Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho trước rút ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho trước gọi là tiền đề của suy luận. Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh [r]
(1)(2)Phơng pháp suy luận phân tích
Lời cảm ơn
hon thnh đề tài này, nhận đợc
sự hớng dẫn, giúp đỡ nhiều thày cô giáo
trong khoa Toán trờng ĐHSP Hà Nội 2, trờng
Đại học Hoa L, trờng THCS Cồn Thoi - Kim Sơn –
Ninh Bình bạn bè đồng nghiệp Đặc biệt là
Ths Nguyễn Văn Hà - Ngời hớng dẫn chúng tôi
thực đề tài này.
Trong q trình thực đề tài, chúng tơi khơng
tránh khỏi thiếu sót, chúng tơi mong đợc
sự đóng góp ý kiến thày giáo bạn bè
đồng nghiệp để đề tài đợc hoàn thin hn.
Chúng xin chân thành cảm ơn.
Ninh Bình, tháng năm 2009
Ngời thực hiện
Nguyễn Đức Hải
Trờng THCS Cồn Thoi 2Ngời thực hiện: Nguyễn Đức Hải
PHềNG GIO DỤC KIM SƠN
TRƯỜNG THCS CỒN THOI
TỔ TỰ NHIÊN
=================
BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
PHƯƠNG PHÁP
SUY LUẬN PHÂN TÍCH
ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC
TRƯỜNG THCS
Người thực hiện: Nguyễn Đức Hải
- Giáo viên trường THCS Cồn Thoi
Giáo viên hướng dẫn: Thạc sỹ NGUYỄN VĂN HÀ
- Giảng viên trường ĐHSP Hà Nội II
(3)Môc lôc
1 Phần mở đầu
2 Phần nội dung
Chơng I.
C¬ së lÝ luËn
Ch¬ng II.
Chøng minh iifnh học
Chơng III
Bài tập
(4)P
hần mở đầu
1) Lớ chn tài
Trong q trình giảng dạy mơn nói chung mơn hình học nói riêng việc tìm lời giải toán học sinh tơng đối khó khăn thờng khơng có hệ thống phơng pháp cụ thể, tốn chứng minh hình học Học sinh đọc sách giáo khoa sách tập dễ hiểu nhng để làm đợc lại gặp khó khăn
Bởi chứng minh đợc lập luận chặt chẽ hợp lôgic nhẹ nhàng dẫn đến hệ tất yếu Nhng biết đợc trật tự lơgic đó? Làm biết đợc phải chỗ nào? Phải làm trớc, làm sau?
Một phơng pháp để tìm đợc lời giải phơng pháp suy luận phân tích, phơng pháp đơn giản, dễ thực liên kết đợc điều phải chứng minh với giả thiết iu ó bit
2) Đối tợng phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng nghiên cứu: phơng pháp suy luËn ph©n tÝch
- Phạm vi nghiên cứu: Dùng phơng pháp suy luận phân tích để tìm giải tốn chứng minh nói chung tập hình học chơng trình THCS
3) ý nghÜa
- Về mặt lí luận, đề tài góp phần minh hoạ cho phơng pháp suy luận phân tích để làm rõ mối liên hệ lơgic điều cần chứng minh với điều cần có để chứng minh
(5)Phần nội dung
Chơng I
.
C¬ së lÝ ln
I) SUY LUẬN TỐN HỌC1) Suy luận gì?
Suy luận trình suy nghĩ từ hay nhiều mệnh đề cho trước rút mệnh đề Mỗi mệnh đề cho trước gọi tiền đề suy luận Mệnh đề rút gọi kết luận hay hệ
Ký hiệu: X1, X2, , Xn Y
Nếu X1, X2, , Xn Y ta gọi kết luận Y kết luận
logic hay hệ logic
Ký hiệu suy luận logic:
1 n
X ,X , ,X Y
2) Suy diễn
Suy diễn suy luận hợp logic từ chung đến kết luận cho riêng, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy diễn việc rút mệnh đề từ mệnh đề có thực theo qui tắc logic
- Quy tắc kết luận:
X Y,X Y
- Quy tắc kết luận ngược:
X Y,Y X
- Quy tắc bắc cầu:
X Y,Y Z X Z
(6)Phơng pháp suy luận phân tích
- Quy tắc đảo đề:
X Y Y X
- Quy tắc hoán vị tiền đề:
X Y Z Y X Z
- Quy tắc ghép tiền đề:
X Y Z X Y Z
3) Suy luận quy nạp:
Suy luận quy nạp phép suy luận từ riêng tới kết luận chung, từ tổng quát đến tổng quát Đặc trưng suy luận quy nạp khơng có quy tắc chung cho trình suy luận, mà sở nhận xét kiểm tra để rút kết luận Do kết luận rút trình suy luận quy nạp sai, có tính ước đốn
Vd: = + 6 = + 3
10 = +
Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn tổng số nguyên tố
a) Quy nạp khơng hồn tồn :
Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung dựa vào số trường hợp cụ thể xet đến Kết luận phép suy luận khơng hồn tồn có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
Sơ đồ:
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An B
(7)A1 , A2 , A3 , A4 , A5 An số phần tử A
Kết luận: Mọi phần tử A B
b) Phép tương tự:
Là phép suy luận từ số thuộc tính giống hai đối tượng để rút kết luận thuộc tính giống khác hai đối tương Kết luận phép tương tự có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d B có thuộc tính a, b, c
Kết luận : B có thuộc tính d
c) Phép khái quát hóa:
Là phép suy luận từ đối tượng sang nhóm đối tượng có chứa đối tượng Kết luận phép khái qt hóa có tính chất ước đốn, tức đúng, sai có tác dụng gợi lên giả thuyết
d) Phép đặc biệt hóa:
Là phép suy luận từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ chứa tập hợp ban đầu Kết luận phép đặc biệt hóa nói chung đúng, trừ trường hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến kết luận đúng, sai có tác dụng gợi lên gi thuyt
(8)Phơng pháp suy luận ph©n tÝch
II) PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH TỐN HỌC
1) Phương pháp chứng minh tổng hợp:
Nội dung: Phương pháp chứng minh tổng hợp phương pháp chứng minh từ điều cho trước điều biết đến điều cần tìm, điều cần chứng minh
Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận
Sơ đồ: A B C Y X
Trong A mệnh đề biết cho trước; B hệ lơgíc A; C hệ lơgíc B; ; X hệ lơgíc Y
Vai trò ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây khó khăn đột ngột, khơng tự nhiên mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề phụ thuộc vào lực học sinh
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp ngắn gọn thường từ mệnh đề tiền đề ta dễ suy luận trực tiếp hệ logic
+ Phương pháp chứng minh tổng hợp sử dụng rộng rãi trình bày chứng minh toán học, việc dạy học toán trường phổ thông
2) Phương pháp chứng minh phân tích lên:
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich lên phương pháp chứng minh suy diễn ngược lên từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến điều cho trước biết
(9)Cơ sở: Quy tắc lơgíc kết luận
Sơ đồ: X Y B A
Trong đó: X mệnh đề cần chứng minh; Y tiền đề lơgíc X ; ; A tiền đề lơgíc B; A mệnh đề biết cho trước;
Vai trò ý nghĩa:
+ Phương pháp chứng minh phân tích lên tự nhiên, thuận tiện mệnh đề chọn làm mệnh đề xuất phát mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh, hay mệnh đề kết luận
+ Phương pháp chứng minh phân tích lên thường rát dài dịng thường từ mệnh đề chọn mệnh đề kết luận ta tìm nhiều mệnh đề khác làm tiền đề logic
+ Phương pháp chứng minh phân tích lên sử dụng rộng rãi phân tích tìm đường lối chứng minh tốn học, việc dạy học toán trường phổ thơng
Ví dụ: Bài tốn
“ Hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau 12 đầy bể Biết lượng nước chảy vào bể vòi gấp 1, lần lượng nước vòi chảy vào bể Hỏi sau vịi chảy đầy bể?”
3) Phương pháp chứng minh phân tích xuống :
Nội dung: Phương pháp chứng minh phân tich xuống phương pháp chứng minh suy diễn từ điều cần tìm đến điều biết
Cơ sở: Quy tắc lụgớc kt lun
(10)Phơng pháp suy ln ph©n tÝch
Trong đó: X mệnh đề cần tìm, mệnh đề cần chứng minh; Y hệ lơgíc X ; ; A hệ lơgíc B A mệnh đề biết Nếu A sai X sai Nếu A X sai Lúc phải dùng phương pháp tổng hợp từ A tới X
Nguyễn Đức
Hi
(11)Chơng II
Chứng minh hình học
1) Ví dụ mở đầu
Cho tam giác ABC (ac<ab) Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt BE H Chứng minh:
a) BD = DE
b) BE AD
GT
AC < AB AE = AB
1 2
A A
K L
BD = BE BE AD
Gi¶i:
Ph©n tÝch Chøng minh
a) cm BD = DE
cm BDA = EDA
Cã:
1 2
AB AE (gt) A A (gt) AD chung
Đủ điều kiện (c.g.c)
a) BDA vµ EDA cã:
1 2
AB AE (gt) A A (gt) AD chung
BDA = EDA (c.g.c)
BD = DE
b) cm BE AD (H = 900)
cm H = H
cm ABH = AEH
Cã:
1 2
AB AE (gt) A A (gt) AH chung
Đủ điều kiện (c.g.c)
b) ABH AEH có:
1 2
AB AE (gt) A A (gt) AH chung
ABH = AEH
H = H
mµ H + H = 1800
nªn H = H = 1800: = 900
VËy BE AD
(12)Phơng pháp suy luận phân tích
2) Bài tập 1
Cho tam giác ABC trung tuyÕn BD Chøng minh r»ng nÕu M lµ trung điểm BD AN cắt BC điểm N vµ CN = 2BN
GT AD = CD BM = DM KL CN = 2BN
Giải:
Phân tÝch Chøng minh
C¸ch 1
cm CN = 2BN
Nếu lấy P trung điểm CN th×
cm CP = PN = BN
cm AN // DP
Đúng DP đờng trung bình tam giác ACN
Cách 1
Gọi P trung điểm CN
DP đờng tung bình tam giác ACN
AN // DP
Tam gi¸c BDP có MN qua trung điểm cạnh BD song song với cạnh DP nên qua trung điểm BP
BN = PN = CP VËy CN = 2BN
C¸ch 2
P
E N
M D
A B
C
Híng dÉn:
- VÏ BE = AB
- Chứng minh N trọng tâm tam giác ACE
Trêng THCS Cån Thoi 12Ngêi thùc hiƯn: Ngun §øc H¶i
P
N
M
D
A
B
(13)3) Bµi tËp 2
Cho tam giác ABC Trên đờng phân giác AD góc A, lấy điểm D BD cắt AC M, CD cắt AB N Chứng minh BM = CN tam giác ABC cân
GT
1 2
A A
D phân giác A BM = CN
KL ABC c©n
Giải: Đây tơng đối khó.
Ta sÏ chøng minh b»ng phản chứng: Giả sử ABC không cân (cụ thể
lµ AB < AC) Ta sÏ chøng minh BM CN.
Phân tích Chứng minh
Giả sử AB < AC KỴ:
NE // BM BN ME ME // AB NE BM
Ta sÏ chøng minh CN > NE tøc lµ CN > BM
1 2
2 3
CEN E E ECN C C
CM E C 2 vµ E C
Gi¶ sư AB < AC
LÊy ®iĨm K trªn AB cho AK=AB
K nằm A C AKD > C
a) cm E C
mµ E 1B 2 (cïng bï víi BNE )
cm B C
LÊy ®iĨm K trªn AB cho AK=AB
ABD = AKD (c.g.c) (1)
XÐt ABD vµ AKD cã
1 2
AD chung A A AK AB
ABD = AKD (c.g.c)
B AKD C (1)
(14)Phơng pháp suy luận ph©n tÝch
B AKD
cm AKD C
Đúng AKD góc ngoµi cđa
CKD
b) Chøng minh E C
cm: CM > ME
cm: CM > BN
BCM vµ CBN cã BC chung, BM=CN (gt)
cm B C CD > BD
mµ BD = KD (tõ (1))
cm CD > KD
đúng CKD kề bù với góc nhọn
AKD nên góc tù:
CKD > C
Trong CKD, gãc CKD kề bù với góc nhọn AKD nên góc tï:
2
CKD C KD < CD (3)
Tõ (2) vµ (3) suy ra: BD < CD B 1C
Hai tam giác BCM CBN có
1 1
BC chung AK AB B C
nªn CM > BN (4)
Kẻ NE//BM ME//AB cắt E th× ta cã: BN = ME (5)
BM = NE (6) vµ E B 2(7)
Tõ (4) vµ (5) suy CM > ME vËy CME cã E C
Tõ (1) vµ (7) suy E 1C
1 2
2 3
CEN E E ECN C C
CN > EN (8)
Tõ (6) vµ (8) suy CN > BM (trái giả thiết)
Điều chứng tỏ điều giả sử sai
Vậy AB = AC tức tam giác ABC cân A
(15)Chơng III Bài tập
Bài (Líp 7)
Một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song m n lần lợt A B Chứng minh hai tia phân giác cặp góc so le tơng ứng song song với
Bài (Lớp 7)
Cho tam giác ABC với trung điểm M N AB AC Kéo dài N CM đoạn NB = BN vµ MC’ = CM Chøng minh A lµ trung ®iĨm cđa B’C’
Bµi (Líp 7)
Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt trung điểm O đoạn Chứng minh rằng:
a) AB = CD, AD = BC b) AB // CD, AD // BC
Bµi 4
Cho tam giác ABC rtong B C = 900 Kẻ tia phân giác AD của
gãc A
D BC) Chøng minh ADB = 450
Bµi 5
(16)Phơng pháp suy luận phân tích
PhÇn kÕt ln
1) Cùng vấn đề phân tích theo cách khác từ dẫn đến nhiều cách giải khác Vì vậy, phân tích tìm lời giải rồi, cần xem xét lại xem có phân tích theo cách khác đợc khơng, từ có lời giải mà có lại phát
2) Suy luận phân tích cần phải luyện tập nhiều, có kinh nghiệm hình thành quan trọng trực giác mà đó, suy luận phân tích diễn nhanh, gọn não Đó phản xạ tự nhiên, nhạy bén phân tích mà ngời học toán cần phải đạt đợc
3) Phép suy luận nói chung phép suy luận phân tích nói riêng cần thực tiễn không riêng học toán Trong thực tế, gặp vấn đề phức tạp khó giải quyết, phải làm nhiều cơng việc khác để giải vấn đề cần phải ngẫm nghĩ xem cần làm trớc, sau, sử dụng có nh nào, cịn thiếu giải nh phép suy luận phân tích lên cách tối u
4) Do hạn chế đề tài này, chúng tơi dừng phép suy luận phân tích lên Chúng ta sử dụng kết hợp phơng pháp phân tích xuống sau đó, ta sử dụng phơng pháp chứng minh tổng hợp để hệ thống t đợc phát triển đầy đủ Rất mong đợc đóng góp ý kiến, nhận xét thày cô, bạn bè đồng nghiệp để tiếp tục nghiên cứu sâu hơn, cụ thể có dịp đợc trình bày đầy đủ hơn, góp phần nâng cao khả học hình học học sinh
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Ninh Bình, tháng 04 năm 2009
ngi thc hin ti
Nguyễn Đức Hải