[r]
(1)II/Bài tập:
Dạng 1: Lớp toán chọn
1/ Bài toán lËp sè:
Mét sè cÇn lu ý giải toán lập số:
-Quan tâm đến điều kiện chữ số có khác hay khơng ? -Đối với tập số có xuất số cần u tiên chọn trớc
Bài : Cho số :1,2,3,4,5,6 Có thể lập đợc số tự nhiên thoả mãn ĐK: a Có chữ số
b Cã chữ số khác nhau c Có chữ số khác chẵn Giải:
a Giả sử số cần tìm có dạng : a1a2a3a4a5 Chọn a ❑1 từ tập số cho có cách chọn
ứng với cách chọn có cách chọn a ❑2 Tơng tự có cách chọn a ❑3a4a5a6 Theo quy tắc nhân có :5 ❑6 cách chọn số thoả mãn yờu cu.
b Số chữ số cần tìm số hoán vị pt :P 6 =6! =720(số) c Giả sử số cần tìm có dạng : a1a2a3a4
-Chọn a 4 chẵn có cách chọn
-Số cách chọn số lại là:A 53 =5.4.3 =60 -Theo quy tắc nhân có :3.60 =180 (số)
Bài : Cho số từ 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập đợc số tự nhiên thoả mãn điều kiện: a Số có chữ số khác
b Sè cã ch÷ số khác ,chẵn
c Số có chữ số khác thiết có mặt sè 3.
d Số có chữ số thoả mãn số có mặt lần số khác có mặt lần. Bài giải:
a Số chữ số cần tìm lµ : 6.A ❑64 =2160 (sè) b Giả sử số cần tìm có dạng : a1a2a3a4
TH1: a 1 số số cần tìm :A 36 =120 (số) TH2: a 4 chẵn khác :Có cách chọn
Chän a ❑1 kh¸c cã c¸ch chän ,chän a ❑2 a ❑3 cã A ❑62 c¸ch Vậy có tất 3.5.A 62 =450 (sè)
Theo quy t¾c céng cã :120+450 =570 (sè)
c Theo phần a có 2160 số có chữ số khác (gồm loại :có số khơng có số ) Trong số khơng có mặt chữ số 5.A ❑54 =600 (số)
VËy sè cã chữ số khác có mặt số :2160-600 = 1560 (sè)
a V× sè cã mặt lần nên ta viết lại tập sè díi d¹ng:0,1 ❑a ,1 ❑b ,2,3,4,5,6 LËp sè có chữ số khác từ tập số cã :7.P ❑7 =35280 (sè)
Trong c¸c sè trªn sè ❑a ,1 ❑b trïng nên số bị lặp lại lần Vậy số số cần tìm :35280:2 =17640 (sè)
Bài 3:Từ số 1,2,3,4,5 Có thể lập đợc số tự nhiên có chữ số khác ? Tính tổng s ú ?
Bài giải :
Số chữ số cần tìm A 54 =120 (sè)
TÝnh tỉng :(sư dơng ph¬ng pháp ghép cặp )Ghép 120 số thành 60 cặp cho tổng cặp 6666 (VD 1234 +5432 =6666 ) lu ý với số có sè t¬ng øng
(2)Bài 4: Từ số 0,1,2,3,4,5,6 Có thể lập đợc số tự nhiên có chữ số khác ? Tính tổng số
Gi¶i :-Số số cần tìm A 36 =720 (sè) -TÝnh tæng : Céng theo cét
hàng đơn vị : chữ số có mặt 5.A ❑52 lần (là số dạng a1a2a31 ) Tơng tự số 2,3,4,5,6 có mặt 5.A ❑52 lần
Vậy tổng hàng đơn vị :(1+2+3+4+5+6).A ❑52 =21.5 A ❑52 =105 20 =2100 Tơng tự hàng trục ,trăm có tổng :21000,210000
hàng nghìn : chữ số có mặt A 36 lần
Tơng tự số 2,3,4,5,6 ,có mặt A 36 lần Vậy tỏng cần tìm là:252.000 +21.000+21.000+2100=2.753.100
Bài :Cho A= {0;1;2;3;4;5;6;7} ; Có thể lập đợc số tự nhiên : a/ Có chữ số ? ( Đáp số 7.8.8.8 =3584).
b/ Cã ch÷ sè ? (§S : 7.A ❑72 )
c/ Chẵn có chữ số ? d/ Lẻ có chữ số ?
e/ Lẻ có chữ số chứa số ?
g/ Chẵn có chữ số mặt chữ số ? Bài giải :
PhÇn c/ TH1 : a1a2a3 cã a ❑3 =0 ⇒ cã c¸ch chän a ❑3 a ❑1 : cã c¸ch chän
a ❑2 : cã c¸ch chän VËy : cã 42 c¸ch
TH2: a ❑3 ⇒ chän a ❑3 : cã c¸ch chän a ❑1 : cã c¸ch chän
a ❑2 : cã c¸ch chän VËy :cã 42 +108 =150 c¸ch
Phần d/ Gọi số cần tìm là: a1a2a3a4a5 , a ❑5 lỴ {1;3;5;7} a ❑1 a ❑5 : cã c¸ch chän
a ❑1 : cã c¸ch chän a ❑2 : cã c¸ch chän a ❑3 : cã c¸ch chän a ❑4 ; cã c¸ch chän VËy cã 4.7.8.8.8=14336 (sè)
PhÇn e / * Số lẻ có chữ số 14336 số
* Số lẻ có chữ số kh«ng chøa sè ⇒ a1a2a3a4a5 {1;2;3;4;5;6;7} ⇒ cã c¸ch chän a ❑5
C¸c sè lại 7.7.7.7 4.7.7.7.7 =9604 (số)
Vậy số lẻ có chữ số chứa số :(số lẻ chữ số số lẻ chữ số không chứa số 0) =14.336 -9.604 =4732
PhÇn g / Sè cÇn chọn a1a2a3 , a 3 chẵn {2;4;6} {2;3;4;5;6;7} a ❑1 a2≠ a3
- a ❑3 : cã c¸ch - a ❑1 : cã c¸ch
(3)Bài : Từ số 0;1;2;3;4 lập đợc :
a/Bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau? b/ Bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm chữ số đôi khác ? Bài giải:
a/ Gọi số tự nhiên có chữ số đơi khác a1a2a3a4 a
¿ ❑1≠
¿
0 cã c¸ch chän số lại có A 34 =24 VËy cã 4.24 =96 (sè)
b/ Gọi số tự nhiên lẻ có chữ số đơi khác a1a2a3a4 ,ai 0,4 a ❑4 : Có cáchchọn
a ¿ ❑1≠
¿
0 : Cã c¸ch chän a ❑2 : Cã c¸ch chän a ❑3 : Cã c¸ch chän Vậy có tất có: 3.2.2 =36 cách
Dạng2 :Bài tập tổ hợp.
Bi 1: Trong hộp có cầu xanh ,5 cầu đỏ cầu vàng ,các cầu khác nhau
Chọn ngẫu nhiên cầu hộp
Hỏi có cách chọn cho cầu chọn có đủ mầu ? Bài giải :
TH1: xanh ,1 đỏ ,1 vàng ⇒ C ❑72.C51.C41 =420 TH2: xanh ,2 đỏ ,1 vàng ⇒ C ❑71.C52.C41 =280 TH3: xanh ,1 đỏ ,2 vàng ⇒C71.C51.C42 =210 Vậy số cách chọn 420+280+210 =910
Bµi 2: Tõ mét nhãm häc sinh gåm nam vµ nữ Thầy giáo chọn em tham dù lƠ mÝt tinh
t¹i trêng yêu cầu có nam lẫn nữ Hỏi có cách chọn ? Bài giải :
TH1 : nam ,4 n÷ ⇒C71.C64 TH2 : nam ,3 n÷ ⇒C72.C63 TH3: nam ,2 n÷ : ⇒C73.C62 TH4: nam ,1 nữ : C74.C61 Vậy theo quy tắc nhân có 18.900 c¸ch
Bài : Có hộp đựng viên bi đỏ ,3 viên bi trắng ,5 viên bi vàng Chọn ngẫu nhiên viên bi từ hộp
Hỏi có cách chọn để số viên bi lấy không đủ mầu ? Bài giải :
TH1 : Cả viênbi vàng :C ❑54 =5
(4)Vậy : Theo quy tắc nhân có 115 cách
Dạng 3: Giải phơng trình ,bất phơng trình tổ hợp. Những điểm cần lu ý:
+ §iỊu kiƯn cđa Èn + Các công thức tổ hợp.
Bài 1: Tìm số tự nhiên k thoả mÃn hệ thøc : C ❑14k +C14k+2
=2C14 k+1
Gi¶i :
Ta cã : C ❑14k +C14k+2=2C14k+1 (0 k ≤12;k∈N¿ ⇔ 14!
k !(14− k)!+ 14!
(k+2)!(12− k)!=
2 14!
(k+1)!(13− k)! ⇔
(14− k)!(13− k)+ 14!
(k+1)(k+2)=2
1
(k+1)(13− k) ⇔ (k+1)(k+2)+(14-k)(13-k)=2(k+2)(14-k)
⇔ k ❑2 -12k+32 =0
⇔
k=4 ¿
k=8
Thoả mÃn điều kiện ban đầu
Bài : Tìm số nguyên dơng thoả mÃn phơng trình : C ❑1x+6C2x+6C3x=9x2−14x
Gi¶i :
Ta cã C ❑1x+6C2x+6C3x=9x2−14x (x N ;x ≥3¿ ⇔ x+3x ❑2−3x
+x3−3x2+2x=9x2−14x
⇔ x(x ❑2−9x+14¿=¿ ⇔
¿
x=0(lo¹i)
x=2(lo¹i)
x=7(nhËn) ¿{ {
¿
Bµi 3: Giải phơng trình: P 2x2 P3x=8 (1)
Giải : P 2 =2! P 3 =3! =1.2.3=6
Do (1) 2x ❑2 -6x-8=0 x=-1 ; x=4
Bµi 4:
Giải phơng trình : 2A x2+50=A22x (1) (2 x∈N ) (1)
Gi¶i : Ta cã (1) ⇔ 2x !
(x −2)+50=
(2x)!
(2x −2) (2) Vì x=2 khơnh thoả mãn (2) :
(2) ⇔ 2(2x-1)x+50 =(2x-1)2x ⇔ 2x ❑2 =50 ⇔ x
❑2 =25 ⇔ x=5
Bài : Giải phơng trình : C 1x+C2x+C3x=7
2x (1)
Gi¶i :
(5)(1) ⇔ x ! 1!(x −1)+
x !
2!(x −2)!+
x !
3!(x −3)!=7x ⇔ x+
2(x −1)+
6(x −2)(x −1)x − 7x
2 =0 ⇔ x [1
6(x −2)(x −1)+
2(x −1)− 2] =0 ⇔ (x-2)(x-1)+3(x-1) -15 =0
⇔ x ❑2 =16 x=4 (đpcm).
Bài : Giải phơng trình : P n+3=720An5Pn 5
Giải :
Ta cã : P ❑n+3=720 An5Pn−5 ⇔ (n+3)!=720 n !
(n −5)!(n −5)! n ⇔ (n+3)!=720 n!
⇔ (n+1)(n+2)(n+3) =720 n=7 (với n nguyên dơng )
Bài : Giải phơnh trình :
C ❑xx −1+Cxx −2Cx−x 3+ +Cxx −10=1023 (1)
Gi¶i:
Ta cã x N ;x ≥10
(1) ⇔ C ❑xx+Cxx −1Cxx −2+ +Cxx −10=1024 ⇔ C ❑x0C1x+Cxx −2+ +C10x=1024
NhËn xÐt r»ng : C ❑100 C101 +C102 + +C1010=1024 VËy ta suy x =10
Bµi : Giải phơng trình : Ax+1
y+1P
x − y
Px −1 =72
Giải:
Điều kiện x,y N ; x>y Ta cã: Ax+1 y+1
Px − y
Px −1
=72 ⇔ A ❑xy++11
+Px − y=72Px −1 ⇔ (x+y)!
(x − y)!(x − y)!=72(x −1)!
⇔ x(x-1)-72=0 ⇔ x ❑2 +x-72=0 ⇔ x=8; y N , y<8 VËy x=8, y N , y ≤7
Bài : Định x y cho : C ❑x+1y:Cxy+1:Cxy−1=6 :5 :2
Gi¶i : Ta cã : C ❑x+1y:Cxy+1:Cxy−1=6 :5 :2
⇔ Cxy+1 Cx
y+1=
Cxy+1 Cxy −1=
(6)⇔
¿ (x+1)(y+1) (x − y)(x − y+1)=
6
x+1
y =3
¿{ ¿
⇔
¿
x=3y −1 3y(y −1) (2y −1)2y=
6 ¿{ ¿ ⇔ ¿
x=8
y=3 {
Các tập tơng tự:
Bài 1: Giải pt : A x2.Cxx 1=48 Đáp số : x=4 Bài 2: Giải pt: Ax
4
Ax3+1−C x x −4=
24
23 Đáp số: x=5
Bài 3: Giải pt : Px+2
Ax −x −14.P3=210 Đáp số: x=5
Bài 4: Giải pt : C xx++104=C2x+x 101 Đáp số: x=5
Bài 5: Giải pt : P 10x +72=6(A2x+2Px) Đáp số :x=3; x=4
Bài 6: Gi¶i pt : A ❑10x +Ax9=9Ax8 Đáp số :x=11
Bài 7: Giải pt : Pn
Pn+1
.Cnn −+21=1
2 (ĐK n 1nN
) Đáp số : n=1
Bài : Giải bất pt : C ❑n−4 1− Cn −3 1−5 An−2
2
<0, n∈N Gi¶i : Ta cã : C ❑n−4 1− Cn −3 1−5
4 An−2
<0
⇔
n −1!
¿ 5¿ (n −1)! 4!(n −5)!−
(n−1)! 3!(n −4)!−¿
⇔ (n-4)(n-1)!-4(n-1)!-30(n-2)<0 , n 5, n∈N
⇔ (n-2)! [(n −4)(n−1)−4(n−1)−30] , n 5, n∈N
⇔ n ❑2−9n−22<0 ⇔ n ≤11,n∈N
n=5,6,7,8,9,10
Bài : Giải bất phơng trình : An 4
4
(n+2)!< 15
(n −1)!
Gi¶i :
§iỊu kiƯn ⇔
¿
n+4≥4
n −1≥0 ¿{
¿
⇔ n
Ta cã : An4+4 (n+2)!<
15
(n −1)! ⇔
(n+4)! n!(n+2)!<
15
(n −1)!
⇔ (n+5)(n −4)
n ! <
15
(n −1)! ⇔
(n+3)(n+4)
n <15
Từ :
(n+3)(n+4) <15n ⇔ n ❑2 -8n +12 <0
(7)Bµi 10 : Giải bất phơng trình : Cn −1
n −3
An+1
4 <
14P3 ĐK :n Đáp số :n>6
Bài 11 : Giải bất phơng trình :
2C x2+1+3A2x<30 Đáp số x=2.
Bài 12 : Giải hệ phơng trình :
2Axy+5Cxy=90 5Axy2C
x y
=80 ¿{
¿
⇔
¿
Axy
=20 Cxy
=10
¿{
¿
⇔
¿
x !
(x − y)!=20
x !
y !(x − y)!=10 ¿{
¿
⇔
¿
y !=2
x !
(x − y)!=20
¿{
¿
⇔ ¿
y=2
x=5 ¿{
¿
Dạng 4: Công thức nhị thức newton
A/ Lý thuyÕt :
+/Sù khai triĨn nhÞ thøc (a+b) ❑n
+/ TÝnh chÊt cđa khai triĨn
B/ Bµi tËp :
Bài : Cho dạng ®a thøc P(x) = (1+x)
1+x¿14 1+x¿10+ +¿
❑9+¿
Cã d¹ng khai triĨn lµ P(x) = a ❑0+a1x+a2x2+ +a14x14 H·y tÝnh hƯ sè a ❑19
Gi¶i : Ta cã : (1+x) ❑9=C90+C91x+C92x2+C93x3+ +C99 cã hÖ số x C 99 Tơng tự khai triÓn :
(1+x) ❑10 cã hƯ sè cđa x
❑9 lµ C ❑109 (1+x)11 cã hƯ sè cđa x ❑9 lµ C ❑11
9 (1+x) ❑12 cã hƯ sè cđa x
❑9 lµ C ❑129 (1+x) ❑13 cã hƯ sè cđa x
❑9 lµ C ❑13 (1+x) ❑14 cã hƯ sè cđa x
❑9 lµ C ❑14
VËy : a ❑9=C99+C109 +C119+C129 +C139 +C149 =1+10+55+220+715+2002=3003 a ❑9 =3003
Bài : Đa thức P(x) =(1+x) +2(1+x)
1+x¿20 1+x¿3+ +20¿
❑2+3¿
Đợc viết dới dạng P(x) = a 0+a1x+a2x2+ +a20x20
(8)Gi¶i : Ta cã 15(1+x) ❑15 =15(1+C ❑ 15
x+C15
x2+C15
x3+ +C15 15
x15¿ 16(1+x) ❑16 =16(1+C ❑
16 x+C
16 x2
+C163 x3+ +C1616x16¿ 20(1+x) ❑20 =20(1+C ❑
20 x
+C202 x2+C203 x3+ .+C2020x20¿ VËy : a ❑15=15+16C161 +17C172 +18C183 +19C194 +20C205
=15+16 +17 17 16 +
18 18 17 16 +19
19 18 17 16 +20
20 19 18 17 16
1 =400995 Bµi 3: Khai triÓn :
P(x)=(1+x)
1+x¿17 1+x¿14+ .+¿
1+x¿13+¿ ❑12+¿
Theo nhị thức Newton HÃy tìm hệ số số hạng chứa x 8 . Bài giải : Ta có (1+x) ❑12 cã hƯ sè cđa x
❑8 lµ C ❑124 (1+x) ❑13 cã hƯ sè cđa x
❑8 lµ C ❑135 (1+x) ❑14 cã hƯ sè cđa x
❑8 lµ C ❑14 (1+x) ❑15 cã hƯ sè cđa x
❑8 lµ C ❑15 (1+x) ❑16 cã hƯ sè cđa x
❑8 lµ C ❑168 (1+x) ❑17 cã hƯ sè cđa x
❑8 lµ C ❑179
Do khai triển tổng S ,ta có hệ số số hạng x ❑8 là: C ❑124 + C ❑135 + C ❑146 + C ❑157 + C ❑168 + C ❑179 =72710
Bµi : Trong khai triĨn (x
3−
x)
12
Tìm hệ số số hạng chứa x 4
Gi¶i :
Trong khai triĨn nhÞ thøc (x 3−
3
x)
12
ta cã sè h¹ng thø (k+1) víi k ≤12 lµ :
T ❑(k+1) =C
−1¿k32k −12C12k x12−2k
−1¿k(3
x)
k =
k
312−kC12 k
x12− k(−1)x− k=¿ ❑12k (x
3) 12− k
¿
Do số hạng thứ (k+1) chứa x ❑4 thì phải có : x ❑12−2k=x4⇔12+2k −4⇔k=4 Nếu số hạng thứ (k+1) chứa x ❑4 là số hạng thứ Ta có T=3 ❑−4C124 x4= 12!
81 4! 8! x
4 =5x4 VËy hƯ sè cđa sè h¹ng chøa x ❑4 lµ
Bài 5: a.Xác định hệ số thứ ,thứ ,3 khai triển (x3+
x2) n
b/ Cho biết tổng hệ số nói 11.Tìm hệ số x 2 Giải :
a/ Ta cã C ❑n0=1,Cn1=n ,Cn2=n(n −1) b/ Theo gi¶ thiÕt : 1+n+ n(n+1)
2 =11
(9)H¹ng tư thø k+1 cđa khai triĨn lµ :C x
¿k(1
x2)
n − k
=Cnkx5k −2n ❑nk¿
, x ❑5k−2n=x2 Cho 5k-2n =2 ⇔ k= 2n+2
5 =
2 4+2 =2 VËy hÖ sè cđa x ❑2 lµ C ❑
6
=6
Bài 6: Cho nhị thøc (2x-3) ❑12
a/ T×m số hạng tổng quát khai triển ? b/ Tìm số hạng khai triển ? c/ Tìm hệ số nhị thức số hạng thứ ? d/ Tìm hệ số số hạng chứa x 8 ?
Giải :
a/ T
−3¿k 2x¿12−k¿ ❑k+1=Cnk¿
, k {0;1;2;3, ;12}
b/ n=12 Số số hạng nhị thức 13 Số số thứ ⇒ k=6 ⇒ T
−3¿6=43110 2x¿12−6.¿ ❑7=C126 ¿
c/ HƯ sè nhÞ thøc số hạng thứ C 124=495
d/ HƯ sè cđa sè h¹ng chøa x ❑8 là (Theo phần a ) T
2x834=495 28 34.x8
−3¿4=C124 ¿ 2x¿12−4.¿ ❑5=C124 ¿ VËy: HÖ số số hạng chứa x 8 là 10.264.320
Bài : Tìm số hạnh không chứa x khai triÓn (1
x+√x)
12
Gi¶i : Cã T ❑k+1=C12k (1
x)
12−k
.(√x)k=Ck12.x−12+k.x 2k
=C12k x −24+3k
2
Số hạng không chứa x −24+3k
2 =0 ⇔ -24=-3k ⇔ k=8
Vậy : Số hạnh không chứa x khai triĨn lµ T ❑9 =495
Bµi : HÃy tìm khai triển nhị thức (x3+
x3) 18
số hạng độc lập với x
Giải : Giả sử khai triển nhị thøc (x3+
x3)
18
Số hạng thứ (k+1) với k 18 :T x
¿18− k(1
x3)
k =C18
k
x54−6k
❑(k+1)=C18
k ¿
Nếu T ❑k+1 không chứa x (độc lập x )
Ta cã : 54-6k =0 ⇔ k =9
(10)Bài : Tìm số hạng không chứa x khai triĨn Newton cđa (x+1
x) ❑12
Gi¶i : Khai triĨn (x+1
x) ❑12 =C ❑12
0
x12+C121 x111
x+ +C12 k
x12− k
xk+ Số hạng thứ (k+1) khai triển : C ❑12k x12− k
xk=C12 k
x122k
Số hạng không phụ thuéc x : 12-2k =0 ⇔k=6
Vậy số hạng thứ khai triển ,không phụ thuộc vào x có giá trị : C ❑126=924
Dạng 5: CM đẳng thức tổ hợp 1/ Chứng minh nh khai trin Newton
Cần thuộc công thức sử dụng thành thạo ký hiệu n!=(n-1)!n=(n-2)!(n-1).n!,
Bµi 1 : Chøng minh r»ng :
−1¿n 3nCn
n
−1¿k 3kCn
k
+ +¿
Cn0−1 3Cn
1 +
32Cn
+ ¿ ¿
=2 ❑n
Gi¶i :
Ta cã
−1¿k 3kCn
k +
(1−1
3) n
=Cn0−1 3Cn
1 +
32Cn
+ ¿ Suy : ❑n
(1−1
3) n
=3n(2 3)
n =2n
VËy :
−1¿n 3nCn
n
−1¿k 3kCn
k
+ +¿
Cn0−1
3Cn
+ 32Cn
2 + ¿ ¿
=2 ❑n
Bµi 2 : Chøng minh r»ng : C ❑n
0
+6Cn
+62Cn
+63Cn
+ +6nCn n
=7n
Gi¶i :
Ta cã: :(1+x) ❑n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn
Cho x=6 ta cã : C ❑n0+6Cn1+62Cn2+63Cn3+ +6nCnn=7n
Bµi 3: Chøng minh r»ng:
4 −1¿ nC
n n
=Cn0+2C1n+22Cn2+ 22Cnn ❑nCn
0
−4n −1Cn
+4n−2Cn
(11)Gi¶i : Ta cã : (2x-1) ❑n=Cn0(2x) -C
−1¿nCn n
2x¿n −2+ +¿ 2x¿n −1+C2n¿
❑n1¿
Cho x=2 ta cã ❑n=4nCn0−4n −1C1n+4n−2Cn2− +(−1)Cnn (1) Ta l¹i cã :(1+x) ❑n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn
Cho x=2 ta cã : ❑n=Cn0+2Cn0+22Cn2+ +2nCnn (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã :
−1¿ nC
n n
=Cn0+2C1n+22Cn2+ 22Cnn ❑nCn0−4n −1C1n+4n−2Cn2− ¿
2.Chøng minh nhê c«ng thøc: C ❑nk=Cn−k 1+Cn −k −11
Bµi 1: Cho k vµ n lµ sè tù nhiªn cho k ≤ n CMR: C ❑nk+3Cnk −1+3Cnk −2+Cnk−3=Cnk+3
Gi¶i : Ta cã : C ❑mk=Ckm −1+Cm−k−11
Ta cã : C ❑nk+3=Ckn+2+Cnk −+21=(Ckn+1+Cnk −+11)+(Ck−n+11+Cnk −+12) =C ❑nk+1+2Ck −n+11+Cnk −+12
(12)(13)