[r]
(1)Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THcs nga thái
- -Đề thi hsg to¸n 9
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm) Cho biểu thức:
P=(√a −√b)
+4√ab √a+√b
a√b −b√a
√ab
1/ Tìm điều kiện a b để P có nghĩa;
2/ Rót gän P tính giá trị P a= 23 ; b= √3
(tuyển tập 50 đề thi vào lớp 10 Lê Mộng Ngọc)
Bµi (3 điểm)
1/ Giải phơng trình x23|x| 4=0
2/ Cho phơng trình x2 15mx+9m=0 (1)
Tỡm m để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn
1
x1−
1
x2=1 (sáng tác)
Bài (3 điểm)
Cho ABC có góc nhọn, bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đờng trịn có đ-ờng kính AB, AC Một đđ-ờng thẳng (d) quay quanh A cắt hai nửa đđ-ờng tròn theo thứ tự M N (khác A)
1/ Chứng tỏ BCNM hình thang vuông trung điểm BC cách M N;
2/ Chứng minh trung điểm MN ln nằm đờng trịn cố định (d) thay đổi;
3/ Giả sử ABC vuông A, xác định M, N cho chu vi tứ giỏc BCNM ln nht
(sáng tác)
Bài (1 ®iĨm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a có A=1200 Cạnh bên SA=SC=a; SB=SD
Chøng minh SO (ABCD) tính thể tích hình chóp S.ABCD (sáng tác)
Bài (1 điểm)
Cho x, y >0 x+y=1 Tìm GTNN A=
(
1x2
)(
1−1
y2
)
(§Ị thi tun sinh vào 10 trờng Lê Hồng Phong 94- 95)
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Quảng Xơng II
(2)Bà i
Câu Nội dung Điểm
B1 (2 đ)
1 (0,5 đ)
§k:
¿ a≥ 0 b ≥ 0
ab>0 √a+√b ≠ 0
¿{ { {
¿
¿ a>0 b>0 ¿{
¿
0,5®
2
(1,5 ®) P=a −2√ab+b+4√ab
√a+√b
√ab(√a −√b)
√ab =
(√a+√b)2
√a+√b (√a −√b) = (√a+√b) (√a −√b)=a − b
Víi a= 2√3 , b= √3 P= 2√3 −√3=√3
0.5® 0.5® 0.5®
B2 (3 ®)
1
(1,5đ) Đặt |x| =t ta đợc phơng trình t
2 – 3t – = (2) phơng trình có a- b+c = phơng trình (2) có nghiệm t=1(loạ i)
t=4
¿ ¿ ¿ ¿
víi t = |x| = x= VËy phơng trình có nghiệm x=
0.5đ 0.5® 0.5®
2/
(1,5đ) trình (1) Lúc giả sử x1, x2 hai nghiệm phân biệt phơng
Ta cã x1
−
x2=1 x1-x2 = x1.x2 (2) Theo viet ta cã
¿
x1+x2=15 m(3)
x1 x2=9 m(4 )
¿{
¿
Tõ (2) (4) x1 x2 = 9m kết hợp víi (3)
¿
x1=12m
x2=3 m ¿{
¿
ThÕ vµo (4) 36m2 = 9m
m=0 ¿ m=1
4
¿ ¿ ¿ ¿
Víi m = thay vào phơng trình (1) trở thành x2 = (không thoả mÃn)
0.5đ
0,25đ
(3) Víi m =
4 thay vµo phơng trình (1) trở thành
x215
4 x +
4=0
Phơng trình có nghiƯm ph©n biƯt m =
4 tho¶
m·n
VËy m=
4
0,5đ
Bài 3
(3 đ)
1/
(1 ®) Ta cã AMB = ANC = 90
0 (các góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) MB // NC MB NC vng góc MN nên tứ giác BCNM hình thang vuụng
Gọi I trung điểm , K trung điểm MN IK MN IMN cân I IM = IN
0,5đ 0,5đ
2/
(0,75®) Ta cã AKI = 90
0 mà A, I điểm cố định nên suy
(d) di động điểm K ln nằm đờng trịn cố định đờng kính AI 0,75đ
3/
(1,25đ) Đặt ABAC=e (không đổi)
Ta cã ABM CAN (V× A1 = C1 cïng phơ víi A2) AM
CN =
BM
AN=
AB
AC=e
AM = e.CN; BM = e.AN
Chu vi tø gi¸c BCNM lµ T= MN + BM + CN + BC = AM + AN + BM + CN + BC
= e CN + AN + e AN + CN + BC = (e+1)(AN + CN) + BC Do , e không đổi T lớn AN + CN lớn
mµ (AN + CN)2 = AN2 + CN2 + 2AN.CN 2(AN2 + CN2) = 2AC2
AN+ CN √2 AC DÊu “=” x¶y AN = CN = √2
2
AC
T √2(e +1) AC+BC TMax = √2(e +1) AC+BC AN =
CN = √2
2 AC N điểm cung AC M điểm
cung AB
0,5đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Bài (1đ)
Ta có SA = SC SAC cân S SO AC (1)
T¬ng tù SB = SD SBD cân S SO BD (2)
Tõ (1) Vµ (2) SO (ABCD)
Do ABCD hình thoi góc A = 1200 tam giác ABC, ACD tam giác cạnh a
AO = a
2 SO =
√
SA2− AO2 =√
a2−a2
4=
a√3
Diện tích hình thoi ABCD lần diện tích tam giác ABC √3 a2
2
Thể tích hình chóp S.ABCD
3 3 a2
2
a√3
2 =
a3
4
0,5® 0,25®
(4)Bài (1 đ)
Ta có A = 1-
(
1 x2+1
y2
)
+1
x2y2 = 1- (x + y )
2 −2 xy x2y2 +
1
x2y2 = 1-
x2y2+
2 xy+
1
x2y2=1+
2 xy
L¹i x, y > , x + y =
Suy = (x+ y)2 4xy xy
4
DÊu b»ng x¶y x = y =
2
Lúc A = +
xy
1+2
=9
DÊu “=” x¶y x = y =
2
VËy MinA = x = y =
2
0,5®
0,25®
0,25®
Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THcs nga thái - -&
Đáp án hsg to¸n 9
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao )
Bà i
Câu Nội dung Điểm
B1 (2 đ)
1 (0,5 đ)
§k:
¿ a≥ 0 b ≥ 0
ab>0 √a+√b ≠ 0
¿{ { {
¿
¿ a>0 b>0 ¿{
¿
0,5®
2
(1,5 ®) P=a −2√ab+b+4√ab
√a+√b
√ab(√a −√b)
√ab =
(√a+√b)2
√a+√b (√a −√b) = (√a+√b) (√a −√b)=a − b
Víi a= 2√3 , b= √3 P= 2√3 −√3=√3
(5)B2 (3 ®)
1
(1,5đ) Đặt |x| =t ta đợc phơng trình t
2 – 3t – = (2) ph¬ng trình có a- b+c = phơng trình (2) cã nghiƯm t=−1(lo¹ i)
¿ t=4
¿ ¿ ¿ ¿
víi t = |x| = x= Vậy phơng trình cã nghiƯm x=
0.5® 0.5® 0.5®
2/
(1,5đ) trình (1) Lúc giả sử x1, x2 hai nghiệm phân biệt phơng
Ta cã x1
−
x2=1 x1-x2 = x1.x2 (2) Theo viet ta cã
¿
x1+x2=15 m(3)
x1 x2=9 m(4 )
¿{
¿
Tõ (2) vµ (4) x1 – x2 = 9m kÕt hỵp víi (3)
¿
x1=12m
x2=3 m ¿{
¿
ThÕ vµo (4) 36m2 = 9m
m=0 ¿ m=1
4
¿ ¿ ¿ ¿
Víi m = thay vµo phơng trình (1) trở thành x2 = (không thoả m·n)
0.5®
0,25®
0,25®
Víi m =
4 thay vào phơng trình (1) trë thµnh
x2−15
4 x +
4=0
Phơng trình có nghiệm phân biệt m = 14 tho¶ m·n
VËy m=
4
0,5đ
Bài 3
(3 ®)
1/
(1 ®) Ta cã AMB = ANC = 90
0 (các góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn) MB // NC MB NC vng góc MN nên tứ giác BCNM hình thang vng
Gäi I lµ trung điểm , K trung điểm MN IK MN IMN cân I IM = IN
0,5® 0,5®
2/
(0,75®) Ta cã AKI = 90
0 mà A, I điểm cố định nên suy (d) di động điểm K ln nằm đờng trịn cố định đờng kính AI
(6)3/
(1,25đ) Đặt ABAC=e (không đổi)
Ta cã ABM CAN (V× A1 = C1 cïng phơ víi A2) AM
CN =
BM
AN=
AB
AC=e
AM = e.CN; BM = e.AN
Chu vi tứ giác BCNM T= MN + BM + CN + BC = AM + AN + BM + CN + BC
= e CN + AN + e AN + CN + BC = (e+1)(AN + CN) + BC Do , e không đổi T lớn AN + CN lớn
mµ (AN + CN)2 = AN2 + CN2 + 2AN.CN 2(AN2 + CN2) = 2AC2
AN+ CN √2 AC DÊu “=” x¶y AN = CN = √2
2
AC
T √2(e +1) AC+BC TMax = √2(e +1) AC+BC AN =
CN = √2
2 AC N điểm cung AC M điểm
cung AB
0,5đ
0,25đ 0,25đ
0,25đ
Bài (1đ)
Ta có SA = SC SAC cân S SO AC (1)
T¬ng tù SB = SD SBD cân S SO BD (2)
Tõ (1) Vµ (2) SO (ABCD)
Do ABCD hình thoi góc A = 1200 tam giác ABC, ACD tam giác cạnh a
AO = a
2 SO =
√
SA2− AO2 =√
a2−a2
4 =
a√3
Diện tích hình thoi ABCD lần diện tích tam giác ABC √3 a
2
2
ThÓ tÝch hình chóp S.ABCD
3 3 a2
2
a√3
2 =
a3
4
0,5đ 0,25đ
(7)Bài (1 ®)
Ta cã A = 1-
(
1 x2+1
y2
)
+1
x2y2 = 1- (x + y )
2 −2 xy x2y2 +
1
x2y2 = 1-
x2y2+
2 xy+
1
x2y2=1+
2 xy
L¹i x, y > , x + y =
Suy = (x+ y)2 4xy xy
4
DÊu b»ng x¶y x = y =
2
Lúc A = +
xy
1+2
=9
DÊu “=” x¶y x = y =
2
VËy MinA = x = y =
2
0,5®
0,25®