Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt;3. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DM, đường thẳng này cắt các đường thẳng DM và D[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Năm học 2009 – 2010
Mơn : TỐN
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm)
1.Rút gọn biểu thức sau: a)
3 13
2 4 3 ;
b)
x y y x x y
xy x y
với x > 0; y > x ≠ y.
2.Giải phương trình
4
x
x
. Bài 2 (2,0 điểm)
Cho hệ phương trình
m x y 2
mx y m
(m tham số) 1. Giải hệ phương trình với m = 2;
2. Chứng minh với giá trị m hệ phương trình ln có nghiệm (x ; y) thoả mãn 2x + y ≤
Bài (2,0 điểm)
Cho mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (k – 1)x + (k tham số) parabol (P) : y = x2.
1. Khi k = -2, tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P)
2. Chứng minh với giá trị k đường thẳng (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt;
3. Gọi y1; y2 tung độ giao điểm đường thẳng (d) (P)
Tìm k cho : y1 + y2 = y1y2
Bài (3,5 điểm)
Cho hình vng ABCD, điểm M thuộc cạnh BC (M khác B C) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DM, đường thẳng cắt đường thẳng DM DC theo thứ tự H K
1. Chứng minh tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường trịn ; 2. Tính góc CHK
3. Chứng minh: KH.KB = KC.KD;
4. Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC N Chứng minh 2
1 1
AD AM AN Bài (0,5 điểm)
Giải phương trình :
1 1
3
x 2x 4x 5x
(2)HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (2,0 điểm)
1.Rút gọn biểu thức: a)
3 13 3(2 3) 13(4 3)
4 16 3
2 3
= - 3 + + + = 10 b) Với x > 0, y > x ≠ y :
x y y x x y xy( x y) ( x y)( x y)
xy x y xy x y
=
x y x y x
2.ĐKXĐ : x ≠ -2 Từ phương trình cho suy :
x(x + 2) + = 3(x + 2) ↔ x2 – x – = 0
Vì a – b + c = – (-1) + = nên phương trình có hai nghiệm : x1 = -1; x2 =
Cả hai nghiệm đều thoả mãn ĐKXĐ Vậy S = {-1 ; 2}
Bài 2 (2,0 điểm)
1. Với m = 2, hệ cho trở thành :
x y 2x y
↔
x x y
↔
x y
Vậy với m = nghiệm hệ phương trình cho (x ; y) = (1 ; 1) 2. Hệ phương trình cho tương đương với hệ :
mx y m x m
↔
x m
m(m 1) y m
↔
x m y 2m m
Suy hệ phương trình cho ln có nghiệm (x ; y) = (m – ; + 2m – m2)
với m
Khi đó, ta có : 2x + y = 2(m – 1) + + 2m – m2 = - + 4m - m2 = – (m – 2)2≤
m
Vậy với giá trị m hệ phương trình cho ln có nghiệm (x ; y) thoả mãn 2x + y ≤
Bài (2,0 điểm)
Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là:
x2 = (k – 1)x + ↔ x2 – (k – 1)x – = (1)
1. Khi k = -2, phương trình (1) trở thành : x2 + 3x – = 0
Vì a + b + c = + + (-4) = nên phương trình có hai nghiệm : x1 = ; x2 = -4
Với x1 = y1 = 12 = ; với x2 = -4 y2 = (-4)2 = 16
Vậy toạ độ giao điểm (d) (P) k = -2 : (1 ; 1) (-4 ; 16)
2. Xét phương trình (1) có : Δ = (k – 1)2 + 16 > k nên (1) ln có hai nghiệm phân
biệt với k
(3)3. Gọi x1 ; x2 hoành độ tương ứng với tung độ y1 ; y2 giao điểm đường
thẳng (d) (P) Hiển nhiên, x1 x2 hai nghiệm phân biệt phương trình (1)
Áp dụng định lí Vi - et, ta có : x1 + x2 = k – ; x1x2 = -4
Mà : y1 =
2 x y
2 =
2
x (vì giao điểm đều thuộc (P)), nên từ giả thiết ta có : y1 + y2 = y1y2 ↔
2 2 2
x x x x ↔ (x1x )2 2x x1 2 (x x )1 2 hay : (k – 1)2 – 2.(-4) = (-4)2 ↔ (k – 1)2 = ↔ k = ± 2 2.
Vậy giá trị k thoả mãn yêu cầu toán : k = ± 2 Bài (3,5 điểm)
1. Xét tứ giác ABHD có :
A 90 (vì ABCD hình vng) BHD 90 0 (giả thiết).
0 A BHD 180
Hai góc ở vị trí đối nên tứ giác ABHD nội tiếp
Xét tứ giác BHCD có :
BCD 90 (vì ABCD hình vng) BHD 90 0 (giả thiết).
BCD BHD 90
Hai đỉnh kề H C cùng nhìn cạnh đối diện góc 900 nên tứ giác
BHCD nội tiếp
Vậy tứ giác ABHD, BHCD nội tiếp đường trịn (đpcm)
2. Vì ABCD hình vng nên DB đường phân giác ADC 90 BDC 45 Tứ giác BDHC nội tiếp (chứng minh trên) nên : CHK BDC (vì cùng bù với BHC ). Vậy CHK 45 0.
3. Xét ΔKHC ΔKDB có : K chung ; CHK BDC (chứng minh trên) Do : ΔKHC ~ΔKDB
KH KD
KC KB KH.KB = KC.KD (đpcm) 4. Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho DE = BM
Vì ADC 90 ADE 90 0(hai góc kề bù) ΔADE vng D. Xét ΔADE ΔABM có :
AD = AB (hai cạnh hình vng ABCD)
ADE ABM 90
EAD BAM DE = BM
ΔADE = ΔABM (c – g – c) AM = AE
B
C D
M
H
K N
E
(4) EAN EAD DAN BAM DAN BAD 90 0 ΔEAN vuông A
Tam gác EAN vng A có đường cao AD nên theo hệ thức lượng tam giác vng ta có :
2 2
1 1
AD AE AN hay 2
1 1
AM AE AN (đpcm). Bài (0,5 điểm)
ĐKXĐ : x ≥ Khi :
1 1
3
x 2x 4x 5x
↔
1 1
3x 6x 9 4x 3 5x 6 ↔
1 1
3x 4x 3 5x 6 6x 9 ↔
( 4x 3x )( 4x 3x ) ( 6x 5x 6)( 6x 5x 6)
3x 4x 3( 4x 3x ) 5x 6x 9( 6x 5x 6)
↔
x x
3x 4x 3( 4x 3x ) 5x 6x 9( 6x 5x 6)
↔
1
(x 3)
3x 4x 3( 4x 3x ) 5x 6x 9( 6x 5x 6)
↔
x
1
3x 4x 3( 4x 3x ) 5x 6x 9( 6x 5x 6)
(*)
- Nếu x > :
0 3x 5x 4x 6x
0 3x 5x
0 4x 6x
0 3x 4x 5x 6x
1
3x 4x 3( 4x 3 3x ) 5x 6x 9( 6x 9 5x 6)
- Nếu
2 ≤ x < :
0 5x 3x 6x 4x
0 5x 3x
0 6x 4x
0 5x 6x 3x 4x
1
(5)- Nếu x = :
1
3x 4x 3( 4x 3 3x ) 5x 6x 9( 6x 9 5x 6) Do đó, hệ (*) tương đương với : x – = ↔ x =