[r]
(1)NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN NGUYÊN HÀM
Bảng nguyên hàm :
Nguyên hàm hs thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp( u = u(x) ) dx = x + C
x dx = 1
x
+ C ( -1 )
dxx = ln|x| + C ( x ) ex dx = ex + C
ax dx = a
ax
ln + C ( < a )
cosxdx = sinx + C sinxdx = -cosx + C x
dx
2
cos = tgx + C
x dx
2
sin = -cotgx + C
du = u + C u du = 1
1
u
+ C ( -1 )
duu = ln|u| + C ( u = u(x) ) eu du = eu + C au du = a
au
ln + C ( < a )
cosudu = sinu + C sinudu = -cosu + C u
dx
2
cos = tgu + C
u dx
2
sin = -cotgu + C
BT: Tìm họ nguyên hàm hàm số sau :
a) f(x) = x3 x4 x b) f(x) = sin2x + cos4x c) f(x) = )
(
x
d) f(x) =
1 ) )( (
x x
x
e) f(x) = 5
x
x x
f) f(x) = sin2 xcos2 x
1
TÍCH PHÂN
b
a
b a
x F dx x
f( ) ( )
= F(b) - F(a) BT: Tính tích phân:
a) I=
√2
(x3+2x+1)dx b) I=
¿
1+x¿n
a1¿2Cn1+22C2n+32Cn3+ +n2Cnn=(n2+n)2n −2¿Hướng dẫn: Lấy f''(1)+f'''(1) với f(x)=(¿b)Cn0+1
2Cn
1 +1
3Cn
2
+ + n+1Cn
n
=2
n+1−1 n+1 ¿
c) I=
x −1
(2)d)I=
0x2dx
x+1 e)I=
2
0
x
dx x
f) I =
2
0
x dx
g) I =
0
|x2− x|dx h) I =
0
|x2+2x −3|dx=4 i) I=
2
2
2 4x 3dx
x
j)
4
3
I x x dx
k) I=
4
1
6
x x dx
l) I =
0π
4
tan xdx
m) I=
p
6
p
4
cot gx dx=1
2ln n) I =
0
π
4
sin 2x cos xdx o)
0
cos2 cos3
J x xdx
p) I =
π
sin2xdx q)I=
0
p
4
tg2xdx=1− p
4 r) I =
2dx
x(x −1)
s)I=
0dx
x2−5x
+6dx=ln
4
3 t) I=
1
4 11
ln
5
x
dx
x x
u)I=
01−2x
x2−5x+6dx=ln
243
256 v) I=
6
cos 10
ln sin 5sin
xdx
x x
x) I =
0dx
√x+1+√x
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1/ Phương pháp đổi biến số :
a/ Dạng đặt x theo t: Đặt x = (t) dx = ’(t)dt Đổi cận
t t b x
a x
Vậy:
b
a
f dx x f
) (
[(t)].'(t)dt BT: Dùng pp đổi biến đặt x theo t tính tích phân: a)
1
2
0
1
I
x dxb)I=
0√
4− x2dx=pc) I=
1
0
2 x dx
(ĐS: 3
(3)d)I=
0
x2
√
4− x2dx e)I=
dx
√
4− x2= p6 f) I=
0
dx
√
1− x2
g)
3
0
dx I
x
h) I=
0dx
x2+3
b/ Dạng đặt t theo x : Nếu f(x)dx = g[(x)].’(x)dx : Đặt t = (x) dt = ’(x)dx Đổi cận
) (
) (
b t
a t b x
a x
Vậy:
b
a
b
a
dt t g dx x f
) (
) (
) ( )
(
BT: Dùng pp đổi biến đặt t theo x tính tích phân: a) I =
0 2√2
x
√
x2+1 dx b) I=
0
x
√
1− x2dxc)I=
x
√
4− x2dx=83
d)I=
0x2
√
x3+1 dxe) I=
0x3
√
1− x2dx (ĐS: 152) f) I=
0
1
x x dx
g) I=
1
0
31 xdx
x
(ĐS:28
) h)I=
01 x
√1+x dx i)I=
1
√xe
√xdx=¿
¿
j)I=
1
e
√2+lnxdx
2x k)I=
p
4 etgx
cos2x dx=e −1 l) I=
−1xdx
x2 +2
m) I=
1
dx e
x x
(ĐS: 3( 1))
e
n) I=
2
1
5 )
( x dx
(ĐS: 182
) o) I=
1− x¿20dx
x¿
¿
p) I=
1
0
xdx
x
q) I=
4
0 cos2
tgx x
dx
(ĐS:2( 21))
r) I=
0π
2
sin2xcos3xdx
s) I=
2
0 sin
xdx
(ĐS:
) t) I=
2
4 sin
x
dx
(4)2/ Phương pháp tích phân phần :
Đặt
) (
) (
ham nguyen
lay v
ham dao
lay dx
du dv
u
Cơng thức tích phân phần :
b b
b a
a a
u dv u v vdu
Chú ý : Thứ tự ưu tiên 1) u = lnx
2) u = P(x) ( đa thức )
BT: Dùng phương pháp tích phân phần tính:
a) I=
2
0
sin ) (
xdx x
(ĐS:2) b)I=
0p
(2x+1)cosxdx =-
c) I=
1
0
2 dx
xe x
(ĐS: )
e
d)I=
x2.e− xdx=¿2−5 e
0
¿ e) I=
2
.cos
x x dx
f) I=
0
2sinxdx
x
(ĐS:2 - 4)
g)I=
p
2
x2cosxdx=p
2
4 −2 h)
2
( ).sin
I x x xdx
( I 4
)
i) I=
4
0 cos
x xdx
(ĐS: 2ln2)
j)I=
0π
2
xcos2xdx
k)I=
e
4x lnxdx
l) I=
e
xdx x
1
2)ln
(
(ĐS: )
2 e3
m) I=
e
xdx x
1 ln
(ĐS: )
e
n)I=
ep+1 exsinxdx
=1
2(¿)
p
¿
o) I=
2
0 cos
xdx ex
(ĐS: )
e
p) I=
2
0
2 cos2
xdx e x
(ĐS: 4( 1))
e
q) I=
2
0
2 sin
xdx e x
(ĐS:8(3 1))
e
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1/ Tính diện tích hình phẳng :
(5)S =
b
a
dx x f( )| |
Diện tích hpgh đường y= f(x), y = g(x), x = a, x = b là: S=
| ( ) ( ) |
b
a
f x g x dx
Diện tích hpgh đường x= g(y), x = h(y), y = a, y = b là: S=
| ( ) ( ) |
b
a
g y h y dy
BT: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
a) y = x2 – 2x + y = – x
b) y= x33x vaøy=2
c) y = x2 – 2x + ; y = – x Kq:
2
d) y2-2y+x = vaø x+y = 0.
e) y = x ; y = ; y = – x Kq: 4 2/ Thể tích vật thể trịn xoay :
Nếu hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x = a, x = b, Ox quay xung quanh trục Ox thể tích V vật thể trịn xoay sinh tính theo cơng thức V =
b
a
dx y2
Nếu hình phẳng giới hạn đường x =g(y), y = a, y = b x = quay xung quanh trục Oy thể tích V vật thể trịn xoay sinh tính theo cơng thức V =
b
a
dy x2
BT: Tính thể tích vật thể tròn xoay tao nên ta quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn đường :
a) y = cosx , y = 0, x = 0, x = /2 b) y = x2 , y = 3x
c) y = x(4 – x), y = d) y =
1
x2 y = 8
x3
e) y = sinx , y = cosx, x = /4 , x = /2 f) y = x3 – 3x2 , y = 0
BT: Tính thể tích vật thể trịn xoay tao nên ta quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn đường :
a) y = x2 , x = y2
b) y = x2 , y = , y = 2
(6)d) y = x, y = – x, y =
BÀI TẬP TỔNG HỢP 1) Tính tích phân sau :
a)
0
π
2
cos3x.dx
b)
1
e
√1+lnx
x dx
c)
0
π
4
tg4xdx
d)
0
x
√
x2+1 dxe)
0
dx
x2 +x+1
f)
0
1
x x
e dx
e
g)
0
π
2
sinx √3cosxdx
h)
1
e
ln4x
x dx
i)
0
xe2xdx
j)
2
(x 1) cosxdx
k)
e
xdx x
1 3ln
(ĐS: 16 )
1
e
l)
2
0
cos
sin
dx x xdx
(ĐS:2)
m)
1
0
3 1 xdx
n) (ĐS:3/4)
o)
3
0
cos sin
dx x x
(ĐS:1/2)
p)
1
0
3 1)
(x xdx
(ĐS:16
)
q)
cos sin
xdx x
x
(ĐS:
) r)
edx
x
1
2
)
ln
1
(
(ĐS:2e – 5)
s)
1
e
xlnxdx
t)
0 ln
xexdx
u)
0 2π
x2cos xdx
v)
1
e e
lnx
x2 dx
w)
1
e
ln3xdx
x)
3
x
x e dx
y)
2
0
(x 1)sin 2xdx
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:a) y = x2–2x+ 2; y = x2+ 4x+ y = (ĐS:21/4)
b) y =
x
y =
x
(7)e) (C): y= x −x+11 , tiệm cận ngang (C) đường thẳng x = –1; x =
Kq: 2ln2 f) y x 2 2x ; y x24x
g) yx22x vaø y3x
h) y2 2y x 0 vaø x y 0
i) y2 x 0 vaø x y 0
j) yx2 4x3 vaø y x 3
k)
2
4
x
y
vaø
2
4
x
y
l) y2 ;x y 3 x x; 0
m) Tính SD ? , biết D giới hạn đồ thị: y x 2 2x, x1,x2 trục Ox
n) Tính SD ?, bieát
, 0, 1, 2
xD y xe y x x
o) Tính SD ? với
2 4 , 1, 3
D y x x x x
p) Tính SD ?, với
, 0, ,
Dy tgx x x y
q) Tính SD ?,
ln
, 0, 1,
x
D y y x x
x
r) Tính SD?,
ln 1, , 0,
2
x
D x x e y y
x
s) Tính SD ?
2
3
, 0, 1,
x x
D y x x y
x
t) Tính SD?,
2
sin cos , 0, 0,
Dy x x y x x