Chøng minh tø gi¸c BDQO néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.. 2.[r]
(1)Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Thanh hóa năm học 2009 2010 Môn thi: Toán
Ngày thi: 30/6/2009
Thêi gian lµm bµi: 120 Phót Bµi (1,5đ):
Cho phơng trình: x2 4x + q (1) với n tham số.
1 Giải phơng trình (1) q =
2 Tớm n để phơng trình (1) có nghiệm Bài (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:
2
2
x y
x y
Bài (2,5đ):
Trong mt phng ta Oxy cho Parabol (P): y = x2 vào diểm B(0;1).
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm B(0;1) có hệ số góc k Chứng minh đờng thẳng (d)luôn cắt parabol (P) hai điểm phân biệt G H với k
3 Gọi hoành độ hai điểm G H lần lợt x1 x2 Chứng minh rằng:
x1.x2 = -1, từ suy tam giác GOH tam giỏc vuụng
Bài (3,5đ):
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Trên tia đối tia BA lấy điểm K (Khác với điểm B) Từ điểm K, A B kẻ tiếp tuyến với nửa đ-ờng tròn (O).Tiếp tuyến kẻ từ K cắt tiếp tuyến kẻ từ điểm A B lần lợt C D
1 Gọi Q tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đờng tròn (O) Chứng minh tứ giác BDQO nội tiếp đợc đờng tròn
2 Chứng minh tam giác BKD đồng dạng với tam giác AKC, từ suy ra:
CQ DQ
CK DK
3 ĐặtBOD Tính độ dài đoạn thẳng AC BD theo R Chứng tỏ tích AC.BD phụ thuộc R, khơng phụ thuộc
Bµi (1đ):
Cho số thực t, u, v tháa m·n: u2 + uv + v2 =
-2
2
t
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: D = t + u + v
-Hết -Đáp án
Bài (1,5đ):
Cho phơng trình: x2 4x + q (1) với n tham số.
1 Giải phơng trình (1) q = Khi q=3 Pt thµnh: x2 – 4x + = 0
Pt cã a+b+c = – + = VËy Pt cã hai nghiÖm x1 = 1; x2 =
2 Tìm q để phơng trình (1) có nghiệm Pt có nghiệm
2
/ 2 q.1 4 q 0 q 4 Bài (1,5đ):
Giải hệ phơng trình sau:
2 1
2 7
x y y y
x y x y x
VËy hÖ Pt ó nghiệm (x;y)=(3;1) Bài (2,5đ):
(2)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y = x2 điểm B(0;1).
1 Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua điểm B(0;1) có hệ số góc k
Gọi Pt (d) đờng thẳng cần tìm có dạng y = kx+b Vì (d) qua B(0;1)nên ta có: 1=b Vậy Pt đờng thẳng (d) y= kx +
2 Chứng minh đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt G H với k
Pt cho hoành độ giao điểm (d) (P) kx + = x2 x2 – kx – = 0.(1)
Pt (1) cã
2 4.1 1 4
k k
> víi mäi k
Vậy Pt(1) ln có hai nghiệm phân biệt với k nên đờng thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt G H
3 Gọi hoành độ hai điểm G H lần lợt x1 x2 Chứng minh rằng:
x1.x2 = -1, từ suy tam giác GOH tam giác vuông
Theo Vi et ta cã: x1.x2 =
1 1 c a
x1 =
2
1
2
k
; y1 =
2 k
x2 =
2
1
2
k
; y2 =
2 k
VËy: G(x1; y1) ; H(x2 ; y2)
Gọi Pt đờng thẳng OG có dạng y = ax + b Vì qua điểm O(0;0) điểm
G(x1;y1) nªn b = 0; a =
1 y x = 2 k : k = k
Nên Pt đờng thẳng OG là: y =
2 k x
Tơng tự ta có Pt đờng thẳng OH là: y =
2 k x
Ta cã a.a/ =
2 k k
= -1 nên OG vuông góc với OH Vậy tam giác OGH vuông O
Bài 4(3,5đ) Chứng minh: Tø gi¸c BDQO cã:
900
DBO ;DQO 900
(Tiếp tuyến vuông góc với bán kÝnh) Suy ra: DBO DQO 1800
Vậy Tứ giác BDQO nội tiếp đợc đờng tròn
(3)2 Xét tam giác BDK ACK cã:
K Chung
KBD KAC
Vậy tâm giác BKD đồng dạng với tam giác AKC (gg)
Suy
BD AC
KD KC
Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyÕn c¾t điểm ta có CQ = CA DQ = DB
VËy
CQ DQ
CK DK (đpcm)
3 Xét tam giác BDO vuông t¹i D , cã BO = R; BDO ; suy BD = R.tg Theo tÝnh chÊt hai tiÕp tuyến cắt điểm ta có:
; 900
BOD DOQ DOC COA OCA Suy AC = tg
R
Bài (1đ):
Cho c¸c sè thùc t, u, v tháa m·n: u2 + uv + v2 =
-2
2
t
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thøc: D = t + u + v Theo bµi ta cã: u2 + uv + v2 =
-2
2
t
u2 + v2 + t2 + 2uv + 2ut + 2vt = – t2 + 2ut – u2 – t2 + 2vt – v2
(u+v+t)2 = 2- (t - u)2 – (t-v)2 V× (t-v)2 0; (t - u)2 0.
Nªn (u+v+t)2 2 u v t 2 u v t
Vậy DMin = - đạt đợc u = v = t =
-2
DMax = đạt đợc u=v= t =
(4)