on tap Hinh hoc lop 12 hoc ky 2

Xaùc ñònh toïa ñoä taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn giao tuyeán cuûa maët caàu (S) vôùi maët phaúng (ACD). 12/ Baøi 12 : Trong khoâng gian vôùi heä toaï ñoä Oxyz cho hình choùp S[r]

BAØI 1:

TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TOẠ ĐỘ ĐIỂM

TRONG KHÔNG GIAN

I/ Tọa độ véctơ 1.Định nghĩa:

→a = (a1;a2;a3)  →a = a1. i 

+a2 j 

+a3 k

2 Tính chất: Cho →a =(a1;a2;a3) ; b→ =(b1;b2;b3) k R ,ta có:

 a →

= b →

⇔

1

2

3

a b

a b

a b

  

 

 



 →a ± b→ =(a1 ± b1;a2 ± b2;a3 ± b3)  k →a =(ka1;ka2;ka3)

III/ Tọa độ điểm

1.Định nghĩa:Cho hệ tọa độ Oxy Với điểm M tùy ý ,tọa độ véctơ OM gọi tọa độ điểm M ;ký hiệu M=(x;y;z) hay M (x;y;z)

2 Tính chất : Cho A(x1 ;y1;z1) B(x2;y2;z2) : a/ AB❑

=(x2-x1 ; y2-y1; z2-z1)

b/ Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k

(tức là:MA = k.MB ) thì:

 



 



 

 

 

 



 



1

1

1

1 1

M

M

M

x kx x

k y ky y

k z kz z

k c/Tọa độ trung điểm I đoạn AB :

 

  

 

  

 

  

1

1

1 2 2

M

M

M

x x x

y y y

BÀI 2

TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG

I/Tích vơ hướng véc tơ: 1/Định nghĩa:

Cho hai véc tơ a=(a1;a2;a3), b=(b1;b2;b3) tích vơ hướng véc tơ a, b kí hiệu a.b định nghĩa: a.b = a b a b a b1 1 2 2 3 3

2/Hệ quả:

  

2 2

1

a a a →a

2=

  a

→

 =  

2 2

1

a a a





   



   

1 2 3

2 2 2

1 3

cos( , )a b a b a b a b

a a a b b b

 a

 b



 a b a b a b1 1 2 3=0

I

I/Tích có hướng véc tơ:

1/Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho véc tơ tuỳ ý →a =(a1;a2;a3); b→ =(b1;b2;b3) Tích có hướng củ véc tơ a b véc tơ kí hiệu: a b, 

 

định nghĩa:a b,   

=

2 3 1

2 3 1

, ,

a a a a a a

b b b b b b

      2/Tính chất:  a 

, b phương chæ a b,   

=0  a b,

 

 

   a



, a b,   

 b 

 a b,

 

 

 

= a bsin( , )a b

   

III/Một số ứng dụng cuả tích có hướng: 1/Diện tích tam giác :

SABC=

1 , AB AC

                           

2/Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD=

, AB AC

 

 

 

3/Điều kiện đồng phẳng véc tơ:

Điều kiện cần đủ để véc tơ a, b, c đồng phẳng : a b,   

.c = 4/Thể tích hình hộp ABCDA’B’C’D’:

VABCDA’B’C’D’ =

, '

AB AD AA

                                             

5/Thể tích hình tứ diện ABCD: VABCD =

1

,

BÀI 5:

PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

1/Định nghóa:

n 0 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P)

n



nằm đường thẳng vng góc với(P) 2/Chú ý:

 Cho vétơ a 

, b không phương chúng nằm đường thẳng song song với mặt phẳng (P)hoặc nằm (P) Thì

n



=[a,b ] véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Khi đó hai véc tơ a, b gọi cặp véc tơ phương mặt phẳng (P).

 Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cặp AB



, AC cặp véc tơ phương mặt phẳng (ABC),

n



=[AB ,AC 

] véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) 3/Định nghóa phương trình mặt phẳng:

Trong khơng gian phương trình: Ax+By+Cz+D=0 với A2+B2+C2



0 gọi phương trình tổng quát mặt phẳng (hay đơn giản phương trình mặt phẳng)

Chú ý:

 Mặt phẳng có phương trình: Ax+By+Cz+D =

n



=(A;B;C) véc tơ pháp tuyến

 Mặt phẳng qua M(x;y;z) có véc tơ pháp tuyến

n



=(A;B;C) có phương trình là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =

 Mặt phẳng () song song với mp(') có phương trình: Ax+By+Cz+D = phương trình mặt phẳng () có dạng : Ax+By+Cz+D’ = 0

 Mặt phẳng qua điểm A(a;0;0) B(0;b;0) C(0;0;c) phương trình là:

  1

x y z

a b c Phương trình gọi phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng

BÀI 6:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG

II/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α' ) : A’x + B’y + C’z + D’ =

a/ ( α ) caét ( α' )  A : B : C  A’:B’:C’ b/ ( α )  ( α' )  A

A'= B B'=

C C'=

D D' c/ ( α ) // ( α' )  A

A'= B B'=

C C'≠

BÀI 7:

CHÙM MẶT PHẲNG

Cho mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α' ): A’x + B’y + C’z+ D’= 1/- Định lý :

Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến ( α ) ( α' ) có phương trình dạng : (Ax + By+ Cz + D)+ μ (A’x + B’y + C’z + D’) = (2) ( λ2+μ2≠0 )

Ngược lại phương trình dạng (2) phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của( α )và( α' )

2/- Định nghóa :

Tập hợp mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) ( α' ) gọi chùm mặt phẳng , phương trình (2) phương trình chùm mặt phẳng

BÀI 8:

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

I/ Phương trình tổng quát đường thẳng

Đường thẳng xem giao tuyến của hai mặt phẳng cắt ( α ) : Ax + By + Cz + D = ( α' ) : A’x + B’y + C’z + D’ =

Nên phương trình tổng quát đường thẳng : Ax+By+Cz+D=0

A'x+B'y+C'z+D'=0 

 

với A2 + B2 + C2

 ; A’2 + B’2 + C’2 A : B : C  A’ :B’ : C’ II/ Phương trình tham số đường thẳng

1/- Véctơ phương đường thằng Véctơ a

→

được gọi véctơ phương đường thẳng d đường thẳng chứa a song song trùng với d

2/ Phương trình tham số đường thẳng

Đường thẳng d qua điểm Mo (xo;yo;zo) có vtcp a = (a1;a2;a3) phương trình tham số :

o

2 2

o 2

o x=x +a t

y=y +a t (2) (a +a +a 0) z=z +a t

 

 



 , t tham số

III/ Phương trình tắc đường thẳng

o o

1

x-x =y-y =z-z

a a a

(3) với a1

2

+a22+a32≠0 Chú ý :

i/ Trường hợp số a1, a2, a3 ta viết phương trình (3) với quy ước : mẫu số tử số

ii/ Phương pháp chuyển phương trình từ dạng : a- Tham số tổng quát

* Chuyển tham số dạng tắc

* Từ cặp tỷ lệ rút phương trình mặt phẳng  có mặt phẳng  có phương trình đường thẳng dạng tổng qt

b- Tổng quát tham số :

* Cho x = t (hoặc y = t, z = t)

 Giải hệ phương trình theo ẩn lại theo t , ta có hệ x, y, z theo t phương trình tham số cần tìm

BÀI 9:

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG,

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I/ Vị trí tương đối hai đường thẳng : Cho đường thẳng:

d1 :

1 1

1

x-x =y-y =z-z

a a a coù véctơ phươnga

=(a1;a2;a3) d2 :

2 2

1

x-x =y-y =z-z

b b b có véctơ phương b→ =(b1;b2;b3) M1 (x1, y1, z1)  d1 ; M2 (x2, y2, z2)  d2

1/- d1, d2 đồng phẳng  [a 

, b →

].M M1  

=

* d1 caét d2 

1

1 3

[ , ].M M : : : : a b

a a a b b b

   



 



 

 * d1 // d2



1

1 3 2

[ , ].M M

: : : : ( ) : ( ) : ( ) a b

a a a b b b x x y y z z

   



 



     

 * d1  d2



1

1 3 2

[ , ].M M

: : : : ( ) : ( ) : ( ) a b

a a a b b b x x y y z z

   



 



     



2/- d1 cheùo d2  [a 

, b →

].M M1  

II/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d :

0 0

1

x-x =y-y =z-z

a a a

vaø mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 1/- d caét ( α )  Aa1 + Ba2 + Ca3  (a

  n

 ) 2/- d // α 

1

o o o

A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D 



 

3/- d  α



1

o o o

A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D=0 

 

4/- d  α  a1 : a2 : a3 = A : B : C

BAØI 10:

KHOẢNG CÁCH

I/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cho Mo (xo;yo;zo) mp α : Ax + By + Cz + D =

 





o 2 o 2 o2

Ax +By +Cz +D d M , =

A +B +C 

II/Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm Mo (xo, yo, zo)(), () có véctơ phương a



điểm M1 Ta có :





[M M , ]

d M , a

a   

  

III/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo : Cho hai đường thẳng :

Đường thẳng  qua Mo có véctơ phương a  Đường thẳng'qua M1 có véctơ phương b→





[ , ].M M0

d , '

[ , ] a b

a b    

BAØI 11:

GĨC

I/ Góc hai đường thẳng :

Cho hai đường thẳng ,' có véctơ phương : a 

=(a1;a2;a3), b→ =(b1;b2;b3) ;  = ( Δ, Δ' )

Ta coù :

1 2 3

2 2 2

1 3

cos

a b a b a b a b

a b a a a b b b



 

 

 

 

   

 Δ '

 a 

b→ =  a1b1 + a2b2 + a3b3 = II/ Góc đường thẳng mặt phẳng :

Cho mặt phẳng

 

 : Ax + By + Cz + D = có véctơ pháp tuyến n =(A; B;C) đường thẳng () có véctơ phương a



=(a1; a2; a3) Gọi  góc ()

 

 Ta có :

1

2 2 2

1

Aa +Ba +Ca sin =

A +B +C a +a +a 

// α  α  Aa1 + Ba2 + Ca3 = III/ Góc hai mặt phẳng :

Cho hai mặt phẳng ( α ):Ax+By+Cz+D=0có véctơ pháp tuyến

n

 =(A;B;C) ( α' ):A’x+B’y+C’z+D’=0 có véctơ pháp tuyến

/

n



=(A’;B’;C’) gọi ϕ góc ( α ) ( α' ) ta có :

cos ϕ = 2 2 2 AA +BB +CC A +B +C A +B +C

  

  

BAØI 12:

MẶT CẦU

I/ Phương trình mặt cầu :

1/- Phương trình mặt cầu (S) tâm I (a;b;c), bán kính R : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

* Neáu I  phương trình mặt cầu :

2/- Phương trình : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+d= 0

với a2 + b2 + c2 –d > phương trình mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R=

2 2

a +b +c -d

II/ Giao mặt cầu mặt phẳng :

Cho mặt caàu (S) : (x – a)2 +(y – b)2 +(z– c)2 = R2 tâm I(a;b;c) mặt phẳng ( α ) :

Ax+By+Cz+D = 0Goïi H =Ch I  :

IH = d (I,

 

 ) =



Aa+Bb+Cc+D



√

A2

+B2+C2

+ Neáu IH < R (S)  ( α )=

C

(H,

√

R2−IH2 )

Vaäy 2 2

Ax+By+Cz+D=0 (x-a) +(y-b) +(z-c) =R 



 với



Aa+Bb+Cc+D



√

A2

+B2+C2 < R phương trình đường trịn

+ Nếu IH=R ( α )  (S)= {H}  ( α ) tiếp diện (S) H

+ Nếu IH > R ( α )  (S) = 

MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN

CỦA HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 12

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TOẠ ĐỘ ĐIỂM TOẠ ĐỘ VÉC TƠ, TÍCH VƠ HƯỚNG, TÍCH CĨ HƯỚNG.

1/ Một số tốn tam giác, tứ giác.

 Chứng minh diểm A, B, C lập thành tam giác

Ta tính toạ độ véc tơ AB, AC, rồi chứng tỏ chúng không phương  toạ độ tương ứng chia

cho khác họăc [AB,AC]0

 Chứng minh tam giác ABC vuông A :

Ta tính toạ độ véc tơ AB, AC, chứng tơ AB.AC.

 Tìm điểm D để tứ giác ABCD lập thành hình bình hành Ta tính toạ độ véc tơ AD, BCđể tứ giác

ABCD lập thành hình bình hành :

AD



= BC  toạ độ điểm D

 Tìm toạ độ trực tâm tam giác ABC

H trực tâm tam giác ABC 

,

AH BC BH AC

AB AC AH

 

 

 



  

 

    

  

 Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

2

2

,

AI BI

BI CI

AB AC AI

 

 

  

  

 



  

A D

Tìm toạ độ giao điểm D cuả đường phân giác góc A với cạnh BC tam giác ABC. Ta có AB DB DC AC   

điều chứng tỏ điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k =

AB AC



từ tìm toạ độ điểm D

Tìm toạ độ giao điểm E cuả đường phân giác ngồi góc A với cạnh BC tam giác ABC. Ta có AB EB EC AC   

điều chứng tỏ điểm E chia đoạn BC theo tỉ số k =

AB

AC từ tìm được

toạ độ điểm E

 Tính diện tich tam giác SABC =

1 , AB AC

 

 Độ dài đường cao AH AH=

1 ,

2SABC 2 AB AC

BC BC

 

 



 

2/ Một số toán tứ diện.

 Chứng minh diểm A, B, C, D lập thành tứ diện

Ta tính toạ độ véc tơ AB, AC, AD rồi chứng tỏ chúng không đồng phẳng  [AB,AC].AD

0

 Tìm toạ độ trực chân đường cao H tứ diện hạ từ A xuống mp(BCD).

Cách I/ H chân đường cao cần tìm 

,

AH BC AH BD

BC BD AH

                   

Cách II/ Lập phương trình mp(BCD), Phương trình đường thẳng  qua A vng góc mp(BCD)

toạ độ điểm H nghiệm hệ:

( ) ( ) ptmp BCD ptdt    

 Tìm toạ độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Cách I/ I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

2 2 2 AI BI BI CI CI DI        

Cách II/ Thế toạ độ A,B,C,D vào phương trình tơng qt dạng khai triển giải hệ phương trình ẩn số A,B,C,D  toạ độ tâm I(-A;-B;-C)

 Thể tích tứ diện ABCD : VABCD=

1

,

6 AB AC AD   

 Độ dài Đường cao AH tứ diện ABCD : AH = , , ABCD BCD

AB AC AD V

S BC BD

MỘT SỐ DẠNG TỐN

LẬP PHƯƠNG TRÌNH

MẶT PHĂÛNG

1/ Lập phương trình mặt phăûng qua điểm A,B,C. Chọn điểm qua A, véc tơ pháp tuyến n [AB AC, ]

 

 

2/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) vng góc đường thẳng d cho trước.

Mặt phẳng ( α ) qua M nhaän vtcp ad 

đường thẳng d làm VTPT

3/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) va øsong song với mp( ): Ax +By+Cz+D=0.

Mặt phăûng ( α )//():Ax +By+Cz+D=0  ( α ) có VTPT n 

=(A;B;C) Mặt khác Mp( α ) qua M  Phương trình Mp( α ) : A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) =

4/ Lập phương trình mặt phăûng ( ) qua M(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng ( α ) và (  ) .

Mặt phẳng () qua M nhận n 

= (A;B) làm véc tơ pháp tuyến

5/ Lập phương trình mặt phăûng mp ( α ) qua M(x0;y0;z0) chứa đường thẳng d:

0

' ' ' '

Ax By Cz D A x B y C z D

   

 

   



 Phưong trình mặt phẳng ( α ) có dạng:

m(Ax +By+Cz+D)+n(A’x+B’y+C’z+D’) = (với m2+n2>0)

 Thay toạ độ M vào phương trình mp ( α ) chọn m.n thích hợp  phương trình ( α ) 6/ Lập phương trình mặt phăûng trung trực AB.

Mặt phẳng trung trực nhận AB làm VTPT qua trung điểm I AB  phương trình Mp (

α )

7/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua điểm A(a;0;0) B(0;b;0), C(0;0;c). Mặt phẳng mặt phẳng theo đoạn chắn phương trình là:   1

x y z

a b c .

Mặt phẳng ( α ) qua M nhaän

n a n

[ , ]

d  



 

laøm VTPT.

9/Lập phương trình mặt phăûng chứa đt (d) song song với đt( ) TH1: Nếu đt(d) cho dạng tham số

 Ta tìm điểm qua M VTCP (d), VTCP   Lập phương trình mặt phẳng qua M có VTPT n [ ,a ad ]



    TH2: Nếu đt(d) cho dạng tổng quát

 Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d)  Do mp ( α ) // 

n a



.

 



= chọn m,n thích hợp  ptr 10 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 d2:

Mặt phẳng ( α ) qua điểm qua đường thẳng nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

laøm VTPT

11/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) song song với đường thẳng d1 và d2

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

laøm VTPT.

12/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) chứa đt  vng góc với mp ( ) . TH1: Nếu đt  cho dạng tham số

 Ta tìm điểm qua M VTCP a



cuûa ( ), VTPT

n





()  Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M có VTPT n [ ,n a ]



    TH1: Nếu đt(d) cho dạng tổng quát

 Lập phương trình mặt phăûng ( α ) dạng chùm mặt phẳng chứa đt(d)  Do mp ( α )  () 

n n



.







= chọn m,n thích hợp  ptr 13 / Lập phương trình mặt phăûng chứa d1 d2:

Mặt phẳng ( α ) qua điểm qua đường thẳng nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

laøm VTPT

14/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua M(x0;y0;z0) song song với đường thẳng d1 và d2

Mặt phẳng ( α ) qua M nhận

n

[

a a

d1, d2

]





 

làm VTPT.

15/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua A vng góc với trục ox Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến i .

16

Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến n AB i, 

 

               

17/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua A song song với mp(oxy) Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến k

18/ Lập phương trình mặt phăûng ( α ) qua A, B vng góc với mp(oxy) Khi ( α ) qua A có véc tơ pháp tuyến n AB k,



 

 

 

MỘT SỐ DẠNG TỐN CHUYỂN ĐỔI CÁC DẠNG PHƯƠNG

TRÌNH ĐƯỜNG THĂÛNG

1/ Đưa từ phương trình tổng quát thành phương trình tham số, tắc:

Cách 1:

B1:Tìm điểm qua cách cho x y z giá trị tuỳ ý giải hệ lại  toạ độ điểm qua

B2: Tìm véc tơ phương tích có hướng véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng chứa đường thẳng

B3: viết phương trình tham số tắc Cách 2:

Đặt x=t vào phương trình tổng quát, giải tìm x, y theo t giả sử x=(t), y=( )t  phương trình tham số là:

( ) ( ) x t

y t

z t

    

    

1/ Đưa từ phương trình phương trình tham số, tắc tổng quát :

Rút t phương trình tham số cho



phương trình tắc:

o o

1

x-x =y-y =z-z

a a a



phương trình tổng quát là:

0

1

0

2

x x y y

a a

y y z z

a a

 



 

 

 

 

 

MỘT SỐ DẠNG TOÁN

LẬP PHƯƠNG TRÌNH

ĐƯỜNG THĂÛNG

1/ Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A, B Đường thẳng  qua A nhận AB



làm VTCP

2/ Lập phương trình đường thăûng qua điểm A vng góc với mặt phẵng ( α ) Đường thẳng  qua A nhận vtpt n



3 / Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A song song với giao tuyến mp ( α ) , mp ( )

Đường thẳng  qua A nhận a [ ,n n ]



   laøm VTCP.

4 / Lập phương trình đường thăûng  qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2.  Lập phương trình mp ( α ) qua A d1

 Lập phương trình mp () qua A d2   giao tuyến (

α

) ()  phương trình ( α ) ( ) ( ) ptmp ptmp       Giải xong thử lại xem  có cắt d1, d2 khơng?

Chú ý: Nếu d1, d2 cho dạng tổng quát nên lập phương trình ( α ) , () dùng phương trình chùm

5/ Lập phương trình đường thăûng  qua A vng góc cắt đt d  Lập phương trình Mp ( α ) qua A nhận vtcp ad



d làm vtpt  Lập phương trình Mp () qua A chứa d

  giao tuyến ( α

) ()  phương trình ( α ) laø ( ) ( ) ptmp ptmp     

6/ Lập phương trình đường thăûng  nằm mp ( α ) cắt hai đường thẳng d1, d2.  Tìm giao điểm A d1 (

α

) Tọa độ A nghiệm hệ

( ) ptmp ptdtd    

 Tìm giao điểm B d2 ( α

).Tọa độ B nghiệm hệ

( ) ptmp ptdtd      Phương trình đường thẳng  Pt đường thẳng AB

7/ Lập phương trình hình chiếu đường thăûng  mặt phẳng ( α )  Lập phương trình mặt phẳng () chứa  vng góc ( α )

 Phương trình hình chiếu hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp     

8/ Lập phương trình đường thăûng  song song với d1 cắt d2 d3  Lập phương trình mp ( α ) chứa d2 song song với d1

 Lập phương trình mp () chứa d3 song song với d1  Phương trình đt  hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp     

9/ Lập phương trình đường thăûng  đường vng góc chung đường thẳng chéo nhau d1 cắt d2.

  dường vng góc chung d1 d2  vtcp  a [a ad1, d2]                               

 Lập phương trình mp ( α ) chứa d1  mp ( α ) qua điểm M d1 nhận

[ , ]

d

n a a

 

 Lập phương trình mp () chứa d2  mp () qua điểm N d2 nhận

[ , ]

d

n





a a



 

laøm VTPT

 Phương trình đt  hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp

  

 

10/ Lập phương trình đường thăûng  qua giao điểm mp ( α ) d nằm ( α ) vng góc với 

 Tìm giao điểm A d ( α

) Toạ độ A nghiệm hệ

( ) ( ) ptmp ptdt d

 

   Lập phương trình mặt phẳng () qua A vng góc với d

 Phương trình đt  hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp

  

 

11 / Lập phương trình đường thăûng qua  qua M vng góc với d1, cắt d2.  Lập phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với d1

 Lập phương trình mp () qua M chứa d2  Phương trình đt  hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp

  

 

12 / Lập phương trình đường thăûng  vng góc với ( α ) cắt d1 d2.  Lập phương trình mp () chứa d1 vng góc với ( α )

 Lập phương trình mp ( ) chứa d2 vng góc với ( α )  Phương trình đt  hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp

  

 

13/ Lập phương trình đường thăûng  qua M vng góc với đường thẳng d1 d2. Khi  qua M nhận a [a ad1, d2]



   làm VTCP

14/ Lập phương trình đường thăûng  qua M song song với mp( α ) vuông góc với đt (d).

 Lập phương trình mặt phẳng () qua M song song với mp ( α )  Lập phương trình mp( ) qua M vng góc với 

 Phương trình đt  hệ phương trình

( ) ( ) ptmp ptmp

  

 

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM VÀ TÌM

ĐIỂM ĐỐI XỨNG

1/ Tìm hình chiếu điểm M đường thẳng 

B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với 

B2:Tìm giao điểm H  mp( α )  H hình chiếu M 

Chú ý:

Tìm giao điểm đường thẳng  mặt phẳng ( α ) ta thường làm sau:

CI: Nếu phương trình  phương trình tham số Ta thay x, y, z vào phương trình mặt phẳng

CII: Nếu phương trình  phương trình tổng quát ta giải hệ phương trình ba ẩn số (giải

máy tính)  toạ độ giao điểm

2/ Tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng ( α )

B1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với mp( α )

B2:Tìm giao điểm H  mp( α )  H hình chiếu M 

3/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng 

B1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M vng góc với 

B2:Tìm giao điểm I  mp( α )

B3: M’ điểm đối xứng M qua ( α ) I trung điểm MM’  toạ độ M’ là:

'

'

'

2 2

M I M

M I M

M I M

x x x

y y y

z z z

 

 

 



  



4/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ( α )

B1: Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với mp( α )

B2:Tìm giao điểm I  mp( α )

B3: M’ hình chiếu M qua ( α ) I trung điểm MM’  toạ độ M’ là:

'

'

'

2 2

M I M

M I M

M I M

x x x

y y y

z z z

 

 

 



  



MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

1/ Xét vị trí tương đối mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng :

( α ) : Ax + By + Cz + D = (



') : A/x + B/y + C/z + D/ = 0

Nếu ( α ) cắt ( α' )  A : B : C  A’:B’:C’ Neáu ( α )  ( α' )  A

A'= B B'=

C C'=

D D' Neáu ( α ) // ( α' )  A

A'= B B'=

C C'≠

D D' 2/ Xét vị trí tương đối đường thẳng:

B1: Tìm VTCP, điểm qua d1: Giả sử d1 có véc tơ phươnga =(a1;a2;a3) điểm qua M1 (x1, y1, z1)

Tìm VTCP, điểm qua d2: Giả sử d2 có véctơ phương b→ =(b1;b2;b3) điểm qua M2 (x2, y2, z2)

B2: Tính [a, b →

], M M1  

* d1 cheùo d2  [a 

, b →

].M M1  

* d1 caét d2 

1

1 3

[ , ].M M : : : : a b

a a a b b b

   



 



 

 * d1 // d2

 a a a1: :2 b b b1: :2 (x2 x1) : (y2  y1) : (z z2 1) * d1  d2



a a a

1

: :

2



b b b

1

: :

2



(

x

2



x

1

) : (

y

2



y

1

) : (

z

2



z

1

)

3/ Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: Cho đường thẳng d :

0 0

1

x-x =y-y =z-z

a a a

và mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 1/- d caét ( α )  Aa1 + Ba2 + Ca3  (a

  n

 ) 2/- d // α 

1

o o o

A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D 



 

3/- d  α



1

o o o

A.a + B.a + C.a =0 A.x +B.y +C.z +D=0 

 

4/- d  α  a1 : a2 : a3 = A : B : C

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ MẶT CẦU

Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu. Phương pháp giải:

 Cách I: Biến đổi phương trình dạng :

 (x – a )2 + ( y -b)2 + (z – c ) =R2  mặt cầu có tâm I (a;b;c) bán kính R

 Cách II: Đồng phương trình cho với phương trình : x2+y2 + z2 +2Ax + 2By + Cz + D = tìm A,B,C,D A2+B2+C2 -D



 Phương trình cho phương trình mặt cầu tâm I(-A; -B; -C), bán kính R=

 

2 2

A +B C D

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối mp ( α ) với mặt cầu C. Phương pháp giải:

B1: Xác định tâm I bán kính R mặt cầu (C) B2: Xác định vị trí tương đối nhờ:

 Neáu d(I,( α ) ) = R  ( α ) tiếp xúc (C)

 Nếu d(I,( α ) ) > R  ( α ) vaø (C) điểm chung  Nếu d(I,( α ) ) < R  ( α ) cắt (C) mặt cầu phương trình là:

( ) ( ) ptmp ptmc C

 

Dạng 3: Xác định tâm bán kính mặt cầu giao tuyến mặt phăûng ( α ) mặt cầu C (I,R).

Phương pháp giải:

 Lập phương trình đường thẳng  qua I vng góc với Mp ( α ) (lập phương trình tham số.)

 Tâm H mặt cầu giao tuyến giao điểm  mp ( α ) Toạ độ H nghiệm hệ

( ) ( ) ptmp ptmdt

 



 

 Bán kính mặt cầu giao tuyến là: r = R2 IH2

Dạng 4: Xác định tiếp điểm mặt phăûng ( α ) mặt cầu C (I,R). Phương pháp giải:

 Lập phương trình đường thẳng  qua I vng góc với Mp ( α ) (lập phương trình tham số.)

 Tiếp điểm H mp( α ) mặt cầu C (I,R) giao điểm  mp ( α ) Toạ độ H nghiệm hệ

( ) ( ) ptmp ptmdt

 



 

Dạng : Lập phương trình mặt cầu Phương pháp chung:

 C1 : Tìm tâm bán kính mặt cầu lập phương trình tổng quát Nếu tâm I (a; b; c), bán kính R phương trình mặt cầu :

(x – a )2 + ( y -b)2 + (z - c)2 =R2

 C2 : Tìm A, B, C, D lập phương trình tổng quát dạng khai triển x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D =

Một số toán cụ thể thường gặp:

 Lập phương trình mặt cầu tâm I, qua M.

Bán kính khoảng cách từ tâm I tới điểm M

 Lập phương trình mặt cầu đường kính AB biết toạ độ A B Tâm trung điểm I đoạn AB Bán kính R= AI=

AB

 Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) cho trước.

Bán kính mặt cầu R= d(I, ( α ) )

 Lập phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với đường thẳng  cho trước.

Bán kính mặt cầu R= d(I,  )

 Lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C,D ( Hay ngoại tiếp tứ diện ABCD)

CI/ Thế toạ độ A, B, C, D vào phương trình:

CII/Gọi I(x;y;z) tâm hình cầu giải hệ

2

2

2

AI BI

BI CI

CI DI

 

  

 



 toạ độ tâm I, bán kính R= AI  phương trình mặt cầu

 Lập phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm nằm mp ( α ) Phương trình Mặt cầu có dạng:

x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D = Thế toạ độ A, B, C vào phương trình mặt cầu, tâm I(-A,-B,-C) vào phương trình mặt phẳng ( α ) Giải hệ phương trình ẩn tìm A, B, C, D  phương trình

 Lập phương trình mặt cầu(S) tâm I cắt d điểm A, B cho AB=l Bán kính mặt cầu

là R=

2

[ ( , )] l d I     

 

 Lập phương trình mặt cầu(S) qua điểm A(x0;y0;z0) qua đường tròn 



 2

mx+ny+pz+q=0

x +y +z +2Ax+2By+2Cz+D=0 Phương trình mặt cầu (S) có dạng:

 (x2+y2 +z2+2Ax + 2By +2Cz + D) + (mx+ny+pz+q)= (1)Với

2+2>0 Thế toạ độ A vào (1) tìm ,  thích hợp  phương trình mặt cầu

MỘT SỐ BÀI TẬP LUYỆN TẬP

1/ Bài 1 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm A ( , , ) , B ( , , -2 ) mặt phẳng (P) : 3x + y + 2z – =

a/ Tìm toạ độ giao diểm M đường thẳng AB với mặt phẳng (P)

b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P)

c/ Tìm toạ độ điểm A / đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).

d/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua hai điểm A , B vuông góc với mặt phẳng (P)

e/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P)

2/ Bài 2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho : Đường thẳng (D) :

2

2

x y z x z

   

 

  



Mặt phẳng (P) : x + y + z – =

a/ Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (D) mặt phẳng (P)

b/ Viết phương trình hình chiếu đường thẳng (D) lên mặt phẳng (P)

3/ Bài 3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng : (d) :

3

( ) :

1

x y z

  

(d/) :

2

2

x y

x z

  

 

 



a/ Chứng tỏ hai đường thẳng (d) (d/) chéo Tính khoảng cách hai

đường thẳng (d) (d/).

b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song đường thẳng (d/).

c/ Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng (d) (d/).

4/ Bài 4 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho

Mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z – = hai đường thẳng :

1

( ) :

2

2

x y

x z

  

 

 



3

( ) :

1

x y z

  

a/ Chứng minh ( )1 (2) chéo

Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S) , biết tiếp diện song song với hai đương thẳng ( )1 (2)

5/ Bài 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( , -1 ,2) , B ( , , ) , C ( , , ) , D ( , -1 , )

a/ Chưng minh bốn điểm A , B , C , D đồng phẳng

b/ Gọi A/ hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phương

trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A/ , B , C , D.

c/ Viết phương trình tiếp diện

 

 (S) điểm A/.

6/ Bài 6 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A , B , C , D có tọa độ xác định hệ thức: A = ( , , -1) , OB i 4j k , C ( , , ) , OD2i2j k

   

a/ Chứng minh AB  AC , AC  AD , AD  AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b/ Viết phương trình tham số đường vng góc chung

 

 hai đường thẳng AB

CD Tính góc đường thẳng

 

 và mặt phẳng (ABD).

c/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A , B , C , D Viết phương trình tiếp

diện

 

 mặt cầu (S) song song mặt phẳng (ABD)

7/ Bài 7 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) : 2x - 3y + 4z – = mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 3x + 4y - 5z + = 0.

b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác định tọa độ tâm H bán kính r đường trịn (C)

8/ Bài 8 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , , ) , B ( , -2 , ) , C ( , , )

a/ Xác định tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành

b/ Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua ba điểm A , B , C

c/ Thí sinh tự chọn điểm M ( khác A , B , C ) thuộc mặt phẳng

 

 , viết phương

trình đường thẳng (d) qua điểm M vng góc với mặt phẳng

 



9/ Bài 9 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A ( -2 , ,1) , B ( , 10 , ) , C ( , , -1 ) , D ( , , -1 )

a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A , B , C

b/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm D vng góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D tiếp xúc với mặt phẳng (P)

10 / Bài 10 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , , 0) ,B ( , , ) , C ( , , -4 )

a/ Viết phương trình tham số đường thẳng AB

b/ Viết phương trình mặt phẳng

 

 qua điểm C vng góc với đường thẳng AB

Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AB với mặt phẳng

 



11 / Bài 11 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho

 

 :x y z  1 0 đường thẳng (d) :

1

1 1

x y z

 



a/ Viết phương trình tắc đường thẳng giao tuyến mặt phẳng

 

 với

các mặt phẳng tọa độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết A , B , C giao điểm tương ứng mặt phẳng

 

 với trục tọa độ Ox , Oy , Oz, D giao điểm đường thẳng (d) với mặt phẳng tọa độ Oxy

b/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A , B , C , D Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD)

12/ Bài 12 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A ( , , ) , B ( , , ) , S Gọi M trung điểm cạnh SC

a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM

b/ Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD điểm N Tính thể tích khối chóp S ABMN

13/ Bài 13 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A ( - , - , ) đường

thaúng (d) :

3

1

x t

y t

z t

  

   

   

Hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng (d)

( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 Khối B ) 14/ Bài 14 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A ( , ,1) , B ( , , ) , C ( , , ) mặt phẳng (P) : x + y + z – =

Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A , B , C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2004 Khối D )

15/ Bài 15 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d)

1

:

3

x y z

d     



và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + =

a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng (d) với mặt phẳng (P) Viết phương trình

tham số đường thẳng

 

 nằm (P) , biết

 

 đi qua A vng góc (d).

( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 Khối A ) 16/ Bài 16 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

với A ( ; -3 ; ) , B ( ; ; ) , C ( ; ; ) , B1 ( ; ; )

a/ Tìm tọa độ đỉnh A1 , C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với

mặt phẳng ( BCC1B1)

b/ Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua hai ñieåm A , M

và song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A1C1 điểm N Tính độ dài

MN

( Trích đề thi tuyển sinh Đại Học – Cao Đẳng năm 2005 Khối B ) 17/ Bài 17 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng

1

1

:

3

x y z

d     

 vaø

2 :

3 12

x y z d

x y

   

 

  



a/ Chứng minh d1 d2 song song Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa

hai đường thẳng d1 d2

b/ Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d1 d2 tai điểm A B