De va DA mon Toan thi vao Lam Son Thanh Hoa

[r]

Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên lam sơn hoá năm học: 2009 – 2010

Đề thức Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin) Thời gian làm : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi:19 tháng năm 2009

Câu 1( 2,0 điểm)

Cho biểu thức: T=2x

2

+4

1− x3 −

1 1+√x−

1 1−√x

1 Tìm điều kiện x để T xác định Rút gọn T Tìm giá trị lớn T

C©u 2( 2,0 điểm)

1 Giải hệ phơng trình: { 2x 2−xy

=1 4x2+4 xy− y2=7

2 Giải phơng trình: x 2+y+2009+z 2010=1

2(x+y+z) Câu 3(2,0 ®iĨm)

1 Tìm số ngun a để phơng trình: x2- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm ngun Hãy tìm nghiệm ngun

2 Cho a , b , c số thoả m·n ®iỊu kiƯn: {

a ≥0 b ≥0 19a+6b+9c=12

Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai ph¬ng tr×nh sau cã nghiƯm x2−2

(a+1)x+a2+6 abc+1=0

x2−2(b+1)x+b2+19 abc+1=0

Câu 4(3,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đờng trịn tâm O đờng kính AD Gọi H trực tâm tam giác ABC, E điểm cung BC không chứa điểm A

1 Chøng minh r»ng tø giác BHCD hình bình hành

2 Gi P Q lần lợt điểm đối xứng E qua đờng thẳng AB AC Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng

3 Tìm vị trí điểm E để PQ có độ di ln nht

Câu 5( 1,0 điểm)

Gi a , b , c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x , y , z ta ln có: x

2

a2+ y2 b2+

z2 c2>

2x2

+2y2+2z2

a2

+b2+c2

-HÕt

-Hä tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên chữ ký giám thị Họ tên chữ ký giám thị 2 .

Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn

Thanh Ho¸ năm học 2009-2010

ỏp ỏn thi chớnh thc

Môn: Toán ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)

1 §iỊu kiƯn: x ≥0; x ≠1

T=2x

2

+4

1− x3 −

2 1− x=

2−2x

1− x3=

2

x2+x+1

0,25 0,75 T lín x2

+x+1 nhỏ nhất, điều xẩy x=0

VËy T lín nhÊt b»ng

0,5 0,5 Giải hệ phơng trình:

2x2 – xy = (1) 4x2 +4xy – y2 = (2)

Nhận thấy x = không thoả mãn hệ nên từ (1)  y = 2x2−1 x (*) Thế vào (2) đợc: 4x2 + 4x 2x2−1

x -

2x2−1

x ¿

2

¿

=  8x4 – 7x2 - = 0

Đặt t = x2 với t ≥ ta đợc 8t2 - 7t - = 0  t =

t = -

8 (lo¹i)

với t =1 ta có x2 =  x =  thay vào (*) tính đợc y =  1 Hệ phơng trình cho có nghiệm: x = x = -1 y = y = -1

0,25

0,25

0,25 0,25

2 ĐK: x ≥2; y ≥ −2009; z ≥2010 Phơng trình cho tơng đơng với:

x+y+z=2√x −2+2√y+2009+2√z −2010

⇔(√x −2−1)2+(√y+2009−1)2+(√z −2010−1)2=0

⇔x=3; y=−2008; z=2011

0,25 0,25 0,25 0,25 PT cho có biệt số  = 4a2 + 16a -151

PT cã nghiệm nguyên = n2 với n N

Hay 4a2 + 16a - 151 = n2  (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167  (2a + 4)2 - n2 = 167  (2a + + n)(2a + - n) = 167

Vì 167 số nguyên tố 2a + + n > 2a + - n nên phải cã:

2a + + n = 167

2a + - n = 4a + = 168 a = 40 2a + + n = -1  4a + = -168  a = -44 2a + - n = -167

với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = có nghiệm nguyên x = 0, x = 83 với a = - 44 PT có nghiệm ngun x= -1, x = - 84

0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cã: ' '

1 a(2 ) ;bc b(2 19 )ac

     

Suy

' '

1 a(2 )bc b(2 19 )ac

      

Tõ gi¶ thiÕt 19a6b9c12, ta cã tæng

(2 ) (2 19 ) 4 bc   ac   c(19a6 ) 4b   c(12 ) c

=  

2

9c  12c 4 3c 0

0,25 0,25

Do hai số (2 ) ;(2 19 ) bc  ac không âm Mặt khác, theo giả thiết ta có a0 ;b0 Từ suy hai số

' '

1 ;

  không âm, suy hai

phơng trình cho có nghiệm ( đpcm)

0,25

4

2

Vì H trực tâm tam giác ABC nên BHAC (1)

Mt khác AD đờng kính đờng trịn tâm O nên DCAC (2) Từ (1) (2) suy BH // DC

Hoàn toàn tơng tự, suy BD // HC

Suy tứ giác BHCD hình bình hành ( Vì có cặp cạnh đối song song)

Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy AP=AE

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25

5

∠PAB=∠EAB

 ΔPAB=ΔEAB ( c.g c ) ⇒∠APB=∠AEB

L¹i cã ∠AEB =∠ACB ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)

APB=ACB

Mặt khác AHB +ACB=1800APB +AHB=1800 tứ giác

APHB tứ giác nội tiếp PAB=PHB ( gãc néi tiÕp cïng ch¾n

mét cung)

Mµ ∠PAB=∠EAB⇒∠PHB =∠EAB

Hồn tồn tơng tự, ta có: ∠CHQ =∠EAC Do đó:

∠PHQ =∠PHB +∠EHC +∠CHQ =∠BAE+∠EAC+∠BHC=¿=∠BAC+∠BHC=1800

Suy ba điểm P, H, Q thẳng hàng

Vì P, Q lần lợt điểm đối xứng E qua AB AC nên ta có AP = AE = AQ suy tam giác APQ tam giác cân đỉnh A

Mặt khác, tính đối xứng ta có ∠PAQ=2∠BAC ( khơng

đổi)

Do cạnh đáy PQ tam giác cân APQ lớn AP, AQ lớn  AE lớn

Điều xảy AE đờng kính đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC  E D

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

A B

C H a

c

V× a2

+b2+c2>0 ta cã:

(a2+b2+c2)(x

2

a2+ y2 b2+

z2 c2)=¿x

2

(2+b

2

+c2− a2

a2 )+y

(2+a

2

+c2− b2

b2 )+z

(2+a

2

+b2− c2

c2 )

¿2x2+2y2+2z2+x2(b

2

+c2− a2

a2 )+y

(a2+c2− b2

b2 )+z

(a2+b2− c2

c2 ) (*)

Gi¶ sư a ≤ b ≤ c th× c2− a2≥0; c2−b2≥0 Víi c¹nh c lín nhÊt

∠ACB

nhọn (gt) kẻ đờng cao BH ta có

c2=BH2+HA2≤BC2+CA2=a2+b2 từ suy biểu thức (*) khụng

âm suy điều phải chứng minh

0,25 0,25