Đang tải... (xem toàn văn)
(T) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Xaùc ñònh ñieåm D sao cho töù giaùc ABCD laø hình bình haønh. Tìm ñoä daøi caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. b) Tìm toïa ñoä ñieåm B’ ñoái xöùng vôù[r]
(1)ÔN THI TỐT NGHIỆP
HẰNG ĐẲNG THỨC :
CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
Góc Hslg
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
0 π π π π 2π 3π 5π
π 2π
sin α
0
2 √22 √
1 √3
2 √
2
1
2 0
cos α
1 √3
2
√2
1
2 −
1
2 −√ 2 − √3 -1 tg α
0 √3
3
1 √3 kxñ −√3 -1 −√3
3
0
cotg α
kxñ √3 √3
3
0 −√3
3
-1 −√3 kxñ kxñ
1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau : 3 Cung phụ nhau :
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2 tg cotg g g
cos( ) cos sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg g g
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
(2)Chú ý: cos đối sin bù phụ chéo
Các hệ thức bản: chú ý
Công thức cộng : Công thức nhân đôi:
Công thức nhân ba:
Công thức hạ bậc:
Cơng thức tính sin ,cos , tg theo t tan 2
Công thức biến đổi tích thành tổng
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4 2 2 1
1 tg = cos
1 1 cotg =
sin
tg cotg =
2
cos sin 1 sin
tg = cos
cos
cotg = sin 2 2 4
cos2 cos sin
cos 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos
2 2 1 tg tg tg
cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos sin cos
sin( ) sin cos sin cos
tg +tg tg( + ) =
1
tg tg
tg( ) =
1 tg tg tg tg 2 cos 1 2 cos 1 ; 2 2 cos 1 sin ; 2 2 cos 1
cos2 2
tg
3 cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin
2
2 2
2 1 2
sin ; cos ;
1 1 1
t t tg t
t t t
1
cos cos cos( ) cos( )
2 1
sin sin cos( ) cos( ) 2
1
sin cos sin( ) sin( ) 2
4
6
3 cos 4 1
cos sin 1 sin 2
4 2
5 3cos 4
(3)Công thức biến đổi tổng thành tích KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ
KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HAØM SỐ LƠGARÍT 1. Định nghĩa : Tính chất:
3 Công thức đổi số :
4 Hàm số logarít: Dạng y log x a ( a > , a ) Tập xác định : D R
Tập giá trị T R Tính đơn điệu:
* a > : y log x a đồng biến R
cos cos cos cos
2
cos cos 2sin sin
2
sin sin 2sin cos
2
sin sin cos sin
2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg tg tg
Đặc biệt : Lne = Ln1= Với a > , a N >
(4)* < a < : y log x a nghịch biến R
5 Hàm số mũ: Dạng : y a x ( a > , a1 )
Tập xác định : D R
Tập giá trị : T R ( ax 0 x R ) Tính đơn điệu:
* a > : y a x đồng biến R * < a < : y a x nghịch biến R
6 CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN:
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM: C/ =
( xn )/ = n xn – ( un )/ = n un – u /
( u + v – w )/ = u/ + v/ - w/
( k.u )/ = k u/ (u.v)/ = u/.v + v/ u
/ / /
u u v v u
v v
/ /
1 v
v v
/
2
1
x x
/ /
1 u
u u
x / 21 x
/ /
2 u u
u
( sinx)/ = cosx ( sinu )/ = u/ cosu
( cosx )/ = – sinx ( cosu )/ = – u/ sinu
/ 2
1
tan tan
cos
x x
x
/
/ / 2
2
tan (1 tan )
cos u
u u u
u
/
2
1
cot (1 cot )
sin
x x
x
/
/ / 2
2
cot (1 cot )
sin u
u u u
u
1 Định lý 1: Với < a : aM = aN M = N
(5)( loga x )/ =
1 ln
x a ( log
a u )/ = /
.ln u u a ( ln|x| )/ =
1
x ( ln|u| )/ =
/
u u
( ex ) / = ex ( eu )/ = u/ eu
( ax )/ = ax.lna ( au )/ = u/ au lna
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM:
Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( soá) ax + C
x
1
1
x C
(ax b )
1 a
1
( )
1
ax b C
x ln x C
ax b lna ax b C
x a ln x a C a x
e ex C
eax b 1eax b C
a
sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos(ax b C)
a
cosx Sinx + C cos(ax+b) sin(ax b C)
a
2
1 cos x
tanx + C
2
1
cos (ax b ) tan(a ax b C )
2
1 sin x
-cotx + C
2
1
sin (ax b ) cot(a ax b C ) CHÚ Ý:
/( )
( )
u x u x
ln ( )u x C
2
1
x a 21 lna x a Cx a
tanx ln cosx C
2
1
x a
2
ln x x a C
cotx ln sinx C
CƠNG THỨC TÍCH PHÂN: ĐỊNH NGHĨA:
TÍNH CHẤT:
( ) ( ) ( ) ( ) b b a a
(6)
( )
a a
f x dx b ( ) a ( )
a b
f x dx f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du
A GIẢI TÍCH: CHƯƠNG I:
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :
+ y = f(x) đồng biến ( a ; b ) ⇔ f/ (x) , ∀ x ( a; b )
+ y = f(x) nghịch biến ( a ; b ) ⇔ f/ (x) 0 , ∀ x ( a; b )
Cần nhớ : f(x) = ax2 + bx + c
* Nếu Δ<0 thì f(x) cùng dấu a
Nếu Δ=0 thì f(x) cùng dấu a ∀x ≠ − b 2a
Nếu Δ>0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2 , ta có bảng xét dấu sau:
x - ∞ x1 x2 + ∞
f(x) cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a
af( α¿<0⇔ f(x) = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < α<x2
x1≤ x2<α⇔
Δ≥0 af(α)>0
S 2<α
¿{ {
α<x1≤ x2⇔
Δ≥0 af(α)>0
S 2>α
¿{ {
Đặc biệt: +
f(x)≥0∀x∈R⇔
Δ≤0 a>0
¿{
+
f(x)≤0∀x∈R⇔
Δ≤0 a<0
(7)BÀI TẬP
1/ Xét chiều biến thiên của các hàm số: a) y = 13x3+3x2−7x −2 b) y = - x
3 + x2 – 5 c) y = - x4 + 2x2 – 1
d) y = x4 + x2 –
e) y = 3x+1
1− x f) y = x+2
x −2
g) y = x - 2x h) y = √4− x2 t) y = √x2− x −20 p) y = x + √x2−1 r) y = x2−2x
1− x 2/ Tìm m để các hàm số sau đồng biến tập xác định
a) y = x3 -3mx2 + (m + 2)x – ĐS: −2
3≤ m≤1 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m -1 ĐS: m =
2 3/ Tìm m để các hàm số sau nghịch biến tập xác định
a) y = - x3
3+(m −2)x
2
+(m−8)x+1 ĐS: −1≤ m≤4
b) y = (m−1)x
3
3 +mx
2
+(3m−2)x+3 ĐS: m
2 4/ Tìm m để các hàm số:
a) y = x3 + 3x2 + (m – 1)x + 4m, nghịch biến khoảng (-1 ; 1) ĐS: m −8
b) y = −1 3x
3
+(m−2)x2−mx+3m , nghịch biến khoảng (1 ; +∞¿ ĐS: m c) y =
3 x
3
−mx2+(6− m)x+1 , đồng biến (1 ; + ∞¿ ĐS: m d) y = mxx− m+10
+m , nghịch biến từng khoảng xác định ĐS: −
5 2<m<2 e) y = mx
2
−2 mx+1
x −1 , nghịch biến từng khoảng xác định ĐS: m f) y = 2x
2
−3x+m
x −1 , đồng biến khoảng (3 ; + ∞¿ ĐS: m 5/ a) Chứng minh hàm số f(x) = tanx – x đồng biến khỏang ¿
b) Chứng minh rằng: tanx>x+x
3
3 ∀x∈(0; π
2)
Bài 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ hàm số y = f(x,m)
+
¿ f❑
(x0, m)=0
f//(x0,m)>0
¿{
¿
(8)+
¿ f❑
(x0, m)=0
f//
(x0,m)<0
¿{
¿
⇔ Hàm số đạt cực đại điểm x0
Chú ý: + Hàm số bậc : không có cực trị hoặc có cực trị ( cực đại và cực tiểu ) + Hàm số trùng phương : Có cực trị hoặc có cực trị
+ Hàm số nhất biến : Không có cực trị
+ Hàm số 21 : không có cực trị hoặc có cực trị BÀI TẬP.
1 Tìm cực trị của các hàm só
1) y = -2x3 + 3x2 + 12x – 5 2) y = x3 – 3x2 + 3x + 1
3) y = −1 x
4
+x2
4) y = 12 x4−4x2−1 5) y = x −x
+1 6) y = -
2 x 7) y = sin2x -
√3 cosx , x∈[0; π] 8) y = 2sinx + cos2x , [0 ;
π¿ 9) y =
x2−2x+2
x −1 Tìm m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
1) y=1
3x
3
+mx2+(12− m)x+2 Đ S: m < -4, m >
2) y=x3−2 mx2+1 ĐS: m≠0
3) y=m
3 x
3
−2x2+(3m+1)x −1 ĐS: −4 3<m<1 4) y=m
3 x
3
+3 mx2−(m −1)x+3 ĐS: m<0, m>
10 5) y=x
2−mx
+2
x −1 ĐS: m <
6) y=x
2
+2x+m
x+2 ĐS: m >
7) y=mx
2
+x+m
x+m ĐS: m < 0, m >
1
8) y=− x
2
+mx−m2
x − m ĐS: m
3 Tìm m để hàm số:
1) y = x4 – mx2 + có cực trị. ĐS: m > 0
2) y = x4 – (m + 1)x2 – có cực trị ĐS : m < - 1
3) y = mx4 + (m – 1)x2 + – 2m có cực trị ĐS : < m < 1
4 Tìm m để hàm số:
1) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + đạt cực trị x = 2 ĐS : m = 1
2) y=1
3mx
3
+(m −2)x2+(2− m)x+2 đạt cực trị x = -1 ĐS : m = 3) y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = 1 ĐS : m = 3
4) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2
5) y = x
2
+mx+1
(9)Bài 3: TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ : y = f(x) có TXĐ: D
Loại 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) đoạn [ a; b ]
B1: Tìm TXĐ
B2: tính y/ = tìm nghiệm x
i , i = 1,2,3 … Chỉ nhận các giá trị xi thuộc [ a; b ]
B 3: Tính f( xi ) ,f(a), f(b) So sánh các giá trị f(xi ) ,f(a), f(b) => Kết luận
Loại 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = f(x) tập D
B1: Tìm TXĐ
B2: tính y/ = tìm nghiệm x
i , i = 1,2,3 … Chỉ nhận các giá trị xi thuộc D
B 3: Lập bảng biến thiên và kết luận BÀI TẬP.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
1) y = x3 – 3x2 + 2) y = x3 – 3x2 + đọan [-1 ; 1]
3) y = x
3
+2x2+3x −4 đọan [-4 ; 0] 4) y = x4 – 2x2 + đọan [-3 ; 2]
5) y = -x4 + 2x2 + đọan [0 ; 3] 6) y = x+1
x −1 đọan [2 ; 5] 7) y = x -
x khoảng (0 ; 2] 8) y =
x2−3x
+1
x+1 đọan [1 ; 4]
9) y = 2x2+5x+4
x+2 đọan [-3 ; 3] 10) y = √100− x
2 đọan [-8 ; 6]
11) y = 2√x −1+√5− x 12) y = (x + 2) √4− x2 13) y = x+1
√x2
+1 đọan [1 ; 2] 14) y = x + √4− x
2
15) y = 2sinx + sin2x đọan [0 ; π2 ] 16) y = √2 cos2x + 4sinx [0 ; π2 ¿ 17) y = 2sinx -
3 sin2x [0 ; π¿ 18) y = 2cosx + x [0 ; π 2¿ 19) y = sin2x + 2sinx – 20) y = cos22x – sinxcosx + 4
21) y = sin3x – cos2x + sinx + 22) y = | x3 – 3x + 1| [0 ; 3]
23) y = | -x3 + 3x2 – 3| [1 ; 3] 24) y = x
+3
x2
+x+2
25 ) y =
2 sinx+1
cosx+2 26) 2
y = x sin2x treân [ ; ]
27) y = sin x cos x sin x3 2 28) y = x – e2x đoạn [ - 1; ]
Bài 4:CÔNG THỨC CHUYỂN HỆ TỌA ĐỘ:
Công thức chuyển hệ toạ độ: Tịnh tiến theo vectơ OI❑⃗
M(x; y) hệ toạ độ Oxy M( X; Y) hệ toạ độ IXY Với I( x0;y0)
Baøi 1:
0 y Y y
x X
x M y = f(x) đối với hệ toạ độ Oxy
(10)Tìm giao điểm I tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị ( H ) hàm số Viết công thức chuyễn hệ trục toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI❑⃗
viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY
a) y = 3xx −+12 b) y = x2+1−1
Bài 2:
Cho hàm số : f(x) = x3 – 6x2 + 9x – ( C )
a) Xác định điểm I ( x0; y0 ) thuộc đồ thị ( C ) hàm số cho , x = x0
nghiệm phương trình f// (x) =
b) Viết công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI❑⃗
viết phương trình ( H )đối với toạ độ IXY
c) Từ , suy điểm I tâm đối xứng đường cong ( C )
Bài 5: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA HAØM SỐ
1) Đường thẳng y = y0 đgl Đường tiệm cận ngang ( Gọi tắc tiệm cận ngang ) đồ
thị hàm số y = f(x)
x →lim+∞f(x)=y0 lim
x →− ∞f(x)=y0
2) Đường thẳng x = x0 đgl đường tiệm cận đứng ( Gọi tắc tiệm cận đứng ) đồ
thị hàm số y = f(x)
x → xlim0
−f(x)=± ∞
x → x+0¿f
(x)=± ∞
lim
¿
3) Đường thẳng y = ax + b đgl tiệm cận xiên của đồ thị hàm sớ y = f(x) nếu: xlim [ ( ) ( f x ax b )] 0 xlim [ ( ) ( f x ax b )] 0
Chú ý:
( ) lim
x
f x a
x
; bxlim [ ( ) f x ax]
HOẶC
( ) lim
x
f x a
x
; b xlim [ ( ) f x ax]
Bài tập Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên ( có ) của các hàm số sau:
a) y = 2xx −+21 b) y = 5−3x2
1− x2
c) y = √x2+2
x −1 d) y = √
x2
+1
x+1
e) y = −3x
√x2+3 f) y =
x
√x2−9
m) y = 4− xx
n) y =
2 3 3
2( 1) x x
x
(11)Bài 6: KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ HAØM SỐ
Bước 1: Tìm tập xác định xét tính chẵn ,lẻ ,tuần hồn hàm số (nếu có ) Bước 2: Xét biến thiên hàm số
Tìm giới hạn vơ cực đường tiệm cận hàm số ( có )
Lập bảng biến thiên hàm số từ suy hàm số đồng biến , nghịch biến ,
cực đại, cực tiểu , lồi , lõm , điểm uốn ( Nếu có ) Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số
Vẽ đường tiệm cận hàm số ( có )
Tìm giao điểm với trục toạ độ ( Nếu đồ thị không cắt trục toạ độ giao
điểm phức tạp bỏ qua )
Tìm số điểm khác , ngồi điểm cực đại , cực tiểu, điểm uốn để vẽ đồ thị
chính xác
Bài 1: Khảo saùt bieán thiên vẽ đoà thị caùc hàm soá sau:
a) y = x3 + 3x2 –
c) y =
e) y = - x4 – 2x2 +
b) y = – x3 + 3x2 – 4x +
d) x4 – 2x2 – f) y =
2 1 x x
g) y =
2
x x
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN: Cho hàm số : y = f(x) , ( C )
Loại 1: phương trình tiếp tuyến M ( x0; y0 ) thuộc ( C )
y – y0 = f/ ( x0 ) ( x – x0 )
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến biết trước hệ số góc : k Cách 1: Gọi M ( x0; y0 ) là tiếp điểm của ( C ) và tiếp tuyến
Ta có : f/ ( x
0 ) = k giải tìm tiếp điểm
=> phương trình tiếp tuyến : y – y0 = k ( x – x0 )
Cách 2: Ta có phương trình tiếp tuyến có dạng: y = kx + m
C 1: Tìm m điều kiện nghiệm kép của PThđgđ: f(x) = kx + m C 2: Ta giải điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến và ( C ):
¿
f(x)=kx+m f❑
(x)=k
¿{
¿
Loại 3: phương trình tiếp tuyến qua M ( x0; y0 )
Chú ý: // d = kd
(12)Gọi ( Δ ) là phương trình đường thẳng qua M ( x0; y0 ) và có hệ số góc k có dạng:
y = k ( x – x0 ) + y0
Tìm k cách cách sau:
Cách 1: Tìm k điều kiện nghiệm kép của PThđgđ: f(x) = k ( x – x0 ) + y0
Cách 2: Ta giải điều kiện tiếp xúc của ( Δ ) và ( C ):
¿
f(x)=k(x − x0)+y0
f❑
(x)=k
¿{
¿ BÀI TẬP.
1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a) Tại điểm uốn của (C) b) Tại điểm có tung độ -1
c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x –
d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y =
2 Cho (C) : y = x −x
+2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox
b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x –
c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x
d) Đi qua giao điểm của hai tiệm cận 3.Cho (C ) : y = x2+x −1
x −1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ): a) Tại điểm có hòanh độ x =
b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + = c) Vuông góc với tiệm cận xiên
4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) a) y = x3 – 3x + qua điểm A(1 ; 0)
b) y = 12 x4−3x2+3
2 qua điểm A(0 ; 2¿ c) y = x+2
x −2 qua điểm A(-6 ; 5) d) y = x
2
−4x+5
x −2 qua điểm A(2 ; 1)
ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG y = f(x,m)
+ Giả sử M(x0; y0 ) là điểm cố định
+ Lập phương trình : y0 = f( x0; m ) , ( 1) Coi m là ẩn số , x0, y0 là tham số
+ Biến đổi ( ) về dạng :
Ak(x0; y0 ) mk + Ak-1(x0; y0 ) mk-1 + + A0(x0; y0 ) = + Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ :
¿ Ak(x0, y0)=0
Ak −1(x0, y0)=0
A0(x0, y0)=0
¿{ { {
(13)BÀI TẬP.
1) Cho hàm số y = 2
x x
( H ) Chứng minh đường thẳng y = mx + m – qua điểm
cố định của đường cong ( H ) m thay đổi 2) Cho hàm số y =
4 2( 1)
x m mx
( H ) Chứng minh với m
1
thì ( H ) qua điểm cố định m thay đổi
3) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – ) x + ( C
m ) Chứng minh đường thẳng
y = 2mx – 4m +3 và ( Cm ) có điểm chung cố định m thay đổi
4) Cho hàm số y = x3 + ( m – )x2 – ( m + ) + m – ( C
m ) Chứng minh ( Cm ) qua
điểm cố định m thay đổi
SỰ TIẾP XÚC CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG. Cho hai họ đồ thị : ( C m ) : y = f( x, m ) ; ( Lm ): y = g(x, m )
Xác định các giá trị của m để ( C m ) tiếp xúc với ( Lm )
Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm của ( C m ) và ( Lm )
f( x, m ) = g(x, m ) ( )
( C m ) tiếp xúc với ( Lm ) ⇔ ( ) có nghiệm bội ( Thường là nghiệm kép )
Cách 2: Hệ phương trình : ¿
f(x , m)=g(x , m)
f❑
(x , m)=g❑(x , m)
¿{
¿
( )
( C m ) tiếp xúc với ( Lm ) ⇔ ( ) có nghiệm ⇔ Chúng có điểm chung và điểm
chung đó chúng có chung tiếp tuyến BÀI TẬP.
1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị:
a) y = x3 + 4x2 + 4x + và y = x + 1 b) y = x3 + 3x2 + và y = 2x + 5
c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4 d) y = x4 + 4x2 – và y = x2 + 1
2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1) (x2 + mx + m) cắt trục hòanh ba điểm phân biệt
3) Tìm m để đồ thị hàm số y = x
3
− x+m cắt trục hòanh ba điểm phân biệt 4) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m + 1)x2 + 2m + không cắt trục hịanh.
5) Tìm m để đồ thị hàm sớ y = x4 – 2x2 – (m + 3) cắt trục hòanh điểm phân biệt.
6) Tìm m để đường thẳng y = mx + 2m + cắt đồ thị hàm số y = 2x −1 x+1
a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị
7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + cắt đồ thị hàm số y = 2x2+3x+3 x+1
a) Tại hai điểm phân biệt
b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị
8) Tìm m để đường thẳng qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số y = x+2
2x+1
a) Tại hai điểm phân biệt
(14)9) Chứng minh (P) : y = x2 -3x – tiếp xúc với (C) : − x2+2x −3
x −1 10) Tìm m cho (Cm) : y = x
2
+m
x −1 tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + tiếp xúc với trục hòanh.
12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.
DỰA VÀO ĐỒ THỊ BIỆN ḶN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: Bài tốn: a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x)
b) Dùng đồ thị ( C ) biện luận số nghiệm của phương trình : g(x,m ) = Dạng 1: Từ g(x,m ) = ⇔ f(x) = h(m)
Với h(m) là đường thẳng song song với Ox Dạng 2: Từ g(x,m ) = ⇔ f(x) = h(x, m)
Với h(x, m) có dạng y = kx +m , đó k là số biết Ta giải hệ điều kiện tiếp xúc :
¿
f(x)=kx+m(1)
f❑
(x)=k(2)
¿{
¿
Giải (2) tìm x , x vào ( 1) tìm m
VD: a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 + x
b) Dùng đồ thị ( C ) biện luận số nghiệm của phương trình : x3 – 2x2 – m =
BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Cho hàm số y2x3 9x212x 4 (C).
1 Khảo sát, vẽ (C)
2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 9x212x m 0.
Bài 2: Cho hàm số: y x 3 3x2 (C).
1 Khảo sát, vẽ (C)
2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
2 3 2 2m
x x
m
Bài 3: Cho hàm số: y(x1) (22 x) (C).
1 Khảo sát, vẽ (C)
2 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: (x1) (22 x) ( m1) (22 m). Bài 4:
1 Tìm hàm bậc f x biết triệt tiêu x1;
8 x
qua cực tiểu 4
x .
2 Khảo sát, vẽ đồ thị (C) yf x
3 Biện luận theo m số nghiệm phương trình: f x m
Bài 5: Cho hàm số: y x 3 1 m x( 1) (Cm).
(15)2 Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m
Baøi 6: Cho hàm số: y mx 32mx2(1 m x) 3 2m(Cm).
1 Khảo sát, vẽ đồ thị (C) với m=1
2 Chứng minh (Cm) qua điểm cố định thẳng hàng
Baøi 7: Cho hàm số: y(m 2)x3 mx2 (Cm).
1 Khảo sát vẽ đồ thị (C) với m=-1
2 Tìm m để hàm số khơng có cực đại, cực tiểu
3 Chứng minh (Cm) qua điểm cố định thẳng hàng
Bài 8: Cho hàm số: y x 3 mx m 2 (Cm).
1 Khảo sát với m=3
2 Tìm điểm cố định (Cm) với m
Bài 9: Cho hàm số: y x 3 2x2 (m1)x m (Cm).
1 Khảo sát, vẽ (C) với m=2 Tìm m để (Cm) tiếp xúc với Ox
Baøi 10: Cho haøm soá: y x 3 3(m1)x2(2m2 3m2)x m m ( 1) (Cm).
1 Khảo sát với m=1
2 Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt
Bài 11: Cho hàm số: y x 33x2mx1 (Cm).
1 Khảo sát với m=3
2 Tìm m để (Cm) cắt (C): y x 32x27 điểm phân biệt. Bài 12: Cho hàm số: y(m 1)x3x2 m (Cm).
1 Khảo sát với m=2
2 Chứng minh (Cm) qua điểm cố định với m
Bài 13: Cho hàm số: y x 32(1 ) m x2(5 ) m x2(m5) (Cm).
1 Khảo sát với m=0
2 Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt
Bài 14: Cho hàm số: y x 3 3(m1)x22(m24m1)x (m m1) (Cm).
1 Khảo sát với m=0
2 Tìm điểm cố định (Cm)
3 Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt
Bài 15: Cho hàm số: y x 3 (m1)x2 (2m2 3m2)x2 (2m m1) (Cm)
1 Khảo sát với m=0
2 Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt
Baøi 16: Cho hàm số: y x 3mx2 1 (Cm).
1 Khảo sát với m=-3
2 Tìm m để (Cm) cắt yx1 điểm phân biệt. Bài 17: Cho hàm số: y x 3 4x24x (C).
(16)2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(4;16)
Bài 18: Cho hàm số: y x 3 9x215x2 (C).
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến qua A(
1
;9)
Baøi 19: Cho hàm số: y x 3 3x4 (C).
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Biện luận phương trình: x3 3x m 3 3m.
Bài 20: Cho hàm số: y x 3 3x22 (C).
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Vieát phương trình tiếp tuyến qua A( 23
9 ;-2).
Bài 21: Cho hàm số: y4x3mx (Cm).
1 Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số với m=-3
2 Tìm m để hàm số đơn điệu tập xác định Khi hàm số đồng biến hay nghịch biến
Bài 22: Cho hàm số: y x 3 ax2 x 1.
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với a=2 Tìm a để hàm số khơng có cực trị
Bài 23: Cho hàm số: y mx 3 3x2 3x2 (Cm).
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m=2 Tìm a để hàm số ln nghịch biến
Bài 24: Cho hàm số
3
1
( 1) 3( 2)
3
y mx m x m x
Khảo sát hàm số với m1.
2 Tìm m để hàm số ln đồng biến
Bài 25: Cho hàm số y x 3 3x23mx 1 m (Cm)
1 Khảo sát hàm số với m1.
2 Tìm m để hàm số có cực trị
Bài 26.a. Khảo sát hàm số y = 12 x4 – 3x2 +
b. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số điểm uốn c. Tìm tiếp tuyến (C) qua điểm A(0 ; 32 )
Bài 27 Cho hàm số y = –x4 + 2mx2 – 2m + (C m) a. Biện luận theo m số cực trị hàm số
b. Khảo sát hàm số y = –x4 + 10x2 –
c. Xác định m cho (Cm) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt. Bài 28 a. Khảo sát hàm số y = x4 – 4x2 + ( C )
(17)c. Tìm giá trị của m cho phương trình : |x4 – 4x2 + 3| + 2m – = có 8
nghiệm phân biệt
Bài 29.a. Khảo sát hàm số y = 3xx++22
b. Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đường sau : y = ¿3x+2∨x+¿2
¿ , | y | = 3x+2
x+2 .
Baøi 30 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y =
2 x x
( H )
b CMR với m 0, đường thẳng y =mx – 3m cắt đường cong (H) điểm
phân biệt, đó có nhất giao điểm có hoành độn lớn
Baøi 31 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y =
4 x x
( H )
d. CMR parabol ( P ): y = x2 + tiếp xúp với đường cong (H).Xác định tiếp
điểm và viết phương trình tiếp chung của ( H ) và ( P )
e. Xét vị trí tương đới của ( P ) và ( H ) ( tức là xác định khoảng đó (P) nằm phía hay phía ( H ))
Bài 32.a. Khảo sát hàm số y = xx++31
b. Gọi (C) đồ thị hàm số cho CMR đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) taiï hai điểm phân biệt M N
c. Xác định m cho độ dài MN nhỏ Bài 33: Cho hàm số
2 1
1
x mx y
x
(1)
Định m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B cho OA OB .
Bài 34: Tìm m để tiệm cận xiên hàm số
2 1
1
x mx y
x
cắt trục toạ độ hai điểm A,B
cho dieän tích tam giác OAB Bài 35: Cho hàm soá
2 3
1
x y
x
Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2;
2
5 ) cho (d) cắt đồ thị (C) hai điểm phân A,B M trung điểm AB
Bài 36: Cho hàm số y=− x
2
+3x −3
2(x −1) (1) Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1)
hai điểm A,B cho AB=1
Bài 37: Cho hàm số y(x1)(x2 mx m ) (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với trục
(18)1)
4 3 0,75
2
1 4
1
/ : 0, 25 / : ,
16
a a a
a Ti nh b Ru t gon A a
a a a 27 5
log
5 5
3 4 5
ˆ`
2 / : / ; / log 6.log 9.log 2; / loga ; / log log ( )
nla n
a a a
Ti nh a b c d
a
) Biểu diễn log308 qua log305 và log303
4) Chứng minh đẳng thức sau :
a/
1 2
2
1 1
2 2 2
1
0
a a a
a
a a a a a
b/ a23a b4 b23a b2 (3a2 3b2 3)
5) Rút gọn biểu thức:
A = 2 1 2
1 4 3
3 2 9 4 a a a a a a a a
với < a 1, 2
3
C =
2 1 1 1 2 x x ab
với x =
1 a b b a
a, b < 6) Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A =
6
log a biết loga821
b) B = a
b b a 2 log
biết logab =
c) C = log932 biết log26 = a d) D = log3016 biết a = lg3 và b = lg5
7) Cho m = log23 và n = log25 Tính theo m và n giá trị của các biểu thức:
A = log26135 B = log26 0,3 C = 10
3 log30
D = log22250 E = log26 360 8) Cho a = log1218 và b = log2454 CMR: ab + 5(a - b) -1 =
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau:
2
/ x 3sin ; / ln a y xe x b y x x cosx
2
1
/ ; / ln
2
x x
x
x e
c y e d y
e
Bài 2 : a/Cho hàm số y=x.sinx Giải phương trình y+ y// - =
b/Cho hàm số y= x3 – 2x2 + x Giải bất phương trình y/ >0
Bài 3: cho hàm số y = sin2x chứng minh rằøng: (y// )2 – (2y/ )2 = cos4x Bài 4:
a/ Cho hàm số y= sinx + cosx Giải phương trình y-y/ = 1.
b/Cho hàm số f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x
Tính f/(x), f//(x) f/(0), f//().
(19)c/ cho hàm số y=f(x)= sin2x – 5cosx – 3x giải phương trình f/(x) = 0.
Bài 5: a/ y= x −x
+4 chứng minh
¿ 2y❑
¿
= (y– 1) y''
b/ y= esinx chứng minh
y' cosx –y.sinx – y'' = c/ y= ecosx chứng minh y/.sinx + y cosx + y// =
d/ y= 2x x chứng minh y3 y// + = 0
Bài 6:
a/ Cho y = x3–3x2+2 Tìm x để: a/ y’> b/ y’<
b/ Cho y =
2 1
1
x x x
Tìm x để: a/ y’> b/ y’< 0.
c/ Cho hàm số y = ln(cosx) Chứng minh: y’tanx – y” – = d/ Cho hàm số y = ln2x Chứng minh : x2.y” + xy’ – = 0.
Baøi : Cho h/s y=x.ex CMR: y+y" - 2y' =0 Bài 8: Cho hàm số y =
1 ln
1x Chứng minh x y/ + = ey
Bài 9: Chứng minh ( giả sử biểu thức sau cho có nghĩa) a)
log log log ( )
1 log
a a ax
a
b x
bx
x
b)
1 1 ( 1)
loga loga logan 2loga n n
x x x x
c) cho x, y > vaø x2 + 4y2 = 12xy
Chứng minh: lg(x+2y) – lg2 =
lgx + lg y d) cho < a 1, x >
Chứng minh: log ax
2
2
1
log (log ) a a x x
Từ giải phương trình log3x.log9x =
e) cho a, b > a2 + b2 = 7ab chứng minh: 2
1
log (log log )
a b
a b
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
LOẠI 1: áp dụng công thức định nghĩa
1) log2x−3x=2 2) log3x −log9x=5
3) log3x+log93x+log27x=5
3
LOẠI 2: ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ: 1) 2x2
− x−22+x− x2
=3 2)
2log√2(x+3)+
1
4 log4(x −1)
(20)3) (1 2)
x2−3x +1
=2 4) 3x
2−4x +1
=1
9 5) 2x2
−6x −52
=16√2 6) 16
− x
=82(1− x)
7) 2x2
−5x+6
=1 8) log2x+log2(x −1)=1
9) log3(2x+1)=2 log2x+13+1 10) log2x+log4x=log1
√3 11 ) xlg1x
=10x4 12) 16
1
x−2−
x+2
=0 25
3x+7
x2
−4
13) 52x=625
14)
x −2¿2 ¿ logx¿
x¿ LOẠI 3: Dạng đặt ẩn phụ
1) 3.8x + 4.12x - 18x - 2.27x = 0 2)
9x+6x=2 4x
3) (√7+4√3)sinx+(√7−4√3)sinx=4 4) log2(x+1)=logx+116
5) 32x2+2x+1−28 3x2+x
+9=0 5) 4x −√x2−5−12 2x −1−√x2−5+8=0
6) 4x 2.2x1 4 0 6) 22+x22 x=15
7) Cho phơng trình:
342x22 32 x2+2m −3=0 (1)
a) Giải phơng trình (1) m = b) Xác định m để phơng trình (1) có nghiệm
8) x.lg2 + lg(1+2x) = lg6
9) 101+x2
−101− x2
=99
10) xlg1x
=10x4 11) log2x log22x=log24x 12) lg2x −3 lgx
=lgx2−4
13) log2
2x
+
1+log2x=3
14) log2(9−2x)=3− x
15) logx2−log4x+7
6=0 16)
x x x
6.9 13.6 6.4 0
17) log (9 x 6) log (4.3 x 6)
18)
2
(8 )
log x x
LOẠI : ĐẶC NHÂN TỬ CHUNG Biến đổi phương trình dạng tích số A.B = 0
1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 2) 12 3x
+3 15x−5x+1=20
3) 2x2+x−4 2x2− x−22x
+4=0 4) log x 2.log x log x.log x2 7 2 7 5) log29x=log3x log3(√2x+1−1)
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARÍT
1)
3
3
2log 4x 3 log 2x3 2 2) log1
(4x+4)≥log1
(22x+1−3 2x) 3) (2,5)x−2(0,4)x+1+1,6<0
4) log1
4x+6
x ≥0 ⇒ x ¿
5) lg2x-lgx3+2 0 ⇒ x ¿∪¿ 6) lg(x+4)+lg(3x+46)>3 ⇒ x 6
7) log5√x −2≥logx1
5 ⇒ x (1;+∞) 8) log7x −logx
1
7≥2 ⇒ x
(21)9) log92x ≥log32√1−x4 ⇒ x=2 v x ¿ 10)
log1
2
log2logx −19>0 ⇒ x (4;10)
11) 12+log9x −log35x>log1
3
(x+3) ⇒ x (0;∞)
12) log4(3x−1)log1
3x−1 16 ≤
3
4 ⇒ x
[0;1
3]∪¿ 13) log1
3
(3x−8)>x −2 14) log
2log0,5(2
❑x−31
16)≤2 15) 31x+3
+3
1
x
>84 ⇒ 0<x<1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARÍT:
1)
¿
log3x+log3y=2+log32
log27(x+y)=23
¿{
¿
⇒ (3;6) & (6;3) 2)
¿
log2x+2 log2y=3
x4
+y4=16
¿{
¿
⇒ ( 2√2 ;
√8 )
3)
¿
5 log2x=log2y3−log√22
log2y=8−log√2x
¿{
¿
⇒ (2
√2 ;
32
3
√2 )
4)
¿ xlog3y
+2ylog3x
=27
log3y −log3x=1
¿{
¿
⇒ (3;9) & ( ; ) 5) ¿ xlog8y
+ylog8x
=4
log4x −log4y=1
¿{
¿
⇒ (8;2) & ( ;
8 )
6)
¿
2(logyx+logxy)=5
xy=8
¿{
¿
⇒ (4;2) & (2;4)
7)
¿
logxlog2logxy=0
logy9=1 ¿{
¿
8)
¿ 9x2− y2=3
log3(3x+y)−log3(3x − y)=1
¿{
¿ 9)
¿ x2− y2=2
log2(x+y)−log3(x − y)=1
¿{
¿
10)
¿ logxy=2
logx+1(y+23)=3
¿{
¿
⇒ (2;4)
(22)1) I =
3
sin x dx
2) I =
4
sin x dx
3) I =
0
π
2
❑ sin2 x.cos2xdx
4) I =
2
(2cot x 5)dx
5) I =
π
4
π
2
1
sin4x dx 6) I =
1
2
3
1
dx
x 4 x
7) I =
2
1
dx
x 16 x
8) I = cos xdx
9) I =
3
0
x x dx
10) I =
5
0
x x dx
11) I =
x
dx 2x 1
12) I = e sin(ln x) dx x
13) I =
3
0
x (x 1) dx
14) I =
2
(1 x ) dx
15) I =
x ln x e dx
(e 1)
16) I = e e ln x dx x
17) I =
2
1 dx
x 3
18) I =
2
1
dx 4 x
19) I =
2
3
dx
x 4x 5
20) I =
x
0
e sin xdx
21) I =
3
dx
x 9 x
22) I =
x
e dx
23) I = e
2
ln x dx
24) I =
e
x(2 ln x)dx
25) I = ln x dx x
26) I =
(23)27) I =
2
2
x
dx 4 x
28) I =
2
1
dx
x (x 1)
29) M = /
2
(x 1)sin xdx
30) I= 0
1
x3√1− x2dx
31) I =
.ln
e e
dx x x
32) I =
2
2x1 lnxdx
33) I =
.sin x xdx
34) I =
1
x
x e dx
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I DIỆN TÍCH HÌNH PHẦN: S =
a b
|f(x)− g(x)|dx A
1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= sinx+1 , trục hoành đờng thẳng x= 0,
x=7π
6
2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 4-x2 , trục hoành đờng thẳng x= 0, x = 3
3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= cos2x , trục hoành đờng thẳng x= 0, x=π
4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 1-x2 , trục hoành đờng thẳng x= 0, x = 3
5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= 4+x2 , trục hoành đờng thẳng x= 0, x = 3
6/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn a/ Đồ thị hai hàm số y=x , y=3
x
b/ Đồ thị hai hàm số y=2x2, y=x42x2 miÒn x ≥0
c/ Đồ thị hai hàm số y=x2−4, y=− x2−2x đờng thẳng thẳng x = -3 x = -2
d/ §å thị hai hàm số y=x24, y= x22x
II Thể tÝch cđa vËt thĨ V=π a b
f2(x)dx quay quanh Ox
1/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= xex/2, y=0, x= 0, x= Tính thể tích khối trịn xoay to
thành quay hình A quanh Ox
2/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= cosx, y=0, x= 0, x=π/4 Tính thể tích khối trịn xoay
(24)3/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y= x3, y=0, x= 0, x= Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành
khi quay h×nh A quanh Ox
4/ Cho hình phẳng A giới hạn đờng y=x1/2ex/2, y=0, x= 0, x= Tính thể tích khối trịn xoay tạo
thµnh quay h×nh A quanh Ox
SỐ PHỨC 1 Căn bậc hai số phức`
Cách giải tổng quát
Ví dụ : Tìm bậc hai số phức : 3+4i Tìm bậc hai số phức sau :
a/ 1+43i , b/ 4+6√5i , c/ −1+−2√6i , d/ 3−4i , e/ i, f/ -4 2 Dạng : Phơng trình bậc hai Az2 +Bz + C =0
Cách giải tổng quát
Ví dụ: Giải phơng trình a/ z2 z+1
=0 b/ z2+ (−2+i)z −2i=0 Bµi tËp tự luyện
Giải phơng trình sau a/ z2− z −1
=0 , b/ z2+2z+5=0 , c/ z2+ (1−3i)z −2(1+i)=0 , (z2+i) (z2−2 iz−1)=0
2 a/ z+1
z=1 , b/ z+
z=√2 , c/ z+ z=2i
3 T×m b, c cho phơng trình : z2
+bz+c=0 có nghiƯm lµ : 1+i
câu 4. Giải các phương trình sau tập số phức
Sè phøc w=a+bi có bậc hai số phức z=x+yi
w=z2⇔
x2− y2=a
2 xy=b
¿{
Ta cã Δ=B2
−4 AC
* NÕu Δ≠0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt
z1= B+
2A , z2=
− B − δ
2A với bậc hai
* NÕu Δ =0 th× z1=z2=
(25)A z2 2z 13 0 B z2- 2(2+i)z+(7+4i)=0 C x2 4x 0
D x2 – 6x + 29 = 0 E x3x2 x 0 F x2 4x 5 0
F x2 5x 7 0 G x3+x −2=0 H x4− x2−12=0
Câu 5. Tìm mô đun của số phức Cho số phức
5 3 i z
i
Tínhz12
Câu 6. Tìm nghiệm phức của phương trình sau: (2-3i).z -4 +5i = - 4i
Câu 7. Tìm số phức z biết :
A (2 - 3i )z - (1 + i)2 = + 5i B |z+2|=|z−i| và phần thực bốn lần phần ảo.
C |z −1|=|z+2| và z la sụ thun ao
Cõu 8.Tìm tập hợp ®iĨm M biĨu diƠn sè phøc z tháa m·n:
a z 1 b z i z 3i
Cõu 9.Tìm tập hợp điểm M biĨu diƠn sè phøc z tháa m·n:
a. z -3i lµ sè thùc b. z - + i số ảo c. z z d
z 3i z i
va z số thực. Dạng : Dạng lợng giác số phức
Bài tập tù lun :
ViÕt c¸c sè phøc sau díi dạng lợng giác
a/ 13i , b/ 1 i , c/ (1− i)(1+√3i) , c/ 2−5i
1+2i , e/ (1− i)2i , f/
1
1+2i , g/
icosϕ+sinϕ
D¹ng : øng dơng cđa công thức Moa-vrơ Công thức Moa-vrơ
1/ Tính a/ (3−i)6 , b/
(1+13i)
6
2/ Tìm bậc hai số phức sau : 3-4i, 4+3i, 1+i, 3, 4i,
2i+1
Dạng lợng giác số phức z=a+bi z=r(cos+isin)
víi r=√a2
+b2 cosϕ=ar,sinϕ=br
TÝnh r=√a2
+b2 , xác định acgumen ϕ thoả m nã : cosϕ=ar,sinϕ=br
(26)HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Thể tích khối chóp :
V B h Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Thể tích khối lăng trụ:
.
V B h
Với B: diện tích đáy h: chiều cao
Thể tích khối hộp:
.
V B h
Với B: diện tích đáy h: chiều cao
Thể tích khối hộp chữ nhật:
.
V a b c
Với a, b, c là ba kích thước( chiều dài, chiều rộng, chiều cao) của nó
Diện tích xung quanh hình nón: Sxq rl
Với r: bán kính của hình nón l: độ dài đường sinh của hình nón
Thể tích khối nón:
V B h Với B là diện tích đáy
h: là chiều cao Diện tích xung quanh hình
trụ: Sxq 2rl
Với r bán kính của hình trụ l: độ dài đường cao
Thể tích khối trụ: V B h. Với B: diện tích đáy
h: chiều cao
Diện tích mặt cầu:
4
S r
Với r: bán kính mặt cầu
Thể tích khối cầu:
3
4 3
V r Chu vi đường tròn C 2R Diện tích đường trịn S R2
A B
C
Diện tích tam giác vng S =
1
2AB.AC
Diện tích tam giác S =
1 2a.ha =
1 2b.hb =
1 2c.hc
=
2a.b.sinC =
2b.c.sinA=
= p.r = a b c
R
P=
a b c
: là nửa chu vi r là bán kính đường trịn nội tiếp R là bán kính đường trịn ngoại tiếp
VÝ dơ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a√3 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bµi tËp tù gi¶i
Bài 1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a SA = b Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b
Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a góc SAC 450 Tính thể tích khối chóp
(27)Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể
tÝch cña khèi chãp S.ABCD theo a
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc mp(ABCD) ,
cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc 300 Tính thể tích khới chóp
Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , cạnh bên SA vuông
góc với đáy Biết SA = BC = a Mặt bên SBC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi I là trung điểm cạnh BC Chứng minh SA vuông góc với BC và tính thể tích khới chóp S.ABI theo a
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vng góc với
đáy Tính khoảng cách từ A đến (SBC) biết SA = a√6
2
Bài Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng AD và BC
Bài 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD a √3
6 Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và thể tích khới chóp S.ABCD
Phơng pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và có AB = a góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể
tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a
Bài tập tự giải
MT CẦU
Bài Một mặt cầu qua tám đỉnh hình lập phơng cạnh a a Tính bán kính mặt cầu theo a
b Tính diện tích thể tích hình cầu
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh
bªn SB b»ng a√3 TÝnh thĨ tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a
Bớc : Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp đa giác đáy
Bớc : Dựng đờng thẳng qua tâm vng góc với mặt phẳng đáy( đờng thẳng gọi trục đờng tròn)
Bớc : Dựng mặt phẳng trung trực cạnh bên
(28)Bi Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a
Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a và góc cạnh bên mặt đáy 600
a/ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp h×nh chãp S.ABC theo a b/ TÝnh diƯn tÝch cđa khãi cÇu
Cõu 5:Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với nhau.OA = a, OB = b, OC = c
a) Xác định tõm va tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
b) Tớnh thờ tớch mặt cầu ngoại tiÕp tø diƯn OABC
Cõu 6:Cho hình chóp tứ giác ABCD, cạnh đáy AB = a, cạnh bên SA = a √2 a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
b) Tớnh thờ tớch mặt cầu ngoại trờn
Cõu 7: Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD hình chữ nhËt cã AB = 2a, AD = a,
SA (ABCD); SA = 3a
a Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b Tớnh thờ̉ tớch mặt cầu ngoại trờn
Cõu 8: Cho tứ diện ABCD cạnh a, Gọi H hình chiếu vng góc A (BCD) a) Tính AH
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Cõu 9: Cho ba nửa đờng thẳng Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng góc xOy = 900 góc yOz = 600 , góc
zOx = 120 Trên Ox, Oy, Oz lần lợt lấy điểm A, B, C cho OA = OB = OC = a a) CM: ABC vuông B
b) Gọi I trung điểm AC CM: OI (ABC)
c) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
MẶT TRỤ
Bài 1/ Cho hình trụ có bán kính đáy R diện tích xung quanh Sxq=4πR2 Tính thể tích khối
trơ
Bài 2/ Cho hình trụ có bán kính đáy R thể tích V=3πR3 Tính diện tích xung quanh khối trụ
Bài 3/ Cho h×nh trơ cã thiÕt diƯn qua trục tam giác vuông cạnh 4a Tính diƯn tÝch xung quanh, thĨ tÝch cđa khèi trơ
Bài 4/ Cho h×nh trơ cã chiỊu cao h = 2a vµ diƯn tÝch xung quanh Sxq=4πa2 TÝnh thĨ tích khối trụ,
diện tích toàn phần khèi trơ
Bài 5/ Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ có bán kính đáy R, gọi A B hai điểm thuộc hai đáy cho AB = 3R góc AB OO’ 300 ( O, O’ lần lợt tâm đáy)
Câu 6: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy 2cm Trên đường trịn đáy tâm O lấy hai điểm A, B cho AB = 2cm Biết thể tích tứ diện OO’AB 8cm3 Tính
(29)Câu 7: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy 2cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn chiều cao và a Trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích của khới tứ diện OO’AB
MẶT NĨN
Câu 1: Cho hình chóp D.ABC có góc ABC ACB = ( < 900) và các cạnh bên DA, DB, DC tạo
với mặt đáy (ABC) các góc nhọn
1 Chứng minh chân đường cao DH của hình chóp trùng với tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Tính AH theo biết AC = a
2 Tính tỉ sớ thể tích hình chóp D.ABC và thể tích khới nón đỉnh D ngoại tiếp hình chóp đó Câu 2: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy a chiều cao 2a Biết O’ là tâm của A’B’C’D’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD Tính thể tích khới nón có đỉnh O’ và đáy (T) Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy a chiều cao 2a Biết O’ là tâm của A’B’C’ và (T) là đường tròn nội tiếp đáy ABC Tính thể tích khới nón có đỉnh O’ và đáy (T)
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 Gọi
(T) là đường trịn ngoại tiếp đáy ABCD Tính thể tích khới nón có đỉnh S và đáy (T)
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
Câu 1: Cho điểm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 )
a Xác định điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b Tìm tọa độ giao điểm hai đường chéo
Câu 2:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(3;4;-1) , B(2;0;3),C(-3;5;4)
a Tìm độ dài cạnh tam giác ABC b Tính cosin góc A,B,C
Câu 3:Trong hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;2 ; -3) , B(3 ; ; 0) , C ( -4; ; 5)
a) Chứng minh A , B ,C ba đỉnh tam giác
b) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành
Câu 4: Cho ba vectô →a = ( 2;1 ; ), b→ = ( 1; -1; 2) , →c = (2 ; 2; -1 )
a) Tìm tọa độ vectơ : u→ = →a - b→ + →c
b) Chứng minh vectơ →a , b→ , →c không đồng phẳng
Câu 5: Cho hai điểm A(1 ; ; 1) ,B(-2 ; ; 2)
a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua Oy b) Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với B qua xOy c) Tìm điểm M chia đoạn A’B’ theo tỉ số -
Câu 6: Cho điểm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; ) , C( 0; 0; ), D ( 2; ;6 )
(30)b Tìm tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD
c Tính diện tích tam giác ABC , từ suy chiều cao tứ diện vẽ từ D d Tìm tọa độ chân đường cao tứ diện vẽ từ D
PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG Viết phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
a () qua hai điểm M( 1; -1; ) , N( 3; 1; ) song song với trục Oz
b () ñi qua ba ñieåm A(1; 6; ), B( 5; 0; 4), C( 4; 0; )
c () qua hai điểm D( 1; 0; ) ,E( 0; 1; -1 ) vng góc với mặt phẳng :
(P): x + y – z =
d () qua điểm I( 3; -1; -5 ) vơng góc với hai mặt phẳng :
( 1): 3x –2y + 2z +5 = , (2 ): 5x – 4y + 3z +1 =
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng :
(1): 2x + 3y – = , (2) : 2y – 3z – = , (3) : 2x + y – 3z –2 =
a Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm M( 1;3; -4 ) và chứa giao tuyến cuûa(1) ,
(2)
b Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua giao tuyến (1) ,(2) đồng thời vng góc
với (3)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : d1::
¿
2x − y+4z−5=0
x=y −2z −1=0
¿{
¿
, (d2) :
¿ x=1−t
y=2+3t
z=2t
¿{ {
¿
Viết phương trình mặt phẳng () qua (d1) song song với (d2)
Viết phương trình mặt phẳng (1) qua M (1 ;–3; ) song song với hai
đường thẳng (d1), (d2)
4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.Cho điểm M( 2;-1 ; 1) đường thẳng d:
¿
2x − y+3z −8=0
x+2y −2z+3=0
¿{
¿
(31)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x1=y+1
2 = z −2
−2 vuông
gócvới mặt phẳng (Q): 2x – 3y + z + =
ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng ( Δ ):
a Qua hai ñieåm M( 2; -3; 5), N( 1; -2; 3)
b Qua A(1; -1; 3) song song với BC B(1; 2; ),C(-1; 1; 2) c Qua D(3; 1; -2) vng góc với mặt phẳng 3x + 4y – 2z +5 =
Bài tập :
1 Cho đường thẳng (d) có phương trình tổng quát
¿
3x −2y+z −10=0
x+2y −4z+2=0
¿{
¿
Hãy viết phương trình tham số phương trình tắc (d) Cho đường thẳng (d) :
¿ x −2z=0
3x −2y+z −3=0
¿{
¿
mặt phẳng (): x –2y + z +5 =
Viết phương trình hình chiếu vuông góc (d) ()
3 Cho hai đường thẳng: (d1) x −31=y+2=z , (d2):
¿ x+y − z+2=0
x+1=0
¿{
¿
a.Viết phương trình đường thẳng (d) qua A( 0; 1; 1) vng góc với (d1) cắt (d2)
b Viết phương trình đường thẳng ( )Qua điểm M(1; 0; -2 )và vuông góc với hai đường
thẳng (d1), (d2)
4 Viết phương trình đường thẳng qua A( 3; -2; - 4),song song với mặtt phẳng : 3x – 2y – 3z – = đồng thời cắt đường thẳng (d): x −32=y+4
−2 = z −1
2
5 Lập phương trình đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxy cắt hai đường thẳng : (d1):
¿ x=t
y=−4+t
z=3−t
¿{ {
¿
, (d2):
¿ x=1−2t
y=−3+t
z=4−5t
¿{{
¿
(32)VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau a/ d:
¿
x+2y −3z+1=0
x+y+2z −1=0
¿{
¿
vaø d’: x −72= y
−5= z+3
−1
b/ d: x −91=y −2
6 = z −3
3 vaø d’: x −7
6 = y −6
4 = z −5
2
Bài 2: Xét vị trí tương đối đường thẳng sau :
a) d:
¿ x − y+z −1=0
2x+y+1=0
¿{
¿
vaø d’:
¿ 2x − y+1=0
3x+y − z+3=0
¿{
¿
b) d:
¿
3x+2y −25=0
2x+z −14=0
¿{
¿
vaø d’: x −42= y
−6= z+1
−8
c) d: x −91=y −2
6 = z −3
3 vaø d’: x −7
6 = y −6
4 = z −5
2
d) x −21=y −2
−2 = z
1 vaø d’ :
¿ x=−2t
y=−5+3t
z=4
¿{ {
¿
Vị trí tương đối hai mặt phẳng
Bài 1: Xét vị trí tương đối cặp mặt phẳng sau
a ( α ): x + 2y – z + = vaø ( β ): 2x + 3y -7z – = 0
b ( α ) : x – 2y + z + = vaø ( β ): 2x -y + 4z – = 0
c ( α ): x + y + z - = vaø ( β ): 2x + 2y -2z + = 0
d ( α ): 3x - 2y –3 z + = vaø ( β ): 9x - 6y -9z – = 0
e.( α ): x - y + 2z -4 = vaø ( β ): 10x - 6y + 20z – 40 = 0
(33)c) x + y + z – = vaø 2x – y + z – = d) 3x + 3y – 3z – 12 = vaø x + 4y – 4z – 16 =
Bài : Cho hai mặt phẳng có phương trình :(m2–5)x – 2y + mz + m – = vaø
x + 2y – 3nz +3 =
Tìm m , n để hai mặt phẳng : a) Song song với b) Trùng
c) Caét
Bài : Cho hai mặt phẳng : 3x – (m – 3)y +2z – = (m + 2)x – 2y + mz – 10 = Tìm m để :
a) Hai mặt phẳng song song với b) Hai mặt phẳng trùng
c) Hai mặt phẳng cắt
KHOẢNG CÁCH, GĨC
1/ Tính khoảng cách từ điểm M1(1;-3;4) , M2( 0;4 ;1) , M3( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng () :
2x –2y + z – =
2/ Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng : x+12=y −21=z−+31
3/ Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo : (1):
¿ x+y − z+5=0
2x − y+1=0
¿{
¿
vaø (2): x −11=y
+2
1 = z −3
−1
4/ Cho đường thẳng d: x+21= y
−1= z −1
−1 mặt phẳng ():x+ y + 2z – =
Tính góc d ()
5/ Tìm Oz điểm M cách điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 =
6/ Cho đường thẳng (d):
¿ x=1+2t
y=2− t
z=3t
¿{ {
¿
và mặt phẳng () : 2x – y – 2z +1 =
(34)7/ Cho hai đường thẳng (d1): x −22=y −33=z−+54 (d2): x+31=y −−24=z −−14
Tìm hai điểm M,N (d1) (d2) cho độ dài đoạn MN nỏ
MẶT CẦU
1/ Tìm tâm bán kính mặt cầu sau : a) x2 + y2 + z2 – 8x + 2y +1 =
b) x2 + y2 + z2 + 4x + 8y – 2z – = 0
c) 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 9y + 12z – =
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) trường hợp sau : a) (S) có tâm I ( 1; -2 ; ) qua điểm M( ; ; ) b) (S) có đường kính AB với A(1; ; 5), B ( 3; -2; )
c) (S) có tâm I( ; 4; ) tiếp xúc với mặt phẳng () : 2x + y – 2z + =
d) (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( 3; 2; ), B( 3; -1; ),C( 0; -7; ),D(-2;1; -1) 3/ Lập phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A( 1; 2; - ) , B( 1; - 3; )
C( 2; 2; ) có tâm I nằm mặt phẳng Oxy
4/ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2 = 4và mặt phẳng ( ): x
+ z =
Chứng minh mp() cắt mặt cầu (S)
Xác định tâm tính bán kính đường tròn (C) giao tuyến () với (S)
5/ Cho (d) :
¿ x=−t
y=−1+2t
z=2+t
¿{ {
¿
vaø mặt phẳng () :2x - y – 2z –2 = Viết phương trình mặt cầu có
tâm
I (d) cách () đoạn cắt mặt phẳng () theo giao tuyến đườngtrịn có
bán kính
6/ Cho đường thẳng (d): x2=y −1
1 = z+1
2 hai mặt phẳng(): x+ y -2z +5 = ,
() : 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm (d) tiếp xúc với hai mặt
(35)7/ Cho dường tròn ( C ) :
¿ x2
+y2+z2−4x+6y+6z+17=0
x −2y+2z+1=0
¿{
¿
a) Tìm tâm bán kinh ( C )
b) Lập phương trình mặt cầu (S) chứa đường trịn ( C ) có tâm mặt phẳng (p): x + y + x + =
8/ Lập phương trình mặt tiếp diện mặt cầu (S):x2+y2+z2 – 6x– 2y+4z+5 =0.
Tại điểm M(4; 3; )
9/ Lập phương trình mặt () tiếp xúc với mặt cầu x2+y2+z2 –26x– 2y-2z –22=
biết () song song với ( ): 3x – 2y + 6z +14 =
10/ Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d):
¿ x=4+4t
y=1+3t
z=1+t
¿{ {
¿
và tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2 + y2+ z2 – 2x + 6y+ 2z + = 0
BÀI TẬP TỔNG HỢP:
Bài 1 :Cho ba điểm A(1; -1;-3) ,B(2 ;1 ; -2) , C(-5 ; ; -6) a) Chứng minh A, B , C ba đỉnh tam giác
b) Tính độ dài phân giác ngồi góc A tam giác ABC c) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC
Baøi 2:Cho ñieåm M(1 ; ; 3)
a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M cắt ba trục tọa độ A, B, C cho
M trọng tâm tam giác ABC
b) Viết phương trình mặt phẳng (β ) qua M cắt ba trục tọa độ N, P , Q cho
M trực tâm tam giác NPQ
c) Viết phương trình mặt phẳng qua M cắt ba trục tọa độ ba điểm cách gốc tọa độ
(36)a) (P) chứa đường thẳng d song song với d’ biết :d:
¿ x=1+3t
y=3+2t
z=−2−t
¿{ {
¿
vaø d’:
¿
2x − y+z −3=0
x+2y − z −5=0
¿{
¿
b) (P) chứa đường thẳng d (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) biết : d: x −21=y+2
−3 = z −2
2 vaø (Q) : 3x +2y – z – =
Bài 4 :Viết phương trình đường thẳng d song song với hai mặt phẳng
(P) : 3x + 12y – 3z – = ; (Q) : 3x – 4y +9z +7 = cắt hai hai đường thẳng : d1: x
+5
2 = y −3
−4 = z+1
3 ,d2: x −−23=y
+1
3 = z −2
4
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc đường thẳng d mặt phẳng (P)
với : d:
¿ x=12+4t
y=3+3t
z=1+t
¿{ {
¿
vaø (P) :3x + 5y – z – =
Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A( ; ;1), B( ; ; -1), C(2 ; ; 0) , D(0 ; 2)
a Chứng minh A,B,C,D đỉnh tứ diện
b Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD c Viết phương trình đường thẳng AB
d Viết phương trình mặt cầu có tâm đường thẳng AB qua hai điểm C D
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1 ;2 ;-3) mặt phẳng (P):4x–y + 4z -15 =
a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc M (P) b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P)
(37)
¿ x2
+y2+z2−4x −6y −4z −32=0
x+4y+5z+18=0
¿{
¿
Tìm tâm bán kính (C)
Bài 9 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A(1 ; ; 0), B(-1 ; ; 2) , C( ; -1 ; 2) có tâm nằm mặt phẳng
(P): x + y + z – =
Bài 10:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm I(1;-1;2) mặt phẳng (P):3x+4y–z–23 = Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
Bài 11 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A( ; ; 1) ,B(2 ; ; 1) , C(1 ; ; 0) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 12 : Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD với A( ; 2; ), B( ; -1 ; ), C( 0; -7 ; ),D(-2 ;1 ; -1)
Bài 13 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho dường thẳng d: x −21= y+2
1 = z −2
1
hai điểm A( ;1;-1) , B(2; -1 3).Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm d (S) qua hai điểm A,B
Bài 14: Cho đường thẳng (d): x2=y −1
1 = z+1
2 vaø hai mặt phẳng(): x+ y -2z +5 = ,
() :2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu có tâm (d) tiếp xúc với hai mặt
phaúng (),()
ĐỀ THI THAM KHẢO
Đề 1:
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu 1 ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x3 3x1
1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) của hàm số
2) Dùng đồ thị ( C) , biện luận theo k số nghiệm của phương trình x3 3x k 1
Câu 2 ( ,0 điểm )
1) Giải phương trình log (3 x1) + log (3 x 2) = log 43 2) Giải phương trình z4 3z2 10 0 tập số phức
Câu 3 ( 2,0 điểm )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật , AB = a , BC = 2a Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy , cạnh bên SC hợp với đáy góc 600
(38)2) Tính thể tích của khới chóp S.ABCD II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN
Thí sinh học chương trình nào thì làm câu dành riêng cho chương trình đó ( câu 4a ,5a hoặc 4b , 5b )
A.Thí sinh Ban KHTN
Câu 4a ( 1,0 điểm ) Cho hàm số y x 3(m1)x2(m2 20)x1 ( m là tham số ) Xác định m để hàm số đạt giá trị cực đại điểm có hoành độ
Câu 5a ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình
x = t x = t
: y = -1 -2t ( ) : y = 1+2t ( )
z = - 3t z = +5t
d t d t
1) Chứng ming hai đường thẳng d và d’ cắt Tìm giao điểm I của chúng
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng d và d’ B.Thí sinh Ban KHXH – NV CB
Câu 4b ( 1,0 điểm ) Tính tích phân I =
1
(x 1)e dxx
Câu 5b ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M ( -3 ; ; ) và mặt phẳng ( P) có phương trình 2x + y + z - 13 =
1) Xác định tọa độ hình chiếu của điểm M mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu có tâm là M và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Đề 2:
A – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (3, 0 điểm)
Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 2, gọi đồ thị hàm số là (C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm của (C) với trục Oy
Câu II: (3,0 điềm)
1 Giải bất phương trình :
1
1
( ) 12.( )
4
x x
2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y =f(x) = x(ln x - 2) đoạn [l; e2]. Tính tích phân I=
1
e
sin(lnx)
x dx
(39)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a, góc cạnh bên và mặt đáy là
60
Tính thể tích khới chóp theo a
B - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm).
Thí sinh học theo chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó (phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn: Câu IV.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm: A(1 ; 2; -1), B(3; 0; 1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x - y + 3z + 1 =
1 Viết phương trình đường thẳng AB
2 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu V.a (1.0 điểm)
Giải phương trình: z2 – 3z + = tập hợp số phức (với z là ẩn)
2 Theo chương trình nâng cao: Câu IV.b (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai điểm A(1 ; 2; -1), B(3; 0; 1) và đường thẳng Δ:x −2
3 = y 1=
z+2
−2
1 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
2 Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng (Δ)
Câu V.b (1,0 điểm)
Giải phương trình : z2−(2+i)z+2i=0 tập hợp số phức (với z là ẩn)
-Hết -Đề 3:
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢC THÍ SINH ( 7,0 điểm )
Câu : ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + có đồ thị (C)
1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Dựa vào đồ thị (C) , xác định giá trị của m để phương trình x4 – 2x2 + m = có bốn nghiệm phân
biệt
Câu : ( 3,0 điểm )
1 Giải phương trình log9x+logx3=3
2 Giải hệ phương trình
¿ x+2y=1+i
3x+yi=2−3i
¿{
¿
tập số phức
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)=lnx
(40)Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A và AC = b ,góc C 600.Đồng thời đường chéo BC’ của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc
300.Tính thể tích của khới lặng trụ
B PHẦN RIÊNG ( 3,0 điểm )
Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó
1.Theo chương trình chuẩn : Câu 1: ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz , cho hai điểm A( ; -2 ; ) ; B( ; ; -2 ) 1.Viết phương trình tham số của đường thẳng d qua hai điểm A và B
2.Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với AB và cách điểm M(1; -1;0 ) khoảng Câu 2: ( 1,0 điểm )
Tính tích phân sau I= e e2
lnx x dx 2.Theo chương trình nâng cao :
Câu 1: ( 2,0 điểm )
Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz , cho điểm A( ; ; ) và đường thẳng d có phương trình : x1= y
−1= z−1
2
1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho tam giác MOA cân O Câu 2: ( 1,0 điểm )
Tính tích phân sau J=
0
x(ex+√x2+1)dx
Đề 4:
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm)
Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y2x33x21 Khảo sát biến thiên và đồ thị của hàm số
2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x33x2 1 m 0 Câu (3,0 điểm)
1 Giải phương trình
1
2
log (2x1).log (2x 2) 12
2 Tính tích phân :
2
3
x
I xe dx
3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y2x3 3x212x2 đoạn
(41)Câu (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằnga Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):
Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó
A Chương trình nâng cao Câu 4a (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3; 0; 3), B(3; 4; –2), C(4; –1; 1) Lập phương trình mặt phẳng (ABC)
2 Lập phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC
Câu 5a (1,0 điểm)
Cho số phức z 3i Viết z dạng lượng giác tính giá trị của z3 B Chương trình chuẩn
Câu 4b (2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz cho các điểm S(1; 0; –1), A(3; 0; 3), B(3; 4; –2), C(4; –1; 1) Lập phương trình mặt phẳng (ABC)
2 Tính chiều cao của hình chóp S.ABC
Câu 5b (1,0 điểm)
Giải phương trình tập số phức: x2 6x29 0 .Hết./.
Đề 5:
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7,0 điểm)
Câu I : (3,0 điểm) Cho hàm số
3 x y
x
, có đồ thị là (C)
1. Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) điểm có tung độ -2 Câu II: (3,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2
3
3
log (x 6) log x log
2. Tính tích phân:
2
os I c xdx
(42)3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )x e 2x đoạn [-1;0] Câu III: (1,0 điểm) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a, góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):
Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình đó
1 Theo chương trình chuẩn Câu IVa:(2 điểm)
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 2; 4; ) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2x – y + 2z - =
1 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (P)
Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu Va:(1,0 điểm) Giải phương trình: x2 – 3x + = tập sớ phức.
2 Theo chương trình nâng cao Câu IVb:(2,0 điểm)
Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-1;1) hai đường thẳng:
1
2 1
( ) : ; ( ) : 1
1 x t
x y z
y t
z
và mặt phẳng (P): y + 2z =
1 Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng (2)
2 Viết phương trình đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng 1, 2 và nằm (P)
Câu Vb:(1,0 điểm) Cho số phức z 3 i Viết z dạng lượng giác tính giá trị của z6.
Đề 6:
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH: (7 điểm)
Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y=3−2x
x −1 , có đồ thị (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + cắt đồ thị (C) của hàm số cho hai điểm phân biệt
Câu 2: (3 điểm)
1 Giải bất phương trình: log1
2(
2x −1 x+1 )<0
2 Tính tích phân: I=
0
π
2
(sinx
(43)3 Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x e2x , x [1;0]
Câu 3: (1 điểm)
Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, góc mặt bên và đáy 600
1 Tính thể tích của khới chóp
2 Tính tổng diện tích của các mặt bên của khối chóp II PHẦN RIÊNG: (3 điểm)
Học sinh học theo chương trình làm phần dành riêng cho chương trình (phần hoặc phần 2)
1 Theo chương trình chuẩn:
Câu 4a: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + z =
1 Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) qua A và vuông góc (P) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)
2 Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P) Câu 5a: (1 điểm) Tìm môđun của số phức z = 3i + (1 i)3
2 Theo chương trình nâng cao:
Câu 4b: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng (d) có
phương trình x −2 =
y −1 =
z
1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A (d) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (d)
Câu 5b: (1 điểm) Viết dạng lương giác của số phức z=1−i√3 Hết
Đề 7:
A PHẦN CHUNG: (Dành cho tất thí sinh). Câu I:(3 điểm)
1. Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 4.
2. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (Cm): y = x3 – 3x2 – m cắt trục hoành Ox ba điểm phân biệt
Câu II:( điểm)
1 Giải phương trình : log2(9x + 3x + – 2) = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 2 1 2x x
f ( x )
đoạn [0; 2].
3 Tính tích phân .ln
e
x x dx
(44)Trong không gian cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh Gọi V1,
V2 tương ứng là thể tích khới chóp và thể tích khới cầu ngoại tiếp khới chóp Tính tỉ sớ
1
V V .
B PHẦN RIÊNG:
(Thí sinh học theo chương trình làm theo chương trình đó). Chương trình chuẩn:
Câu IVa:(2 điểm)
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;-1), B(2;-1;3), C(4;3;-1) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
2 Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC)
Câu Va: (1 điểm)
Giải phương trình sau tập số phức: (z ẩn số)
(3 – 2i).z = 12 + 5i
Chương trình nâng cao:
Câu IVb: (2 điểm)
Trong không gian Oxyz cho điểm I(2; 1; - 1) và mặt phẳng (P) có phương trình x
– 2y + 2z +1 =
1 Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua I và (Q) // (P) Tính khoảng cách (P) và (Q) Gọi E, F, G là hình chiếu của I lên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tính diện tích
tam giác EFG
Câu Vb:(1 điểm)
Giải phương trình sau tập số phức: (z ẩn số)
(3 – 2i).z + + 3i = 13 + 8i
-HẾT -Đề 8:
A PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ BAN
Câu 1: ( 3,0 điểm )
Cho hàm số y = x3 + 3x2 – ( C )
a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( C ) b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – m – =
Câu 2: ( 3,0 điểm )
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = f(x) = sin2x –x đoạn 2;
(45)c) Tính tích phân :
3
2sin xcosxdx
Câu 3: ( 1,0 điểm )
Cho hình chóp tứ giác đều nội tiếp hình nón Hình chóp có tất cả các cạnh đều a Tính diện tích xung quanh hình nón và thể tích khới nón
B.PHẦN RIÊNG:
thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình (phần hoặc phần 2).
I. Theo chương trình chuẩn Câu a: ( 2,0 điểm )
Trong không gian (Oxyz) cho điểm A( 1;1;2 ); B( -2; 1; -1 ) ; C( 2; - 2; 1)
1 Viết phương trình đường thẳng ( AB )
2 Viết phương trình mặt cầu tâm C và tiếp xúc với đường thẳng ( AB )
3 Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua đường thẳng (AB ) và vuông góc với mặt
phẳng ( P ): x + 2y – z + =
Câu a: ( 1,0 điểm )
Giải phương trình tập số phức : 3z2 + 7z + =
II.Theo chương trình nâng cao:
Câu b : ( 2,0 điểm )
Cho hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) có phương trình : ( P ): 2x – y + z + = và ( Q ): x + y + 2z – =
a) Chứng minh ( P ) và ( Q ) cắt Tìm góc hao mặt phẳng đó b) Viết phương trình đường thẳng ( d ) qua A(1; 2; -3 ), song song với cả ( P ) và ( Q )
Câu b: ( 1,0 điểm )
Dùng công thức MOA – VRƠ tìm phần thực và phần ảo của số phức : ( + i 3)8
-
HẾT -Đề 9:
I PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ BAN (7,0 điểm). Câu (3,0 điểm)
Cho hàm số y x3 3x2 1 có đồ thị (C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2 Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có nghiệm phân biệt
3
3
x x k .
Câu (3,0 điểm)
1 Giải phương trình 4x+1
(46)2 Tính tích phân
4
0
t anx cos
I dx
x
3 Tính thể tích hình trịn xoay hình phẳng giới hạn các đường y = - x2 + 2x và y = quay quanh trục Ox
Câu (1,0 điểm)
Một hình nón có đỉnh S , khoảng cách từ tâm O của đường tròn đáy đến dây cung AB của đáy a , SAO 30, SAB 60 Tính độ dài đường sinh theo a
II PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN(3,0 điểm)
A Thí sinh Ban KHXH&NV
Câu 4a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(5;0;4), B(5;1;3), C(1;6;2)
1 Viết phương trình tham số của đường thẳng AB và mp(P) qua trọng tâm G của tam giác ABC và có vetơ pháp tuyến n⃗(1; 2; 3)
2 Tính đường cao CH của tam giác ABC (H thuộc cạnh AB)
Câu 5a (1,0 điểm)
Giải phương trình: x2 4x 5 0 Trên tập sớ phức B Thí sinh Ban KHTN
Câu 4b (2,0 điểm).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mp( ) : 2x 3y z 0 và đường thẳng (d):
x y z
2
1 Viết phương trình mặt phẳng () vuông góc với đường thẳng (d) giao điểm A của đường thẳng (d) với mặt phẳng ()
2 Viết phương trình tắc của đường thẳng () nằm mặt phẳng () , cắt (d) và vuông góc với (d)
Câu 5b (1,0 điểm).
Giải phương trình: x2 (2 i 3)x 2 0i . HẾT
-Đề 10:
A.Phần chung cho tất thí sinh: ( điểm).
Câu I (3 điểm ): Cho hàm số y = x3 3x1 ( C ).
a/ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
(47)Câu II (1 điểm ): Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
2
2 3 4
3 x
x x
trên đoạn 4;0
Câu III ( điểm ): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x22x
và y = -3x
Câu IV ( điểm ): Tìm nghiệm x C tập số phức của phương trình x2 2x17 0
Câu V ( điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, SA là đường cao, SA = a, AC = 2a Tính thể tích khới chóp S.ABC
B Phần riêng: ( điểm ) Thí sinh học chương trình làm phần dành riêng cho chương trình ( phần ).
1/ Theo chương trình chuẩn:
Câu VI.a:
1/ Giải bất phương trình 2x23x<
2/ Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;2;3) và đường thẳng d có phương trình
1 1 1
2 1 2
x y z
a Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc đường thẳng d b Tìm tọa độ giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng ( )
2/ Theo chương trình nâng cao: Câu VI.b:
1/ Tính tích phân I =
2 cos
x dx x
2/ Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) có phương trình 2x 2y z 8 0 và
đường thẳng d có phương trình
1 2 3 3 2
x t
y t
z t
, M( 2;-3;0 ).
a Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M lên mặt phẳng ( )
b Tìm tọa độ điểm I dsao cho khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( ) bằng 1