[r]
(1)TRƯỜNG THPT VINH LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẬC THPT Năm học : 2006 - 2007
MƠN : TỐN
( 150 phút, khơng kể thời gian giao đề )
ĐỀ BÀI
Bài : Cho P(x) đa thức bậc n có n nghiệm thực phân biệt x1,x2, ,xn. Chứng minh rằng:
∑
j=1 n P''
(xj)
P'(xj)=0 .
Baøi : Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D,E,F tương ứng Chứng minh IDIA +IE
IB+ IF
IC=3 tam giác ABC tam giác đều.
Baøi : Giải phương trình :
(log2 x)2+ xlog7 (x+3) = log2 x [ x2 + 2log7 (x+3)].
Bài : Xác định hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau: f(x+y) f(x).f(y) 2006x+y, với x, y R.
ĐÁP ÁN Bài :
Từ giả thiết, ta viết P(x) dạng sau: P(x) = a(x-x1)(x-x2) (x-xn), với a 0.
Suy P'(x) = P(x)( x-x1
1
+
x-x2+ +
x-xn ) (1)
Do P(x1) = P(x2) = = P(xn) = 0
nên theo định lý Rolle phương trình P'(x) =
có n -1 nghiệm phân biệt y1,y2, ,yn-1 với x1 y1x2y2 x3 xn-1yn-1xn.
Vì P'(x) viết lại dạng
(2)Suy P"(x) = P'(x)( x-y1
1
+
x-y2+ +
x-yn-1 ) (2)
Theo (1) ta coù P'(yk) = P(yk)(
1
yk-x1+
yk-x2+ +
yk-xn ) = 0, với k=1, n-1.
Do P(yk) neân suy ra:
yk-x1+
yk-x2+ +
yk-xn = (3), với k = 1, n-1.
Từ (2) (3) suy ra: P ''(xj)
P '(xj)=¿
1
xj-y1+
xj-y2+ +
xj-yn-1 (4) , với j =1, n-1
Cộng vế n -1 đẳng thức dạng (4) ta có :
¿ ¿ ∑
j=1 n P''
(xj)
P'
(xj)=∑j=1 n
¿
1
xj-y1+
xj-y2+ +
xj-yn-1¿
=
-(
yk− x1+¿
1
yk− x2+ .+
1
yk− xn)
∑
k=1 n −1
¿
(5) Từ (3) (5) suy ra:
∑
j=1 n P''
(xj) P'(xj)=0 .
Baøi : T a có góc ICD góc DIC nên DI=DC Trong tam giác ADC ta có DC= 2Rsin A2 nên DI=2Rsin A2 Vậy
ID IA=
2 R sin A r sin A = sin A 2 sinB
2 sin
C
2
. Tương tự,ta có :
IE
IB =
sinB 2 sin A
2sin
C
2
; IFIC =
sinC 2 sin A
2sin
B
2
.
Suy IDIA+ IE IB+
IF IC ≥ 3√3
1 sin A
2 sin B sin C .
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có
sin A sin B 2sin C .
Do đó, IDIA+IE IB+
(3)Dấu xảy ra, tức IDIA +IE IB+
IF
IC=3 A=B=C
hay tam giác ABC (đpcm).
Bài : Điều kiện x Phương trình cho tương đương với: log2 x (log2 x - x2 ) - 2log7 (x+3) (log2 x - x2 ) = 0 (log2 x - x2 ) [log2 x - 2log7 (x + 3) ] =0
log2x −x
2=0(1) ¿
log2x −2 log7(x+3)=0(2) ¿
¿ ¿ ¿
Giaûi (1) :
(1) x2 = 2x ln xx =ln22 (3)
Dễ thấy x = x = nghiệm (3). Xét hàm số f(x) = ln xx , ta coù : f'(x) = 1 − ln xx2 .
Suy : f'(x) với x e f'(x) = với x = e f'(x) với x e.
Vì vế trái (3) đồng biến (0;e] nghịch biến [e;+), trong vế phải hàm nên (3) có nhiều hai nghiệm Vậy (3) có hai nghiệm x = x = 4.
Giaûi (2):
Đặt t = log2 x, x = 2t Phương trình (2) trở thành :
t = 2log7 (2t + 3)
( 47 )t + 6( 72 )t + 9( 71 )t = (4)
Dễ thấy t = nghiệm (4) vế trái (4) hàm nghịch biến vế phải hàm nên t = nghiệm nhất của (4) Từ t = ta có x = 4.
Kết hợp trường hợp nghiệm phương trình đã cho x = x = 4.
Baøi :
Thay x = 0, y = vaøo f(x+y) f(x).f(y) 2006x+y (1)
ta coù :
f(0) f(0).f(0) 20060 = 1 (2)
(4) f(0) 1 (3)
Từ (2) (3) suy : f(0) = 1. Thay y = - x vào (1) ta có ;
f(0) f(x).(-x) 20060 = 1 f(x).f(-x) = 1
f(x) = f (− x)1 (4)
Thay y = vào (1) ta có : f(x) 2006x (5)
Suy : f(-x) 2006-x
f (− x)1 ≤20061− x=2006 x
. (6)
Từ (4), (5) (6) ta có : f(x) = 2006x.
Đảo lại : Xét hàm số f(x) = 2006x ta thấy thỏa yêu cầu bài
toán.