Phương trình và hệ phương trình lôgarit A.[r]
(1)Phương trình hệ phương trình lơgarit A Một số kiến thức cần nhớ
I/ Một số công thức biến đổi lôgarit
ax b xlogab (0a1,b0)
log ( ) loga x x1 ax1logax2 (0a1, ,x x1 20)
1
1
2
loga x logax logax
x (0a1, ,x x1 2 0)
1 loga log ; loga loga
a
x x x x
(0a1,x0, 0)
log ln lg
log
log ln lg
b a
b
x x x
x
a a a
(0a b, 1,x0)
1 log
log
a
b b
a
(0a b, 1) alogbc clogba (0a b c, , 1) log log logab bc cxlogax (0a b c, , 1,x0)
II/ Dạng phương trình lơgarit
0
log ( )
( )
a b
a f x b
f x a
( ) ( ) log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x g x f x g x
f x g x
III/ Một số phương pháp thường dùng giải phương trình lơgarit
Đưa số.
Lơgarit hố( mũ hoá)
Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ ) Đưa dạng tích
Đánh giá: Dùng BĐT, hàm số, đoán nghiệm chứng minh nghiệm nhất
B/ Một số tập áp dụng
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Bài 1: Giải phương trình sau:
a
1
log log
2
x
x x
b.log24.3 6 log 92 6
x x
d.lg 6.5 25.20 lg 25
x x x
e lg 5 lg lg
x
x x
Bài 2: Giải phương trình sau:
a
1
1
4 lg x 2 lg x b.log2 x 10 log2 x6 0
c log0,04 x 1 log0,2 x3 1 d log22x(x 4) log2x x 3
Bài Giải phương trình sau:
a/ x log (9 ) 32 x
b/ log22x(x 1)log2x 6 2x e/ 2log (6 4x 8x) log x f/
8
4
2
1
log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 x 4 x x
(2)g/ log log5x 3xlog log5x 3x
HD: Đổi số ĐS: x 1 ,
Bài 4: Giải phương trình :log (55 x 1).log (525 x1 5) 1
Giải : Biến đổi:
1
25 5 5
log (5 5) log 5.(5 1) log log (5 1) log (5 1)
2 2
x x x x
Đặt: t log (55 x 1)
1
: ( 1) 1( )
pt t t
Giải phương trình ( ) được: t 1,t2 ĐS: xlog 6,5 x2 log 26
Bài 5: Giải phương trình :log (22 x 1).log (22 x12) 2
ĐS: x 0
Bài 6: Giải phương trình :lg(6.5x 25.20 ) lg25x x (1)
ĐK:
6
6.5 25.20 log
25
x x x x
PT (1)
6.5 25.20
lg lg10
25
x x
x x
6.5 25.20 10 25
x x
x
6.5x 25.20x 25.10x
25.4x 25.2x 0
1
5
5
x x
2
1
log log
5
x
ĐS: log
5
x
Bài 7: Giải phương trình :
2 3
1 1
4 4
3
log ( 2) log (4 ) log ( 6)
2 x x x (1)
Giải.
ĐK:
2
4
6
x x x
6
2
x x
Vì:
2
1
4
log (x2) 2log x2
3
1
4
log (4 x) 3log 4 x
3
1
4
log (x6) 3log x6
(1)
1 1
4 4
3log x2 3log (4 x) 3log ( x6)
1
4
log x2 log [(4 x x)( 6)]
1
4
log 4x2log [(4 x x)( 6)]
4x2 (4 x x)( 6) 0
2
4( 2) 24
4( 2) 24
x x x
x x x
2
6 16
2 22
x x
x x
2 33
x x x
(3)ĐS:
2 33
x x
Bài 8: Giải phương trình
2
9 3
2(log )x log logx 2x1 1 Giải :
ĐK:
0
0
2 1
x
x x
( )
Phương trình
2
3 3
1(log ) log log 2 1 1
2 x x x
2
3 3
(log )x 2log logx 2x1 1 log (log3x 3x 2log3 2x1 1 0
3
3
log
log 2log ( 1)
x
x x
Khi: log3x 0 x 1 thoả điều kiện ( )
Khi: log3x 2log ( 23 x1 1) 0 log3xlog ( 23 x1 1)
3
log x log (2x 2 2x 1)
2 2
x x x
2x1 x
2 4 0
x x
0
x x
, so điều kiện ( ) chọn x 4 ĐS: x1,x4
Bài 9: Giải phương trình log (2x23x2) log ( 2x27x12) log 3 .
Giải :
ĐK: 2
3
7 12
x x
x x
( )
PT log (2x23x2)(x27x12) log 24 (x1)(x2)(x3)(x4) 24
Chú ý: (x1)(x2)(x3)(x4)(x1)(x4)(x2)(x3)(x25x4)(x25x6)
Đặt
2
2 5 4 9
2 4
t x x x
Ta có phương trình t t ( 2) 24
6
t t
nhận t 4
Khi t 4 ta có: x25x4 4 x25x 0 x0,x5, hai nghiệm thoả ĐK( ) ĐS: x0,x5
Bài 10 :Giải phương trình: lg(x2 x 6)x lg(x 2) 4 (1)
Giải :
ĐK: x2 x 0 , x 2 x 3.
(1) lg(x2 x 6) – lg(x 2) 4 x
2 6
lg
2
x x x
(4)Nhận xét: x 4 nghiệm (2).
log( 3)
y x có
1 '
3
y x
> hàm đồng biến Mặt khác y 4 x hàm nghịch biến x 4 nghiệm phương trình.
Bài 11: Giải phương trình
2 2
4 20
log x x log x x log x x Giải :
Đặt t x x2
2 1
x x
t
Phương trình cho 20
log logt log t
t log log4t 5t log 4.log20 4t
4
5 20
log
log log
t t
log 420
1
t t
TH1:t 1
2
1 1 1
1 1
1
t x x
x x
t
x1 (Thỏa mãn hai phương trình)
TH2:
20 20
20 log
log
log
1 5
1
x x t
x x
, Cộng theo vế hai phương trình hệ ta có
log 420 log 420
1
5
2
x
ĐS : x 1,
20 20
log log
1
5
2
x
Bài 12 : Giải phương trình :
8
4
2
1
log ( 3) log ( 1) log (4 ) x 4 x x .(1) HD :
ĐK: 0x1 PT(1) log (2x3) log ( 4x 1)2log (4 )2 x
2 2
log (x 3) log x log (4 )x
(x3).x 4 x
x 1: KQ: x 2 0x1: KQ: x 2 3 Bài 13: Giải phương trình:
a/ 2log (3x1) x HD: ĐK: x 1
TH1: 1x0 phương trình vơ nghiệm.
TH2: x 0 đặt ylog (3x1) 2y 3y 1, chia hai vế phương trình cho 3y
Suy
2 1
3
y y
dùng PP hàm số nghiệm PT là: ( ; ) (2;1)x y . Bài 14: Giải phương trình 3x2 2x3log (2x21) log 2x.
(5)ĐK x 0 Vì
1
0
x x
x
nên VP =
1
log x
x
Lập BBT hàm số g x( ) 3 x2 2x3 khoảng x 0 ta có VP = g x( ) 3 x2 2x31 Từ suy phương trình có nghiệm x 1
ĐS :x 1
Bài 15: Giải phương trình
2
2 12 2
log cos
cos 2
xy
xy y y
(1)
HD: Ta có
2
2
1
cos
cos
xy
xy
2
2 12
log cos
cos
xy
xy
Mặt khác y2 2y2 ( y 1)21 1, y
1 1
2
y y Do (1)
2
cos
1
xy y
x k y
Bài 16: Giải phương trình: log5xlog (7x2) (1)
Giải :
ĐK: x 0
Đặt t log5x x5t PT (1)
5
t t x
x
5t 2 7 t(2)
Rõ ràng t 1là nghiệm PT (2).
Lại có PT (2)
2
1
5
t t
.
Vế trái hàm nghịch biến, vế phải hàm đồng biến, t 1là nghiệm (2) x5
nghiệm phương trình
ĐS: x 5
Bài 17: Giải phương trình:
1
2
2
log (4x 4) x log (2x 3)
(1) Giải :
Đ K:
1
2
2
x x
( )
Phương trình (1) log (42 x 4) log 2 x log (22 x1 3) log (42 x 4) log (2 x x1 3)
4x 4 (2 x x1 3) 4x 4 2.4 x 3.2x 4x 3.2x 0
2
2
x x
So với điều kiện ( ) ta có 2x 4 x2
Bài 18: Giải phương trình : x2log6 5x2- 2x- 3+xlog (56 x2- 2x- 3)=x2+2x (1)
Giải :
Điều kiện : 5x2 2x 0
3
1
x x
(6)Phương trình (1)
2 2
6
1 log (5 2 3) log (5 2 3) 2
2x x - x- +x x - x- =x + x
x2log (56 x2- 2x- 3) log (5+ x x2- 2x- 3)=2(x2+2 )x
(x2+2 )log (5x x2- 2x- 3)=2(x2+2 )x
2
2
log (5 3)
x x
x x
2
2
log (5 3)
x x
x x
0
5 39
x x
x x
0
13
5
x x
x x
So điều kiện ban đầu nghiệm PT (1) là:
13 2, 3,
5
x x x
Bài 19: Giải phương trình: log (22 x + -4) x=log (22 x +12) 3- (1)
Giải :
Phương trình (1)Û log (22 x +4)+ =3 log (22 x +12)+ Ûx
2 2
log (2x+4)+log 8=log (2x +12) log 2+ x Û log 8(22 x+4)=log (22 x x+12)
Û 8(2x +4)=2 (2x x +12) ( )
Đặt t =2x Điều kiện t >0
Khi phương trình ( ) trở thành: 8(t+4)=t t( +12) Û t2+4t- 32=0
4 ( ) 8( )
t N
t L
é = ê Û êê=
-ë
Vậy phương trình (1) 2x = Û4 x=2.
Bài 20: Giải: log2x+2log7x= +2 log log2x 7x (1)
Giải :
Phương trình (1)
ln 2ln 2 ln .ln
ln2 ln7 ln2 ln7
x x x x
Û + = + Û ln2x- (ln7 2ln2).ln+ x+2ln2.ln7=0
Û ln2x- (ln7 ln4).ln+ x+ln4.ln7=0
Đặt t=lnx Phương trình trở thành: t2- (ln7 ln4).+ t+ln4.ln7=0
D =(ln7 ln4)+ 2- 4ln7.ln4 (ln7 ln4)= -
Do đó: t =ln7Ú =t ln4 Vậy
lnx ln7 x
lnx ln4 x
é = é =
ê Û ê
ê = ê =
ë ë
Bài 21: Giải phương trình:
2
2
3 2
log
2
x x x x
x x
(1)
Giải :
Đặt:
2 3
2
2
u x x
v x x
ìï = + + ïï
íï
ï = + +
ïỵ
(7)Khi phương trình trở thành: log3
u v u v = - (*)
Nếu u>v u
v> Do đó: VT= log3 u
v> VP = u v- <0
Suy phương trình vơ nghiệm
Nếu u<v u v
< <
Do đó: VT = log3 u
v < VP = u v- >0 Suy phương trinh vô nghiệm.
Vậy: (*) Û u= , Nghĩa là: v x2+ + =x 2x2+4x+5 Û x2+3x+ =2 Û x= - Ú = -1 x Tóm lại nghiệm phương trình là: x= - 1,x= -
Bài 22: Giải hệ phương trình
1./
1
4
2
1 log ( ) log
25 ( )
y x
y x y
Giải :
Điều kiện: y x y , 0
1 4
4
1
log (y x) log log (y x) log
y y
4
log
4
y x x y
y
Thế vào phương trình( ) ta có :
2
3 25
4
y y
y4
So sách với điều kiện, ta được: y 4, từ có x 3 ( thỏa mãn: y x ). ĐS : ( ; ) (3;4)x y
2/
3
1
2
4
2
x
x x
x
y y
y
ĐS: (0,1) (2,4)
3/
4
log log
x y
x x
ĐS: (1,1), (9,3)
4/
1
4
2
1
log ( ) log
25
y x
y y x
(KA 2004) ĐS: (3,4) Bài 23: Giải hệ phương trình sau:
a/
2
2
4
log ( )
2log log
x y
x y
ĐS: (4, 4)
b/
2 2
3 3
3
log log log
2
log 12 log log
3
x
x y y
y
x x y
(8)c/
2
2
log ( ) log ( )
x y x y
x y
d/
2
log ( ) log
2
9 3( ) (1)
3 (2)
xy xy
x y y x
HD: lôgarit hai vế phương trình (1) theo số 3.
Bài 23: (ĐH – A – 2009) Giải hệ phương trình :
2
2
2
x xy y
log (x y ) log (xy) 81
(x, y R)
Giải: Điều kiện x, y > HPT trở thành:
2
2 2
2
log (x y ) log log (xy) log (2xy)
x xy y
2
2
x y 2xy
x xy y
2
(x y) xy
x y xy
x y
hay
x
y
Các tốn có tham số
Bài : (ĐH – A – 2002). Cho phương trình log23x log32x1 2 m 0 m tham số 1./ Giải phương trình m 2
2./ Tìm m để phương trình có ngiệm thuộc đoạn
1;3
. HD :
1./ Đặt t log32x1 t1 ĐS : x3 2./
3
1;3
x
log 3x t 1;2
Lập BBT f t( )t2t 1;2 ĐS : m 0;2
Bài 2: Cho phương trình
2 2
4
2
2log (2x x2m ) log (m x mx ) 0m ( )
Xác định tham sốm để phương trình (1) có nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x12x221
Giải :
PT ( ) log (22 x2 x2m ) log (m2 2x2mx )m2
2
2 2
2 (1)
2 (2)
x mx m
x x m m x mx m
Ta có : PT (2) x2 (m1)x2m 2m2 0 (3) PT (3) có (3m 1)20 nghiệm x1 1 m, x2 2m Ta có :x12x22 1 (1 m)2(2 )m21 5m2 2m0
2
5
m m
(4) Xét lại điều kiện (1):
Từ PT (3) x2 2m2(m1)x 2m
(9)TH1: Khi x 1 m thay vào (5) ta (2m1)(1 m) 2 m0 2m2 m1 0
1
2
m
(6)
TH2: Khi x2m thay vào (5) ta :(2m1)2m 2m0 4m 2 m 0(7)
Kết hợp bất đẳng thức (4),(6),(7) ta thu kết quả:
2
1
5
m m
ĐS:
2
1
5
m m
Bài : Tìm m để phương trình
2 2
2
2
log xlog x 3m log x
có nghiệm thuộc [32;)
HD: Đặt t log2x: t [5;)
2
0
m t m
t
ĐS: 1m
Bài : Tìm m để phương trình
2
1
2
(m 1)log (x 2) ( m 5)log (x 2)m 0
có hai nghiệm thuộc khoảng (2;4)
HD :
Đặt t log (2x 2) Với 2x1x24 0x1 2x2 2 0t1t21 Bằng PP tam thức bậc hai 3m1
Bài :Giải biện luận phương trình:
2
log x 3x2
+ log2 x 1 = log7 3 a x( 2), a 0 (1)
Giải :
ĐK: x2 3x2 0 , x 1 0, a x .( 2) 0 x 2
Ta có: (2 3)(2 3) 1 log2 x 1 = log(2 3)1 x 1 = log2 x
2
log x 3x2
+ log2 x 1 =
2
3
log
1
x x
x
=
1
log ( 2)
2 x
7
log a x( 2)
= log(2 3)2a x( 2) =
1log ( 2)
2 a x
=
1log ( 2)
2 a x
(1)
1log ( 2)
2 x
1log ( 2)
2 a x
1
2 ( 2)
x a x x2 – =
1
a x2 = +
a Vì : a 0 nghiệm:
1
x
a
.mặt khác x 2 nên
1
x
a
nghiệm phương trình
Bài 6: Tìm m để hệ có nghiệm phân biệt:
3
3
2
2 2 5
log ( 1) log ( 1) log (1) log ( 5) log (2)
x x
x x
x x m
- +
ì + - - >
ïïï
íï - + = =
ïïỵ Giải :
(10)Û log (3x+ >1) log (3x- 1)
1 2( 1) 2( 1)
x x
x
ì + > -ïï
Û íï
- >
ïỵ Û 1< <x 3
· Đặt t =log (2x2- 2x+5) (2) trở thành:
2
5
m t
t
- =
Û t2- 5t =m Ta có:
2
' 0, x (1,3)
( 5)ln2
x t
x x
-= > " Ỵ
- + Þ t=log (2x2- 2x+5)=f x( ) đồng biến (1;3).
Lại do: t =f x( ) đồng biến (1;3) nên t Ỵ (2;3) tương ứng có x Ỵ (1;3) Vậy hệ có nghiệm phân biệt
2
2
5
t
t t m
ì < < ïï
Û íï
- =
ïỵ có nghiệm phân biệt Xét hàm số: y t 2 5t (2;3).
BBT:
Dựa vào BBT ta có đáp số
25
6
4 m
- < <
-Bài 7: Tìm tất giá trị m để phương trình :
2
1
2
(m- 1)log (x- 2) (- m- 5)log (x- 2)+m- 0=
(1) có hai nghiệm thoả 2x1x24
Giải :
Đặt : t log (2x 2) Khi phương trình trở thành:
2
5
1
t t
m t t
( )
Với 2< <x 0< -x 2< t log (2x 2) 1
Do PT (1) có nghiệm thoả 2x1x24 PT ( ) có nghiệm thoả t1t21
Đặt:
2
5
( )
1
t t f t
t t
khoảng ( ;1) ta có
2
2
4
'( )
( 1)
t f t
t t
, f t'( ) 0 t 1
BBT:
Từ BBT ta có kết quả: 3m1
+ _
y y'
t
- 6 - 6
- 25 4
3 5
2 2
0
- 3 1
- 1 1
-
f(t) f'(t)
t
7 3
(11)Bài 8: Tìm m để PT :
2 2
2
2
log x+log x - 3=m(log x - 3)
(1) có nghiệm thuộc khoảng [32,+¥ )
Gii :
iu kin xẻ ộở32;+Ơ ) Khi đó:
Phương trình (1) log22x- 2log2x- 3=m(log2x- 3)
Đặt t=log2x Vì x ³ 32 nên t ³ 5.Khi phương trình trở thành :
2 2 3 ( 3)
t t m t
2 2 3
3
t t
m t
1
t m
t
( ) ( t ³ 5 t 3 0 ) PT (1) có nghiệm é +¥ë32; ) PT ( ) có nghiệm t é +¥ë5; )
Xét hàm số
1
t y
t
é +¥ë5; ) có
'
( 3)
y
t
BBT:
Từ BBT ta có : 1y3
1
1
3
t t
Vậy với 1m phương trình có nghiệm é +¥ë32; )
y y'
t
1 3
+ 5
p bất đẳng thức