ly thuyet chuong so phuc co ban

[r]

I SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :

1 Định nghĩa: Số phức biểu thức có dạng a bi , a b, ;i2 1.  Số phức z a bi  có alà phần thực, b phần ảo.

 Số phức z a bi  biểu diễn điểm M a b ;  hay u a b; 



mặt phẳng tọa độ Oxy

 z = a + 0i số thực  z = + bi số ảo

 z = + 0i vừa số thực vừa số ảo

 Hai số phức nhau :

a c a bi c di

b d

 

    



 .

 Modun của số phức z a bi  độ dài OM



Vậy :

2

z OM  a b



 Số phức liên hợp số phức z a bi  số phức z  a bi

Chú ý rằng : điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục hồnh Do z số thực z z, z số ảo z  z

2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

a bi   c di   a c   b d i  a bi   c di   a c   b d i  a bi c di      ac bd   ad bc i 

Chú ý :

Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với ý i2 1 Các quy tắc đại số biết tập số thực vẫn áp dụng tập số phức

1 , 1, , 1

i i i  i i i  Tổng quát : i4n 1,i4n1 i i, 4n2 1,i4n3 i.

1i2 2i; 1 i2 2i. b Phép chia hai số phức :

   

   

   

2

a bi c di a bi c di

a bi

c di c di c di c d

   



 

    .

Như :

2

. .

.

z z z z z z z z z

  

 

Chú ý :

1 1

i i i

 

 .

c Các tính chất số phức liên hợp modun :

 z z; z z  z z; zzz z. ;

z z

z z

 

        z 0 với z , z  0 z 0

 z z ; zz z z;

z z

z z

 



; z z z  z

 Tính kết hợp: ( z + z/ ) + z// = z + ( z/ + z// )  Tính giao hốn : z + z/ = z/ + z

 Cộng với 0: z + = + z = z

 z = a + bi = > - z = - a – bi số đối z

I Căn bậc số phức:

1 Định nghĩa : Số phức z bậc hai số phức w :

2

z w.

Như để tìm Số phức z x yi  x y,   bậc hai số phức w a bi  ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :

2 2

2

x y a

xy b

    

  

Chú ý :

 Số có bậc hai

 Số thực a0 có hai bậc hai :  a

 Số thực a0 có hai bậc hai i a  i a Đặc biệt , số 1 có

hai bậc hai i. II Phương trình bậc hai :

Cho phương trình bậc hai az2bz c 0 (a b c, , ,a0)  Nếu  0, phương trình có nghiệm kép 2

b z

a



 Nếu  0, phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2

2 b z

a

   

,

trong  bậc hai . a. Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai az2 bz c 0 (a b c, , ,a0) có hai nghiệm z z1, :

b

z z

a

 

c z z

a

 b Định lý đảo định lý Viet :

Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1z2 S z z1 P z z1, 2 nghiệm phương trình :

2 0

z  Sz P  .

I Dạng lượng giác số phức :

Số phức z a bi  0 có dạng lượng giác : z r cosisin; : 0

rz  , cos

a r

 

, sin b r

 

,  Ox OM,  acgumen z Các tính chất acgumen :

Nếu  acgumen z  acgumen z Nếu  acgumen z   acgumen  z. II Nhân, chia số phức dạng lượng giác :

Nếu z r cosisin zrcosisin :

   

cos sin

   

cos sin

z r

i

zr         . III Lũy thừa số phức dạng lượng giác :

Nếu z r cosisin zn rncosnisinn n1 n . IV Căn bậc hai số phức dạng lượng giác :

Nếu z r cosisin bậc hai z :

2 2

cos sin

2 2

k k

r    i    

 , với k 0 hay k 1.

Bài 1: Xác định phần thực , phần ảo số phức sau :

 

a) z = + 5i b) z = i c) z = d) z =

     

e) i + (2 4i) (3 5i) f) ( 5i) g) (2 + 3i)(2 3i) h) i(2 i)(3+i)

Bài 2: Cho z = (2a 4) + (3b + 6)i với a,b   Tìm điều kiện a b để :

a) z số thực b) z số ảo

Bài 3: Tìm số thực a,b cho z = z với trường hợp sau : 

  



    

a) z = ( 3a 6) + i , z = 12 + (2b 9)i b) z = (2a 5) (3b 1)i , z = (2b 1) + (3a 5)i

Bài 4: Tính z + z , z z , z z với :    



a) z = 3+2i , z = + 3i b) z = 2-3i , z = + 4i

Bài 5: Tìm nghịch đảo số phức sau :

 

a) z = + 4i b) z = 2i c) z = + 3i

Bài 6: Thực phép tính sau :

 

 

  

2 6i

A = (1 i) ; B = (2 + 4i) ; D = (1+ i) 13i ; E = ; F =

(1 i)(4 3i) 3i

  



  



2i 1 2i 4i

G = ;H ; I = ; J = ; K =

8 6i 5i 3 i i i

2

Bài 7:    

2

1

Cho z = i Hãy tính : , z,z ,(z) ,1 z z

2 z

Bài 8: Giải phương trình sau tập số phức : với ẩn z 

     

a) iz + i = b) (2 + 3i)z = z c) (2 i)z = d) (iz 1)(z + 3i)(z 2+3i) =

e) 3x3 2 i  6 7i; f) 5 2 i x    2 i  7 3i

g)  

2

4 2 i 1 i z0 h) z2z  6 2i. m) iz3z  7 5i; n) 3z 2z 5 2i.

Bài 9: Tìm bậc hai số phức sau :

 

 

a) z = b) z = c) z = + 12i d) z = i

e) z = 1+ 3i f) z = 17+ 20 2i g) z = + 6i h) z = 46 14 3i

i) 3 4 i; j)  5 12i.

Bài 10: Giải phương trình sau tập số phức : với ẩn z 

            

        

2 2

2

a) z z b) z 2z c) z z d) z ( i)z 2i e) ix 2(1 i)x f) x (5 i)z i

 