) ( α )= C(H, √R2−IH2 )
Vaäy 2 2
Ax+By+Cz+D=0 (x-a) +(y-b) +(z-c) =R
với
Aa+Bb+Cc+D
√A2
+B2+C2 < R phương trình đường trịn
+ Nếu IH=R ( α ) (S)= {H} ( α ) tiếp diện (S) H
+ Nếu IH > R ( α ) (S) =
MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 12
MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG.
1/ Một số tốn tam giác, tứ giác.
Chứng minh diểm A, B, C lập thành tam giác
Ta tính toạ độ véc tơ AB, AC, rồi chứng tỏ chúng không phương toạ độ tương ứng chia
cho khác họăc [AB,AC]0
Chứng minh tam giác ABC vuông A :
Ta tính toạ độ véc tơ AB, AC, chứng tơ AB.AC.
Tìm điểm D để tứ giác ABCD lập thành hình bình hành Ta tính toạ độ véc tơ AD, BCđể tứ giác
ABCD lập thành hình bình hành :
AD
= BC toạ độ điểm D
Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC
H trực tâm tam giác ABC
,
AH BC BH AC
AB AC AH
Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2
2
,
AI BI
BI CI
AB AC AI
A D
(9)Tìm toạ độ giao điểm D cuả đường phân giác góc A với cạnh BC tam giác ABC. Ta có AB DB DC AC
điều chứng tỏ điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k =
AB AC
từ tìm toạ độ điểm D
Tìm toạ độ giao điểm E cuả đường phân giác ngồi góc A với cạnh BC tam giác ABC. Ta có AB EB EC AC
điều chứng tỏ điểm E chia đoạn BC theo tỉ số k =
AB
AC từ tìm được
toạ độ điểm E
Tính diện tich tam giác SABC =
1 , AB AC
Độ dài đường cao AH AH=
1 ,
2SABC 2 AB AC
BC BC
2/ Một số toán tứ diện.
Chứng minh diểm A, B, C, D lập thành tứ diện
Ta tính toạ độ véc tơ AB, AC, AD rồi chứng tỏ chúng không đồng phẳng [AB,AC].AD
0
Tìm toạ độ trực chân đường cao H tứ diện hạ từ A xuống mp(BCD).
Cách I/ H chân đường cao cần tìm
,
AH BC AH BD
BC BD AH
Cách II/ Lập phương trình mp(BCD), Phương trình đường thẳng qua A vng góc mp(BCD)
toạ độ điểm H nghiệm hệ:
( ) ( ) ptmp BCD ptdt
Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Cách I/ I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
2 2 2 AI BI BI CI CI DI
Cách II/ Thế toạ độ A,B,C,D vào phương trình tơng qt dạng khai triển giải hệ phương trình ẩn số A,B,C,D toạ độ tâm I(-A;-B;-C)
Thể tích tứ diện ABCD : VABCD=
1
,
6 AB AC AD
Độ dài Đường cao AH tứ diện ABCD : AH = , , ABCD BCD
AB AC AD V
S BC BD
(10)MỘT SỐ DẠNG TỐN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHĂÛNG
1/ Lập phương trình mặt phăûng qua điểm A,B,C. Chọn điểm qua A, véc tơ pháp tuyến n [AB AC, ]
2/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) vng góc đường thẳng d cho trước.
Mặt phẳng ( α ) qua M nhaän vtcp ad
đường thẳng d làm VTPT
3/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) va øsong song với mp( ): Ax +By+Cz+D=0.
Mặt phăûng ( α )//():Ax +By+Cz+D=0 ( α ) có VTPT n
=(A;B;C) Mặt khác Mp( α ) qua M Phương trình Mp( α ) : A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =
4/ Lập phương trình mặt phăûng ( ) qua M(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng ( α ) và ( ) .
Mặt phẳng () qua M nhận n
= (A;B) làm véc tơ pháp tuyến
5/ Lập phương trình mặt phăûng mp ( α ) qua M(x0;y0;z0) chứa đường thẳng d:
0
' ' ' '
Ax By Cz D A x B y C z D
Phưong trình mặt phẳng ( α ) có dạng:
m(Ax +By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’) = (với m2+n2>0)
Thay toạ độ M vào phương trình mp ( α ) chọn m.n thích hợp phương trình ( α ) 6/ Lập phương trình mặt phăûng trung trực AB.
Mặt phẳng trung trực nhận AB làm VTPT qua trung điểm I AB phương trình Mp (
α )
7/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua điểm A(a;0;0) B(0;b;0), C(0;0;c). Mặt phẳng mặt phẳng theo đoạn chắn phương trình là: 1
x y z
a b c .
(11)Mặt phẳng ( α ) qua M nhaän n a n[ , ]d
laøm VTPT.
9/Lập phương trình mặt phăûng chứa đt (d) song song với đt( ) TH1: Nếu đt(d) cho dạng tham số
Ta tìm điểm qua M VTCP (d), VTCP Lập phương trình mặt phẳng qua M có VTPT n [ ,a ad ]
TH2: Nếu đt(d) cho dạng tổng quát
Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d) Do mp ( α ) // n a .
= chọn m,n thích hợp ptr 10 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 d2:
Mặt phẳng ( α ) qua điểm qua đường thẳng nhận n [a ad1, d2]
laøm VTPT
11/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) song song với đường thẳng d1 và d2
Mặt phẳng ( α ) qua M nhận n [a ad1, d2]
laøm VTPT.
12/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) chứa đt vng góc với mp ( ) . TH1: Nếu đt cho dạng tham số
Ta tìm điểm qua M VTCP a
cuûa ( ), VTPT n
() Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M có VTPT n [ ,n a ]
TH1: Nếu đt(d) cho dạng tổng quát
Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d) Do mp ( α ) () n n .
= chọn m,n thích hợp ptr 13 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 d2:
Mặt phẳng ( α ) qua điểm qua đường thẳng nhận n [a ad1, d2]
laøm VTPT
14/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) song song với đường thẳng d1 và d2
Mặt phẳng ( α ) qua M nhận n [a ad1, d2]
làm VTPT.
15/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua A vng góc với trục ox Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến i .
16
(12)Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến n AB i,
17/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua A song song với mp(oxy) Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến k
18/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua A, B vng góc với mp(oxy) Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến n AB k,
MỘT SỐ DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THĂÛNG
1/ Đưa từ phương trình tổng quát thành phương trình tham số, tắc: Cách 1:
B1:Tìm điểm qua cách cho x y z giá trị tuỳ ý giải hệ lại toạ độ điểm qua
B2: Tìm véc tơ phương tích có hướng véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng chứa đường thẳng
B3: viết phương trình tham số tắc Cách 2:
Đặt x=t vào phương trình tổng quát, giải tìm x, y theo t giả sử x=(t), y=( )t phương trình tham số là:
( ) ( ) x t
y t
z t
1/ Đưa từ phương trình phương trình tham số, tắc tổng quát : Rút t phương trình tham số cho phương trình tắc:
o o
1
x-x =y-y =z-z
a a a
phương trình tổng quát là:
0
1
0
2
x x y y
a a
y y z z
a a
MỘT SỐ DẠNG TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH
ĐƯỜNG THĂÛNG
1/ Lập phương trình đường thăûng qua điểm A, B Đường thẳng qua A nhận AB
làm VTCP
2/ Lập phương trình đường thăûng qua điểm A vng góc với mặt phẵng ( α ) Đường thẳng qua A nhận vtpt n
(13)3 / Lập phương trình đường thăûng qua điểm A song song với giao tuyến mp ( α ) , mp ( )
Đường thẳng qua A nhận a [ ,n n ]
laøm VTCP.
4 / Lập phương trình đường thăûng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2. Lập phương trình mp ( α ) qua A d1
Lập phương trình mp () qua A d2 giao tuyến (
α
) () phương trình ( α ) ( ) ( ) ptmp ptmp Giải xong thử lại xem có cắt d1, d2 khơng?
Chú ý: Nếu d1, d2 cho dạng tổng quát nên lập phương trình ( α ) , () dùng phương trình chùm
5/ Lập phương trình đường thăûng qua A vng góc cắt đt d Lập phương trình Mp ( α ) qua A nhận vtcp ad
d làm vtpt Lập phương trình Mp () qua A chứa d
giao tuyến ( α
) () phương trình ( α ) laø ( ) ( ) ptmp ptmp
6/ Lập phương trình đường thăûng nằm mp ( α ) cắt hai đường thẳng d1, d2. Tìm giao điểm A d1 (
α
) Tọa độ A nghiệm hệ
( ) ptmp ptdtd
Tìm giao điểm B d2 ( α
).Tọa độ B nghiệm hệ
( ) ptmp ptdtd Phương trình đường thẳng Pt đường thẳng AB
7/ Lập phương trình hình chiếu đường thăûng mặt phẳng ( α ) Lập phương trình mặt phẳng () chứa vng góc ( α )
Phương trình hình chiếu hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
8/ Lập phương trình đường thăûng song song với d1 cắt d2 d3 Lập phương trình mp ( α ) chứa d2 song song với d1
Lập phương trình mp () chứa d3 song song với d1 Phương trình đt hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
9/ Lập phương trình đường thăûng đường vng góc chung đường thẳng chéo nhau d1 cắt d2.
dường vng góc chung d1 d2 vtcp a [a ad1, d2]
Lập phương trình mp ( α ) chứa d1 mp ( α ) qua điểm M d1 nhận
[ , ]d
n a a
(14) Lập phương trình mp () chứa d2 mp () qua điểm N d2 nhận
[ , ]d
n a a
laøm VTPT
Phương trình đt hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
10/ Lập phương trình đường thăûng qua giao điểm mp ( α ) d nằm ( α ) vng góc với
Tìm giao điểm A d ( α
) Toạ độ A nghiệm hệ
( ) ( ) ptmp ptdt d
Lập phương trình mặt phẳng () qua A vng góc với d
Phương trình đt hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
11 / Lập phương trình đường thăûng qua qua M vng góc với d1, cắt d2. Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với d1
Lập phương trình mp () qua M chứa d2 Phương trình đt hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
12 / Lập phương trình đường thăûng vng góc với ( α ) cắt d1 d2. Lập phương trình mp () chứa d1 vng góc với ( α )
Lập phương trình mp ( ) chứa d2 vng góc với ( α ) Phương trình đt hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
13/ Lập phương trình đường thăûng qua M vng góc với đường thẳng d1 d2. Khi qua M nhận a [a ad1, d2]
làm VTCP
14/ Lập phương trình đường thăûng qua M song song với mp( α ) vuông góc với đt (d).
Lập phương trình mặt phẳng () qua M song song với mp ( α ) Lập phương trình mp( ) qua M vng góc với
Phương trình đt hệ phương trình
( ) ( ) ptmp ptmp
MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM VÀ TÌM ĐIỂM ĐỐI XỨNG
1/ Tìm hình chiếu điểm M đường thẳng
B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với
B2:Tìm giao điểm H mp( α ) H hình chiếu M
Chú ý:
Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng ( α ) ta thường làm sau:
CI: Nếu phương trình phương trình tham số Ta thay x, y, z vào phương trình mặt phẳng
(15)CII: Nếu phương trình phương trình tổng quát ta giải hệ phương trình ba ẩn số (giải
máy tính) toạ độ giao điểm
2/ Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng ( α )
B1: Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với mp( α )
B2:Tìm giao điểm H mp( α ) H hình chiếu M
3/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng
B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với
B2:Tìm giao điểm I mp( α )
B3: M’ điểm đối xứng M qua ( α ) I trung điểm MM’ toạ độ M’ là:
'
'
'
2 2
M I M
M I M
M I M
x x x
y y y
z z z
4/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( α )
B1: Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với mp( α )
B2:Tìm giao điểm I mp( α )
B3: M’ hình chiếu M qua ( α ) I trung điểm MM’ toạ độ M’ là:
'
'
'
2 2
M I M
M I M
M I M
x x x
y y y
z z z
MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1/ Xét vị trí tương đối mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng :
( α ) : Ax + By + Cz + D = (') : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
Nếu ( α ) cắt ( α' ) A : B : C A’:B’:C’ Neáu ( α ) ( α' ) A
A'= B B'=
C C'=
D D' Neáu ( α ) // ( α' ) A
A'= B B'=
C C'≠
D D' 2/ Xét vị trí tương đối đường thẳng:
B1: Tìm VTCP, điểm qua d1: Giả sử d1 có véc tơ phươnga =(a1;a2;a3) điểm qua M1 (x1, y1, z1)
Tìm VTCP, điểm qua d2: Giả sử d2 có véctơ phương b→ =(b1;b2;b3) điểm qua M2 (x2, y2, z2)
B2: Tính [a, b →
], M M1
* d1 cheùo d2 [a
, b →
].M M1
(16)* d1 caét d2
1
1 3
[ , ].M M : : : : a b
a a a b b b
* d1 // d2
a a a1: :2 b b b1: :2 (x2 x1) : (y2 y1) : (z z2 1) * d1 d2
a a a1: :2 b b b1: :2 (x2 x1) : (y2 y1) : (z2 z1) 3/ Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d :
0 0
1
x-x =y-y =z-z
a a a
và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 1/- d caét ( α ) Aa1 + Ba2 + Ca3 (a
n
) 2/- d // α
1
o o o
A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D
3/- d α
1
o o o
A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D=0
4/- d α a1 : a2 : a3 = A : B : C
MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ MẶT CẦU
Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu. Phương pháp giải:
Cách I: Biến đổi phương trình dạng :
(x – a )2 + ( y -b)2 + (z – c ) =R2 mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R
Cách II: Đồng phương trình cho với phương trình : x2+y2 + z2 +2Ax + 2By + Cz + D = tìm A,B,C,D A2+B2+C2 -D
Phương trình cho phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C), bán kính R=
2 2
A +B C D
Dạng 2: Xác định vị trí tương đối mp ( α ) với mặt cầu C. Phương pháp giải:
B1: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (C) B2: Xác định vị trí tương đối nhờ:
Neáu d(I,( α ) ) = R ( α ) tiếp xúc (C)
Nếu d(I,( α ) ) > R ( α ) vaø (C) điểm chung Nếu d(I,( α ) ) < R ( α ) cắt (C) mặt cầu phương trình là:
( ) ( ) ptmp ptmc C
(17)Dạng 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu giao tuyến mặt phăûng ( α ) mặt cầu C (I,R).
Phương pháp giải:
Lập phương trình đường thẳng qua I vng góc với Mp ( α ) (lập phương trình tham số.)
Tâm H mặt cầu giao tuyến giao điểm mp ( α ) Toạ độ H nghiệm hệ
( ) ( ) ptmp ptmdt
Bán kính mặt cầu giao tuyến là: r = R2 IH2
Dạng 4: Xác định tiếp điểm mặt phăûng ( α ) mặt cầu C (I,R). Phương pháp giải:
Lập phương trình đường thẳng qua I vng góc với Mp ( α ) (lập phương trình tham số.)
Tiếp điểm H mp( α ) mặt cầu C (I,R) giao điểm mp ( α ) Toạ độ H nghiệm hệ
( ) ( ) ptmp ptmdt
Dạng : Lập phương trình mặt cầu Phương pháp chung:
C1 : Tìm tâm bán kính mặt cầu lập phương trình tổng quát Nếu tâm I (a; b; c), bán kính R phương trình mặt cầu :
(x – a )2 + ( y -b)2 + (z - c)2 =R2
C2 : Tìm A, B, C, D lập phương trình tổng quát dạng khai triển x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D =
Một số toán cụ thể thường gặp:
Lập phương trình mặt cầu tâm I, qua M.
Bán kính khoảng cách từ tâm I tới điểm M
Lập phương trình mặt cầu đường kính AB biết toạ độ A B Tâm trung điểm I đoạn AB Bán kính R= AI=
AB
Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) cho trước.
Bán kính mặt cầu R= d(I, ( α ) )
Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với đường thẳng cho trước.
Bán kính mặt cầu R= d(I, )
Lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C,D ( Hay ngoại tiếp tứ diện ABCD)
CI/ Thế toạ độ A, B, C, D vào phương trình:
(18)CII/Gọi I(x;y;z) tâm hình cầu giải hệ
2
2
2
AI BI
BI CI
CI DI
toạ độ tâm I, bán kính R= AI phương trình mặt cầu
Lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm nằm mp ( α ) Phương trình Mặt cầu có dạng:
x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = Thế toạ độ A, B, C vào phương trình mặt cầu, tâm I(-A,-B,-C) vào phương trình mặt phẳng ( α ) Giải hệ phương trình ẩn tìm A, B, C, D phương trình
Lập phương trình mặt cầu(S) tâm I cắt d điểm A, B cho AB=l Bán kính mặt cầu
là R=
2
[ ( , )] l d I
Lập phương trình mặt cầu(S) qua điểm A(x0;y0;z0) qua đường tròn
2
mx+ny+pz+q=0
x +y +z +2Ax+2By+2Cz+D=0 Phương trình mặt cầu (S) có dạng:
(x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D) + (mx+ny+pz+q)= (1)Với
2+2>0 Thế toạ độ A vào (1) tìm , thích hợp phương trình mặt cầu
MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1/ Bài 1 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A ( , , ) , B ( , , -2 ) mặt phẳng (P) : 3x + y + 2z – =
a/ Tìm toạ độ giao diểm M đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P)
c/ Tìm toạ độ điểm A / đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A , B vuông góc với mặt phẳng (P)
e/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)
2/ Bài 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho : Đường thẳng (D) :
2
2
x y z x z
Mặt phẳng (P) : x + y + z – =
a/ Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (D) mặt phẳng (P)
b/ Viết phương trình hình chiếu đường thẳng (D) lên mặt phẳng (P)
(19)3/ Bài 3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d) :
3
( ) :
1
x y z
(d/) :
2
2
x y
x z
a/ Chứng tỏ hai đường thẳng (d) (d/) chéo Tính khoảng cách hai
đường thẳng (d) (d/).
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song đường thẳng (d/).
c/ Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng (d) (d/).
4/ Bài 4 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho
Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – = hai đường thẳng :
1
( ) :
2
2
x y
x z
3
( ) :
1
x y z
a/ Chứng minh ( )1 (2) chéo
Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) , biết tiếp diện song song với hai đương thẳng ( )1 (2)
5/ Bài 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( , -1 ,2) , B ( , , ) , C ( , , ) , D ( , -1 , )
a/ Chưng minh bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng
b/ Gọi A/ hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương
trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A/ , B , C , D.
c/ Viết phương trình tiếp diện (S) điểm A/.
6/ Bài 6 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A , B , C , D có tọa độ xác định hệ thức: A = ( , , -1) , OB i 4j k , C ( , , ) , OD2i2j k
a/ Chứng minh AB AC , AC AD , AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung hai đường thẳng AB
CD Tính góc đường thẳng và mặt phẳng (ABD).
c/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A , B , C , D Viết phương trình tiếp
diện mặt cầu (S) song song mặt phẳng (ABD)
7/ Bài 7 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - 3y + 4z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + = 0.
(20)b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác định tọa độ tâm H bán kính r đường trịn (C)
8/ Bài 8 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , , ) , B ( , -2 , ) , C ( , , )
a/ Xác định tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành
b/ Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A , B , C
c/ Thí sinh tự chọn điểm M ( khác A , B , C ) thuộc mặt phẳng , viết phương
trình đường thẳng (d) qua điểm M vng góc với mặt phẳng
9/ Bài 9 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , ,1) , B ( , 10 , ) , C ( , , -1 ) , D ( , , -1 )
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A , B , C
b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm D vng góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (P)
10 / Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , , 0) ,B ( , , ) , C ( , , -4 )
a/ Viết phương trình tham số đường thẳng AB
b/ Viết phương trình mặt phẳng qua điểm C vng góc với đường thẳng AB
Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng
11 / Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho :x y z 1 0 đường thẳng (d) :
1
1 1
x y z
a/ Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến mặt phẳng với
các mặt phẳng tọa độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết A , B , C giao điểm tương ứng mặt phẳng với trục tọa độ Ox , Oy , Oz, D giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy
b/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A , B , C , D Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD)
12/ Bài 12 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A ( , , ) , B ( , , ) , S Gọi M trung điểm cạnh SC
a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM
b/ Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S ABMN
(21)13/ Bài 13 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A ( - , - , ) đường
thaúng (d) :
3
1
x t
y t
z t
Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (d)
( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 Khối B ) 14/ Bài 14 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , ,1) , B ( , , ) , C ( , , ) mặt phẳng (P) : x + y + z – =
Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A , B , C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 Khối D )
15/ Bài 15 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d)
1
:
3
x y z
d
và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + =
a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Viết phương trình
tham số đường thẳng nằm (P) , biết đi qua A vng góc (d).
( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 Khối A ) 16/ Bài 16 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1
với A ( ; -3 ; ) , B ( ; ; ) , C ( ; ; ) , B1 ( ; ; )
a/ Tìm tọa độ đỉnh A1 , C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với
mặt phẳng ( BCC1B1)
b/ Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua hai ñieåm A , M
và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài
MN
( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 Khối B ) 17/ Bài 17 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
1
:
3
x y z
d
vaø
2 :
3 12
x y z d
x y
a/ Chứng minh d1 d2 song song Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
hai đường thẳng d1 d2
b/ Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 d2 tai điểm A B